新华东师大版八年级数学上册《12章 整式的乘除 综合与实践 面积与代数恒等式》优质课教案_0
新华东师大版八年级数学上册《12章整式的乘除12.3乘法公式平方差公式》优质课教案_13
新华东师大版八年级数学上册《12章整式的乘除12.3乘法公式平方差公式》优质课教案_13§13.3 乘法公式课题：两数和乘以这两数的差教材分析：本课内容是在学习了多项式乘法的基础上继续学习的，是学习“因式分解”等内容的基础，具有承前启后的作用。
本公式在整式的乘法和生产、生活中应用广泛，它是“数形结合”的代表，是“从特殊到一般”的典型。
学情分析：过七年级的学习，八年级的学生已具备一定的整式计算能力和观察图形的能力，但他们不喜欢老师的单独说教，不喜欢枯燥、乏味的讲解具备一定的独立意识，希望自己参与知识发现的过程。
教学目标：知识与技能：会推导两数的和乘以它们的差的乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。
方法与过程：自己探索，归纳得出平方差公式，再通过运用公式计算加深对公式的理解、认识，形成一定的运用公式计算的能力。
情感态度与价值观：在探索归纳理解和运用平方差公式的过程中体会数形结合的思想方法。
教学重、难点：重点：平方差公式的推导和运用。
难点：公式中字母的广泛含义。
教学过程：一.提纲导学1、激趣导入：不用笔算，你能很快地回答下列各题吗？6357=101?99=8.2?7.8= ?72?68=(a+b)(a-b)=a2-b22、导学提纲（1）、用多项式乘多项式的法则计算：（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）=_______=_______这两个特殊的多项式相乘，得到的结果你能用语言概括吗？（2）、按课本“试一试”计算两个图形的面积，你能得到怎样的等式？这个等式左右两边各有什么特点？（3）、尝试做例1，你能找准公式中的a、b吗？（4）、尝试做例2.经过怎样变换才能利用平方差公式？（5）、阅读例3.你能用本节知识解决这一实际问题吗？3、自学设疑预设：二、合作互动1、小组讨论学生分小组进行交流讨论自学中遇到的问题，小组长做好记录，师巡视指导。
2、成果展示（1）、由第xx小组xx同学展示第1个小题。
新华东师大课标版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 完全平方公式》优质课课件_12
仿照上述过程请 你计算(a+2b-1)2
几何验证
(a )2 2 a (b c) ( b c )2
c ac bc c2
a2 2ab 2ac b2 2bc c2 b ab b2 bc
a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc
a
知识提炼： 运用乘法公式对较复杂的
a2
整式进行计算时：1、观察整式的特征并
a
找出它适应的公式；2、运用整体思想和
添括号法则转化成公式模型.
ab ac bc
基础题 趣味题
(a 2b 3c)(a 2b 3c) [a (2b 3c )][a ( 2b 3c )]
如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去 一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分 沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该
去括号法则：
(a+b)+(c-d) = a+b+c-d (a+b)-(c-d) = a+b-c+d
=
=
添括号法则： 添括号时,如果括号前面是 正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号 前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
在等号右边的括号内填上适当的项:
（1）a + b + c = a + (b+c); （2）a – b – c = a – ( b+c ) ; （3）a - b + c = a – ( b-c ); （4）a + b + c = a - ( -b-c).
能否用 去括号法 则检查添 括号是否
正确?
新华东师大课标版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.2 整式的乘法 单项式与单项式相乘》优质课课件_6
(mx)(
3 4
x)=
3 4
·m·(x·x)=
3 mx2 4
2、类似地，2x2 y 3xy2和4a2x2 (3a3bx) 怎么运算.
计算：
(1)2x2y·3xy2
解 原式=(2·3)·(x2·x)·(y·y2)
=6x3y3
(乘法交换 律,结合律)
(有理数乘法和同底数幂的乘法法则)
计算：(2)4a2x2·(-3a3bx)
解原式=[4×(-3)]·(a2·a3)·(x2·x)·b
=(-12)·a5·x3·b =-12a5x3b．
你知道单项式 与单项式怎样 相乘吗？
单项式与单项式相乘法则:
(1)各单项式的系数相乘; (2)相同字母的幂按同底数的幂相乘; (3)只在一个单项式因式里含有的字母,
连同它的指数作为积的一个因式.
如图，第一幅画大小与纸的大小相同，第
二幅画的画面在纸的上、下各留
有 1 x米的空白,两幅画的画面面积各是
8
多少？
1
x
x
1/88X
米
米
1x
mx米
1/88X米
1、第一幅画的画面面积是 x (mx) 米 第二幅画的画面面积是 (mx)( 3 x)
4
米2 结果可以表达得更简单些吗？
x (mx)= (X·X )·m =x2 m
是7.9×103米/秒，则卫星绕地球 运行3×102秒走过的路程约是多少
解： 7.9×103 × 3×102 =23.7 ×105 米 =2.37 ×106米
答：卫星绕地球运行3×102秒走 过的路程约是2.37 ×106米。
练一练
1、计算： ①3x5·5x3 ②（-5a2b3)(-3a) ③ (4×105)·(5×106)·(3×104) ④(-5an+1b)·(-2a) ⑤(2x)3·(-5x2y) ⑥（-xy2z3)4 ·（-x2y)3
新华东师大版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.2 整式的乘法 多项式与多项式相乘》优质课课件_20
（2） (x - y)( x2 + xy + y2 )
2、化简求解: (3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中X=-2
思考： 多项式乘以多项式时需要注意的问题有哪些？
注意：
1、必须做到不重复，不遗漏.
检验方法：两个多项式相乘，在没有合并同类 项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积。
用不同的形式表示长方形的面积：
图1长为（m+n）米，宽为（a+b）米,可得总面积为 (m+n)(a+b);
图2第一块的面积为m（a+b），第二块的面积为n （a+b），它们的和为m（a+b）+n（a+b）;
图3， S1=ma；S2=mb；S3=na；S4=nb，它们的和 为S=ma+mb+na+nb.
由于三次计算表示同一个矩形的面积， 那么两次的计算结果应该是相同的， 故有：
( m+n ) ( a+b ) =m ( a+b ) +n ( a+b ) =ma +mb+na+nb
合探一：
2
1
1
2
3
4
(m+n)(a+b) = ma+mb+na +nb
3 4
多项式乘以多项式的法则
多项式与多项式相乘，先用一个 多项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加。
运用：
练习计算：
(1)(x+2)(x−3) (2)(3x -1)(2x+1) (3)(m−2n)(m2+mn−3n2) (4)(3 x2 − 2x+2)(2x+1)
新华东师大版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 完全平方公式》优质课课件_20
两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差
1、运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b)
(3)(-x+2y)(-x-2y)
2下列计算是否正确？如不正确，应怎样改正？
1.(a-2)(a+2)=a2-2
( ×)
(3) (－x+3)2 =(_-x__)2_+_ _2_·_(-_x_)_·3_ +__3_2 = _X_2_－__6_x+9
(4) (－x-3)2 = _(-_x_)2_－_ __2_·(_-x_)_·_3 +__3_2= __X_2_+_6_x+9
(5) (2x－3)2 =(2_x__)2 _-_ 2_·_2_x_·_3 +_3_2_ = _X__2—__1_2x+9
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
× (a b)2 a2+2ab+b2
判断 (x+y)2=x2+y2
完全平方公式 的图形 b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 =x2+4xy +4y2
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2 (a - b)2= a2 - 2 ab + b2
新华东师大课标版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.3 乘法公式 完全平方公式》优质课课件_7
想一想:
(a+b)2= a2 +2ab+b2
下面各式的计算是否正确？如果不正确，
应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2错
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 错
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
思考
相等
(a+b)2与(-a-b)2相等吗? 相等 (a-b)2与(b-a)2相等吗? 不相等 (a-b)2与a2-b2相等吗?
为什么?
1、完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2
一、知识与回顾：
（1）两数和的公式是什么？ ห้องสมุดไป่ตู้2）口述多项式乘以多项式法则。
（3）计算: ①（2x－1）（3x－4） ②（5x＋3）（5x－3）
探究一：
探究二：
归纳:
• 两数和平方公式的特征:
1、左边是两数和的平方，右边可这样记： “首平方，尾平方，首尾二倍在中央”。
2、我们还可以把公式形象的记为：
思考：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
例1、运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2
解: (4m+n)2= (4m)2+2•(4m) •n+n2
华师大版数学八年级上册综合与实践 面积与代数恒等式课件牛老师
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
a 2a
b b
阴影部分面积： (a+2b)(2a-b)
或 2a(a+2b)-b(a+2b) =2a2+3ab-2b2
用图形解释(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
a b
a
a
a
或
b
用图形解释(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2
b a b
用图形解释(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2
综合与实践 面积与代数恒等式
华东师大版 八年级数学上册
用图形解释(2a)2=4a2
a
a
a2
a
a2 +a2 +a2 +a2 =4a2 2a·2a=(2a)2
用图形解释(a+b)2=a2+2ab+b2
华师大版八年级数学上册第12章 整式的乘除 整合【新版】
专训一：整体思想在整式乘除运算中的应用名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．幂的运算中的整体思想1．已知2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值．乘法公式运算中的整体思想类型1 化繁为简整体代入2．已知a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，求式子a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值．类型2 变形后整体代入3．已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求式子(x 2＋1)(y 2＋1)的值．4．已知a －b ＝b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值．5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 016的值．6．已知(2 016－a)(2 014－a)＝2 015，求(2 016－a)2＋(2 014－a)2的值．多项式乘法运算中的整体思想类型1大数中的换元7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．类型2多项式中的换元8．计算：(a1＋a2＋…＋a n－1)(a2＋a3＋…＋a n－1＋a n)－(a2＋a3＋…＋a n－1)(a1＋a2＋…＋a n)(n≥3，且n为正整数)．专训二：因式分解的七种常见用途名师点金：因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142·…·(1－1102)·(1－1112)．用于化简求值3．已知2x －3＝0，求式子x(x 2－x)＋x 2(5－x)－9的值．用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积大960 cm2，请你分别求出这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．专训三：整式的乘除中的几种热门考点名师点金：本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式，以及利用提公因式法和公式法分解因式等，在考试中，常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查．中考中一般以基础题为主．幂的运算1．(2015·临沂)下列计算正确的是()A．a2＋a2＝2a4B．(－a2b)3＝－a6b3C．a2·a3＝a6D．a8÷a2＝a42．计算：(1)(－a2b)2＝________；(2)42 016×(－0.25)2 017＝________．3．已知：3x＋5y＝8，求8x·32y的值．整式的乘除运算4．下列计算结果是x2－6x＋5的是()A．(x－2)(x－3) B．(x－6)(x＋1)C．(x－1)(x－5) D．(x＋6)(x－1)5．若(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2的结果中不含x的三次项，则a＝________．6．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘(x－2y)错抄成除以(x －2y)，结果得到3x，则第一个多项式是什么？正确的结果应该是什么？7．先化简，再求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x－52y)，其中x＝－1，y＝2.乘法公式的运用8．下列计算正确的是()A．(－x－y)(x＋y)＝x2－y2B．(x－y)2＝x2－y2C．(x＋3y)(x－3y)＝x2－3y2D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y29．运用乘法公式计算：(1)(m－2n＋3)(m＋2n－3)；(2)(a－3b＋2)2.10．(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.11．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2； (2)x 2－xy ＋y 2； (3)(x －y)2.利用提公因式法和公式法分解因式12．将下列各式分解因式：(1)2a 3b 2c ＋4ab 3c －abc ；(2)x 2＋4x ＋4；(3)(2a ＋b)(2a －b)＋b(4a ＋2b)；(4)x2(x－y)＋(y－x)；(5)3ax2－6axy＋3ay2.整式乘除的应用13．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．14．已知n是整数，试说明(2n＋1)2－1能被8整除．(第15题)15．(2014·青海)如图，长和宽分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．16．△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．17．一天，小明在纸上写了一个算式：4x 2＋8x ＋11，并对小刚说：“无论x 取何值，这个式子的值都是正值，不信你试一试！”小刚动笔演算许多次，结果正如小明所说．小刚很困惑，你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗？数学思想方法的应用a ．转化思想18．若2x ＝3，4y ＝5，则2x －2y 的值是( )A .35B ．－2C .355D .65b ．整体思想19．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为( )A ．12B ．6C ．3D ．0c ．换元思想20．计算：2 0153－2 014×2 015×2 016.答案专训一1．解：4x ·32y ＝(22)x ·(25)y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y .因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，所以原式＝23＝8.点拨：本题运用了整体思想和转化思想．2．解：由a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，可得a －b ＝－2，b －c ＝－2，c －a ＝4.从而a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＝12×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝12×24＝12.3．解：(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2y 2＋x 2＋y 2＋1＝(xy)2＋(x ＋y)2－2xy ＋1.把x ＋y ＝4，xy ＝1整体代入，原式＝12＋42－2×1＋1＝16.4．解：由a －b ＝b －c ＝35，可以得到a －c ＝65.由(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca)，得到ab ＋bc ＋ca ＝(a 2＋b 2＋c 2)－12[(a －b)2＋(b－c)2＋(a －c)2]．将a 2＋b 2＋c 2，a －b ，b －c 及a －c 的值整体代入，可得ab ＋bc＋ca ＝1－12×[(35)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652]＝1－12×5425＝－225. 5．解：因为a 2＋a －1＝0①，所以将等式两边都乘a ，可得a 3＋a 2－a ＝0②.将①②相加，得a 3＋2a 2－1＝0，即a 3＋2a 2＝1.所以a 3＋2a 2＋2 016＝1＋2 016＝2 017.6．解：(2 016－a)2＋(2 014－a)2＝[(2 016－a)－(2 014－a)]2＋2(2 016－a)(2 014－a)＝22＋2×2 015＝4＋4 030＝4 034.点拨：本题运用乘法公式的变形x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ，结合整体思想求解，使计算简便．7．解：设123 456 788＝a ，则123 456 789＝a ＋1，123 456 786＝a －2，123 456 787＝a －1.从而M ＝(a ＋1)(a －2)＝a 2－a －2，N ＝a(a －1)＝a 2－a.所以M －N ＝(a 2－a －2)－(a 2－a)＝－2＜0，所以M ＜N.8．解：设a 2＋a 3＋…＋a n －1＝M ，则原式＝(a 1＋M)(M ＋a n )－M(a 1＋M ＋a n )＝a 1M ＋a 1a n ＋M 2＋a n M －a 1M －M 2－a n M ＝a 1a n .点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a 2＋a 3＋…＋a n －1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M ，问题就简化了，体现了整体思想的运用．专训二1．解：2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.2．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1＋13)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1＋14)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·…·(1＋110)(1－110)(1＋111)(1－111)＝32×12×43×23×54×34×…×1110×910×1211×1011＝12×1211＝611.3．解：原式＝x 3－x 2＋5x 2－x 3－9＝4x 2－9＝(2x ＋3)(2x －3)．当2x －3＝0时，(2x ＋3)(2x －3)＝0.4．解：所得的差一定能被9整除．理由：设该两位数个位上的数字是b ，十位上的数字是a ，且a ≠b ，则这个两位数是10a ＋b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b ＋a ，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a ＋b －(10b ＋a)|＝9|a －b|，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.即a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0.∴(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.又∵(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，即a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．6．解：B －A ＝a 2＋a －7－a －2＝a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．因为a ＞2，所以a ＋3＞0，从而当2＜a ＜3时，a －3＜0，所以A ＞B ；当a ＝3时，a －3＝0，所以A ＝B ；当a ＞3时，a －3＞0，所以A ＜B.7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960.②由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40.⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝8.答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm .点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎨⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2＝(n 2＋n ＋1)2.专训三1．B2．(1)a 4b 2 (2)－0.253．解：8x ·32y ＝23x ·25y ＝23x ＋5y ＝28＝256.4．C 5.326．解：第一个多项式是3x(x －2y)＝3x 2－6xy.正确的结果是(3x 2－6xy)(x －2y)＝3x 3－12x 2y ＋12xy 2.7．解：原式＝2(4x 2－1)＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝8x 2－2＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝－3x 2－25xy －2.当x ＝－1，y ＝2时，原式＝－3×(－1)2－25×(－1)×2－2＝45.8．D9．解：(1)原式＝[m －(2n －3)][m ＋(2n －3)]＝m 2－(2n －3)2＝m 2－(4n 2－12n ＋9)＝m 2－4n 2＋12n －9.(2)原式＝[(a －3b)＋2]2＝(a －3b)2＋4(a －3b)＋4＝a 2－6ab ＋9b 2＋4a －12b ＋4.10．解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2.当a＝1，b＝－12时，原式＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝54.11．解：(1)x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23.(2)x2－xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－3xy＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30.(3)(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.12．解：(1)原式＝abc(2a2b＋4b2－1)．(2)原式＝(x＋2)2.(3)原式＝(2a＋b)(2a－b)＋2b(2a＋b)＝(2a＋b)(2a－b＋2b)＝(2a＋b)2.(4)原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x＋1)(x－1)．(5)原式＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2.13．解：由(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，可得x2＋2xy＋y2＝5①，x2－2xy＋y2＝3②.①－②得4xy＝2，∴xy＝1 2.∴3xy－1＝3×12－1＝12.14．解：(2n＋1)2－1＝[(2n＋1)＋1][(2n＋1)－1]＝2(n＋1)·2n＝4n·(n＋1)．因为n是整数，所以n与n＋1是两个连续的整数，而两个连续的整数中必有一个偶数，所以n·(n＋1)能被2整除，所以4n·(n＋1)能被8整除．故(2n＋1)2－1能被8整除．点拨：要说明(2n＋1)2－1能被8整除，只要将此式因式分解，说明各因式的积能被8整除即可．15．7516．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(a－c)(1＋2b)＝0.∵1＋2b＞0，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．17．解：∵4x2＋8x＋11＝4(x2＋2x＋1)＋7＝4(x＋1)2＋7，且(x＋1)2≥0，∴4(x ＋1)2＋7≥7.即无论x取何值，4x2＋8x＋11的值都是正值．18．A19.A20．解：设2 015＝a，则原式＝a3－(a－1)·a·(a＋1) ＝a3－a(a2－1)＝a3－a3＋a＝a＝2 015.。
新华东师大版八年级数学上册《12章 整式的乘除 12.2 整式的乘法 单项式与多项式相乘》优质课教案_5
§12.2 .2整式的乘法单项式与多项式相乘教学目标：1.掌握单项式与多项式相乘的法则2.熟练运用单项式与多项式相乘的法则教学重点：掌握单项式与多项式相乘的法则教学难点：熟练运用单项式与多项式相乘的法则教学过程一复习检查：1.你还记得吗？单项式与单项式相乘的法则2.计算 (-ab2)(-5a3b5c2)二新课1.算一算：见课件第三张2.看图计算面积见课件第四张引出本节课题《单项式与多项式相乘》并总结单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加3. 例1 计算ab ab ab 212322∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-例2 计算例 3 计算三 巩固练习判断2321112.(2)1222a a a a a ++=++-2a 2·(ab+b 2)-5a(a 2b-ab 2)(-4x)·(2x 2+3x-1)； 1.m(a+b+c+d)=ma+b+c+d3.(-2x)•（ax+b-3)=-2ax 2-2bx-6x填空1.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的（），再把所得的积（）.2.2.4（a-b+1)=3.3x（2x-y2)=4.-3x（2x-5y+6z)5.(-2a2)（-a-2b+c)小试身手1.(3x2y-xy2)·(-3xy)2.(-2ab)(5a2b–2b3_2)3四总结单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.几点注意：1.单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负.3.不要出现漏乘现象。
五作业：课本。
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课堂教学设计（首页）
学 科 数学 年 级 八年级 备课者 使用者
课 题 面积与代数恒等式 课 型 新授
使用 时间 第一课
时
教
学
分
析
教材 分析 第十二章的学习中，我们接触了很多代数恒等式，也从几何图形的面积关系中认识了一些代数恒等式。因此，教材在本章后安排了这一
课题学习，意在让学生能真正理解并掌握一些代数恒等式，从而进一步
巩固所学的乘法公式，加深对公式的几何背景的理解。
学情
分析
本节课的教学对象是八年级学生，学生们已经熟练掌握了整式乘法
的法则和公式并能够灵活应用，对法则和公式的图形验证方法有一定了
解，但是学生对此内容的活动经验有限，因此，在此类问题的研究目的
和研究方法上认识不足。另一方面，本班学生由七年级开始已经积累了
丰富的小组合作学习的活动经验，组员之间能够很好的合作沟通与交
流，为本节课的探究活动提供了良好的帮助。
教
学
目 标 知识 与 能力 1、代数恒等式，会利用图形的面积来说明它的正确性； 2、体会数量关系与图形之间的内在联系，了解一些代数恒等式的几何背景，体会它们的几何意义； 3、通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式； 4、引导学生体会代数式与图形之间的联系，以及几何背景，体会它们的几何意义 过程
与
方法
经历探索、讨论、交流、应用数学知识解释有关问题的过程，从中
体会数学的应用价值，发展自己的思维能力，获得一些研究问题、解决
问题的经验和方法，并尝试用语言叙述出来；
情 感
态 度
价值观
通过成功的体验获得和克服困难的经历，增进应用数学的意识以及
学好数学的信心。
教学重点难点 重点：引导学生利用几何图形的面积关系归纳出代数恒等式；用几何图形的面积
关系说明代数恒等式的正确性.
难点：对问题的观察与探索的方向的把握．
课前准备 教具准备 多媒体课件、电子白板、投影仪。
学具准备 硬纸片
自 学 指 导
自学课本51页的内容，回答下列问题：
1.根据你的学习经验，说一说什么是代数恒等式？举例说明.
2.你能用图形面积来说明代数恒等式的正确性吗？
如有疑问，可请教同桌或举手问老师，3分钟后比谁先完成上面问题
教 学 过 程 设 计 二次备课
一、新课导入
今天我们来一起学习新的课题研究《面积与代数恒等式》
二、出示目标
学习目标
1. 理解代数恒等式的概念及几何意义,体会代数式与图形面积之间的联系.
2.经历探索、讨论、交流、应用数学知识解释有关问题的过程，从中体会数
学的应用价值．
自学指导
自学课本51页的内容，回答下列问题：
1.根据你的学习经验，说一说什么是代数恒等式？举例说明.
2.你能用图形面积来说明代数恒等式的正确性吗？
如有疑问，可请教同桌或举手问老师，3分钟后比谁先完成上面问题
在前面的学习中，大家接触了许多等式和公式等，例如
a.b=ab,a(a+b)=a2+ab,(a+b)(m+n),（a+b）（a－b）=a2－b2，（a-b）2=a2-2ab+b2,
（a+b）2=a2+2ab+b2等，这些等式都称为代数恒等式．
我们可以用直观的几何图形表形象地表现出有些代数恒等式，例如课本
P51•图1，可以表示（2a）2=4a2，图2可以用来表现（a+b）2=a2+2ab+b2等，
•还可以有许许多多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确
性．
三、问题组学习
问题组一： 如何用代数恒等式表示几何图形的面积
用多种方法表示图1的面积 ：
学生自主学习：利用面积的不同表示法写出图5的一个代数恒等式来．
当堂检测（一）
请写出图中所表示的代数恒等式
学生自主学习：在前面问题的解决后，总结方法独立完成
点评：根据面积的恒等关系写出代数式
问题组二： 如何画几何图形验证恒等式成立
试画出一个 几何图形，使它的面积能表示：
222
()2abaabb
小组合作：学生利用准备好的三种硬纸片，完成拼图内容
当堂检测（二）
1.有若干张如图10所示的正方形和长方形卡片，问选用若干张卡片拼成面积
为 的大长方形，则需卡片A 张，卡片B
张，卡片C 张。
2、试画出一个几何图形利用图形面积表示
22
(2)()23ababaabb
教师活动：操作投影，提出问题．
学生活动：动手实践，讨论．
这是一个开放性较强的问题，应打开思路，体现任意性．
这一问题实际上是对前面所做的问题的一个理性的思考，主要是通过自
主探索找到可以接受的答案．
思考
用你手中的三种硬纸板若干，拼出一个长方形或正方形，并写出相应的
代数恒等式，与同伴交流思考的过程。
点评：这是一个具有一定的开放性的操作题，用几张硬纸片拼图，是拼
成长方形还是正方形？应让学生根据需要进行选择，但是做出的图形必须是
能说明所学的乘法公式或某些幂的运算公式的正确性．
四、课堂小结
1．学完本节课内容你在运用数形结合的探究方面有何体会？
2．是否每一个代数恒等式都能用几何面积图形表示出来？举例说明？
五、作业布置
《导学方案》 第一课时
平顺二中课堂教学设计（尾页）
当
堂
训
练
当堂训练（一）
1、请写出图中所表示的代数恒等式.
当堂训练（二）
1.有若干张如图10所示的正方形和长方形卡片，选用若干张卡片拼成面积为
的大长方形，则需卡片1 张，卡片2 张，卡片3 张。
2、试画出一个几何图形利用图形面积表示
课
堂
小
结
1.代数与图形之间的联系.
2. 代数恒等式的几何背景以及它们的几何意义.
3.学习了拼图,并用拼成的图形来说明一些所学的乘法公式及某些幂的运算公式的
正确性.
巩
固
提
升
1、用你手中的三种硬纸板若干，拼出一个长方形或正方形，并写出相应的代数恒
等式，与同伴交流思考的过程。
板
书
设
计
面积与代数恒等式
教
学
反
思
22
(2)()23ababaabb