排列组合与二项式定理
高三数学应知应会讲义八：排列组合与二项式定理复习教案
排列组合和二项式定理1．会根据两个原理解决有关分配决策的问题〔要正确区分分类和分步〕(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有〔〕A. 15种B. 8种C. 53种D. 35种(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，那么不同的分配方案有_______种．(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有〔〕A. 1260种B. 2025种C. 2520种D. 5040种2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题〔1〕不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，那么不同的排法种数共有〔〕A．12种 B．20种 C．24种 D．48种〔2〕5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为〔〕A．48 B．54 C．60 D．66〔3〕用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.〔用数字作答〕3.会求某些元素按指定顺序排列的问题〔1〕七个人排成一行，那么甲在乙左边〔不一定相邻〕的不同排法数有_________种．〔2〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.〔用数字作答〕〔3〕今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不同的方法〔用数字作答〕.4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题〔1〕从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，那么不同的取法共有〔〕A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种〔2〕将9个人〔含甲、乙〕平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为〔〕A ．70B ．140C ．280D ．8405.会解其它有限制条件的排列组合问题 (要注意使用最常用、最本原的方法------列举法)〔1〕在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( ) A. 36个B. 24个C. 18个D. 6个〔2〕电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么共有 种不同的播放方式〔结果用数值表示〕.〔3〕以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是〔 〕A ．34CB ．1387C C C ．1387C C -6 D ．4812C -〔4〕同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有〔 〕A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种〔5〕设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，那么这样投放的方法总数为 ( )A. 20B. 30C. 60D. 120〔6〕用六种不同颜色，给图中A 、B 、C 、D 、四块区域涂色，允许同一种颜色涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色，共有________种不同的涂法.6.会将所给的二项式展开或合并(1)计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x ＝___________.(2)设*∈N n ,那么=++++-12321666n n n n n n C C C C _____________.7.会求二项式的展开式的指定项〔要注意区分“第n 项〞、“第n 项的系数〞、“第n 项的二项式系数〞等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题〕(1)假设2)nx8项，那么展开式中含1x的项是〔 〕 A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项(2)假设()521x -展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，那么实数x 的取值范围是〔 〕A. x >101-B. 101-<x ≤0C. 41-≤x <101-D. 41-≤x 0≤(3) 设k =1,2,3,4,5, 那么(x +2)5的展开式中kx 的系数不可能是( C)A . 10B . 40C . 50D . 80(4)在〔1＋x 〕＋〔1＋x 〕2＋……＋〔1＋x 〕6的展开式中，x 2项的系数是 .〔用数字作答〕.(5)5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等，那么cos θ＝_________．(6)843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .(7)10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 A. 0 B. 2 C. 4 D. 68.会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题 (1)如果3nx ⎛⎫- ⎝的展开式中各项系数之和为128，那么展开式中31x 的系数是〔 〕 A. 7 B. 7- C. 21 D. 21-(2)在〔x〕2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于〔 〕A.2B.-23008C.23009D.-23009(3) 假设1021001210(2)x a a x a x a x -=++++，那么那么① 01210a a a a +++⋅⋅⋅+= ______________; ② 1210a a a ++⋅⋅⋅+=__________________; ③ 0123910a a a a a a -+-+-+=_____________;④ 8a =___________.。
高考数学基础知识梳理：排列组合与二项式定理新人教A版
高考数学基础知识、常有结论详解九、摆列 合与二 式定理1. 数原理①加法原理： N=n+n +n +⋯ +n M ( 分 )②乘法原理： N=n ·n·n·⋯ n ( 分步 )123123M2. 摆列（有序）与 合（无序）mn! An=n!A =n(n －1)(n － 2)(n － 3) ⋯ (n － m+1)=n n( n m)!C m = n( n 1)(n 2) ( n m 1)n!nm!(n m)! m!C n m = C n n－mC n m ＋ C n m ＋1= C n+1m+1 k?k!=(k+1)! － k!3. 摆列 合混淆 的解 原 ：先 后排，先分再排摆列 合 的主要解 方法： 先法：以元素 主， 先 足特别元素的要求，再考 其余元素 . 以地点 主考 ，即先 足特别地点的要求，再考 其余地点 .捆 法（集 元素法，把某些必 在一同的元素 一个整体考 ） 插空法（解决相 ）接法和去 法等等在求解摆列与 合 用 ， 注意：(1) 把详细 化或 摆列或 合 ；(2) 通 剖析确立运用分 数原理 是分步 数原理； (3) 剖析 目条件，防止“ 取” 重复和 漏；(4) 列出式子 算和作答 . 常运用的数学思想是：①分 思想；② 化思想；③ 称思想.4. 二 式定理：① (a+b)n0 x+C 1 n － 1 12 n － 2 23 n － 3 3rn － r r +⋯+Cn － 1n －1n n=C aab + Cab + Cab +⋯ + Cabn ab+ Cbnn nnnnn1 2 2r rn n特 地： (1+x) =1+C x+C x +⋯ +C x +⋯+C xnnnn②通 第r+1：r n － r r作用： 理与指定 、特定 、常数 、有理 等相关T r+1 = C n a b 。
③主要性 和主要 ： 称性mn － mC n =C n最大二 式系数在中 。
高一数学排列组合二项式定理及其应用分析总结归纳
02
二项式定理及其应用
二项式定理的展开式
二项式定理：(a+b)^n = a^n + n*a^(n-1)*b + n*(n-1)/2*a^(n-2)*b^2 + ... + b^n 展开式特点：每一项的系数是n的阶乘除以(n-k)的阶乘 展开式应用：求解组合问题、概率问题、数列问题等 展开式计算：利用公式进行计算，注意系数和指数的变化规律
多项式定理的应用：在数学、 物理、工程等领域有广泛应用
多项式定理的证明：通过数学 归纳法进行证明
多项式定理的推广：将二项式 定理推广到更高阶的多项式
二项式定理的扩展形式
二项式定理的推广：从n次方推广到任意次方 二项式定理的拓展：从整数推广到实数 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到多项式定理 二项式定理的推广和拓展：从二项式定理推广到组合定理
用
期望值：二项 式定理在期望 值计算中的应
用
方差：二项式 定理在方差计
算中的应用
在统计学中的应用
概率计算：二项式定理可以用于计算概率，例如计算抛硬币、掷骰子等事件的概率。 统计推断：二项式定理可以用于统计推断，例如进行假设检验、参数估计等。 统计模型：二项式定理可以用于建立统计模型，例如建立线性回归模型、逻辑回归模型等。 数据分析：二项式定理可以用于数据分析，例如进行数据清洗、数据可视化等。
计算期望：二项 式定理可以用来 计算期望，如 E(X) = Σ[k * P(X=k)]
在代数中的应用
求解多项式方 程：利用二项 式定理求解多
项式方程
求函数值：利 用二项式定理
求函数值
求极限：利用 二项式定理求
极限
求导数：利用 二项式定理求
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 第1课时 组合及组合数公式
数?
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式,有多少种选法?
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长,有多少种选法?
解析 对于A选项,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作,将2
人选出后,还要安排导游或翻译的工作,与顺序有关,这个问题为排列问题;
名师点睛
1.排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组
合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.
2.组合与组Biblioteka 数的区别目录索引基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.
正确认识组合与排列的区别与联系
课程标准
2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列
数与组合数之间的联系.
3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化
多少种.
1
解 因为一共有2件次品,至多有1件正品即恰有1件正品,故抽法有 C98
=98种.
规律方法 解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事.
(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题.
(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.
变式训练3[2024甘肃白银高二期末]课外活动小组共13人,其中男生8人,女
选2人参加服务,则( AD)
专题04 排列组合与二项式定理(解析版)--高二数学专题解析
专题04排列组合与二项式定理--高二数学专题解析知识点一：排列1：排列≤)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不（1）定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m n同元素中取出m个元素的一个排列.（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2：排列数与排列数公式1：组合（1）定义：一般地：从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.（3）组合与排列的异同≤)个元素”.相同点:组合与排列都是“从n个不同的元素中取出m(m n不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.2：组合数与组合数公式（1）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m n≤)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元3：组合数的性质b一、单选题1．在()5232x x ++的展开式中x 的系数是（）A ．160B ．180C ．240D ．210【答案】C【分析】根据二项式的定义可知有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，即可得解.【详解】在()5232x x ++的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式中取2，1个因式中取3x 项，故x 的系数为445C 32240⨯⨯=．故选：C7．高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法．【答案】3600【答案】20【分析】根据题意，先对【详解】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取，又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序，所以共有663333A20 A A=故答案为：20.13．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．x16．（多选题）若()32+n x（=20．（多选题）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A ．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有20种B ．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有78种C ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种D ．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种【答案】BCD【分析】对于A ：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B ：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C ：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D ：先将学生安排出去，再排除有小区没有人去的可能.【详解】对于选项A ：可知有三种可能：甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有12222222C A A A 16=种；甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有12161240++=种，故A 错误；对于选项B ：可知有四种可能：甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有33A 6=种；甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有1333C A 18=种；甲不在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有2333A A 36=种；不同的排法共有618183678+++=种，故B 正确；对于选项C ：若甲、乙相邻，则不同的排法有2424A A 48=种；若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有2323A A 12=种；不同的排法共有481236-=种，故C 正确；对于选项D ：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有53243=种；若有小区没有人去，则有两种可能：所有人去了一个小区，则不同的排法有13C 3=种；所有人去了两个小区，则不同的排法有()25132C 2C 90-=种；不同的排法共有()243390150-+=种，故D 正确；故选：BCD.21．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有__________．原理即可得出答案.【详解】首位是1，第二位是0，则后三位可以用剩下的数字全排列，共有33A 6=个，前两位是12，第三位是0，后两位可以用余下的两个数字进行全排列，共有22A 2=种结果.前三位是123，第四位是0，最后一位是4，只有1种结果，∴数字12340前面有6+2+1=9个数字，数字本身就是第十个数字.故答案为：10.27．重新排列1，2，3，4，5，6，7，8．(1)使得偶数在原来的位置上，而奇数不在原来的位置上，有多少种不同排法？(2)使得偶数在奇数的位置上，而奇数在偶数的位置上，有多少种不同的排法？(3)使得偶数在偶数位置上，但都不在原来的位置上；奇数在奇数位置上，但也都不在原来的位置上，有多少种不同的排法？(4)如果要有数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(5)如果只有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(6)如果至少有4个数在原来的位置上，有多少种不同的排法？(7)偶数在偶数位置上；但恰有两个数不在原来位置上，奇数在奇数位置上，但恰有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？(8)偶数在偶数位置上，且至少有两个数不在原来位置上；奇数在奇数位置上，也至少有两个数不在原来位置上，有多少种不同排法？【答案】(1)9；(2)576；(3)81；(4)25487；(5)630；(6)771；(7)36；(8)225.【分析】（1）利用匹配问题错排公式求解；（2）利用乘法分步原理求解；（3）利用匹配问题求解；（4）用排除法．对8个数进行全排列，再减去没有数在原来的位置上的排法，即得解；（5）利用乘法分步原理求解；（6）用排除法．先对8个数进行全排列，再去掉恰有i 个数在原来位置上的排法()0123i =,,,，即得解；（7）利用匹配问题和分步乘法原理得解；。
高二数学排列组合与二项式定理试题答案及解析
高二数学排列组合与二项式定理试题答案及解析1.…除以88的余数是（）A．－1B．－87C．1D．87【答案】C【解析】根据题意，由于…=（1-90）10=8910=（88+1）10，展开式可知展开式的最后一项不能被88整除，可知答案为C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的逆用，属于基础题。
2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．30种B．24种C．12种D．6种【答案】B【解析】第一步：从4门课程中选1门相同有种选法；第二步：让甲从剩下的3门中再选1门，选法有种；第三步：再让乙从剩下的2门中选1门，选法有种，所以所求的选法有。
故选B。
【考点】分步乘法计数原理点评：分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……，做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.3.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的箭头表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点A向结点G传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递。
则单位时间内传递的最大信息量为（）A．31B．6C．10D．14【答案】B【解析】信息传递，可有三条路线，每条路线上通过的信息量均为2 ，所以，单位时间内传递的最大信息量为6 ，选B。
【考点】本题主要考查阅读理解能力，分类讨论思想。
点评：简单题，看似复杂，实际上，关键是理解题意，看各条“路线”上，传递信息的最大值之和。
4.由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有个（用数字作答）．【答案】48【解析】由题意先排个位，从1,5两个数中随便取一个有，然后再用剩余的四个数字排前面四个位置有，∴由分步原理可知由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有个【考点】本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题5.设为奇数，则除以9的余数为．【答案】【解析】∵，∴除以9的余数为7【考点】本题考查了二项式定理的运用点评：对于余数问题一般是把式子拆开，然后利用二项式定理展开求余数，属基础题6.有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有种.（用数学作答）【答案】50【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，∵每项活动最多安排4人，∴可以有三种安排方法，即（4，2）（3，3）（2，4）当安排4，2时，需要选出4个人参加共有=15，当安排3，3，时，共有=20种结果，当安排2，4时，共有=15种结果，∴根据分类计数原理知共有15+20+15=50种结果，故答案为：50【考点】分类计数问题点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果7.的展开式中，的系数是（）A．B．C．297D．207【答案】D【解析】由题意可知，的系数即为【考点】本小题主要考查二项展开式的应用.点评：解决二项式问题一般离不开展开式的通项公式，要灵活应用.8.两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是1∕70”．根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（）A．21B．35C．42D．70【答案】A【解析】设参加面试的人数为n，由题意可知，解得n=21.【考点】本小题主要考查排列组合在实际问题中的应用.点评：准确理解题意，准确计算是解决此类问题的关键.9.（本小题满分12分）已知二项式(N*)展开式中，前三项的二项式系数和是，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）展开式中的常数项．【答案】（Ⅰ）10 （Ⅱ）【解析】(Ⅰ)…… 2分(舍去)．………… 5分(Ⅱ) 展开式的第项是，，………… 10分故展开式中的常数项是．……… 12分10.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的实验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A、甲B、乙C、丙D、丁【答案】D【解析】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选D．11.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种.故选B．12.平面上有相异10个点，每两点连线可确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形个数的，若无任意四点共线，则这10个点的连线中有且只有三点共线的直线的条数为__________条．【答案】3【解析】【考点】排列、组合及简单计数问题。
第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部
第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部第十一章排列、组合和二项式定理1.排列数公式mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。
(nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1.Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①CnmCnnm；1②CnmCnm1Cnm1；kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!；n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：CB90）⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同涂法；（答：480）⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射，且f(a)f(b)f(c)，则不同的映射共有个；（答：7）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
二项式定理与组合数学
二项式定理与组合数学在高中数学中，我们学习了很多数学定理和概念，其中二项式定理和组合数学是我们经常接触到的两个重要知识点。
本文将详细介绍二项式定理和组合数学，并探讨它们在数学领域中的应用。
一、二项式定理的表述二项式定理是一种展开表示二项式幂的公式，它通常用于展开(x + y)^n的形式。
根据二项式定理，我们可以得出以下等式：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + C(n,2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示选择k个元素的组合数。
组合数的计算方法可以通过下面的公式得出：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二、组合数学的概念组合数学是一门研究选择、排列和组合的数学学科。
在组合数学中，我们关注的是从给定集合中选择或排列对象的方式和数量。
组合数学中的基本概念包括排列、组合和二项式系数等。
排列指的是从给定的n个元素中选择k个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。
排列数可以通过下面的公式进行计算：P(n,k) = n! / (n-k)!组合指的是从给定的n个元素中选择k个元素，但不考虑元素的顺序。
组合数可以通过下面的公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式系数即为二项式定理中的C(n,k)，它表示选择k个元素的组合数。
三、二项式定理与组合数学的应用1. 组合数学在概率论中的应用概率论是研究随机事件发生的可能性的一门学科，而组合数学在计算概率时发挥着重要作用。
例如，在排列组合中，我们可以用组合数计算从一副扑克牌中抽取一手牌的可能性。
2. 二项式定理在代数中的应用二项式定理在代数中常用于展开多项式，研究多项式的性质。
通过二项式定理，我们可以快速计算(x + y)^n的展开式。
这在代数运算中非常有用，特别是在多项式乘法、多项式函数的求导和积分等操作中。
【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》教案设计
排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理本章总结提升pptx课件新人教B版选择性必修第二册
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一
两个计数原理的应用
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础,在进行
计数过程中,常因分类不明导致增(漏)解,因此在解题中既要保证类与类的
互斥性,又要关注总数的完备性.
2.掌握两个计数原理,提升逻辑推理和数学运算素养.
置),这样相当于7个“×”选4个来排,一共有 A47 =7×6×5×4=840种.
根据分步乘法计数原理,一共有720×840=604 800种.
(3)若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 A12
12 种排法,但原来的节目已定
A12
12
好顺序,需要消除,所以节目演出的顺序有 10 = A212 =132种排法.
解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步
乘法计数原理,知共有选法36=729种.
(2)每项报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种
选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原
理,得共有报名方法6×5×4=120种.
(3)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人
A10
规律方法 1.处理排列组合应用题的一般步骤
(1)认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合
问题.
(2)抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”.
2.处理排列组合应用题的规律
(1)两种思路:直接法,间接法.
(2)两种途径:元素分析法,位置分析法.
参赛,由分步乘法计数原理,得共有不同的报名方法63=216种.