新高考数学复习考点知识讲解5---离散型随机变量及其分布列
超实用高考数学专题复习教学课件：12.3 离散型随机变量及其分布列
)
25
C.31
62
D.63
答案 A
解析 由题 P(X=k)=m(
1
2 -1
−
1
+1
2
)(1≤k≤5,k∈Z),则由离散型随机变量分
-1
布列的性质可得 P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)
=m(
1
1
2 -1
所以
−
1
2
2 -1
63
m=62,故
+
P
1
2
2 -1
3
2
−
1
+…+
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期
望Eξ.
解 (1)若两人所付费用相同,则相同的费用可能为 0 元,40 元,80 元,两人都付
0 元的概率为
1 1
P1=4 × 6
80 元的概率为
率为
=
1
,两人都付
24
40 元的概率为
1
答案 D
解析 甲是3点,乙是1点与甲是1点,乙是3点是试验的两个不同结果,故选D.
3.设随机变量ξ的概率分布列如下表,则P(|ξ-2|=1)=(
ξ
1
2
P
1
6
1
4
7
A.
12
1
B.
2
5
C.
12
)
3
4
a
1
3
1
D.
6
答案 C
解析 根据随机变量 ξ
∴ξ=1 或 ξ=3,则
高三数学考点-离散型随机变量及其分布列
10．6离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的概念(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列(1)分布列设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i)＝p i，则称表为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝x i)＝p i，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①________________________；②________________________.3．常用的离散型随机变量的分布列(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)随机变量X的分布列为(0<p<1)则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．(2)二项分布如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，则称X服从二项分布，记为____________．(3)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．自查自纠1．(1)随机变量(2)一一列出2．(1)概率分布列(2)①p i≥0，i＝1，2，3，…，n②i＝1np i＝13．(1)1－p(2)C k n p k q n－k C k n p k q n－k X～B(n，p)(3)C k M C n－kN－MC n N超几何分布某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A．0.28 B．0.88C．0.79 D．0.51解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.故选C.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解：X服从超几何分布P(X＝k)＝C k7C10－k8C1015，故k＝4.故选C.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为() A.1110 B.155C．110 D．55解：因为随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，所以a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，则55a＝1，即a＝155.故选B.已知X的分布列为X－101P1216a设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．解：由分布列的性质，a ＝1－12－16＝13，所以E (X )＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，因此E (Y )＝E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝23.故填23.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布列为________．解：依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2. 则P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，故X 的分布列为X 0 1 2 P0.10.60.3故填X 0 1 2 P0.10.60.3类型一 随机变量的概念与性质(1)设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P0.20.10.10.3m求：(Ⅰ)2X ＋1的分布列； (Ⅱ)|X －1|的分布列． 解：由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，解得X 0 1 2 3 4 2X ＋1 1 3 5 7 9 |X －1|1123从而由上表得所求分布列如下． (Ⅰ)2X ＋1的分布列：2X ＋1 1 3 5 7 9 P0.20.10.10.30.3(Ⅱ)|X －1|的分布列：|X －1| 0 1 2 3 P0.10.30.30.3(2)随机变量ξ的分布列如下：ξ－1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|ξ|＝1)＝____________，公差d 的取值范围是____________． 解：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|ξ|＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.故填23；⎣⎡⎦⎤－13，13. 【点拨】①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：p i ≥0，i ＝1，2，…，n ；∑i ＝1np i ＝1.③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等；正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝________．解：由于随机变量X 等可能取1，2，3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n .所以P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，因此n ＝10.故填10.类型二 求离散型随机变量的分布列袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X 的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X 的分布列； (3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X 的分布列．解：(1)X ＝1，2，3.P (X ＝1)＝13；P (X ＝2)＝A 12A 33＝13；P (X ＝3)＝A 22A 33＝13.所以X 的分布列是X 12 3 P13 13 13(2)X ＝1，2，3，4，5.P (X ＝k )＝⎝⎛⎭⎫23k －1×13，k ＝1，2，3，4. P (X ＝5)＝⎝⎛⎭⎫234. 故X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P13294278811681(3)因为X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k⎝⎛⎭⎫235－k，其中k ＝0，1，2，3，4，5.【点拨】求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.类型三 超几何分布(2015·天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 故事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1，2，3，4)． 故随机变量X 的分布列为X 12 3 4 P1143737114故随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.【点拨】①超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN，即恰取了k 件次品的概率＝次品中取了k 件×正品中取了n －k 件N 件产品中任取n 件.②当n 较小，N 较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n 较小而产品总数N 很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为：0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，X 0 1 2 3 4 P1425211021521142X 的数学期望是E (X ) ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率等，都要能熟练计算． (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质∑i ＝1np i ＝1验证．2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25解：X 的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．故选B. 2．下列表中可以作为离散型随机变量分布列的是( )解：A 中ξ的取值出现了重复性；B 中P (ξ＝0)＝－14<0；C 中∑i ＝13P (ξi )＝15＋25＋35＝65>1.故选D.3．(2015·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23解：X 可能取值为0或1，而P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，且P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1.所以P (X ＝0)＝13.故选C.4．(2015·安徽模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于（n －m ）A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)解：由超几何分布知该式对应取球3次，第3次才取到黑球的概率，所以P (X ＝2)＝A 1n －m A 2mA 3n ＝（n －m ）A 2m A 3n.故选D.5．设ξξ－1 0 1 P121－2qq 2则q 的值为( ) A ．1 B ．1±22C ．1＋22 D ．1－22解法一：由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22. 解法二：由1－2q ≥0q ≤12，可排除A 、B 、C ，故选D. 6．若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( ) A ．(1－α)(1－β) B ．1－(α＋β) C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)解：由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B. 7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝____________． 解：ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝2790＝310.故填310. 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200投资成功 投资失败 192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是____________元．解：由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．故填4 760.9．某高校的一科技小组有5名男生，5名女生，从中选出4人参加全国大学生科技大赛，用X 表示其中参加大赛的男生人数，求X 的分布列． 解：依题意随机变量X 服从超几何分布，所以P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 5C 410(k ＝0，1，2，3，4)．所以P (X ＝0)＝C 05C 45C 410＝142，P (X ＝1)＝C 15C 35C 410＝521，P (X ＝2)＝C 25C 25C 410＝1021，P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521，P (X ＝4)＝C 45C 05C 410＝142，所以X 的分布列为10.(2017·湖北荆门调考)某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是15.(1)试确定a 、b 的值；(2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解：由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a )人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A ，则P (A )＝4＋a 30＝15，解得a ＝2，所以b ＝30－24－a ＝4.所以a 的值为2，b 的值为4.(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C 330，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k 个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为C k 15C 3－k 15，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k 人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为：P (ξ＝k )＝C k 15C 3－k15C 330，(k ＝0，1，2，3)，ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P (ξ＝0)＝C 015C 315C 330＝13116，P (ξ＝1)＝C 115C 215C 330＝45116，P (ξ＝2)＝C 215C 115C 330＝45116，P (ξ＝3)＝C 315C 015C 330＝13116，所以ξ的分布列为P13116 45116 45116 13116Eξ＝0×13116＋1×45116＋2×45116＋3×13116＝174116＝32.11．(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T (分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：(1)由统计结果可得T T (分钟) 25 30 35 40 频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．解法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.解法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09， 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N *)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列； (2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大． 解：(1)当n ＝3时，每次摸出两个球，中奖的概率P ＝C 13C 12C 25＝35.由题意知ξ的可能值为0，1，2，3， 故有P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫253＝8125；P (ξ＝1)＝C 13×35×⎝⎛⎭⎫252＝36125； P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫352×25＝54125；P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫353＝27125.ξ的分布列为ξ0 1 2 3或P (ξ＝i )＝C i 3×⎝⎛⎭⎫35i ×⎝⎛⎭⎫253－i ，i ＝0，1，2，3. (2)设每次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P (ξ＝2)＝C 23·p 2·(1－p )＝－3p 3＋3p 2，0<p <1，由P ′＝－9p 2＋6p ＝－3p (3p －2)知，在⎝⎛⎭⎫0，23上P 为增函数，在⎝⎛⎭⎫23，1上P 为减函数，所以当p ＝23时，P 取得最大值．又p ＝C 1n ·C 12C 2n ＋2＝4n （n ＋1）（n ＋2）＝23，即n 2－3n ＋2＝0，解得n ＝1或n ＝2. 所以当n 取1或2时，P 最大．。
2024年新高考版数学专题1_11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
C C k nk M NM
,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N
CnN
+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机
变量X服从超几何分布.
4.离散型随机变量的均值与方差 1)均值定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
解析 (1)要使3次摸出卡片的数字之和为奇数,则有1次或3次摸出的是编
号为奇数的卡片,所以所求概率P=
3
3 2 53
2
+
33 53
= 63
125
.
(2)依题意X的可能取值为1、2、3、4、5,
P(X=1)= 1 = 1 ,P(X=2)= 23 13 = 7 ,P(X=3)= 33 23 = 19 ,P(X=4)= 43 33 =
高考 数学
专题十一 概率与统计
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
基础篇
考点 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1.离散型随机变量的分布列 1)一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X为随机变量,可能取值为有限个或可以一一列举的 随机变量,我们称为离散型随机变量. 2)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个 值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.用表格表 示如表:
nM
E(X)= N =np.
综合篇
考法 求离散型随机变量的均值与方差的方法 求解离散型随机变量的均值与方差的一般步骤 1)判断取值:判断随机变量的所有可能取值及取每个值所表示的意义; 2)探求概率:利用排列组合、列举法、概率公式,求出随机变量取每个值 时的概率; 3)写出分布列:按规定形式写出分布列,注意检验所求的分布列或事件的 概率是否正确; 4)求值:利用离散型随机变量的均值与方差的定义求值.
新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版
【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布： 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=
C C k nk M NM
，
CnN
k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ，所以A，B不正确；
2023年高考数学(理科)一轮复习——离散型随机变量及其分布列
感悟提升
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机 变量在某个范围内的概率.
索引
考点二 离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行 “庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活 动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小 组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色， 再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记 它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
索引
6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X1 2 34
P
1 3
m
1 4
1 6
5 则P(|X－3|＝1)＝___1_2____.
解析 由13＋m＋14＋16＝1，解得 m＝14， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝152.
索引
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
索引
P(ξ＝1)＝CC13·C29 16＝1386＝12， P(ξ＝2)＝CC23·C29 06＝336＝112.
所以ξ的分布列为
ξ 012
P
5 12
1 2
1 12
索引
感悟提升
1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超 几何分布的特征是： (1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查 某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古 典概型.
新高考数学离散型随机变量的分布列和数字特征精品课件
变式题 (1)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 ( )A. B. C.3 D.
课堂考点探究
C
[解析] 由题意知x1+x2=,+=,解得或因为x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.
课前基础巩固
x1p1+x2p2+…+xnpn
平均水平
[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn
离散程度
aE(X)+b
a2D(X)
课前基础巩固
4. 两点分布(1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示,称随机变量X服从两点分布或0-1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k=1,2,3,4,5),则实数m= ( )A. B. C. D.
课堂考点探究
C
[解析]因为随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得m=.
(2)在某工厂年度技术工人团体技能大赛中,有甲、乙两个团体进行比赛,比赛分两轮,每轮比赛必有胜负,没有平局.第一轮比赛甲团体获胜的概率为0.6,第二轮比赛乙团体获胜的概率为0.7,第一轮获胜团体有奖金5000元,第二轮获胜团体有奖金8000元,未获胜团体每轮有1000元鼓励奖金.①求甲团体至少胜一轮的概率;②记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为X元,求X的分布列及其数学期望.
高三数学离散型随机变量的分布列、期望与方差知识精讲
高三数学离散型随机变量的分布列、期望与方差【本讲主要内容】离散型随机变量的分布列、期望与方差求解某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差．【知识掌握】【知识点精析】1. 离散型随机变量的分布列（1）随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η表示．例如课本上的两个例子：①某人射击一次可能出现的命中环数ξ是一个随机变量，ξ可取值为：0，1，2， (10)②某次产品检验所取4件产品中含有的次品数η是一个随机变量，η可取值为：0，1，2，3，4．③一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3只球， 被取出的球的最大数ξ是一个随机变量，ξ可取值为3，4，5．ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或 2，4，5或3，4，5．随机变量最常见的两种类型：①离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．②连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量．（2）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ的可能取值为x 1，x 2，…，x i ，…，ξ取每一个值x i （i ＝1，2，…）的概率P （＝x i ）＝p i ，则表例如抛掷一个色骰子得到的点数ξ可能取值为1，2，3，4，5，6．ξ取各值的概率都等于61．此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况． 离散型随机变量的分布列具有下列性质： ①,2,1(0=≥i p i ...)；②p 1＋p 2＋ (1)一般地，离散型随机变量在某一取值X 围内取值的概率等于它取值这个X 围内各值的概率之和．（3）常见的离散型随机变量的分布①0—1例如，任意抛掷一枚硬币的实验结果：ξ＝0表示正面向上；ξ＝1表示正面向下.②二项分布：如果在一次试验中某事件Ａ发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中事件Ａ恰好发生k 次的概率是P （ξ＝k ）．kn k k n qp C )k (P -==ξ，其中k ＝1，2，3，…，n ，q ＝1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：kn k k n qp C -＝b(k ；n ，p). 例如，抛掷一个骰子，得到任一确定的点数（比如2点）的概率是61．重复抛掷骰子n 次，得到此确定点数的次数ξ服从二项分布，ξ～Ｂ(n ，61) 显然，当n ＝1时，二项分布即为0—1分布． ③几何分布：在独立重复试验中，某次事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个取值为正整数的离散型随机变量．“ξ＝k ”表示在第k 次独立试验时事件第一次发生．如果把第k 次试验时事件A 发生记为A k ，事件A 不发生记为k A ，p A P k =)(，q A P k =)(，那么p q A P A P A P A P A P A A A A A P k P k k k k k 113211321)()()()()()()(---==== ξ.（k ＝1，2，3，…）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：，…，分布列的表达式可有如下几种：（1）表格形式；（2）一组等式；（3）压缩为一个带“i ”的等式．2. 离散型随机变量期望和方差（1则称E ξ＝∑=1i x i p i， ++++=n n p x p x px 2211.为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．则其n 次射击的环数ξ的期望为E ξ＝4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.28＝8.32若b a +=ξη其中a ，b 是常数，则η也是随机变量．因为P （b ax i +=η）＝P （ξ＝x i ）i ＝1，2，3， …所以η于是E η＝（a x 1＋b ）p 1＋（a x 2＋b ）p 2＋…＋（a x n ＋b ）p n ＋…＝a （1p 1＋2p 2＋…＋x n p n ＋…）＋b （p 1＋p 2＋…＋p n ＋…）aE ξ＋b即（2那么，把 D ξ＝∑∞=1(i x i －E ξ)2p i ＝(x 1－E ξ)2·p 1＋(x 2－E ξ)2·p 2＋…＋(x n － E ξ)2·pn＋…叫做随机变量ξ的均方差，简称方差．其中E ξ是随机变量ξ的期望．D ξ的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位．两个计算方差的简单公式(不要求证明)：①D(a ξ＋b)＝a 2D ξ．②如果ξ～B(n ，p)，那么D ξ＝npq ，这里q ＝1－p说明：在实际问题中，人们常关心随机变量的特征，而不是随机变量的具体值．离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的特征数，期望反映了随机变量的平均取值，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中标准差与随机变量本身有相同的单位，在实际中应用更广泛．【解题方法指导】例1.盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）．记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ．（I ）求随机变量ξ的分布列； （II ）求随机变量ξ的期望ξE ．解：（I ）由题意可得，随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10． 随机变量ξ的概率分布列如下：ξE ＝2×0.09＋3×0.24＋4×0.16＋6×0.18＋7×0.24＋10×0.09＝5.2.例2.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（Ⅰ）依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3．3,2,1,0,)(310346=⋅==-k C C C k P k k ξ.甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ＝0×301＋1×103＋2×21＋3×61＝59. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)＝310361426C C C C +＝1202060+＝32，P(B)＝310381228C C C C +＝1205656+＝1514. 方法一：因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P(B A ⋅)＝P(A )P(B )＝（1－32）(1－1514)＝451. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(B A ⋅)＝1－451＝4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二：因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P ＝P(A ·B )＋P(A ·B)＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(A )P(B)＋P(A)P(B) ＝32×151＋31×1514＋32×1514＝4544. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 说明：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．【考点突破】【考点指要】离散型随机变量是高考的重点内容，它是随机事件的概率的深化，它的本质是某些随机试验结果的数量化．离散型随机变量的分布列整体地反映了随机变量所有可能的取值及其相应值的概率P （ξ＝x i ）＝P i ．期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．离散型随机变量的期望与方差都建立在分布列的基础之上．方差又与期望紧密相连，求期望与方差的关键是求ξ的分布列．期望与方差是随机变量的最重要的两个特征数，它们所表示的意义具有很大的实用价值，所以成为高考的热点之一．历年高考中所占的分值为5~13分，多以填空题和解答题的形式出现．【典型例题分析】例1. （2005卷17题）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32． （I ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E ξ； （II ）求乙至多击中目标2次的概率；（III ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．分析：本题主要考查概率的内容，考查点有随机事件的分布列、互斥事件的概率及相互独立事件的概率等.解：（I ）P (ξ＝0)＝03311()28C =，P (ξ＝1)＝13313()28C =， P (ξ＝2)＝23313()28C =，P (ξ＝3)＝33311()28C =.ξE ξ＝130123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=， （或E ξ＝3·2＝1.5）； （II ）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C ＝1927；（III ）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．1231121()()()8278924P A P B P B =+=⋅+⋅=所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124．例2. （2004某某卷理18题）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为14．假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（Ⅰ）ξ的概率分布列及期望E ξ；（Ⅱ）停车时最多已通过3个路口的概率． 解：（I ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4用A K 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，则P （A K ）＝4321,,,),4,3,2,1(43A A A A k 且=独立.从而ξ有分布列：ξ 01234P41 16364925627256812562564256364216140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （II ）256175256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P 答：停车时最多已通过3个路口的概率为256175．【综合测试】一. 选择题1.随机变量ξ的分布列如下，则m ＝ （ ）ξ1 2 3 4P41 M31 61 A.31 B. 2 C. 6 D. 42.某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ，则P （ξ≥1）等于（）A. 0.9163B. 0.0081C. 0.0756D. 0.99193. 某一计算机网络，有n 个终端，每个终端在一天中使用的概率p ，则这个网络中一天平均使用的终端个数为 （）A. np(1－p)B. npC. nD. p(1－ p) 4.设随机变量ξ～B(n ，p)，且E ξ＝1，D ξ＝1.8，则（ ）A. n ＝8，p ＝0.2B. n ＝4，p ＝0.4C. n ＝5，p ＝0.32D. n ＝7，p ＝0.45二. 填空题5.重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ε，则P(ε>3)＝______________.6. 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．(结果用分数表示) 7. 有一批数量很大的商品的次品率为100，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，则E ξ＝__________， D ξ＝_____________．8. 在有奖摸彩中，一期(发行10000X 彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一X 彩票的合理价格是_______________元．三. 解答题9.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么?10. A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床B 机床问：哪一台机床加工质量较好?11. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率．12.（2004年高考全国卷Ⅳ（19））某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．参考答案一. 选择题1. D 解析：∵41＋m ＋31＋61＝1 ∴m ＝．∴选D 2. D 解析：∵P （ξ≥1）＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.7)4＝1－0.0081＝0.9919. ∴选D3. B 解析：设这个网络中一天使用的终端个数为ξ，则ξ～Ｂ(n ，p)，∴E ξ＝np ．∴选B ．4. A 解析：由E ξ＝ np ，D ξ＝np(1－p) 可知⎩⎨⎧-==)1(28.16.1p np np ∴⎩⎨⎧==2.08p n ∴选A二. 填空题 5.388813解：依题意，随机变量ε～Ｂ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴Ｐ(ε＝4)＝6561C 445⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛＝777625，P(ε＝5)＝55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛＝77761． ∴Ｐ(ε>3)＝P(ε＝4)＋P(ε＝5)＝388813． 6. 190119解：属于同一个国家的概率为190712202524211=++C C C C ， 所求概率为 190119190711=-，或：所求概率为 19011954511411220=⨯+⨯+⨯C 7. 2，1.98解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ~B(200，1%). 因为E ξ＝n ξ，D ξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%， 所以，E ξ＝200⨯1%＝2，D ξ＝200%99%1⨯⨯＝1.98．8. 0.2解：设一X 彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取得的值为0，5，25，100.依题意，可得ξ的分布列为∴E ξ＝0400⨯2.0200010050025505=⨯+⨯+⨯+ 答：一X 彩票的合理价格是0.2元.三. 解答题9. 答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点，10.解：E ξ1 ＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44 E ξ2 ＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44 它们的期望相同，再比较它们的方差．D ξ1 ＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44) 2×0.2＋(2－0.44) 2×0.06＋(3－0.44) 2×0.04＝0.6064，D ξ2 ＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44) 2×0.06＋(2－0.44) 2×0.04＋(3－0.44) 2×0.10 ＝ 0.9264，∴D ξ1＜D ξ2，故A 机床加工较稳定、质量较好11. （Ⅰ）解：ξ可能取的值为0，1，2．2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P k k ξ. 所以，ξ的分布列为（Ⅱ）解：由（1），ξ的数学期望为1525150=⨯+⨯+⨯=ξE（Ⅲ）解：由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为54)1()0()1(==+==≤ξξξP P P12. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ＝－300）＝0.23＝0.008，P （ξ＝－100）＝3×0.22×0.8＝0.096，P （ξ＝100）＝3×0.2×0.82＝0.384，P （ξ＝300）＝0.83＝0.512， 所以ξ的概率分布为E ξ＝（－300）×0.008＋（－100）×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. （Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）＝0.384＋0.512＝0.896.。
高考数学一轮专项复习ppt课件-离散型随机变量的分布列、均值与方差(通用版)
A．3632 B．3625 C．3613 D．3523
答案
高考一轮总复习•数学
第30页
(2)为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．活动设置了四个 箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有卡片若干张，
每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取 20 张，按照自己 的判断将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得 5 分，投放错误得 0 分．从所有参赛选手中随机抽取 20 人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]， (80,100]分组，绘成如图所示的频率分布直方图：
高考一轮总复习•数学
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对点练 2(1)某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一 时刻，有 n 个人正在使用电话或等待使用的概率为 P(n)，P(n)与时刻 t 无关，统计得到： P(n)＝12n·P00≤n≤5， 那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率 P(0)的值
则 D(X)＝0－122×12＋1－122×12＝14.
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高考一轮总复习•数学
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重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
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题型
随机变量的概念
典例 1 写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所表示的意义． (1)一个袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数 X； (2)投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为
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高考一轮总复习•数学
P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝12×15＝110.
可得随机变量 ξ 的分布列为
写出分布列后一定要验证概率和是不是 1.
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x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
3、性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② pi＝1．
4、若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称该分布列为两点分布列或0-1分布．若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率
答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．
(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.
当Y＝1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．故P(Y＝1)＝ ，同理P(Y＝2)＝ ＝ ，P(Y＝3)＝ ，P(Y＝4)＝ ，P(Y＝5)＝ ＝ ，P(Y＝6)＝ .所以Y的概率分布列为
A．20B．24C．4D．18
【答案】B
【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有 ＝24(种)．
题型三离散型随机变量的分布列
例3 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．
(1)两次掷出的最小点数Y；
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.
P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ .
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
4、设离散型随机变量X服从两点分布，若 ，则
【答案】
【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，且 ，则
5、设随机变量X的分布列P(X＝ )＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥ )；
(3)求P( ＜X＜ )．
新高考数学复习考点知识讲解
离散型随机变量及其分布列
1、一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，称X为随机变量。若X可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写字母表示随机变量的取值，如x，y，z
2、若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)
①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；
②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
【答案】②
【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.
所以ξ的分布列为
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
X＝
则X显然服从两点分布，且P(X＝1)＝ ＝ ，
∴P(X＝0)＝1－ ＝ ，
∴X的分布列为
X
0
1
P
在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝ .如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列．
解 由题意知P(X＝1)＝p，根据分布列的性质可知P(X＝0)＝1－p，即针尖向下的概率为1－p.于是随机变量X的分布列为
(2)ξ的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5.
当ξ＝－5时，出现的点数为(1,6)，P(ξ＝－5)＝ .
当ξ＝－4时，出现的点数为(1,5)，(2,6)，P(ξ＝－4)＝ ＝ .
同理，P(ξ＝－3)＝ ，P(ξ＝－2)＝ ，P(ξ＝－1)＝ ，P(ξ＝0)＝ ＝ ，P(ξ＝1)＝ ，P(ξ＝2)＝ ，P(ξ＝3)＝ ，P(ξ＝4)＝ ，P(ξ＝5)＝ .
【答案】B
【解析】 根据分布列的性质，知随机变量的所有取值的概率和为1，可解得x＝2，y＝5，故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
题型五两点分布
例5 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列．
解 从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：
X
1
2
3
4
P
p4
A.1B．
C. D．
D[解析]由分布列的性质，得 ＋ ＋ ＋p4＝1，所以p4＝ .
3、在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X的分布列为________．
[解析]X的所有可能值为0，1，2.
P(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝0)＝ ＝ ，
6、袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列．
解 根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3，4，5，6.
ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1，2，所以，
P(ξ＝3)＝ ＝ ；
ξ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1，2，3的3个球中取，所以，P(ξ＝4)＝ ＝ ；
解 由题意，所给分布列为
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得
a＝ .
(2)P(X≥ )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝ )
＝ ＋ ＋ ＝ ，
或P(X≥ )＝1－P(X≤ )＝1－( ＋ )＝ .
(3)∵ ＜X＜ ，∴X＝ ， ， .
∴P( ＜X＜ )＝P(X＝ )＋P(X＝ )＋P(X＝ )＝ ＋ ＋ ＝ .
(2)求X的分布列．
[解](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C ＝28(种)，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝ ＝ .
(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为
题型一随机变量
例1 掷均匀硬币一次，下列是随机变量的为()
A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和
【答案】B
【解析】 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.
ξ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球可以在号码为1，2，3，4的4个球中取，所以，P(ξ＝5)＝
＝ ；
ξ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球可以在号码为1，2，3，4，5的5个球中取，所以，P(ξ＝6)＝
＝ .
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ
3
4
5
6
P
题型二随机变量的可能值
例2 一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为()
A．6B．5C．4D．2
【答案】B
【解析】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选B
一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()
X
0
1
P
1－p
p
1、袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()
A．X＝4B．X＝5
C．X＝6D．X≤5
C[解析]事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.
2、设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是()
X
－2
－1
0
1
P
题型四离散型随机变量的分布列的性质
例4 已知随机变量X的分布列如下：
则P(X ＝10)等于()
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】P(X＝10)＝1－ －…－ ＝ .
离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
则P等于()
A．0.25B．0.35C．0.45D．0.55