积的变化规律和商的变化规律
商的变化规律的口诀三条
商的变化规律的口诀三条
（1）被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。
（2）除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n 倍。
（3）被除数与除数同乘以来自或同除以一个数（零除外360问答），商不变。
扩展资料：
积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。
（1）如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。
（2）一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。
除法运算肥天裂性质
（1）若某数除以(或乘)一个数，又乘(或除以)同一个数，则这个数
不变。
例如：68÷17×17=68(或68×17÷1绿钱规云歌投建以玉7=68)。
（2）一个数除以几个数的积兴得乡讲从养属得都花你，可以用这个
数依次除以积里的各个因数。
例如：320÷(2×5×8)=320÷2÷5÷8=4。
（3）几个数的积除以一个数，可以让积里的任何一致段机个因数除
以这个数，再与光其他的因数相乘。
例如：8×管苦洲视联72X4÷9=72÷9×8×4=256。
和差积商的变化规律
和差积商的变化规律一、和的变化规律(一)如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数．例如：3＋5=8 a＋b=c(3＋2)＋5=8＋2 (a＋m)＋b=c＋ma＋(b＋m)=c＋m(二)如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数．例如：8＋6=14(8－4)＋6=14－4a＋b＝c(a－m)＋b=c－m(a≥m)a＋(b－m)=c－m(b≥m)(三)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的加数，那么，它们的和不变．例如：8＋3=11(8＋2)＋(3－2)=11(8－6)＋(3＋6)=11a＋b=c(a＋m)＋(b－m)=c(b≥m)(a－m)＋(b＋m)＝c(a≥m)(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加(m＋n)．例如：5＋3=8(5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7)a＋b＝c(a＋m)＋(b＋n)=c＋(m＋n)(五)如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少(m＋n)．例如：30＋18=48(30－15)＋(18－9)=48－(15＋9)a＋b＝c(a－m)＋(b－n)=c－(m＋n)(六)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加(m－n)；当m＜n时，它们的和就减少(n－m)．例如：8＋5=13(8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3)(8＋2)＋(5－4)=13－(4－2)a－b=c(a＋m)＋(b－n)=c＋(m－n)(m＞n)＝c－(n－m)(n＞m)二、差的变化规律(一)如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数．例如：9－5=4(9＋3)－5=4＋3(9－2)－5=4－2a－b＝c(a＋m)－b=c＋m(a－m)－b＝c－m(c≥m)(二)如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数．例如：9－5=49－(5＋3)=4－39－(5－3)=4＋3a－b＝ca－(b＋m)=c－m(a≥b＋m)a－(b－m)=c＋m(b≥m)(三)如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等．例如：15－8=7(15＋3)－(8＋3)=7(15－5)－(8－5)=7a－b＝c(a＋m)－(b＋m)=c(a－m)－(b－m)=c(a≥m b≥m)(四)如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加(m＋n)．例如：18－12=6(18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3)a－b＝c(a＋m)(b－n)＝c＋(m－n)(b≥n)(五)如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少(m＋n)例如：18－12=6(18－2)－(12＋1)=6－(2＋1)a－b＝c(a－m)－(b＋n)=c－(m＋n)(c≥m＋n)(六)如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加(m＋n)；当m＜n时，它们的差就减少(n－m)．例如：20－12=8(20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3)(20＋5)－(12＋6)=8－(6－5)a－b＝c(a＋m)－(b＋n)=c＋(m－n)(m＞n)(a＋m)－(b＋n)＝c－(n－m)(m＜n)(七)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少(m－n)；当 m＜n时，它们的差要增加(n－m)．例如：40－22=18(40－3)－(22－2)=18－(3－2)(40－5)－(22－7)=18＋(7－5)a－b＝c(a－m)－(b－n)＝c－(m－n)(m＞n)(a－m)(b－n)＝c＋(n－m)(n＞m)三、积的变化规律(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍．例如：8×5=40(8×3)×5=40×38×(5×4)=40×4a×b＝c(a×m)×b＝c×ma×(b×m)=c×m(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍．如：25×4=100(25÷5)×4=100÷525×(4÷2)=110÷2a×b＝c(a÷m)×b=c÷ma×(b÷m)=c÷m(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变．例如：45×10=450(45×2)×(10÷2)=450(45÷5)×(10×5)=450a×b=c(a×m)×(b÷m)＝c (m≠0)(a÷m)×(b×m)＝c(m≠0)(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍．例如：4×5=20(4×3)×(5×2)=20×(3×2)a×b=c(a×m)×(b×n)＝c×(m×n)(m≠0，n≠0)(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m×n)倍．例如：20×8=160(20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4)a×b=c(a÷m)×(b÷n)=c÷(m×n)(m≠0，n≠0)(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的积就缩小(n÷m)倍．例如：8×6=48(8×10)×(6÷2)＝48×(10÷2)(8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2)a×b=c(a×m)×(b÷n)＝c×(m÷n)(m＞n)(n≠0)(a×m)÷(b÷n)=c÷(n÷m)(m＜n)(m≠0)四、商的变化规律(一)如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变．例如：42÷6=7(42×2)÷(6×2)=7(42÷3)÷(6÷3)=7a÷b=c(a×m)÷(b×m)＝c(m≠0)(a÷m)÷(b÷m)=c(m≠0)(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大(或缩小)m倍．例如：16÷2=8(16×3)÷2＝8×3(16÷2)÷2=8÷2a÷b=c(a×m)÷b＝c×m(m≠0)(a÷m)÷b＝c÷m (m≠0)(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍．例如：44÷11=444÷(11×2)=4÷244÷(11÷11)＝4×11a÷(b×m)=c÷m(m≠0)a÷(b÷m)＝c×m (m≠0)(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍．例如：72÷9=8(72×2)÷(9÷3)＝8×(2×3)a÷b＝c(a×m)÷(b÷n)＝c×(m×n)(m，n≠0)(五)如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍．例如：72÷6=12(72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2)a÷b＝c(a÷m)÷(b×n)＝c÷(m×n)(m≠0 n≠0)(六)如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就缩小(n÷m)倍．例如：96÷24=4(96×4)÷(24×2)=4×(4÷2)(96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2)a÷b＝c(a×m)÷(b×n)＝c×(m÷n)(m＞n，n≠0)(a×m)÷(b×n)＝c÷(n÷m)(m＜n，m≠0)(七)如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就扩大(n÷m)倍．例如：64÷16=4(64÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2)(64÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2)a÷b＝c(a÷m)÷(b÷n)=c÷(m÷n)(m＞n n≠0)(a÷m)÷(b÷n)=c×(n÷m)(m＜n m≠0)加减法混合运算的性质(一)交换的性质在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变．如a＋b－c=a－c＋b (a≥c)＝b－c＋a (b≥c)(二)结合的性质在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来．当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数．如a－b＋c－d＋m=(a－b)＋(c－d)＋m (a≥b，c≥d)＝a－(b－c)－(d－m) (b≥c，d≥m)=a＋(m－b)＋(c－d) (m≥b，c≥d)可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
商的变化规律
商的变化规律【复习与巩固】积的变化规律1、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积乘（或除以）几。
若：24×25=600240×25= 24×250= 48×25= 24×50=若：48×50=240048×5= 24×50= 48×25= 48×（50÷4）=2、一个因数乘（或除以）几，另一个因数除以（或乘）几，积不变。
若：15×14=210（15÷3）×（14×3）= （15×3）×（14÷3）=（15×5）×（14 5）=210 （15 ）×（14 ）=210【知识点1】商的变化规律：（1）被除数、除数同时乘以（或除以）相同的数，商不变。
1、在（）里填上适当的数，使计算简便。
490 ÷ 35 = 270 ÷ 18 = 350 ÷ 25 =×（）×2 ÷（）÷3 ×（）×（）÷ 70 ÷ 6 ÷840 ÷ 14 = 180 ÷ 15 = 140 ÷ 35 =÷（）÷（）×（）×2 ÷（）÷（）÷÷ 30 ÷2、填空。
1）210÷30=（210×15）÷（30×）商的变化规律2）48÷12=（48×）÷（12 4）3）60÷12=（60 ÷）÷（12 ÷3）4）63÷7=（63÷10）÷（7÷）5）如果被除数和除数都乘100，那么商( )6）如果被除数和除数都除以20,那么商( )（2）除数不变，被除数乘以（或除以）几，商也要乘以（或除以）几。
四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律
四年级上册数学思维拓展题：和差积商变化规律和的变化规律：如果一个加数增加（或减少）一个数（不为0），另一个加数不变，则它们的和也增加（或减少）同一个数。
如果一个加数增加一个数（不为0）,另一个加数减少同一个数，和不变。
差的变化规律：如果一个被减数增加（或减少）一个数（不为0），减数不变，则差增加（或减少）同一个数。
如果一个被减数和减数同时增加（或减少）一个数（不为0），差不变。
如果被减数不变，一个减数增加（或减少）一个数（不为0），差也减少（或增加）同一个数。
积的变化规律：1．一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
2．一个因数扩大（或缩小）若干倍，而另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，它们的积不变。
3．一个因数乘以（或除以）a，另一个因数乘以（或除以）b，积就乘以（或除以）ab的积。
商的变化规律：1．被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，商也扩大（或缩小）同样的倍数。
2．被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同的倍数。
3．被除数乘以a，除数除以b，商就乘以ab的积。
4．被除数除以a，除数乘以b，商就除以ab的积。
参考答案：1、两个数相加，如果一个加数减少9，要使和增加9，另一个加数应该有什么变化？解题思路：一个加数减少9，假设另一个加数不变，和就减少了9；题目要求和增加9，所以另一个加数应该增加9+9=18。
2、两个数相减，如果被减数减少10，减数也减少10，差是否有变化？解题思路：被减数减少10，假设减数不变，差就减少10；假设被减数不变，减数减少10，和就增加10；差先减少10，再增加10，所以无变化。
3、被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。
如果被减数不变，差增加42，减数应该变成多少？解题思路：减数与差的和即是被减数，2076里有2个被减数，被减数等于2076÷2=1038。
差是减数的一半，也就是说减数是差的2倍，差应该为1038÷（2+1）=346，减数为346×2=692。
积、商的变化规律(含答案)-
积、商的变化规律同学们好，在上一讲我们研究了和、差的变化规律，今天这一讲我们来研究，积、商的变化规律。
请同学们填出下表，说出什么发生了变化，积、商有没有发生变化，如果有变化是怎样变的，你能从中得出什么结论吗？规律：两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数不变，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数不变，乘数乘以（或除以）一个不为0的数，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数同时除以（或乘以）同一个数，积不变。
规律：在除法里被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数不变，商也乘以（或除以）同一个数。
被除数不变，除数乘以（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘以）同一个数。
被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数同时乘以（或除以）相同的一个数，商不变。
例1. 2584⨯=⨯⨯÷=⨯=()()254844100212100分析与解答：根据积的变化规律，一个因数扩大多少倍，另一个因数反而缩小相同的倍数，积不变的规律，使25×4，使84÷4，转化为100×21，这就很快计算出结果是2100。
例2. 12588⨯=⨯⨯÷=⨯=()()125888810001111000例3. 2250125÷=⨯÷⨯=÷=()()22508125818000100018分析与解答：根据商的变化规律，被除数和除数同时乘以或除以一个数（不为0）商不变的规律，可以使2250×8，使125×8，转化为18000÷1000，这样就能很快算出结果是18。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）（一）尝试体验 1. 填一填1272244⨯⨯⨯⨯⨯⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=÷÷÷÷÷⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=()()()()()()()()()()()()()()()()()() 完成上面两组题后，每组后面的4个题与第一算式比较各部分是怎样变化的，才保证了使它们的和、差、积、商没发生变化？ 2. 利用积、商变化规律，计算下面各题。
积商的变化规律练习题
积商的变化规律练习题知识要点：【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。
用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。
练习题：实战练习1、两个因数的积是360，如果一个因数除以3，另一个因数不变，积变为（）。
2、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。
3、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。
4、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。
5、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。
6、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。
7、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。
8、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。
【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。
（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。
用字母表达，就是如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。
六年级上册数学讲义-和、差、积、商的变化规律-人教版(含答案)
和、差、积、商的变化规律学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容和、差、积、商的变化规律课型一对一/一对N教学目标1.掌握和、差、积、商的变化规律2.学会根据规律进行速算重、难点根据积、商的变化规律速算课首沟通1、上讲回顾（错题管理）；检查作业；2、询问学生加减乘除的运算公式知识导图课首小测1.两个数相加，一个加数增加25，另一个加数也增加15，和（）。
2.两数相减，如果被减数减少18，减数减少8，差（）。
3.两个因数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积（）。
4.根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。
（1）18÷6=3（18×2）÷（6×2）= （18×3）÷（6×3）= （2）480÷10=48（480÷2）÷（10÷2）= （480÷5）÷（10÷5）= （3）420÷6=70（420×2）÷（6÷2）= （420÷5）÷（6×2）=知识梳理导学一：和的变化规律例 1. 按题目要求解答下列各题。
（1）两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？（2）两个数相加，一个数加3，另一个数也加3，和有什么变化？（3）两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和有什么变化？例 2. 按要求解答下列各题。
(1)两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？(2)两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？例 3. 小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。
原来两个数相加的正确答案是多少？例 4. 两个加数都扩大了8倍，则和扩大（）倍。
【学有所获】两个加数都乘以（或除以）同一个数（零除外），和也乘以（或除以）同一个数。
积的变化规律
“点线面”思维训练模式3——
从“积的变化规律”到“积不变的规律”
一、一个因数变化
【1】一个因数不变，另一个因数扩大了。
【结论】:一个因数不变，另一个因数扩大多少倍(0除外)，积也跟着扩大相同的倍数。
【2】一个因数不变，另一个因数缩小。
【结论】:一个因数不变，另一个因数缩小多少倍(0除外)，积也跟着缩小相同的倍数。
(一)、积的变化规律：
(1)、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以)几。
字母表示：如果axb=C，则
(ax3）×b=c×3
举例：axb=12如果(ax3)则积就是
12×3=36.
(2)、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
（3)、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
【3】积的变化规律:
【结论】:积与因数同向变化。
【4】同步应用
【5】能力提升
【6】拓展训练
二、积不变的规律
【结论】:一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数(0除外)，积不变。
两个因素反向变化，积不变。
（巧墨静好）
下一节内容：1.商的变化规律——商不变的规律——余数的变化规律
2、和、差、积、商的变化规律。
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积的变化规律和商的变化规律
以积的变化规律和商的变化规律为标题，本文将从数学的角度讨论积和商的变化规律，并探讨其应用领域。
一、积的变化规律
积是指两个或多个数相乘的结果。
在数学中，我们经常遇到各种形式的乘法运算，而积的变化规律是乘法运算的核心。
1.1 正数的乘积
当两个正数相乘时，积的结果也是正数。
这是因为正数表示具有一定数量的物体或数值，相乘后得到的仍然是正数的数量。
1.2 负数的乘积
当一个正数与一个负数相乘时，积的结果为负数。
这是因为正数表示具有一定数量的物体或数值，而负数表示缺少一定数量的物体或数值，相乘后得到的是缺少的数量，所以结果为负数。
1.3 零的乘积
任何数与零相乘，积的结果都为零。
这是因为零表示没有物体或数值，与任何数相乘都得到没有的数量。
1.4 小数的乘积
当两个小数相乘时，积的结果为更小的数。
这是因为小数表示比1小的数值，相乘后得到更小的数值。
1.5 科学计数法的乘积
科学计数法是一种表示大数或小数的方法，它将一个数表示为一个数值与10的幂的乘积。
当两个科学计数法相乘时，可以将指数相加，乘积的结果也是科学计数法形式的数。
二、商的变化规律
商是指一个数除以另一个数的结果。
在数学中，商的变化规律是除法运算的核心。
2.1 正数的商
当一个正数被另一个正数除时，商的结果为正数。
这是因为正数表示具有一定数量的物体或数值，被除数表示要将这一定数量的物体或数值平均分给除数，所以商的结果仍然为正数。
2.2 负数的商
当一个负数被一个正数除时，商的结果为负数。
这是因为负数表示缺少一定数量的物体或数值，被除数表示要将这缺少的数量的物体或数值平均分给除数，所以商的结果为缺少的数量，即负数。
2.3 零的商
任何数除以零是没有意义的，因为零表示没有物体或数值，不能将某一数量平均分给零个单位。
2.4 小数的商
当一个小数被一个大于1的数除时，商的结果为更小的数。
这是因为小数表示比1小的数值，被除数表示要将这一小部分的数量平均分给除数，所以商的结果更小。
2.5 科学计数法的商
当一个科学计数法被另一个科学计数法除时，可以将指数相减，商的结果也是科学计数法形式的数。
三、应用领域
积和商的变化规律在数学中有广泛的应用，也在生活中有一些实际的应用。
3.1 数学运算
积和商是数学中最基本的运算之一，它们在数学的各个分支中都有广泛的应用。
比如在代数中，我们常常需要进行多项式的乘法运算；在几何中，我们常常需要计算图形的面积和体积；在统计学中，我们常常需要计算概率和期望值等。
3.2 经济学
积和商的变化规律在经济学中也有应用。
比如在计算价格指数时，我们需要将某一年的价格与基准年的价格相除，得到价格指数；在计算经济增长率时，我们需要将某一年的国内生产总值与前一年的国内生产总值相除，得到经济增长率。
3.3 科学研究
在科学研究中，积和商的变化规律也有应用。
比如在物理学中，我们常常需要计算力与位移的乘积，得到功；在化学中，我们常常需要计算物质的摩尔质量；在生物学中，我们常常需要计算生物种群的增长率等。
积和商的变化规律是数学中最基本的运算之一，它们在数学的各个分支和生活的各个领域都有广泛的应用。
掌握积和商的变化规律，有助于我们理解和应用数学知识，解决实际问题。