结构动力学公式

广义力：
1
()
N
i
i i ix
iy
j j
j
j
i x y z Q F
F q q q =∂∂∂=
++
∂∂∂∑ Lagrange 方程：(
)j
j
j
j
d
T T V Q dt
q q q
∙
∂∂∂-
+
=∂∂∂
临界阻尼：22n cr c m ω==
阻尼比：
2cr
n
c c c m ζω=
=
对数衰减率：1
2ln
i i u u πζδ+==
阻尼比：
/2δπ
ζ=
阻尼比：
1ln
2j i j u j
u ζπ+≈
动力放大系数：
021
d st
u R u =
=
力的传递率：
Tmax 0
f TR=
P =
位移的传递率：
t d g u
TR R u =
=
Duhamel 积分：
1()()sin[()]t n n u t P t d m τωττ
ω=
-⎰
()
1()()sin[()]n t
w t D D
u t P e
t d m ζττωττ
ω--=
-⎰
两个自由度体系的两个自振圆频率：
1/2
12211212k k k m m ω⎛⎫⎡
+ ⎪⎢=+- ⎪⎢ ⎪⎣
⎝⎭
1/2 122
2
12
1
2
k k k
m m
ω
⎛⎫⎡
+
⎪⎢
=++
⎪⎢
⎪⎣
⎝⎭两个自由度体系的运动方程的一般解：
(1)(2)
1111122
sin()sin()
u t t
φωθφωθ
=+++
(1)(2)
1211222
sin()sin()
u t t
φωθφωθ
=+++
广义特征值求解问题:2
[][]0
K M
ω
-=
振型的正交性：
{}[]{}{}
{}[]{}{}
T
m n
T
m n
M m n
K m n
φφ
φφ
=≠
=≠
无阻尼体系动力反应的振型叠加法：
[]
{}
[]{}
{}
{}[]{}
[][]
{}
[][]{}
{}
[][][]
{}
[][][]
{}
[]
{}
{}[]{}{}[]{}{}{}
[]20
1()()()
1()()sin ()T
T
T
T
n n n T
n
n n
T
n n
n n n n n
n
n n n n
t n n n n n
M u K u P u q M q K q P M q K q P M M K K P P M q K q P q t q t P t M q t P t d M φφφφφφφφφφφφφωτωττ
ω∙∙
∙∙
∙∙
∙∙
∙∙
+==+=+====+=+==
-⎰
Newmark-β法的基本假设：
()()()()
1
110112201/2i i a u u a u u γγγβββ
++=-+≤≤=-+≤≤
Newmark-β法求解过程：
（1） 基本数据准备和初始条件计算： 1） 选择时间步长△t 、参数β和γ，并计
算积分常数
()01232
45671
1
1;22;1;2a a a a t t
t
t a a a t a t γββββ
γ
γ
γγββ=
=
=
=
∆∆∆⎛⎫∆==-=∆-=∆ ⎪⎝⎭；；-1；
-1；。

2)确定运动的初始值{}{}{}0
u u u
、和 。

(2)形成刚度矩阵[K],质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]
(3)形成等效刚度矩阵
K ∧⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，即
[][][]01=K K a M a C ∧⎡⎤
++⎢⎥⎣
⎦
（4）计算t i+1时刻的等效载荷
{}
{}[]{}{}{}[]{}{}{}
02314511
i i i i i i i i P
P M a u a u a u C a u a u a u ∧
++⎡⎤⎡⎤
=++++++⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦
（5）求解t i+1j 时刻的位移，即
{}11i i K u P ∧∧
++⎧⎫
⎡⎤
=⎨⎬⎢⎥⎣⎦
⎩⎭
（6）计算t i+1j 时刻的加速度和速度
{}{}023116711
()i i i i i i i i i a u u a a a a u u u u u u u ++++⎧⎫⎧⎫⎧⎫=---⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
欧拉梁：
()()()()()
()
()()()()()()
()
()
()
()
()()()()2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
22
2
2
2
22
,,0,,,1,02,,,,,,u x t Q Q P x t m x dx Q dx t x u x t Q P x t m x x
t
u x t M M Q dx P x t m x dx M dx t x M Q
x u x t M P x t m x x
t
u x t M E I x x
u x t u x t m x E I x P x t t
x x ⎡⎤∂∂⎛⎫---+=⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦
∂∂=-+∂∂⎡⎤∂∂⎛⎫
+---+=⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦
∂=∂∂∂=-+∂∂∂=-∂⎡⎤∂∂∂
+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦
()()
()
2
4
2
4
,,,u x t u x t m
E I
P x t t
x
∂∂+=∂∂
分布参数简支梁关于分布质量的正交条件
()()()0
0L
n m x m x x dx φφ=⎰
分布参数简支梁关于分布刚度的正交条件
()()2
22
L n m d d x EI x dx dx dx
φφ⎡
⎤
=⎢⎥⎣⎦
⎰
Rayleigh 法：
()()()()
2
2
2
2
1
l n
l i i i EI U x dx m x U
x dx m U x ω=''⎡⎤⎣⎦
=
+⎰∑⎰
()()()()()00
l ij i j l
ij i j K EI x x dx m m x x x dx φφφφ''''==
⎰⎰
矩阵迭代法的迭代矩阵：D=[K]-1[M]。