3-4边缘分布
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
概率论-2-6边缘分布
PY
yj
PX
xi ,Y
yj
pij,
j 1,2,
i 1
i 1
即 离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律 定义1 设(X,Y) 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,
则(X,Y)关于X的边缘分布律为
P{ Xxຫໍສະໝຸດ }P{X xi ,
y }
pij pi i 1, 2,3,
§2.6 边缘分布
二维联合分布全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
这一节里,我们就来探求这个问题 .
一、离散型随机变量( X,Y )的边缘分布律
设(X,Y) 的分布律 及边缘分布律 为
XY x1 x2 … xi …
3 0
2 x
24 13
xdy,
1x3
2
2
0,
其他
即
24 13
x,
0 x1 2
fX (x)
24 13
x(3 2
x),
1x3
2
2
0,
其他
解
fY ( y) f ( x, y)dx
03
2
y
24 13
xdx
12 (3 13 2
y)2,
0 y1
0,
其他
正确答案：D
正确答案：C
注意 由（X,Y）的联合分布律就能确定（X,Y） 关于X，关于Y的边缘分布律；同样，由（X,Y）的 联合概率密度就能确定（X,Y）关于X，关于Y的边 缘密度。由此可见，边缘分布由联合分布唯一确定， 反之不成立。即一般来说，单由X，Y各自的分布 是不能确定（X,Y）的联合分布的.
概率论与数理统计正态分布4-3二维正态分布课件
二维正态分布的应用场景
金融领域
在金融领域中，二维正态分布常 用于描述股票价格或其他金融变 量的联合分布，帮助投资者进行 风险评估和投资组合优化。
自然学科
在物理、化学、生物等自然学科 中，二维正态分布可用于描述实 验数据的误差分布、气象数据的 联合概率分布等。
概率论与数理统计正态分 布4-3二维正态分布课件源自目录CONTENTS
• 二维正态分布概述 • 4-3二维正态分布特性 • 4-3二维正态分布的性质 • 4-3二维正态分布的统计推断 • 4-3二维正态分布的实际应用
01 二维正态分布概述
二维正态分布的定义
二维正态分布是概率论与数理统计中 一种重要的概率分布，描述了两个随 机变量之间相互独立且具有相同的正 态分布关系。
03
4-3二维正态分布描述了两个随机变量之间线性关系 的情况。
4-3二维正态分布的数学表达式
1
4-3二维正态分布的数学表达式为f(x1, x2) = (1 / (2πσ1σ2)) * exp(-((x1-μ1)^2/2σ1^2 + (x2μ2)^2/2σ2^2))。
2
该表达式描述了两个随机变量x1和x2的概率密度 函数，其中μ1, μ2, σ1^2 和σ2^2是常数。
方差齐性检验
通过检验各组数据的方差是否相等，判断数据是 否满足方差分析的前提条件。
方差分析表
列出各组数据的均值、方差、自由度和贡献度等 信息，用于比较不同组之间的差异。
05 4-3二维正态分布的实际 应用
在金融领域的应用
资产定价
二维正态分布可以用于资产定价模型，例如Black-Scholes模型， 以评估衍生品的价值。
北邮概率论与数理统计3.2边际分布
§3.2 边缘分布二维随机向量),(Y X 的联合分布（联合分布函数或联合分布列或联合概率密度）完整地刻画了随机变量X 和Y 作为一个整体的概率分布规律。
为应用方便，我们还需要从这个完整的信息中挖掘出某些方面的信息。
这个完整的信息中包含如下信息：（1）每个分量（或部分分量）的概率分布，即边缘分布。
（2）各分量之间的统计联系。
本章将要介绍的随机变量的独立性，及条件分布以及下一章介绍的相关系数就是用来反映和描述他们的统计联系.一．边缘分布 1.边缘分布函数设二维随机向量),(Y X 具有联合分布函数为),(y x F ，而X 和Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为)(x F X 和)(y F Y ,依次称为为),(Y X 关于X 和关于X 的边缘分布函数. 由概率的性质可得),(),(lim },{}{+∞==∞<≤=≤∆+∞→x F y x F Y x X P x X P y可见由),(Y X 的联合分布函数),(y x F 可以X 的边缘分布函数: ),()(+∞=x F x F X (1) 类似地可得),(Y X 关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞= (2) 例3.2.1 设二维随机向量),(Y X 的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=λ-----其他,00,0,1),(y x e e e y x F xy y x y x这个分布称为二维指数分布，其中参数0≥λ，求边缘分布函数。
解：易得X ，Y 的边缘分布函数分别为⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(x x e x F x F x X⎩⎨⎧<≥-=+∞=-0,00,1),()(y y e y F y F y Y这两个边缘分布同为指数分布，且与参数λ无关。
这说明边缘分布确定不了联合分布。
也说明联合分布中不仅含有每个分量的信息，还含有各分量之间统计联系方面的信息。
2．边缘分布律如果),(Y X 为二维离散型随机向量，那么它的每个分量都是离散随机变量。
2 二维离散型随机变量的分布律及性质
6
二、 二维离散型随机变量的边缘概率分布
二维随机变量 ( X , Y ) 作为一个整体，具有分 布函数 F ( x, y ) ,而 X和 Y 都是随机变量，也分别具 FY ( y) ．依次称为二维 有分布函数，记之为 F ( x) ， 随机变量 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数．边 缘分布函数可以由 ( X , Y )的分布函数 F ( x, y ) 所确定， FX ( x) P{X x} P{X x, Y } F ( x, ) 事实上 FX ( x) F ( x, ) 即 （2.2） FY ( y) F (, y) 同理 （2.3） 对离散型随机变量，由（2.1）和（2.2） 可得： F ( x) F ( x,) p
pij
pi
,
j 1, 2,
(2.5)
且
(1) P{Y y j X xi } 0,
j 1,2,
(2)
j 1
pij
1 pi p i
i 1
pij
pi 1 pi
i 1,2,,
14
例3 设二维离散形随机变量 ( X , Y ) 的概率分布如表3-7, 求 Y 1 时关于 X 的条件概率分布及 X 0 时关于 Y 的 条件概率分布。
F ( x, y )
xi x y j y
P{ X x , Y y } p
i j xi x y j y
ij
(2.1)
5
例 1 一口袋中有三个球，它们依次标有数字1、2、2.从这 袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球. X 设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同．以 、 Y 分别记第一次、第二次取得球上标有的数字，求 ( X , Y )的概率分布．
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系1 联合分布联合分布是指两个或多个随机变量同时出现时的概率分布，通过联合概率密度函数或联合概率质量函数来描述。
它描述了两个或多个随机变量的变化趋势和相关性。
联合分布通常被用于描述两种或以上的变量之间的关系，例如X和Y的关系。
2 边缘分布边缘分布是指从联合分布中推导出来的某个随机变量的概率分布，可以通过联合分布来求出。
边缘分布描述了单个随机变量的变化趋势，与其他随机变量无关。
在具体计算过程中，可以通过边缘概率密度函数或边缘概率质量函数来描述单个随机变量的分布。
例如，在二元联合分布中，计算出X 的边缘分布，将另一个随机变量的取值范围积分掉即可。
3 条件分布条件分布是指当已知某一个或几个随机变量的取值时，另一个或其他随机变量的概率分布，是建立在已有的数据基础上的一种条件概率分布。
其计算方式为联合分布除以相关随机变量的边缘分布。
条件分布也可以用条件概率密度函数或条件概率质量函数来表示。
条件分布在实际应用中非常广泛，例如计算出当已知某一变量取值时其他变量发生的概率，可以用于决策分析、风险识别等。
4 联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系联合分布、边缘分布和条件分布是统计学中非常重要的概念，在实际应用中它们常常紧密结合在一起。
它们之间的关系可以总结为以下几个方面：1. 联合分布是由边缘分布和条件分布相结合得到的。
2. 边缘分布是从联合分布中推导出来的，而条件分布则是从边缘分布中推导出来的。
3. 联合分布、边缘分布和条件分布是三种不同的描述方式，但它们所描述的概率分布是一致的。
4. 在具体计算中，可以通过联合分布转换成边缘分布和条件分布进行计算。
可以根据需要，选择不同的概率分布进行计算和分析。
总之，联合分布、边缘分布和条件分布是三种不同的概率分布描述方式，在统计学中具有非常广泛的应用，对于数据的分析和建模具有非常重要的意义。
《概率论》第3章§2边缘分布解析
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
例 设随机变量 X 和Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
y
(1,1)
当 0 x 1时,
y x
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
j 1
i 1
2020年11月24日星期二
§2 边缘分布
6/29
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设
2020年11月24日星期二
例 设( X ,Y ) 的联合密度为
f
(x,
y)
kxy,
0,
0 x y,0 y 1, 其他
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度与边缘分布函数
1
0.5
y
dy 1 y
8xydx
5
/
6.
y
1
y=x
yy 11
0.5 00
y y==x x xx
0
0.5
2020年11月24日星期二
P( X 0.5)
x
0.5
1
0 dxx8xydy 7 /16.
的分段区域 y
x0
CH3 第2节 边缘分布
一个值 . 设 D = D( N ) 是能整除 N 的正整数的个数 , F = F ( N ) 是能整除 N 的素数的个数 .试写出 D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解
样本点
D F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 0 1 2 1
3 1
2 1
4 2 2 1
4 1
3 1
4 2
∞ −∞
y− µ2 x− µ1 − −ρ σ1 2 1− ρ2 σ2 1
2
)
dy
y − µ2 x − µ1 令 t= −ρ , 则有 2 σ1 1 − ρ σ2 1
1 fX ( x) = e 2πσ1
( x− µ1 )2 − 2 2σ1
1 ∫−∞e dt = 2πσ e 1
同理可得 Y 的边缘分布函数
FY ( y ) = F ( ∞ , y ) =
∫−∞ ∫−∞ f ( x , y ) d x d y ,
fY ( y) = ∫ f ( x, y)d x.
−∞ +∞
+∞
Y 的边缘概率密度 的边缘概率密度.
例3
设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x 2 ≤ y ≤ x , f ( x, y) = 0, 其他 . 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ) .
FX ( x) = P{ X ≤ x}= P{ X ≤ x,Y < +∞} = F ( x, +∞) F ( y) = P{Y ≤ y} = P{ X < +∞,Y ≤ y} = F ( +∞, y) Y
二、离散型随机变量的边缘分布律
3.2边缘分布与独立性
j
如下表：
Xa1 Y
ai
p j
b1 b2
p p
11
12
p p
i1
i2
p p
1
2
bj
p 1j
p ij
p j
p i
p 1
p i
1
例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量：
X
1
第一次取出白球
Y
1
第二次取出白球
0 第一次取出黑球
0 第二次取出黑球
试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
可推广到多维的情况.
f (x, y)
2
1
2
1
x
exp -
1
2(1 -
2
)
2 2
xy
y2
(-
x,
y
)
求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.
解：
f
( x)
X
f
(x,
y)dy
1
2 1
2
exp -
1
2(1-
2
)
x2 2
xy
y2 dy
x2
2
xy
y2
(y
2
x)
2
x
22