平面向量及其应用
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
【三轮复习】回归课本-专题6 平面向量及其应用
专题6 平⾯向量及其应⽤1.如图，O 是平⾏四边形ABCD 外⼀点，⽤表示.【答案】【解析】【详解】由，，，即可得到结论.解：.向量的线性运算向量运算定义法则（或⼏何意义）运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋（－b ）数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λ a |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ（μ a ）＝（λμ）a ；（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；λ（a ＋b ）＝λa ＋λb平⾯向量线性运算问题的求解策略：（1）进⾏向量运算时，要尽可能地将它们转化到三⻆形或平⾏四边形中，充分利⽤相等向量、相反向量，三⻆形的中位线及相似三⻆形对应边成⽐例等性质，把未知向量⽤已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形⼿段在线性运算中同样适⽤．（3）⽤⼏个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三⻆形或多边形；③运⽤法则找关系；④化简结果.（2022·新⾼考Ⅰ卷T3）,,OA −⇀OB −⇀OC −⇀−OD −⇀−=−+OD −⇀−OA −⇀OB −⇀OC−⇀−=+OD −→−OA −→−AD −→−=AD −→−BC −→−=−BC −→−OC −→−OB −→−=+=+=+−=−+OD −→−OA −→−AD −→−OA −→−BC −→−OA −→−OC −→−OB −→−OA −→−OB −→−OC −→−在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）A ．B ．C ．D ．【⼀题多变4】7.已知是两个不共线的向量，,e 1⇀e 2⇀⇀A ．1B ．在平⾏四边形中，分别，则的值为______.【⼀题多变4】13.已知，，（1）；（2）．解：（1）由平⾯向量的数量积运算=1∣∣a ⇀∣∣=2∣∣b ⇀∣∣|c |=(⋅)a⇀b ⇀c ⇀(⋅)a ⇀b⇀c ⇀A ．B ．如图，在中，，的⾯积为，的最⼩A．2【⼀题多变4】已知O为坐标原点，点A．C．−→−26.已知中，【分析】利⽤勾股定理判的夹⻆的取值的最⼤值.解：如图，作，垂△ABC AC ,CM −→−CN −→−∵AC =1,BC =∴A +B =A C 2C 2B CD ⊥AB A ．C ．若E 为线段AD 的中点【⼀题多变2】在中，在某海滨城市O附近海⾯有⼀台⻛，据监测，当前台⻛中⼼位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）⽅向300 km的海⾯P处，并以20 km/h的速度向⻄偏北45°⽅向移动．台⻛侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增⼤．问⼏⼩时后该城市开始受到台⻛的侵袭？注：cos（θ－45°）＝A．的最⼩值为B．的范围为C．当时，D．当时，【⼀题多变3】骑⾏是⽬前很流⾏的⼀种绿⾊健身和环保它带给⼈们的不仅是简单的身体上的运动（前轮），圆（后轮）的半径均为，A．B【⼀题多变4】38.已知点H 在所在的平⾯内，且满⾜，求证：点H 是的垂⼼（即三条⾼的交点）．【答案】证明⻅解析.【解析】【详解】解：由数量积运算的性质可整理得到，由此得到；同理可证得，，由此可证得结论.解：由得：由同理可得：由同理可得：是的垂⼼三⻆形“四⼼”常⻅的向量表示形式：（1）重⼼．若点G 是的重⼼，则或 （其中P 为平⾯内任意⼀点）．反之，若，则点G 是的重⼼．（2）垂⼼．若H 是的垂⼼，则.反之，若，则点H 是的垂⼼．（3）内⼼．若点I 是的内⼼，则.反之，若，则点I 是的内⼼．（4）外⼼．若点O 是的外⼼，则或.反之，若，则点O 是的外⼼.结合“四⼼”性质与向量运算进⾏推演，得出结论.【⼀题多变1】ΔABC ⋅=⋅=⋅HA −⇀−HB −⇀−HB −⇀−HC −⇀−HC −⇀−HA −⇀−ΔABC ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅=0HB −→−CA −→−HB ⊥CA HC ⊥AB HA ⊥CB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅−⋅=⋅(−)=⋅=0HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HB −→−HA −→−HC −→−HB −→−CA −→−∴HB ⊥CA⋅=⋅HB −→−HC−→−HC −→−HA −→−HC ⊥AB ⋅=⋅HA −→−HB −→−HC −→−HA −→−HA ⊥CB∴H ΔABC △ABC ++=0GA −→−GB −→−GC −→−=(++)PG −→−13PA −→PB −→PC −→−++=0GA −→−GB −→−GC −→−△ABC △ABC ⋅=⋅=⋅HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−HC −→−HA −→−⋅=⋅=HA −→−HB −→−HB −→−HC −→−⋅HC −→−HA −→−△ABC △ABC ⋅+⋅+⋅=0∣∣∣BC −→−∣∣∣IA−→∣∣∣CA −→−∣∣∣IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→⋅+⋅∣∣∣BC −→−∣∣∣IA −→∣∣∣CA −→−∣∣∣+⋅=0IB −→∣∣∣AB −→∣∣∣IC −→△ABC △ABC (+)⋅=(+)⋅=(+)⋅=0OA −→−OB −→−BA −→OB −→−OC −→−CB −→−OC −→−OA −→−AC −→−==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣==∣∣∣OA −→−∣∣∣∣∣∣OB −→−∣∣∣∣∣∣OC −→−∣∣∣△ABC 已知正⽅形，边⻓为，动点⾃点出发沿运动，动点⾃点出发沿运动，且动点的速度是动点的2倍，若⼆者同时出发，且到达时停⽌，另⼀个点也停⽌，则该过程中的最⼤值是______．瑞⼠数学家欧拉在1765年发表的《三⻆形的⼏何学》⼀书中有这样⼀个定理：“三⻆形的外⼼､垂⼼和重⼼都在同⼀直线上，⽽且外⼼和重⼼的距离是垂⼼和重⼼距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O ､H ､G 分别是外⼼､垂⼼和重⼼，下列四个选项中结论正确的是( )A ．B ．C ．D ．。
高考数学平面向量与应用举例
高考数学平面向量与应用举例数学作为一门基础学科，一直是各级教育的重中之重。
在高考数学中，平面向量是一个重要的知识点。
掌握好平面向量，可以帮助我们更好地理解解析几何和向量的应用。
在本文中，我将详细介绍平面向量及其应用，并提供一些实用的例子来帮助大家更好地理解和掌握平面向量的应用。
一、平面向量的定义和性质平面向量是由大小和方向组成的量，在平面直角坐标系中用有向线段表示。
举个例子，如果有两个有向线段$\vec{v}$和$\vec{w}$，分别表示由点A到点B和点C的位移向量，那么我们可以定义这两个向量的加法、减法和数乘如下：加法：$\vec{v}+\vec{w}$，表示由点A到点B再到点C的位移向量。
减法：$\vec{v}-\vec{w}$，表示从点B到点A和点C之间的向量。
数乘：$k\vec{v}$，表示由点A到点B的位移向量的$k$倍。
此外，平面向量还具有以下性质：交换律：$\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$结合律：$(\vec{v}+\vec{w})+\vec{u}=\vec{v}+(\vec{w}+\vec{u})$数乘结合律：$k(l\vec{v})=(kl)\vec{v}$数乘分配律：$(k+l)\vec{v}=k\vec{v}+l\vec{v}$二、平面向量的应用以上是平面向量的基本概念和性质，实际上平面向量在数学和物理中的应用非常广泛。
以下是几个常见的例子：1. 向量投影向量投影是指从一点向另一点的有向线段所对应的向量开始，在某一方向上的分量，也就是将向量“分解”在某一个方向上。
具体地，假设有一个向量$\vec{v}$和方向向量$\vec{u}$，向量$\vec{v}$在方向$\vec{u}$上的投影为：$$\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|u\|^ 2}\vec{u}$$其中，“$\cdot$”表示向量的数量积。
平面向量的叉乘及其应用
平面向量的叉乘及其应用平面向量是数学中的重要概念之一，它在许多领域中都有广泛应用。
其中，平面向量的叉乘操作在向量代数和几何学中起着重要的作用。
本文将探讨平面向量的叉乘的定义、性质以及其在几何学、物理学和工程学中的应用。
1. 平面向量的叉乘定义平面向量的叉乘，又称为向量积或矢量积，表示为A × B。
对于二维平面向量A = (A₁, A₂)和B = (B₁, B₂)，它们的叉乘定义如下：A ×B = A₁B₂ - A₂B₁2. 平面向量的叉乘性质平面向量的叉乘具有以下性质：- 叉乘的结果是一个垂直于原始向量所在平面的向量。
- 叉乘的结果的模长等于原始向量所围成的平行四边形的面积。
- 叉乘的结果可以表示为一个方向向量，它的方向由右手定则确定。
- 叉乘满足反交换律，即A × B = -B × A。
3. 平面向量的叉乘应用3.1 几何学应用在几何学中，平面向量的叉乘被广泛应用于计算面积、判断向量的相对方向和求解直线与平面的交点等问题。
3.1.1 计算面积平面向量的叉乘的模长等于原始向量所围成的平行四边形的面积。
因此，可以利用叉乘来计算多边形的面积，如三角形和四边形等。
假设有三个点A、B、C组成的三角形，其中向量AB为A到B的位移向量，向量AC为A到C的位移向量。
则三角形ABC的面积可以由以下公式计算得出：S = 1/2 |AB × AC|3.1.2 判断向量的相对方向通过计算平面向量的叉乘，我们可以判断两个向量的相对方向。
当A × B = 0时，表示向量A和向量B共线，且方向相反；当A × B > 0时，表示向量A在向量B的顺时针方向；当A × B < 0时，表示向量A在向量B的逆时针方向。
3.2 物理学应用在物理学中，平面向量的叉乘应用广泛。
特别是在力学和电磁学中，利用叉乘可以描述力矩和磁场等重要概念。
3.2.1 力矩在力学中，平面向量的叉乘被用来计算力的力矩。
高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总大全(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用知识汇总大全单选题1、下列命题中假命题是（ ）A ．向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案：D分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确； 对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误.故选：D.小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.2、已知向量a =(1,−√7)，|b ⃗ |=3，a ⋅b ⃗ =3√6，则a 与b⃗ 的夹角为（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3答案：A分析：先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将a ⋅b⃗ =3√6展开，即可求得答案. 因为a =(1,−√7)，所以|a |=√12+(−√7)2=2√2，又因为a ⋅b ⃗ =3√6，设a 与b ⃗ 的夹角为θ ，θ∈[0,π] ，所以|a ||b ⃗ |cosθ=3√6 ，即2√2×3×cosθ=3√6 ，解得cosθ=√32 ，故θ=π6 ，故选：A.3、已知非零平面向量a →，b →，c →，下列结论中正确的是（ ）（1）若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →；（2）若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →//b →（3）若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →（4）若(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，则a →=b →或a →=−b →A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a →，b →，c →，（1）若a →⋅c →=b →⋅c →，则(a →−b →)⋅c →=0，所以a →=b →或(a →−b →)⊥c →，即（1）错；（2）若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →同向，所以a →//b →，即（2）正确；（3）若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2+2a →⋅b →=|a →|2+|b →|2−2a →⋅b →，所以2a →⋅b →=0，则a →⊥b →；即（3）正确；（4）若(a →+b →)⋅(a →−b →)=0，则|a →|2−|b →|2=0，所以|a →|=|b →|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、设在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b,c ， 若bcosC +ccosB =asinA ， 则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形答案：A分析：根据两角和的正弦公式和正弦定理求得，得到sinA =1，求得A =π2，即可求解. 2sin sin A A因为，由正弦定理可得，即sin (B +C )=sin 2A ，即，所以sinA =1，又因为A ∈(0,π)，所以A =π2，所以是直角三角形.故选：A.5、已知在△ABC 中，a =x ，b =2，B =30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）A ．x >2B ．0<x <2C ．2<x <3D ．2<x <4答案：D分析：根据三角形有两个解，转化为以C 为圆心，以2为半径的圆与BA 有两个交点，再结合正弦定理求解. 如图所示：因为AC =b =2，若三角形有两个解，则以C 为圆心，以2为半径的圆与BA 有两个交点，当∠A =90∘时，圆与BA 相切，不合题意；当∠A =30∘时，圆与BA 交于B 点，不合题意；所以30∘<∠A <150∘，且∠A ≠90∘，所以12<sinA <1由正弦定理得：sinA =asinB b =14x ，则12<14x <1， 解得2<x <4，故选：D6、在△ABC 中，已知AB =4，AC =3，∠BAC =120°，点E 在线段BC 上，且满足2BE =EC ，则的长度cos cos sin b C c B a A +=2sin cos sin cos sin B C C B A +=2sin sin A A=AEA ．52B ．73C ．2√73D ．2√2 答案：B分析：在△ABC 中，利用余弦定理先求得BC ，再在△ABC 中利用余弦定理求得cosB ，再在△ABE 中利用余弦定理求得的长．在△ABC 中，由余弦定理有BC 2=AB 2+AC 2−2AB ×ACcos∠BAC =37，所以BC =√37，在△ABC 中，由余弦定理有cosB =AB 2+BC 2−AC 22×AB×BC =11√3774，又2BE =EC ，所以BE =√373， 在△ABE 中，由余弦定理有AE 2=AB 2+BE 2−2AB ×BE ×cosB=16+379−2×4×√373×11√3774=499， 所以AE =73．故选：B7、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ．D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算.由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AE CB u u u r8、已知非零向量a →与b →共线，下列说法不正确的是（ ）A ．a →=b →或a →=−b →B ．a →与b →平行C ．a →与b →方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →=λb →答案：A分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．非零向量a →与b →共线，对于A ，a →=λb →，λ≠0，故A 错误；对于B ，∵向量a →与b →共线，∴向量a →与b →平行，故B 正确；对于C ，∵向量a →与b →共线，∴a →与b →方向相同或相反，故C 正确；对于D ，∵a →与b →共线，∴存在实数λ，使得a →=λb →，故D 正确.故选：A.多选题9、下列说法中错误．．的为（ ）． A ．已知a →=(1,2)，b →=(1,1)且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)B ．向量e →1=(2,−3)，e →2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a →，b →，满足|a →|>|b →|且a →与b →同向，则a →>b →D ．非零向量a →和b →，满足|a →|=|b →|=|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30°答案：AC分析：由向量的数量积，向量的夹角，判断A ；向量的基本定理判断B ；向量的定义判断C ；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断D ．解：对于A ，∵a →=(1,2),b →=(1,1),a →与a →+λb →的夹角为锐角，∴a →(a →+λb →)=(1,2)(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0，且λ≠0(λ=0时a →与a →+λb →的夹角为0)，所以λ>−53且λ≠0，故A 错误；对于B ，向量e →1=4e →2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；对于D ．因为|a →|=|a →−b →|，两边平方得，|b →|2=2a →·b →，则a →(a →+b →)=|a →|2+a →b →=32|a →|2，|a →+b →|=√(a →+b →)2=√|a →|2+2a →b →+|b →|2=√3|a →|， 故cos <a →,a →+b →>=a →(a →+b →)|a →||a →+b →|=32|a →|2|a →|√3|a →|=√32， 而向量的夹角范围为[0°，180°]，得a →与a →+b →的夹角为30°，故D 项正确．故错误的选项为AC ．故选：AC ．10、已知O 是△ABC 内一点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，点M 在△OBC 内（不含边界），若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+2μ的值可能为（ ）A ．97B ．117C ．137D ．157答案：ABC分析：根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可知O 为△ABC 的重心；根据点M 在△OBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是△ABC 内一点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内（不含边界），且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈(1,2)，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：ABD解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 正确； MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 正确； MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 错误； BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 正确. 故选：ABD .小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.12、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．b ＝45，c ＝48，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°答案：BCAB CD ∥分析：结合选项逐个求解，可进行判断.对于A ，因为A =45°,C =70°，所以B =65°，只有一解；对于B ，因为sinC =csinB b =8√315<1，且sinC >sinB ，所以有两解； 对于C ，因为sinB =bsinA a =4√27<1，且sinB >sinA ，所以有两解； 对于D ，因为sinB =bsinA a =5sin80°7<1，但sinB <sinA ，所以有一解； 故选：BC.13、对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ）A ．AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 B ．OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1λ+1μ=3 D ．AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 共线 答案：ACD分析：根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即OA ⊥BC ，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，从而说明D 正确.如图，设AB 中点为M,则OM ⊥AB ,∴|AO |cos∠OAM =|AM |∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB =|A →B|(|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAB)=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故A 正确；OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等价于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0等价于OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OA ⊥BC ， 对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(1λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +1μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +13μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E,F,G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3,故C 正确；(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos (π−B )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC=−|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=0, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,又∵AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC 与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故D 正确. 故选：ACD.小提示：本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.填空题14、已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2acosB =c ，D 是BC 的中点，若AD =2，则b +√2c 的最大值为______．答案：4√2分析：利用正弦定理将边化角，即可得到A =B ，再结合cos∠ADB +cos∠ADC =0得到b 2+2c 2=16，最后借助基本不等式即可求解．解：因为2acosB =c ，由正弦定理可得2sinAcosB =sinC所以2cosBsinA =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，化简得sinBcosA −sinAcosB =0，即sin(A −B)=0，因为A,B ∈(0,π)，所以A −B ∈(−π,π)所以A =B ，又∠ADB +∠ADC =π，cos∠ADB +cos∠ADC =0，由余弦定理知AD 2+DB 2−AB 22AD⋅DB +AD 2+DC 2−AC 22AD⋅DC =0， 即22+(a 2)2−c 22×2⋅a 2+22+(a 2)2−b 22×2⋅a 2=0，又a =b ，化简得b 2+2c 2=16，b 2+2c 2=(b +√2c)2−2b ⋅√2c =16，又2b ⋅√2c ≤2⋅(b+√2c 2)2=(b+√2c)22，当且仅当b =√2c 时取等号， 故(b +√2c)2−(b+√2c)22⩽16，即b +√2c ⩽4√2．所以答案是：4√2．15、已知向量a =（－4，3），b ⃗ =（6，m ），且a ⊥b⃗ ，则m =__________. 答案：8.分析：利用a ⊥b ⃗ 转化得到a •b⃗ =0加以计算，得到m . 向量a =（−4,3），b ⃗ =（6,m ），a ⊥b⃗ ， 则a •b⃗ =0，−4×6+3m =0，m =8. 小提示：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.16、已知向量a →,b →，其中|a →|=1,|b →|=2，且(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，则向量a →与b →的夹角等于____； 答案：2π3##120°分析：利用夹角公式求出向量a →与b →的夹角.因为(a →−2b →)⊥(3a →+b →)，所以(a →−2b →)(3a →+b →)=0，即3a →2−5a →·b →−2b →2=0，所以5a →·b ⃗⃗⃗⃗ =3−8=−5，所以a ·⃗⃗⃗⃗ b →=−1.而a →b →=|a →||b →|cos 〈a →,b →〉=−1，所以cos 〈a →,b →〉=−12，因为〈a →,b →〉∈[0,π]，所以〈a →,b →〉=2π3. 所以答案是：2π3解答题17、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A 为锐角，sinB −cosC =c 2−a 22ab . （1）求A ；（2）若b =√34c ，且BC 边上的高为2√3，求△ABC 的面积. 答案：（1）π6；（2）7√3．分析：（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A ；（2）由余弦定理用c 表示a ，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c ，从而可计算出面积．（1）由sinB −cosC =c 2−a 22ab 得2absinB −2abcosC =c 2−a 2，由余弦定理得2absinB +c 2−a 2−b 2=c 2−a 2，所以2asinB =b ，由正弦定理得2sinAsinB =sinB ，B 是三角形内角，，所以sinA =12，又A 为锐角，所以．（2）由（1）a 2=b 2+c 2−2bccosA =316c 2+c 2−2×√34c ⋅c ⋅cos π6=716c 2，a =√74c ， 所以S △ABC =12bcsinA =12a ×2√3，即12×√34c 2×12=12×√74c ×2√3，c =4√7， b =√34c =√21，S △ABC =12bcsinA =12×√21×4√7×12=7√3．小提示：思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．利用正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题关键．三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解．这是一种解题技sin 0B ≠6A π=巧．18、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB（1）求B ;（2）若b =2√3,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3.分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB所以acosC +ccosA =2bcosB由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB因为在△ABC 中，所以，则2cosB =1所以B =π3（2）由余弦定理得 ，即(a +c )2−3ac =12，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =accosB =12ac =6， 所以ac =12，所以(a +c )2−36=12，解得a +c =4√3.所以△ABC 的周长是6√3小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，sin 0B ≠2222cos b a c ac B =+-要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
平面向量及其应用专题(有答案)
一、多选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ）A ．::sin :sin :sin a b c ABC = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C2．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-3．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解4．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ．33B ．3161C ．833D ．831616．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5-B ．23C ．23-D ．5 9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形 11．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥12．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,33B a c b π=+=,则ac=( ) A ．2B ．3C ．12 D ．1313．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-14．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2317．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lg lg lg sin 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形19．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．4320．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF = C ．12DG AG =D ．0GA GB GC ++=21．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定22．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心23．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．30024．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定25．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）A ．3B ．1C ．12D ．3226．题目文件丢失！27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．1028．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2cos 3A =，则b= A 2B ．3C ．2D ．329．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形30．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形31．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1332．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ） A ．132+ B ．13+C ．223+ D ．23+34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形35．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）A ．500米B ．1500米C ．1200米D ．1000米【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ACD【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角 解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 2．ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.3．ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 432c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.4．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误； 对于D ，2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.5．AC 【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.6．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ． 【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或解析：ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°8．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，25cos 1sin B B =-=. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.9．AD分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.10．ABD 【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD 【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B∴=或2A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确；【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.12．AC 【分析】将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应解析：AC 【分析】将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】∵,3B a c π=+=，∴2222()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=②，联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得2ac =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.13．ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】; ; ; .故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD 【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.14．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．A 【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点，所以1122AE AB BC AB AD =+=+.因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．C 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
平面向量及其应用
平面向量及其应用平面向量是高中数学的一个重要概念，它在解决许多几何和物理问题中起到了关键作用。
本文将介绍平面向量的定义、性质以及其在几何和物理中的应用。
一、平面向量的定义和性质平面向量是具有大小和方向的量，用带箭头的字母表示。
设有两点A和B，向量AB表示从A点到B点的有向线段。
平面向量有以下性质：1. 平面向量的模：平面向量AB的模表示为|AB|，即AB的长度。
2. 平面向量的方向角：以x轴正方向为基准，平面向量AB与x轴正向的夹角为α。
3. 平面向量的方向向量：平面向量AB的方向向量是一个没有大小、只有方向的向量，通常表示为→AB。
4. 平面向量的相等：如果两个平面向量的模相等且方向相同，则这两个平面向量是相等的。
5. 平面向量的相反向量：如果两个平面向量的模相等，但方向相反，则这两个平面向量是相反向量。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量AD，其中向量AD的起点与向量AB的起点相同，终点与向量AC的终点相同。
2. 平面向量的减法：设有平面向量AB和AC，则它们的差向量为向量AD，其中向量AD的起点与向量AB的起点相同，终点与向量AC的起点相同。
3. 数量乘法：平面向量乘以一个实数k，得到的结果是一个新的平面向量，其模等于原向量的模与k的乘积，方向与原向量相同或相反，根据k的正负决定。
三、平面向量的应用平面向量在几何和物理问题中有广泛的应用。
以下举几个例子：1. 行列式法判定共线：设有三个平面向量AB、AC和AD，在平面上可以通过计算行列式来判断它们是否共线。
若行列式的值等于0，则表示这三个向量共线。
2. 平面向量的线性组合：设有平面向量AB和AC，并给定实数m和n，其线性组合为向量mAB + nAC。
线性组合的应用非常广泛，可以用来求解平面上的位置关系、线段的延长线等问题。
3. 平面向量的投影：平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
通过计算向量投影可以得到两个向量之间的夹角，进而解决与夹角相关的几何问题。
平面向量及其应用知识点总结
平面向量及其应用知识点总结
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平
面向量。
2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。
（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。
二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。
2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。
三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。
2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。
3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。
4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。
5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。
四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。
2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。
3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。
4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。
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平面向量及其应用
平面向量是指在平面上用有向线段表示的量，可以简单地理解
为二维向量。
平面向量的表示方法包括指定向量的起点和终点，
或者指定向量在平面直角坐标系中的坐标。
平面向量是数学中的
一个重要概念，应用广泛，例如在物理、工程学、计算机图形学
等领域中，都有平面向量的应用。
平面向量的运算
平面向量有加法、减法、数乘等运算。
其中，向量的加法和减
法可以用三角形法则或平行四边形法则来表示。
三角形法则指出，两个向量相加的结果为它们首尾相接的三角形的第三边的向量；
平行四边形法则指出，两个向量之和等于以它们为相邻边的平行
四边形对角线所对应的向量。
这两种方法在实际运算中应用广泛，并具有直观性和易于理解的特点。
数乘运算是指向量与实数的乘积。
它可以用向量的长度与方向
来表示，即将向量的长度缩放为实数倍，并不改变向量的方向。
在计算中，通常将向量表示为坐标形式，然后再进行数乘运算。
平面向量的应用
平面向量广泛应用于物理学中的力学、电学、热学等领域。
其中，力学中向量的应用最为明显。
在力学中，向量可以表示物体
的受力情况，以及物体在空间中的位置和运动状态。
例如，平衡
力和非平衡力就可以用向量表示。
雷诺定理、牛顿第二定律等力
学定理中都涉及向量的概念，因此对平面向量的熟悉和掌握是学
习物理学的前提。
平面向量还广泛应用于计算机图形学中。
计算机图形学是一门
研究如何在计算机上表示、处理和生成图像的学科。
在计算机图
形学中，向量常用于表示二维或三维空间中的几何图形，例如点、直线、多边形等。
多项式的处理、旋转、平移等操作都可以用向
量计算实现。
因此，向量的概念和运算成为了计算机图形学的基
础知识。
总结
平面向量是一个重要的数学概念，在各个领域中都有广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数乘等，其中向量的加法
和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来表示。
平面向量的
应用包括物理学中的力学、计算机图形学等领域。
学习平面向量是一项基础而重要的数学功课。