高一教案反函数 .doc
高一数学必修第二章教案
第二章函数概念与基本初等函数§2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作=.y f x()其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()=定义域.y f x对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B 的子集.即集合B 中可能有元素在集合A 中找不到对应的输入值.集合A 中每一个输入值，在集合B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号 ()f x 的理解知道 y=()f x 与 ()f x 的含义是一样的，它们都表示是 的函数，其中 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.(2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=()f x 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲[例1]设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数.错解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 2200220,2,2,2,0,2222220a a a a a a b b b b b b c c c c c c →-→-→→→→⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→→-→→-⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→-→→-→⎩⎩⎩⎩⎩⎩，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有202a b c →⎧⎪→⎨⎪→-⎩一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a a b b b b c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩[例2]已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域错解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.正解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0][例3]已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f . 错解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=- 故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2[例4]已知()f x 的反函数是1()f x -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.[例5]求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域.错解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=Q又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2， ()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，[例6]已知()34f x x =+，求函数1(1)f x -+的解析式.错解：由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37,y x ∴=+即73y x -=，∴1(1)f x -+=73x -错因：将函数1(1)f x -+错误地认为是(1)f x +的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上(1)f x +与1(1)fx -+并不是互为反函数，一般地应该由()f x 先求1()f x -，再去得到1(1)f x -+.正解：因为()34f x x =+的反函数为1()fx -＝43x -， 所以1(1)f x -+＝(1)4333x x +--=＝113x - [例7]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x +=+()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++ 211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x + (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥） （3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x+=1(0),1(1)u x u u =+≥=-≥与1()2()f x f ax x+= 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a ax x -. 点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例8] 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值. 分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y Θ 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-= ,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..[例9]设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有 ()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =， 得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1. 已知函数f(x)，x ∈F ，那么集合{(x ，y)|y=f(x)，x ∈F}∩{(x ，y)|x=1｝中所含元素的个数是（ ）A.0B.1C.0或1D.1或22.对函数b ax x x f ++=23)(作代换x =g(t)，则总不改变f (x )值域的代换是( ) A.t t g 21log )(= B .t t g )21()(= C.g(t)=(t －1)2 D.g(t)=cost3.方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是 ( )4.（06年高考全国II ）函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为A ．190 B.171 C.90 D.455. 若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A.3B.23C.－23 D.－3 6.已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++= .7.已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.8.已知函数()f x 是函数21101x y =-+（∈x R ）的反函数，函数()g x 的图像与函数431x y x -=-的图像关于直线y ＝x －1成轴对称图形，记()F x ＝()f x +()g x .（1）求函数F （x ）的解析式及定义域；（2）试问在函数F （x ）的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.A B C D§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()=的定义域为I，如果定义域I内y f x某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()=的定义域为I，如果定义域I内y f x某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数1()3x y -=的单调性.错解：1101,()33x y -<<∴=Q 是减函数 错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为3xy =，从而可判断出其单调性.正解： 令t x =-，则该函数在R 上是减函数，又1101,()33t y <<∴=Q 在R 上是减函数，∴ 1()3x y -=是增函数[例2]判断函数()(1f x x =+的奇偶性.错解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===∴()(1f x x =+是偶函数 错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x-≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断2()log (f x x =的奇偶性.错解：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ∴)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数[例4]函数y=245x x --的单调增区间是_________.错解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--[例5] 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.错解：∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)= f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0解得x >2或x <－3又 f (x )是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x ＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},[例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x ＋1)；(2)|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0， 所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.[例7]若f(x)= 21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围 解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++ 12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x x x x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++ 由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得 12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.[例8] 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --) ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0， 即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点. 四、典型习题导练1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05年高考重庆卷） 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B. ),2(+∞ C . ),2()2,(+∞--∞Y D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = .4. （05年高考辽宁卷）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A.0<λB.0=λC.10<<λ D.1≥λ. 5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x ＝3(1)x x +，求()f x .6. 已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0, 当x >－21时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7.已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25. (1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.§2.3 基本初等函数一、知识导学1. 二次函数的概念、图像和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠二次函数的顶点式2()()(0)f x a x m na =-+≠和 二次函数的坐标式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.①2()(0)f x ax bx ca =++≠，当240b ac ∆=->时图像与x 轴有两个交点.M （x 1,0）N(x 2,0),|MN|=| x 1- x 2|=||a . ② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数x y a =(0,1)a a >≠和对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的概念和性质.（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：①m n m n a a a +⋅=；②()m n mn a a =；③()n n nab a b =（这时m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log ()log log ;log log log a a a a a a M M N M N M N N⋅=+=-1log log ;log log n a a a a M n M M n ==； log log log c a cb b a = （2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.①指数函数图像永远在x 轴上方，当a ＞1时，图像越接近y 轴，底数a 越大；当0<a<1时，图像越接近y 轴，底数a 越小.②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a 的讨论.③当a>1时，图像越接近x 轴，底数a 越大; 当0<a<1时，图像越接近x 轴，底数a 越小.3.幂函数y x α=的概念、图像和性质. 结合函数y=x,y=x 2 ,y=x 3,y=12,y x y x --==,y=12x 的图像，了解它们的变化情况.①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴.③当x>1时，指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：（1a ，（2）log ()log log ;log ()log log a a a a a a M N M N M N M N +=+⋅=⋅3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4.函数()f x y a=的研究方法一般是先研究()f x 的性质，再由a 的情况讨论()f x y a =的性质.5.对数函数log a y x =(0,1)a a >≠与指数函数x y a =(0,1)a a >≠互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.6.幂函数y x α=的性质，要注意α的取值变化对函数性质的影响. （1）当奇奇=α时，幂函数是奇函数；（2）当奇偶=α时，幂函数是偶函数；（3）当偶奇=α时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲[例1]已知18log 9,185,b a ==求36log 45错解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183618181818log 45log 5log 9log 45log 36log 4log 9log 4b a a++===++ 错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b a a a a ++++=====+-++[例2]分析方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）的两个根都大于1的充要条件.错解：由于方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）对应的二次函数为 2()f x ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标都大于1即可.故需满足(1)012f b a >⎧⎪⎨->⎪⎩，所以充要条件是(1)012f b a>⎧⎪⎨->⎪⎩ 错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x 轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x 轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.正解：充要条件是2(1)01240f b ab ac >⎧⎪⎪->⎨⎪⎪∆=-≥⎩ [例3]求函数361265x xy =-⋅-的单调区间. 错解：令6x t =，则361265x xy =-⋅-＝2125t t -⋅- ∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数，当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265x xy =-⋅-的单调递减区间是(,6]-∞，单调递增区间为[6,)+∞错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令6x t =，则6x t =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数，当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265x xy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞[例4]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 错解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.正解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例5]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠ 显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.[例6]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(xx +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法. [例7]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x-=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误. [例8] 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) =12-a a (x －x 1)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M .分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==-- ,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a a a x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且Θf(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f ΘΘ又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m 点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会. 四、典型习题导练 1. 函数bx a x f -=)(的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b aD.0,10<<<b a（05年高考福建试题）2、已知2lg(x －2y)=lgx+lgy,则y x 的值为（ ）A.1B.4C.1或4D.4 或83、方程2)1(log 2=++x x a (0<a<1)的解的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34、函数f(x)与g(x)=(21)x的图像关于直线y=x 对称,则f(4－x 2)的单调递增区间是( ）A.[)+∞,0B.(]0,∞-C.[)2,0D.(]0,2-5、图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 可取±2，±12四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为( ) A.－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2C. －12，－2,2，12D. 2，12，－2, －126. 求函数y = log 2 (x 2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.7.若x满足3log 14)(log 24221≤+-x x ,求f(x)=2log 2log 22xx 最大值和最小值. 8.已知定义在R 上的函数()2,2x x af x =+a 为常数 （1）如果()f x ＝()f x -，求a 的值；（2）当()f x 满足（1）时，用单调性定义讨论()f x 的单调性.§2.4 函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f (x )=g (x )的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f (x )=g (x )的根，就是求函数y ＝f (x )与y =g (x )的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标. 3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间[a,b]上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难知识导析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时应满足：02()0()0b m n af m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅<。
分段函数及反函数教案
第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00教师 唐文 审核教师授课课题 解函数解析式一、 授课目的与考点分析：1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。
3． 掌握反函数的性质，会求反函数。
二、授课内容：一：函数解析式的常用方法：1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。
说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成2293x y -=±的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。
说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例3. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
变式：（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2xf 的解析式起航学校个性化辅导教案提纲（2）若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =_____4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
复合函数与反函数的性质教案
复合函数与反函数的性质教案一、引言复合函数与反函数是高中数学中常见的概念，对于学生来说，掌握它们的性质和应用至关重要。
本篇教案将详细介绍复合函数与反函数的性质以及相关的教学方法。
二、复合函数的定义复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入的一种运算。
设f(x)和g(x)为两个函数，则它们的复合函数记作f(g(x))，表示先对x 进行g的运算，再对得到的结果进行f的运算。
三、复合函数的性质1. 结合律：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，有[f(g(x))]h(x) =f([g(x)]h(x))，即复合函数的运算满足结合律。
2. 唯一性：对于同一对函数f(x)和g(x)，不同的复合函数可能有不同的定义域和值域。
3. 可逆性：若函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x，则g(x)是f(x)的反函数，反之亦成立。
四、反函数的定义反函数是指如果函数f(x)的定义域与值域互换，则称存在反函数g(x)。
反函数可以将函数的输出值还原成输入值。
五、反函数的性质1. 反函数与原函数互为逆运算：若g(x)是f(x)的反函数，则g(f(x)) = x，f(g(x)) = x。
2. 一一对应：反函数是一一对应的函数，即每个自变量对应唯一的因变量。
3. 图像对称：若函数f(x)的图像关于直线y = x对称，则函数g(x)为其反函数。
六、教学方法1. 导入阶段：通过导入相关的生活场景或问题，引发学生的兴趣和思考，如复合函数在数学建模中的应用。
2. 知识讲解阶段：简明扼要地介绍复合函数和反函数的定义、性质和重要概念。
3. 示例展示阶段：通过一些具体的例子，引导学生理解复合函数和反函数的概念与性质，并运用其解决问题。
4. 练习巩固阶段：提供一定数量的练习题，巩固学生对复合函数和反函数的理解和应用。
5. 拓展延伸阶段：引导学生深入思考和探究复合函数和反函数的更多性质和应用，开展相关的拓展活动。
6. 总结归纳阶段：帮助学生梳理、归纳复合函数和反函数的重点内容，提升他们的自主学习和总结能力。
高一数学反函数知识精讲
高一数学反函数【本讲主要内容】反函数反函数的定义；反函数的求法；反函数间的图像性质【知识掌握】【知识点精析】1. 反函数的定义：若函数)(x f y =（A x ∈）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=。
如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数。
这样的函数)(y x ϕ=（C y ⊂）叫做函数))((A x x f y ⊂=的反函数，记作)(1y fx -=。
在函数)(1y fx -=中，y 表示自变量，x 表示函数。
习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数)(1y f x -=中的字母x 、y ，把它改写成)(1x fy -=。
2. 求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程)(x f y =，得到)(1y fx -=。
（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到)(1x f y -=。
（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(x f y =的值域）。
3. 关于反函数常用性质：（1）)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
（2）)(x f y =和)(1x f y -=具有相同的单调性。
（3）)(x f y =和)(1y f x -=互为反函数，但在同一坐标系下，它们的图象相同。
（4）已知f(x)求)(1a f-，可利用a x f =)(，从中求出x ，即是)(1a f -。
特别提醒：因为反函数与原函数互为反函数，所以在学习反函数的过程中要注意原函数与反函数的定义域、值域、对应法则的互反性，同时在研究反函数的性质时要注意利用原函数和反函数之间的关系转化为研究原函数的性质，如研究函数2xx e e y -+=的反函数的单调性、奇偶性就可以直接研究2xx e e y -+=，而不必求出其反函数。
反函数的求法
A．y＝2－(x－1)2(x≥2)B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)
C．y＝2－(x－1)2(x≥1)D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)
4．下列各组函数中互为反函数的是[ ]
5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]
A．若y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数
3、已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．
关于y＝x对称，求g(2)的值．
第三教学环节:课堂练习
（本节为练习课）
第四教学环节:布置作业
作业在试卷上
课堂
检测
测试题(累计不超过20分钟)道;成绩;教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数
C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数
D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点
6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 [ ]
A．y＝x2＋1(x≤0)B．y＝x2＋1(x≥1)
C．y＝x2－1(x≤0)D．y＝x2－1(x≥1)
3．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________，b＝________．
义域是________．
5．已知函数y＝f(x)存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-1(f(a))＝________．
(三)解答题
(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．
反三角函数教案
-2
arcsina x1=π-arcsina x2=2π+arcsina
k
sin x a, a 1, x R x k (1) arcsin a(k z)
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例1：判断下列各式是否正确？并简 述理由。
3 (1) arcsin 2 3 3 (2) arcsin 3 2
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(4) arcsin(sin a ) a, a [
, ]. 2 2
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2、反正弦函数y=arcsinx,x∈[-1，1]
的图象与性质： (1)定义域:[-1，1]。
(2)值域:
[
, ] 2 2
(3)奇偶性: 是奇函数，
其图象关于坐标原点对称，
y
y arcsin x, x [1,1], y [
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余弦函数
y cos x( x R) 有反函数吗？
1
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应 y 许多角。 x
-2
· ·
-
o
-1
· · · · 4
2 3
余弦函数
y cos x( x [0, ])
有反函数吗？
有,因为它是一一对应函数，
同一个三角函数值只对应一个角。
(3) arcsin1 2k
对
错
2 (k Z )
1 3
错
(4) arcsin( ) arcsin 3 3Fra bibliotek
错
错 对
3
1
(5)sin(arcsin 2) 2
高一下学期—反三角函数
反三角函数【知识梳理】1. 反三角函数的基本性质注意: 反正弦函数不是正弦函数的反函数, 而是ππsin ,[,]22y x x =∈-的反函数; 对于反余弦函数与反正切函数也是类似的.2. 反三角函数的图像3. 反三角函数表示角在利用反三角函数表示角的时候, 应当注意以下几点: (1) 选取合适的反三角函数;(2) 注意所要表示的角的范围, 以及所选反三角函数的输出范围;(3) 利用诱导公式, 或三角函数．．．．图像, 将要表示的角调整至反三角函数输出范围.4. 带有反三角函数的求值问题 口诀: 一“令”, 二“则”, 三“范围”.y π2【典型例题】例1. 用反三角函数表示下列角. (1) 已知1sin 3x =, 分别当ππ[,]22x ∈-; π[,π]2x ∈; 3π5π[,]22x ∈;(2) cos x =分别当[0,π]x ∈; [π,0]x ∈-; [π,2π]x ∈;(3) tan 2x =, 分别当ππ[,]22x ∈-; [π,0]x ∈-.例2. 带有三角比的反三角求值. (1)4πarcsin(sin )5; (2)3π3πarcsin(sin )arccos(cos )44+.例3. 带有反三角的三角比求值.(1)tan(arcsin(; (2)3sin(arctan())4-;(3)1tan(arctan arctan3)5+.例4. 求函数2()(arcsin )2arcsin 2f x x x =--的最值.例5. 求下列函数的反函数. (1)π()arctan 2f x x =+; (2)1()arccos(2)2f x x =+.例6. 复合函数的单调性(1) 求函数2()arcsin()f x x x =-的单调递减区间.(2) 求函数2()arccos(2)f x x x =-的单调递增区间.【巩固练习】1. 若3ππ2α≤≤, 且1sin 4α=-, 则用反三角形式表示α是.…...………………………...........................( ) A.1πarcsin 4- B.1πarcsin 4+ C.3π1arcsin 24- D.3π1arcsin 24+2. 函数π()arctan 2f x x =+的反函数是……………………………………………………..........................( )A.1π()tan()2f x x -=-B. 1ππ()cot ()22f x x x -=--<<C. 11()(0π)tan f x x x-=-<< D. 1()tan (0π)f x x x -=<<3. 已知arcsin 1x ≥, 则x 的取值范围是…..……………………………………………................................( ) A. [0,1] B. [0,sin1] C. [sin1,1] D. [1,1]-4. 在3[1,]2-上, 与函数y x =相同的函数是………………………………………..…...….........................( ) A. arccos(cos )y x = B. arcsin(sin )y x = C. sin(arcsin )y x = D. cos(arccos )y x =5. 若1πcos (0)32x x =-<<, 则用反余弦表示x 为x =___________________;6. 求值: 1tan arcsin 2⎡⎤⎛=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦______________________; 7. 求值: arcsin(sin2)=____________________;8. 若arccos arcsin x x >, 则x 的取值范围是____________________;9. 已知方程240x ++=的两个实根分别为1x 和2x , 求12arctan arctan x x +的值.10. 求函数2()(arcsin )arcsin 1f x x x =+-最大值, 最小值以及取得最值时的x 的值.。
课题 反函数概念
课题 反函数的概念松江二中 黄继红一、 教案设计思考 1．教材分析：“反函数的概念”一课选自高中一年级数学>第一学期>上教版>第一课时，是对函数概念在认识上的深化和提高，又是为后继对数函数的学习作准备。
教材的编排思路是先借助摄氏与华氏两种温度度量制的相互转换的实例，从图像、表格和函数解析式三方面，揭示华氏温度关于摄氏温度的函数和摄氏温度关于华氏温度的函数，从特例中让学生初步感受反函数的概念，在此基础上，定义反函数，然后揭示互为反函数的两函数关系，通过例题解答揭示反函数的求法，最后提出同一坐标系中函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1x fy -=的图像的关系问题，以特例加以说明。
这样的编排，学生对于反函数概念的理解和把握一般都是建立在教师的明确指引和调控之下，学生相对独立的探索空间不够，而与此同时，学生对于为什么学习反函数、什么样的函数存在反函数、同一坐标系下()y f x =与1()x fy -=的图像有何关系、将x )(1y f-=改写为y )(1x f-=的必要性等问题无从感受或体验不深。
我的教学对像是重点中学学生，认知水平较高，善于思考，探究欲望强，但是对于概念学习重视不够，这是一个普遍存在的现象。
为了让学生不仅获得反函数知识,而且更重要的是体验知识的形成过程,以及形成过程中的思想方法和思维过程，提高学生数学素质，激发学习数学概念的兴趣。
我将反函数的教学分为两课时完成，本课为第一课时，确立以“问题解决”为中心，将反函数的概念教学设计成“活中有实，实中见活”的探究性学习的课堂教学，这对培养学生的创新意识和能力是有一定帮助的。
2．教案亮点：以反函数概念教学为核心，以“函数的定义和图像特征”为主线，通过解决实际问题，将学生现有的知识经验（函数概念）作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验（反函数概念），建立、理解和记忆概念，展示学生是感知和形成概念的主体；重视自主探究与小组合作相结合，引发认知冲突，以师生和生生间交流、互评的方式，促进学生的思维能真正动起来,展示学生是理解和深化概念的主体；在概念形成、理解、深化和应用中，结合媒体实验，展示学生是体验概念研究方法和数形结合思想的主体。
高三数学 教案 反函数公式大全
反函数一般地,如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应,y=f（x）.则y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)【反函数的性质】（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.(5)一切隐函数具有反函数；(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】.（8）反函数是相互的（9）定义域、值域相反对应法则互逆（10）不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5y=2^x的反函数是y=log2 x例题：求函数3x-2的反函数y=3x-2的定义域为R,值域为R.由y=3x-2解得x=1/3(y+2)将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2)1.反函数存在的条件.对于任意一个函数y＝f(x),不一定有反函数.如y＝x2 (x∈R),由y＝x2,解得,对于每一个确定的函数值y,有两个x值与之对应,不符合函数定义,所以y＝x2(x∈R)没有反函数.不难发现,只有当函数y＝f(x)的对应法则f是从定义域到值域的一一映射时,它才存在反函数.函数若存在反函数,它的反函数是唯一的.2.反函数也是函数.一个函数与它的反函数互为反函数,并且它们的定义域、值域互换,对应法则互逆.一个函数与它的反函数可以是两个不同的函数,也可以是同一个函数.如函数3.在反函数概念的学习中,先后出现了三个函数记号——y＝f(x),x＝f－1(y),y＝f－1(x),它们之间的关系是：在y＝f(x)与x＝f－1(y)中,字母x,y所表示的数量相同,取值范围相同,但地位不同.在y＝f(x)中,x是自变量,y是x的函数；在x＝f－1(y)中,y是自变量,x是y的函数.y＝f(x)与x＝f－1(y)互为反函数,它们的图象相同（由于两式中x,y所表示的量完全相同）.在y＝f(x)与y＝f－1(x)中,字母x,y的地位相同,即x是自变量,y是x的函数,但x,y表示的量的意义变换了,取值范围也互换了,即y＝f(x)中x（或y）与y＝f－1(x)中的y（或x）表示相同的量.y＝f(x)与y＝f－1(x)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.在y＝f－1(x)与x＝f－1(y)中,字母x,y的地位及其表示的量互相交换,但它们却是同一函数,都是y ＝f(x)的反函数.函数x＝f－1(y)与y＝f－1(x)是同一函数的理由是：它们的定义域相同,值域相同,对应法则一样.4.反应函数的性质主要有：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数；,其中A、C分别为函数f(x)的定义域、值域.反函数的求法.注意不要把f－1(x)理解为,防止把求反函数混为求倒数.f－1(x)表示f(x)的反函数,式子中的f－1表示对应法则,它与原来函数f(x)中的对应法则是互逆的关系.求反函数的过程主要是“解方程”的过程,即将y视为常数,将x看作未知数,用解方程的方法解出x＝f－1(y),此时一定要注意表达式的唯一性.再将x,y的位置交换,得y＝f－1(x).求出式子y＝f－1(x)后,一般还要注明反函数的定义域.由于反函数的定义域必须与原来函数的值域相同,由式子f－1(x)确定x的取值范围未必合适（原因是在解方程的过程中,可能出现非同解变形）,因此,标注反函数的定义域很有必要,而且须结合原来函数的值域确定反函数的定义域.例如,函数的反函数的解析式为y＝(x－1)2,由于原来函数的值域是y≥1,故反函数的定义域是x≥1,而不能是x∈R.求反函数的解题步骤可概括为“一解二换三注”.一个函数的反函数,就是将原函数的x与y互换之后得到的新函数.在什么条件下,一个函数没有反函数?首先你得明白什么是函数.通俗地说,函数就是每取一个x,只对应“一个”y值.（这大概是课本上定义的原话）注意上面出现了两个“一个”,但着重点在后面,强调的是后面的“一个”,仔细体会.这样函数就分成了三类：1、每个x都有对应的y值,但某些y没有对应的x,例如x={1,2,5,11,20},y={3,6,15,33,60,85,100},对应法则：乘以3.你会发现x集合中的1,2,5,11,20分别对应了y集合中的3,6,15,33,60,但y中的85,100却多出来,没有与之对应的x,这也是函数.虽然是集合,也是函数.2、每个x对应一个y,同时一个y也对应一个x,这叫一一对应,在集合中叫一一映射.例如y=3x+1、y=1/x、y=2的x次方等等.3、多个x对应一个y,例如y=x的平方+1,x取±1时,y都等于2.又如y=sinx,x取30°、150°、390°……时,y都等于0.5.反函数也是函数,反完之后,也得满足函数的定义.第1种情况,没有反函数.假设它有反函数吧,那么x与y互换后得x ={3,6,15,33,60,85,100},y= {1,2,5,11,20},对应法则：除以3.会有一部分x没有对应的y值,不符合函数的定义.反完之后不叫函数了,那就是没有反函数.第2种情况,有反函数.x与y互换后得y=（x-1）/3、y=1/x、y=log2(x)等等.符合函数的定义.反完之后仍旧是函数,所以就说有反函数.第3种情况,没有反函数.假设它有反函数吧,那么x与y互换后得什么呢,写不出来,但可知道的是：反完之后每一个x对应多个y值,不叫函数了,那就是没有反函数.(一例中x取2时,y是±1,另一例中x取0.5时,y得30°、150°、390°……)太不公平了,多个x对应一个y,叫函数；多个y对应一个x,就不叫函数了.综上所述,只有一一对应的函数才有反函数.。
反函数说课稿
反函数说课稿反函数说课稿1一、说教材1、地位与重要性“反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。
这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
2、教学目标（1）使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；（4）使学生树立对立统一的辩证思维观点。
3、教学重难点重点是反函数的概念及反函数的求法。
理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。
难点是反函数概念的接受与理解。
学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。
教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
二、说教法根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。
教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”。
电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。
另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。
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1.4 反函数
说课人：余礼宝
一、说教材：
1.教材所处的位置及前后联系
本教材是高中第一册第二章函数中第四节，是在学生学习了函数的定义，函数的表示方法，函数的单调性之后，提出的又一重要性质——反函数，它是在函数定义的基础上来探讨函数定义域与值域之间的对应关系。
图象之间的对称性，是对前面所学内容的具体应用，又为研究指数函数，对数函间的性质打下了基础。
2.内容结构
首先，本节内容，从函数的定义出发，以实例形式分析、研究两变量之间的对应关系，给学生以具体、直观的感觉。
然后，利用函数的定义，归纳总结给出了反函数的定义。
其次，利用反函数的定义，探讨一个函数Y=F（X）是否具有反函数，若有反函数Y=F（X）两者定义域与值域之间的关系，并以图表的形式给出。
使学生明白反函数的定义域是由原函数的值域决定的。
第三，.通过例题讲解，使学生掌握反函数的求法。
并在同一坐标系内画出两个互为反函数的图象。
通过学生作图，观察比较图象间的关系，归纳总结得出结论：
函数Y=F（X）图象与它的反函数Y=F（X）的图象关于直线Y=X对称。
3.教学目标：
通过本节内容的讲解，使学生理解反函数的概念，会求一些函的反函数。
弄清原函数与其反函定义域与值域之间的关系及图象之间的关系，进行归纳，总结。
从而培养学生探索、猜想，论证的思维习惯；培养学生用数形结合的思想进行解题；提高学生的解决问题的能力。
4.教学重点、难点：
反函数的求法，图象间的对称性是本节的重点。
反函数定义域与值域的对应关系是本节的难点。
5.教学仪器：
多媒体课件、投影仪。
二、教学方法
根据本节教材的特点，为了更好的突出本节的教学的重点、难点，我采用如下方法：
1. 引入：由具体实例引入（物体作匀速直线运动的位移S 是时间T 的函数S=VT ），结合函数的定义，提出问题，并导入新课
2.
讲授：利用具体实例制成表格。
并由学生填写，老师引导学生分析比较二者的不同点及对应关系，得出反函数的定义。
并对定义作进一步的解释。
强调定义域和值域之间的对应关系。
3. 练习法：通过指导练习，使学生进一步理解巩固所学知识。
掌握反函数的求法。
4.
归纳总结：通过老师对所讲知识的总结，加强学生对所学知识的巩固，使知识系统化、条理化。
三、教学过程
1．复习引入：复习函数的定义，强调定义域、值域并导入新课，推出课题-——反函数。
引入实例，某物体做匀速直线运动，速度为2公理/小时，若用T 表示时间，S 表示路程。
试写出S 是T 的函数，并给出表格1，2 让学生填充。
表1
函数关系式：S==2T
教师提出问题：给出S 如何求出T 表2
函数关系式：T==2
S
教师引导学生分析、比较两表格的异同及函数表示之间的差异： 不同：S=2T 中S 是T 的函数，T=
2
S
中，T 是S 的函数。
相同：两式中，S 、T 表示相同的量。
定义域与值域间的关系： 表达式：T=
2
S
可由 S=2T 变换（反解）得到。
推出课题——反函数。
2．反函数
由实例给出反函数的定义。
给出实例y=3x+9 (x ∍R ) 反解出 x= 3
Y — 3 (y
∍R ) 利用函数定义来衡量表达
式x=
3Y — 3 是否为x 是y 的函数，若是，则称x= 3
Y
— 3叫做
y=3x+9 (x ∍ R) 的反函数，给出定义（投影片，给出定义）
定义：
函数y=f(x) (x ∍ A ) 设它的值域为C ，我们根据函数中x 、y 的关系。
用y 把x 表示出来，得到x=ψ (y ) 如果对于（y ∍ c ）中的任何一个值，通过式子 x=ψ (y) 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ψ (y) 就表示y 是自变量，x 是自变量的函数，这样的函数x=ψ (y) (y ∍C) 叫做函数y=f(x) (x ∍A)的反函数，记作x=f(y)
根据习惯，我用x 表示自变量，y 表示函数，因此，我将x=f(y)中的x 、y 对调，于是x=f(y)改写成：y=f(x)
例y=5x-6(x ∍R)的反函数为y=x+6/5
根据反函数定义探讨x=(y)为y=f(x)的反函数的条件及定义域，值域间的关系： A x=ψ (y) 是由y=f(x)反解出来的 B x=ψ (y) 必须是函数
C X 与Y 要互换
函数y=f(x)与y=f(x)定义域与值域间的关系： 给出图表
3.应用举例：投影片给出例题 对例题的体会：
会求反函 定义域的注明 表达式的选择
5. 归纳总结：反函数定义，及求法
6. 课后练习与作业。
7.。