初中数学圆导学案

第 1 页 共 24 页 圆的定义 1．理解圆的定义： （1）描述性定义：______________________________________________________________________。 从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义：______________________________________________________________________。 （3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______. （4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____确定圆的位置，______确定圆的大小. 2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。 如图1，弦有线段 ，直径是 ，最长的弦是 ，优弧有 ；劣弧有 。

例1．判断下列说法是否正确，为什么？ （1）直径是弦.（ ） （2）弦是直径.（ ） （3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( ) (5) 等弧的长度相等.( ) (6) 长度相等的两条弧是等弧.( )

例2．⊙O的半径为2㎝，弦AB所对的劣弧为圆周长的61，则∠AOB＝ ，AB＝ 例3．已知：如图2，OAOB、为O的半径，CD、分别为OAOB、的中点， 求证：（1）;AB (2)AEBE

例4．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O中不过圆心的任意一条弦，求证：AB＞CD。 EDC

0

BA

（图2）

（图1） 第 2 页 共 24 页

练习： 2．下列说法正确的有（ ） ①半径相等的两个圆是等圆； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③过圆心的线段是直径； ④ 分别在两个等圆上的两条弧是等弧. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图3，点AOD、、以及点BOC、、分别在一条直线上，则圆中有 条弦. 4. O的半径为3cm，则O中最长的弦长为 5.如图4，在ABC中，90,40,ACBA以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，求ACD的度数.

已知：如图5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．

DBC

A

（图4）

（图5） 第 3 页 共 24 页

垂直于弦的直径 (1)垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 定理的几何语言：如图2  CD是直径（或CD经过圆心），且CDAB ____________,____________,_____________ (2)定理可推广为：在五个条件①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧中，知 推 。

(3)推论：___________________________________________________________________________． 例1：垂径定理的应用 如图3，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为3cm，求O 的半径.(分析：可连结OA，作OCAB于C) 解：

小结：（1）辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。 (2)如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”构成 直角三角形，则rda、、的关系为 ，知道其中任意两个量，可求出第三个量. 练习 1.圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则_____ABcm． 2.如图5，AB是⊙O 的直径， CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ） A.COEDOE B.CEDE C.OEBE D.BDBC 3. 如图6，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．

4.已知：如图7，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 5.（长春中考）如图6，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果20,16ABCD,那么线段OE的长为（ ）圆心O到弦的距离OM的长为3，则弦AB的长是 . A. 10 B. 8 C. 6 D.4

BAO（图3）

dra

O

（4）

CBDE

O

NCABO

（图5） CABDE

O

（图6） （图7） 第 4 页 共 24 页

6.如图7，在O中，若ABMN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论： ， ， . 7. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为______；•最长弦长为______． 8. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 9. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 解：如图10，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，

10.已知：如图11，,AB是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，80AOD，B是AD的中点． (1)在CD上求作一点P，使得APPB＋最短；(2)若4CDcm，求APPB＋的最小值．

弧、弦、圆心角

（图8） （图9）

（图10） （图11） 第 5 页 共 24 页

1. 圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的 也相等.此结论是证明圆心角相等、弧相等、弦相等常用的依据. 2.定理使用要注意“同圆或等圆”这个前提。

练习 1.在同圆或等圆中，如果ABCD,那么AB与CD的关系是（ ） A.ABCD B. ABCD C. ABCD D.无法确定 2. 下列命题中，真命题是（ ） A．相等的弦所对的圆心角相等 B. 相等的弦所对的弧相等 C. 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 3.如图5，AB是 ⊙O的直径，,CD是BE上的三等分点，60AOE， 则COE是（ ） A． 40° B. 60° C. 80° D. 120 ° 4.已知，如图6，在⊙O中，弦ADBC，你能用多种方法证明ABCD吗？

5.已知：如图7，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°， 求∠ACO的度数．

圆周角

OEDC

BA

（图5）

EO

B

A

C

D（图6）

（图7） 第 6 页 共 24 页

1.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 . 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径． 2.一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 . 3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 . 4. 所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是 ． 5.如果一个多边形的 顶点都在 圆上，这个多边形叫做 ，这个圆叫做这个 . 6.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 .

练习 1. 在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？

2. 如图6，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠AOB=_ ___． 3. 如图7，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．

4.已知：如图8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长． 5.如图1，，点,,ABC都在⊙O上，若30,ACB则AOB的度数是 . 6.如图2，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若65,A则B的度数是 . 7.如图3，AB是⊙O的直径，点A是CD是中点，若28CDA,则______ABD.

8.如图6， ⊙O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为6 cm，∠ACB 的平分线交⊙O于 D，求BC、AD、BD的长．

（1） （2） （3） （4） (5) （图6） （图7）

（图8）

BCAO（图1） B

CAO

（图2） D

A

CBO

（图3）

D

CB

AO

（图4）