山西省忻州市2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积预习案(无答案)新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案新人教A版73
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系．平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．若a ∥b x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0.若a ⊥b x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反．【做一做1－1】 向量m ＝(1,0)，n ＝(2，－5)，则m ·n 等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．7【做一做1－2】 已知MN →＝(3，－4)，则|MN →|等于( )A ．3B ．4 C. 5 D ．5【做一做1－3】 若向量a ＝(4,2)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m 的值是( )A ．12B ．3C ．－3D ．－12【做一做1－4】 已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21 x 21＋y 21x 1－x 2 2＋ y 1－y 2 2 x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22【做一做1－1】 C m ·n ＝1×2＋0×(－5)＝2.【做一做1－2】 D |MN →|＝32＋ －4 2＝5.【做一做1－3】 D ∵a ⊥b ，∴4×6＋2m ＝0，解得m ＝－12.【做一做1－4】 3π4|a |＝9＋0＝3，|b |＝25＋25＝52， a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，则cos θ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22.又0≤θ≤π，∴θ＝3π4，即a 与b 的夹角为3π4.1．投影的坐标表示剖析：由于向量b ＝(x 2，y 2)在向量a ＝(x 1，y 1)方向上的投影为|b |·cos θ＝|a ||b |cos θ|a |＝b ·a |a |(θ为a 与b 的夹角)，从而向量b 在向量a 方向上的投影的坐标表示为x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12.同理可得，向量a 在向量b 方向上的投影的坐标表示为|a |cos θ＝|a ||b |cos θ|b |＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 2．向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，a 与b 的夹角为θ.(1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；(2)a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0；(3)a ·a ＝|a |2|a |＝a 12＋a 22；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 12＋a 22·b 12＋b 22； (5)|a ·b |≤|a ||b ||a 1b 1＋a 2b 2|≤a 12＋a 22·b 12＋b 22.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2以及相关的向量的长度公式和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解．题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．分析：先求出a ·b ，a 2，b 2，再对(3a －b )·(a －2b )展开求解．反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积．题型二 垂直问题【例2】 已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )A ．9B ．4C ．0D ．－4反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为0来解决．本题也可先求出a －b 的坐标，再代入a ·(a －b )＝0解得x .题型三 夹角问题【例3】 已知a ＝(3，1)，b ＝(2,23)．(1)求a ·b ；(2)求a 与b 的夹角θ.分析：(1)直接用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2即可；(2)直接用cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22求解． 反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模；(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22直接求出cos θ的值；(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.【例4】 已知△ABC 中，A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值．分析：∠BAC 是AB →和AC →的夹角，转化为求向量的夹角问题．反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题．题型四 易错辨析【例5】 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 错解：∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0，即a ·b ＝1－2λ＞0，得λ＜12，故选D. 错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a 与b 同向时，即a 与b 的夹角θ＝0°时cos θ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的．反思：对非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角cos θ＞0且cos θ≠1a ·b ＞0且a ≠m b (m ＞0)；θ为钝角cos θ＜0且cos θ≠－1a ·b ＜0且a ≠m b (m ＜0)；θ为直角cos θ＝0a ·b ＝0.答案：【例1】 解法一：因为a ·b ＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝22＋(－1)2＝5，b 2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a －b )·(a －2b )＝3a 2－7a ·b ＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，∴3a －b ＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a －2b ＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a －b )·(a －2b )＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.【例2】 A ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，∴a 2－a ·b ＝5－(x －4)＝0，解得x ＝9.【例3】 解：(1)a ·b ＝23＋23＝4 3.(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22＝433＋1×4＋12＝32. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.【例4】 解：AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝ －1 2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474. 【例5】 A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0且cos θ≠1，即a ·b ＞0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ＞0，且a ≠m b (m ＞0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，故选A.1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－112．△ABC 中，A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形3．(2011·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π24．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为__________．5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，求实数k 的值．答案：1．C a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.2．B BA ＝(4，－2)，BC ＝(1,2)，则BA ·BC ＝4＋(－2)×2＝0.∴BA ⊥BC .∴∠ABC ＝90°.3．B 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)，则a ·b ＝2，|a ||b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b . 又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 4．3 a －b ＝(x －1,2－x )．由于(a －b )⊥c ，则(a －b )·c ＝0，所以(x －1)＋2(2－x )＝0，解得x ＝3.5．分析：由(k a ＋b )⊥(a －3b )，得(k a ＋b )·(a －3b )＝0，列方程解得k 的值． 解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．∵k a ＋b 与a －3b 垂直，∴(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19.。
2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中数学第二章平面向量 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修4
学习目标会进行平面向量数量积的模和夹角公式的运算
重点难点平面向量数量积的模和夹角公式的运算
方法自主探究
一、探知部分：
1．向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量________叫做a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即______________．
规定零向量与任一向量的数量积均为0.
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图所示，OA
→
＝a，OB
→
＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1
＝________.
________叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向
上的投影．
(2)数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积．
3．向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔________.
(2)当a与b同向时，a·b＝________；
当a与b反向时，a·b＝________.
(3)a·a＝________或|a|＝a·a＝a2.
(4)cos θ＝________.
课堂
随笔。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积知识导航学案 新人教A版必修4
2.4 平面向量的数量积知识梳理1.平面向量数量积的含义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积（linner produ c t ）（或内积），记作a ·b ，即规定a ·b =|a ||b |cos θ,其中θ是a 与b 的夹角，|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影（projection ）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.2.平面向量数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则有：(1)a ·b =b ·a ；(2)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )；(3)(a +b )·c =a ·c +b ·c .3.平面向量数量积的坐标表示（1）设a =(x 1，y 1)，b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.（2）平面向量数量积公式的几个推论：①若a =(x ，y),则有|a |=22y x +;②设A 、B 两点的坐标分别是(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则|AB|=212212)()(y y x x -+-. ③若a =(x 1,y 1),b =(x 2，y 2),a 、b 的夹角为θ，则有cos θ=222221212121y x y x y y x x +∙++.若θ=90°，则cos θ=0，公式变形为x 1x 2+y 1y 2=0，这是两向量垂直的等价说法，即a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.知识导学要学好本节内容，可通过探究活动利用向量的数量积定义推导有关结论，通过概念辨析题加深对平面向量数量积的认识，在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，以熟练地应用数量积的性质.处理向量的问题我们可以有两种思路:一是纯向量式,二是向量的坐标式,我们要灵活运用,二者互相补充,根据不同题目选择不同的方法. 疑难突破1.向量的夹角.剖析：（1）如图2-4-1，已知两个向量a 、b ，作OA =a ，OB =b ,则∠AOB 叫做向量a 、b 的夹角.图2-4-1（2）两个向量a 、b 的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a 、b 同向，当θ=π时，a 、b 反向.当θ=90°时，两向量a 与b 垂直，并记作a ⊥b .2.向量的数量积与实数的乘法有何区别?剖析： (1)如果两个数a ·b =0，则a 与b 中至少有一个为0.而a ·b =0可推导出以下四种可能：①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)对于数量有：实数a 、b 、c 且ab =ac ,a ≠0⇒b =c .但对于向量，这种推理就不正确，即a ·b =a ·c ，且a ≠0推不出b =c .例如：|a |=1，|b |=22,|c |=21,a 与b 的夹角为4π,a 与c 的夹角为0°， 显然a ·b =a ·c =21，但b ≠c . 3.怎样确定两个向量的数量积的符号?剖析：两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量夹角余弦值的乘积，由于|a |、|b |均为正数，故其符号由夹角来决定.当0°≤θ＜90°时，cos θ＞0，a ·b ＞0；当θ=90°时，a ·b =0；当90°＜θ≤180°时，cos θ＜0，a ·b ＜0.4.向量的运算律剖析：(1)a ·b =|a ||b |cos θ=|b ||a |cos θ=b ·a ;(2)(λa )·b =λ|a ||b |cos θ=λ(|a ||b |cos θ)=λ(a ·b ),又λ|a ||b |cos θ=|a |λ|b |cos θ=a ·(λb ),∴(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ).(3)如图2-4-2，任取一点O ，作=a ，=b ，=c .因为a +b 在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影的和，即|a +b |cos θ=|a |cos θ1+|b |cos θ2，图2-4-2∴|c ||a +b |cos θ=|c ||a |cos θ1+|c ||b |cos θ2.∴c ·(a +b )=c ·a +c ·b .∴(a +b )·c =a ·c +b ·c .值得注意的是：（1）两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.（2）两个向量a 、b 的数量积a ·b 与代数中a 、b 的乘积a ·b 不同，书写时要严格区分开.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积(第1
2.4 平面向量的数量积 1课堂探究探究一 向量数量积的运算求向量数量积的方法：1．分别求出向量a 与向量b 的模及向量a 与向量b 夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解．如待求式是较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．在运算时要注意确定两个向量的夹角，特别是平行向量要注意向量是同向还是反向．2．如果涉及图形的数量积的运算，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量进行向量线性运算后求数量积．这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．【典型例题1】 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(2a －b )·(a ＋3b )．解：(1)a ·b ＝|a |·|b |cos 120° ＝2×3×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－3. (2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5. (3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34.【典型例题2】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，求AE ·AF 的值．解：由已知得|AB |＝2，|AD |＝2，∵AB ⊥AD .∴AB ·AD ＝0.又由图可知，AE ＝AB ＋BE ＝AB ＋12BC ＝AB ＋12AD . AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋12DC ＝AD ＋12AB .∴AE·AF＝12AB AD⎛⎫+⎪⎝⎭·12AD AB⎛⎫+⎪⎝⎭＝AB·AD＋12AB2＋12AD2＋14AB ·AD＝12|AB|2＋12|AD|2＝4.探究二求向量的模利用数量积求解模的问题是数量积的重要应用，注意以下两点：1．此类求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方；2．向量数量积与模的关系及其作用：a·a＝a2＝|a|2或|a|此关系用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．【典型例题3】 (1)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，则|2a ＋b|＝________.(2)已知向量a，b满足|a|，a与b的夹角为135°，|a＋b|，则|b|＝________.解析：(1)|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4|a|2＋4|a||b|cos 60°＋|b|2＝4×25＋4×5×5×12＋25＝175.∴|2a＋b|＝.(2)∵|a＋b|a2＋2a·b＋b2＝5，∴|a|2＋2|a|·|b|cos θ＋|b|2＝5.∴|b|2－2|b|－3＝0.∴|b|＝3或|b|＝－1(舍去)．答案：(2)3探究三有关向量的夹角与垂直问题1．求两向量的夹角主要借助公式cos θ＝·||||a ba b，求解方法有两种：一是根据已知条件求出a·b，|a|与|b|，代入公式求解；二是找出|a|，|b|与a·b的关系通过约分求解，注意夹角的范围．2．非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，应熟练掌握．【典型例题4】 (1)已知向量a，b满足|a|，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b 的夹角为________；(2)已知向量a，b满足a－b与a＋b垂直，2a＋b与b垂直，则a与b的夹角为________．解析：(1)∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝0，∴a 2＝a ·b ＝2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝·||||a b a b＝2. ∵0≤θ≤π，∴θ＝4π. (2)∵a －b 与a ＋b 垂直， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0.∴a 2＝b 2.∴|a |＝|b |.∵2a ＋b 与b 垂直，∴(2a ＋b )·b ＝0.∴2a ·b ＋b 2＝0.∴a ·b ＝－12b 2＝－12|b |2. 设a ，b 夹角为θ，则cos θ＝·||||a b a b ＝221||2||b b ＝－12. ∵0≤θ≤π，∴θ＝23π. 答案：(1) 4π (2) 23π 探究四 判断平面图形的形状1．依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知建立数量积、向量的长度、向量夹角等之间的关系，移项、平方是常用方法，从中得到边角的关系．2．解决这类题型还要注意对向量加(减)法的几何意义、数量积为0的性质及平行四边形的性质等知识的应用，采用数形结合的方法解决问题．【典型例题5】 在△ABC 中，(AB －AC )·(AB ＋AC )＝0，AB 2＝AB ·CB ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：∵(AB －AC )·(AB ＋AC )＝0，∴AB 2－AC 2＝0， ∴|AB |＝| AC |.∵AB 2＝AB ·CB ，∴AB 2－AB ·CB ＝0. ∴AB ·(AB ＋BC )＝0.∴AB ·AC ＝0.∴AB ⊥AC .∴△ABC 是等腰直角三角形．答案：D。
2020版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修4_126.doc
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
知识点一 平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c ＝a·c＋b·c 正确
消去律 ab＝bc(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0) ⇒a＝c 错误
知识点二 平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a
类型一 向量数量积的运算性质 例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________. 答案 ④ 解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确. 反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法： ①(a·b)·c－(c·a)·b＝0； ②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直； ③(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的是________.(填序号) 答案 ③ 解析 (a·b)·c表示与向量c共线的向量，(c·a)·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；由[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝0知，(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确. 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度1 已知向量垂直求参数值 例2 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________. 答案 2
2020版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一导学案新人教A版必修4_128.doc
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F 的作用下产生位移s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F 的作用下产生位移s ，如图.思考1 如何计算这个力所做的功？ 答案 W ＝|F ||s |cos θ.思考2 力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 梳理知识点二 平面向量数量积的几何意义思考1 什么叫做向量b 在向量a 上的投影？什么叫做向量a 在向量b 上的投影？答案 如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos θ. |b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影.思考2 向量b 在向量a 上的投影与向量a 在向量b 上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同. 梳理 (1)条件：向量a 与b 的夹角为θ. (2)投影：(3)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 知识点三 平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定.当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零.当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数. 梳理 设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a ||b |，a 与b 同向，－|a ||b |，a 与b 反向.(3)a·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.类型一 求两向量的数量积例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积.解 (1)a ∥b ，若a 与b 同向，则θ＝0°，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝4×5＝20；若a 与b 反向，则θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a ⊥b 时，θ＝90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝4×5×32＝10 3. 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a 与b 的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b ＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a 与b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.跟踪训练1 已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.∴BD →·CD →＝(BC →＋CD →)·CD → ＝BC →·CD →＋CD →2＝a ·a ·cos 60°＋a 2＝32a 2.类型二 求向量的模例2 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.引申探究若本例中条件不变，求|2a ＋b |，|a －2b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝4×25＋4×252＋25＝57.|a －2b |＝(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝25－4×252＋4×25＝5 3.反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a 2＝|a |2，即|a |＝a 2，勿忘记开方. 跟踪训练2 已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值. 解 |3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ， ∵|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25， ∴a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400， 故|3a ＋b |＝20. 类型三 求向量的夹角例3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°， ∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a与b 的夹角θ.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|a |cos θ＝－3，|b |cos θ＝－32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·b|b |＝－3，a ·b |a |＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧－9|b |＝－3，－9|a |＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝6，|b |＝3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－96×3＝－12. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.1.已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案 D解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos 〈a ，b 〉＝4×cos 120°＝－2.2.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案 A解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， ① |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.3.若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝________. 答案 11解析 (a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋4a ·b －2a ·c －4b ·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.4.在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________. 答案 －25解析 易知|AB →|2＝|BC →|2＋|CA →|2，C ＝90°. ∴cos B ＝513，又cos 〈AB →，BC →〉＝cos(180°－B )， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 5.已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°， ∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120° ＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.1.两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0，90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.a·b ＝|a||b |cos θ中，|b |cos θ和|a |cos θ分别叫做b 在a 方向上的投影和a 在b 方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. (2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a|，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |.5.两非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0，求向量模时要灵活运用公式|a |＝a 2.课时作业一、选择题1.已知|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝19，则|a －b |等于( ) A.7 B.13 C.15 D.17答案 A解析 因为|a ＋b |2＝19，所以a 2＋2a ·b ＋b 2＝19， 所以2a ·b ＝19－4－9＝6，于是|a －b |＝|a －b |2＝4－6＋9＝7.2.已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·b 等于( ) A.－6 B.6 C.－6 3 D.6 3 答案 C3.已知|a |＝9，|b |＝62，a ·b ＝－54，则a 与b 的夹角θ为( ) A.45° B.135° C.120° D.150° 答案 B解析 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－549×62＝－22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4.若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A.－3B.－2C.2D.－1 答案 D解析 向量a 在向量b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1. 5.已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A.|a |＝a ·a B.|a·b |＝|a ||b | C.λ(a·b )＝λa·b D.|a·b |≤|a ||b | 答案 B解析 因为|a·b |＝||a ||b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a ||b ||cos θ|， 当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a ||b |，故B 错.6.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A.[0，π6]B.[π3，π]C.[π3，2π3]D.[π6，π]答案 B解析 ∵Δ＝a 2－4|a ||b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0，即a 2－4|a ||b |cos θ≥0， 又|a |＝2|b |，∴Δ＝4|b |2－8|b |2cos θ≥0， ∴cos θ≤12，又∵0≤θ≤π， ∴π3≤θ≤π. 7.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A.－58 B.18 C.14 D.118答案 B解析 如图所示，∵AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋34AC →， BC →＝AC →－AB →，∴AF →·BC →＝(12AB →＋34AC →)·(AC →－AB →)＝－12|AB →|2－14AB →·AC →＋34|AC →|2＝－12×1－14×1×1×12＋34＝18.故选B.8.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形答案 B 二、填空题9.设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝________. 答案 －9210.若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________. 答案 120°11.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 答案223解析 ∵|a |＝(3e 1－2e 2)2＝ 9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22 ＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cos β＝83×22＝223.12.已知向量a 在向量b 方向上的投影是23，|b |＝3，则a·b 的值为________.答案 2解析 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|b ||a |cos 〈a ，b 〉 ＝3×23＝2.13.已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________. 答案 －25解析 ∵|CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2，∴∠B ＝90°，∴AB →·BC →＝0. ∵cos C ＝45，cos A ＝35，∴BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos (180°－C ) ＝4×5×(－45)＝－16.CA →·AB →＝|CA →||AB →|cos(180°－A ) ＝5×3×(－35)＝－9.∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 三、解答题14.已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是60°，计算： (1)(2a ＋b )·(2a －b )；(2)|4a －2b |. 解 (1)(2a ＋b )·(2a －b )＝(2a )2－b 2＝4|a |2－|b |2＝4×42－82＝0. (2)∵|4a －2b |2＝(4a －2b )2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82＝256. ∴|4a －2b |＝16. 四、探究与拓展15.在△ABC 中，已知|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3，求： (1)AB →·BC →；(2)AC →在AB →方向上的投影；(3)AB →在BC →方向上的投影. 解 ∵|AB →|＝5，|BC →|＝4，|AC →|＝3. ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.∴cos A ＝AC AB ＝35，cos B ＝BC AB ＝45.(1)AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－5×4×45＝－16.(2)|AC →|·cos〈AC →，AB →〉＝AC ，→·AB →|AB →|＝5×3×355＝95.(3)|AB →|·cos〈AB →，BC →〉＝BC ，→·AB →|BC →|＝－BA ，→·BC →|BC →|＝－5×4×454＝－4.。
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2.4 平面向量的数量积
§2.4.1 平面向量的数量积(一)
【教学目标】
1.知识与技能
理解平面向量数量积的定义及几何意义；会运用平面向量数量积运算律及其三个重要性质
进行运算；能判断两个非零向量是否垂直；
2.过程与方法
类比实数运算学习向量数量积的运算，并注意数形结合在向量运算中的作用；
3.情感、态度、价值观
通过向量数量积的应用，体会向量方法在解题中的作用及优点.
【预习任务】
阅读教材p103-104,回答下列问题:
1.平面向量的数量积：
平面向量a→与b→的数量积的定义：
平面向量的数量积a→•b→是向量还是实数？
平面向量的数量积的几何意义是________________.
2.求向量a→在向量b→方向上的投影的方法有：
3．填空：①当a→与b→同向时，a→•b→ 0；当反向时，a→•b→ 0;
②当a→•b→=0___________a→＝0→与b→＝0→
4.判断下列各式：
①a→•a→=|a→|2；②|a→•b→|=|a→|•|b→|；③(a→•b→)c→=a→(b→•c→)；④a→•b→=b→•a→；
⑤(ma→)•b→=a→•(mb→)；⑥(a→－b→)•c→=a→•c→－b→•c→.
其中一定成立的是_________________.
【自主检测】
1.已知x→2 =32,y→2 =12,x→与y→的夹角为300，求x→•y→.
2.在△ABC中，设AB→=a→，AC→=b→，BC→=c→.分别在下列条件下判断△ABC的形状.
①a→•b→=0;②.a→•b→<0;③a→•c→>0.
【组内互检】
平面向量数量积定义
§2.4.2 平面向量的数量积(二)
【教学目标】
1.知识与技能
能用向量的坐标表示平面向量的数量积;会用向量的坐标求与向量的模、夹角及垂直等
问题；
2.过程与方法
通过坐标运算可以把几何问题代数化，使问题变得简单；
3.情感、态度、价值观
利用向量的平行、垂直与夹角可以解决许多其它知识不易解决的问题，体现了向量的
应用价值..
【预习任务】
阅读教材p106-107,解决下列问题:
1.已知a→=(x1，y1)和b→=(x2，y2)，则a→•b→＝___________.
2.已知a→=(x，y) ，则|a→|=_______________.
3.已知P(x1，y1)和Q(x2，y2)是平面上任意两点， 则|PQ→|＝_____________.
4．向量a→=(x1，y1),b→=(x2，y2)，若a→⊥b→，则_________________.
5．两个非零向量a→=(x1，y1)，b→=(x2，y2)，它们的夹角为θ，
则cosθ＝________________________＝__________________________.
【自主检测】
1．设向量a→=(1,0), b→=(12, 12), 则下列结论中正确的是 ( )
A. |a→|=|b→| B. a→·b→=22 C. a→—b→与b→垂直 D. a→//b→
2．已知4,3ar，1,2br，()rrab(2)rrab，则实数＝________.
【组内互检】
向量平行与垂直的坐标运算