正余弦定理1课件
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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
第7节正弦定理和余弦定理--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
2= b2+c2-2bccos A
a
,
sin
b2=a2+c2-2accos B,
公式 =
= sin =2R
c2= a2+b2-2abcos C
考点一 利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量
例1(1)(2024·湖南长郡、雅礼等名校联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分
别为 a,b,c,且满足(b-c)2-a2=-bc,若 a=√3,则△ABC 外接圆的半径长为( B )
A.√3
C.√2
B.1
1
D.2
解析 由(b-c) -a =-bc,得 b +c -a =bc,再由余弦定理,得 cos
是等边三角形.
,所以
b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所
2 +2 -2
A= 2
=
2
=
1
.因为
2
A∈(0,π),所
[对点训练2](2024·浙江温州十五校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边
分别为a,b,c,若c<bcos A,则△ABC为( A )
A.钝角三角形
AD=sin60°=2,在△ACD 中,由余弦
定理,得 AC2=AD2+CD2-2AD·
CDcos∠ADC=22+32-2×2×3×cos 120°=19,所以
2.6.1余弦定理与正弦定理-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
=b2-2bccosA+c2，
即a2= b2+c2-2bccosA.
A
b
c
B
a
C
课文精讲
➢ 余弦定理
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他
两边的平方和减去这两边与它们
夹角余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
课文精讲
➢ 余弦定理
解：假设经过t h，台风中心到达点C.在△ABC
北
D
中，AB=300 km， AC=250 km，
C
东
BC=40t km，B=45°.
A
B
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
中线段BD的长度及∠DAB的大小.(长度精确到
0.1，角度精确到1°)
解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°，
A
2
2
2
BD =BC +CD -2BC·CDcos∠BCD
1
B
12+12-2×1×1cos135°=2+ .
所以BD≈1.8.
1
D
1 C
典型例题
例2：如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构
余弦定理与正弦定理
授课教师：
温故知新
向量长度的计算
利用数量积计算
长度与角度
向量夹角的计算
学习目标
即a2= b2+c2-2bccosA.
A
b
c
B
a
C
课文精讲
➢ 余弦定理
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他
两边的平方和减去这两边与它们
夹角余弦的积的两倍，即
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
课文精讲
➢ 余弦定理
解：假设经过t h，台风中心到达点C.在△ABC
北
D
中，AB=300 km， AC=250 km，
C
东
BC=40t km，B=45°.
A
B
典型例题
例6：台风中心位于某市正东方向300 km处，
正以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台
风中心250 km范围内将会受其影响.如果台风
风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响?
中线段BD的长度及∠DAB的大小.(长度精确到
0.1，角度精确到1°)
解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°，
A
2
2
2
BD =BC +CD -2BC·CDcos∠BCD
1
B
12+12-2×1×1cos135°=2+ .
所以BD≈1.8.
1
D
1 C
典型例题
例2：如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构
余弦定理与正弦定理
授课教师：
温故知新
向量长度的计算
利用数量积计算
长度与角度
向量夹角的计算
学习目标
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】
cos B＝____2_a_c____； a2＋b2－c2
cos C＝_____2_a_b_____
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
解斜
①已知三边，求各角；
三角 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 角，求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为
(
A)
A．120°
B．90°
【解析C】．由60余°弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2D＝．－4125，°所以 A＝120°.
2．在△ABC 中，设 b＝5，c＝5 3，A＝30°，则 a＝
问题
个角
2．三角形常用面积公式
(1) S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2) S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝b sin A __一__解____
b sin A＜a＜b ___两__解___
6＋ 2
则由正弦定理sinb B＝sinc C，得 c＝bssininBC＝2ssiinn6705°°＝2×
4 3
＝
2＋
6 3.
2
6
3 A＝4，B＝π，b＝ 3，则 a＝5______，c＝____5________．
53
【解析】由 cos A＝45，可知 A 为锐角，所以 sin A＝ 1－cos2A＝35.由正弦定理，得 a＝
必修5教学课件第1章解三角形1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)
他的边和角．
4．余弦定理：
a2 b2 c2 2bccos A,cos A b2 c2 a2 2bc
5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：
（1）已知三边求三内角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．
例１ 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点 C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°， ∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内， 试求A，B之间的距离（精确到１ｍ）．
（2） sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
（3） sin A:sin B:sinC a :b:c
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形 问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其
例２ 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处 获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的C处，并 测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛 靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航 向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０.１°，时间精确到１ｍｉｎ）．
例３ 作用于同一点的三个力Ｆ1，Ｆ2，Ｆ3平衡．已知Ｆ1＝３０Ｎ，Ｆ2
＝５０Ｎ，Ｆ 与Ｆ 之间的夹角是６０°，求Ｆ 的大小与方向（精确到
1
2
3
0.１°）．
练习：课本P21习题1.3第2，4题．
的三个 量（至少一条边），即可求其余所有量．注意解的个数．
高中数学 必修5
4．余弦定理：
a2 b2 c2 2bccos A,cos A b2 c2 a2 2bc
5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：
（1）已知三边求三内角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角．
例１ 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点 C，D ，测得∠ A DC ＝８５°，∠ B DC ＝６０°，∠ A CD ＝４７°， ∠ B CD ＝７２°， CD ＝１００ｍ．设A，B ，C，D在同一平面内， 试求A，B之间的距离（精确到１ｍ）．
（2） sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
（3） sin A:sin B:sinC a :b:c
3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形 问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其
例２ 如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A处 获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的C处，并 测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛 靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航 向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０.１°，时间精确到１ｍｉｎ）．
例３ 作用于同一点的三个力Ｆ1，Ｆ2，Ｆ3平衡．已知Ｆ1＝３０Ｎ，Ｆ2
＝５０Ｎ，Ｆ 与Ｆ 之间的夹角是６０°，求Ｆ 的大小与方向（精确到
1
2
3
0.１°）．
练习：课本P21习题1.3第2，4题．
的三个 量（至少一条边），即可求其余所有量．注意解的个数．
高中数学 必修5
(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件
正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明： 根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它 的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C
6.4.3余弦定理(一)课件(人教版)
2.解三角形
推论 cos A＝b2＋2cb2c－a2， cos B＝c2＋2ac2a－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2.
已知三边求三角
五、当堂检测（12分钟）
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
√ (1) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．( ) (2) 在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．(× ) (3) 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.(√ ) (4) 在△ABC 中，已知三个元素可求其余三个元素．( √ )
√ (5) 在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形．( )
2.在ABC中，已知 a 5，b 2，C 60, 求c. 3.在ABC中，已知 a 2，b 2，c 3 1, 解这个三角形 .
4．在△ABC 中，已知 a2＝b2＋bc＋c2，则 A 等于
( C)
高一数学第二册第六章： 平面向量
6.4.3：余弦定理（一）
一、学习目标（1分钟）
1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理及其推论； 3.能利用余弦定理及其推论求解三角形的边、角等问题 。
二、问题导学（8分钟 ）
阅读教材P42--43,思考下列问题：
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，怎样用a，b和角C 表示c？ 2.余弦定理的内容是什么？余弦定理是怎么推导出来的？
余弦定理的推论能解决什么问题？
（三）解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的的对边a，b，c叫 做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
题型一 已知两边及一角解三角形
例 1 在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
推论 cos A＝b2＋2cb2c－a2， cos B＝c2＋2ac2a－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2.
已知三边求三角
五、当堂检测（12分钟）
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
√ (1) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．( ) (2) 在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．(× ) (3) 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.(√ ) (4) 在△ABC 中，已知三个元素可求其余三个元素．( √ )
√ (5) 在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形．( )
2.在ABC中，已知 a 5，b 2，C 60, 求c. 3.在ABC中，已知 a 2，b 2，c 3 1, 解这个三角形 .
4．在△ABC 中，已知 a2＝b2＋bc＋c2，则 A 等于
( C)
高一数学第二册第六章： 平面向量
6.4.3：余弦定理（一）
一、学习目标（1分钟）
1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理及其推论； 3.能利用余弦定理及其推论求解三角形的边、角等问题 。
二、问题导学（8分钟 ）
阅读教材P42--43,思考下列问题：
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，怎样用a，b和角C 表示c？ 2.余弦定理的内容是什么？余弦定理是怎么推导出来的？
余弦定理的推论能解决什么问题？
（三）解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的的对边a，b，c叫 做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
题型一 已知两边及一角解三角形
例 1 在△ABC 中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.