椭圆题型总结(较难)
椭圆题型总结
一、焦点三角形
1. 设F 1、F 2是椭圆12
32
2=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。
（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，
根据椭圆的定义，1||AF m =
，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得
22
22)44cos )44cos m m m n n n αα
?=+-??=++??，
∴m =
，n =
∴1
1211
||||2()sin 22
F AB
B A S F F y y m n α?=?-=??+
α=
=令sin t α=，所以01t <≤，∴2
1()22t g t t t t
=
=++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2
πα=
时，max 1()3
g t =，故1ABF △
（法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2
+3y 2
=6联立，消x 得 (2m 2
+3)y 2
+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆内定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则
Δ=48(m 2
+1)
1ABF S ?=|y 1-y 2
|=
令 t=m 2
+1≥1，m 2
=t-1， 则 1ABF S ?
=
∞) f(t)=144t t
++在t∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1
注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。
2. 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝
，求点P 的坐
标.
解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴 b =2
2
5a c -=， 所以椭圆
的方程为22
1.95
x y += (2) 由2
,1cos PM PN MPN
=
-g 得cos 2.PM PN MPN PM PN =-g g ①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，
4,MN =由余弦定理有222
2cos .MN PM PN PM PN MPN =+-g
②
将①代入②，得2
2
242(2).PM PN PM PN =+--g
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线2
213
x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组2222
5945,3 3.x y x y ?+=??+=?? 解得33,5.
2
x y ?=±????=±??
即P 点坐标为335335335335
(,)-、（，-）、（-，）或（，-）.
二、点差法
定理 在椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN
的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22
00a
b x y k MN -=?.
3. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆22
13616
x y +=于两点P 1、P 2，
（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹．
解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，
则???????=+=+116
36116362
222
2
121y x y x ?
016
)
)((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*
∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ，即922121-=--x x y y 。 ∴l 的方程为2)1(92+--=x y ，即2x +9y -20=0．
（2）设P 1P 2的中点M (x ，y )，则x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，
代入*式，得y x x x y y k 942121-=--=，又直线l 经过点A (1，2)，∴2
1
y k x -=-，
整理，得4x (x -1)+9y (y -2)=0，∴P 1P 2的中点的轨迹：22
1
()(1)2151029
x y --+=。 4. 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12
22
=+y x 有两个不同的交点P 和Q.
（1）求k 的取值范围；
（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量+与
共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：（1）直线l 的方程为.2+
=kx y
由?????=++=.
12
,
222y x kx y 得：.0224)12(2
2=+++kx x k Θ直线l 与椭圆
1222=+y x 有两个不同的交点， )12(83222+-=?∴k k ＞0.解之得：k ＜22-
或k ＞2
2. ∴k 的取值范围是???
? ??+∞???? ??-∞-,22
22,Y . （2）在椭圆12
22
=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴B A
设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x OM =
由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+ΘOQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.
12
00y x =
-∴
，从而.2
200-=x y 由2200a b x y k PQ -=?得：21
22-=???
? ??-?k ，.22=∴k 由（1）可知2
2
=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k .
三、最值问题
5. 已知P 为椭圆2
214
x y +=上任意一点，M （m ，0）
（m∈R），求PM 的最小值。 目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。
提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM ，利用二次函数思想求最小值。
解：设P(x,y)，PM=22()x m y -+=22()14x x m -+-=2
3214
x mx -+
=2234()1433
m m x -+-，x∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得 （1）
43m <-2，即m<3
2
-时，(PM)min =|m+2|； （2）-2≤43m ≤2,即32
-≤m≤32时，(PM)min =2
93m -；
（3）
43
m >2，即m>3
2时，(PM)min =|m-2|.
说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b ，最远的点是长轴端点，最大值为a ；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c ，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c ；
6. 在椭圆2
214
x y +=求一点P ，是它到直线l ：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。
目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般
处理方法。
提示：（1）可等价转化为与直线l 平行的椭圆的切线与直线l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。
解法一：设直线m ：x+2y+m=0与椭圆2214x y +=相切，则2
2
20
14
x y m x y ++=???+=?
?，消去x ，得8y 2+4my+m 2
-4=0, Δ=0,解得
m=±
当
m=直线与椭圆的切点P 与直线l 的距离最近，
此时点P 的坐
标是
(
)； 当
m=-P 与直线l
P 的
坐标是
。 解法二：设椭圆上任意一点P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π)
则P 到直线l
)10
π
θ++
∴当θ=
4
π时，P 到直线l
的距离最大，最大为5此时点P 的坐标是
,2；
当θ=54
π时，P 到直线l
的距离最小，最小为P 的坐标是
(
)。
说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。
7. 设AB 是过椭圆22
1925
x y +=中心的弦，F 1是椭圆的上焦点，
（1）若△ABF 1面积为
，求直线AB 的方程；（2）求△ABF 1面积的最大值。
解：（1）设AB ：y =kx ，代入椭圆221925x y +=，得x 2
=211925
k +=2
225259k
+，∴x 1=-x 2
， 又，S △ABF 1=1
2
|OF 1|·|x 1-x 2|=2|x 1-x 2
|=4，∴|x 1-x 2
，
∴
2
225
259k +=5，∴k
=，∴直线AB 的方程为y
=x 。 （2）S △ABF 1=1
2
|OF 1|·|x 1-x 2
|=4·，∴当k =0时，(S △ABF 1)Max =12。▋
8. （2014金山区一模23题）已知曲线)0>>(1=+:1b a b y
a x C 所围成的封闭图形的面积为54，曲线
1C 的内切圆半径为
3
5
2. 记曲线2C 是以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点. （1）求椭圆2C 的标准方程；
（2）若OA m MO =（O 为坐标原点），当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程； （3）若M 是l 与椭圆2C 的交点，求ABM Δ的面积的最小值.
【解答】：(1)C 1是以(–a ，0)、(0，–b )、(a ，0)、(0，b )为顶点的菱形，故， (2)
分
又a >b >0，解得：a 2=5，b 2
=4，因此所求的椭圆的标准方程为
；……4分
(2)假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y=kx (k ≠0)，A (x A ，y A )，
令，得，，|OA |2
=
，…………6分
设M (x ，y )，由题意得：|MO |2=m 2|OA |2
，(m >0)，即：
，
因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为，代入上式消去k 得：
，又x 2+y 2
≠0，整理得：
(m >0)，……9分
当k =0或斜率不存在时，上式仍然成立，
综上所述，点M 的轨迹方程为
(m >0)…………………10分
(3) 当k 存在且不为零时，由(2)得：，，|OA |2
=
，
由，得：，，|OM |
2
………13分
|AB |2=4|OA |2
=
，故=………14分
≥==，当且仅当4+5k 2=5+4k 2
时，即k =±1时，等号成立，
此时△ABM 的面积的最小值为．…………………16分
当k =0时，==>，当k 不存在时，==>，综上所述，
△ABM 的面积的最小值为．……………………………18分
9. 设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（1）若6ED DF =u u u r u u u r
，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值．
（1）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=， 直线
AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设
001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <，且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故212
14x x k
=-=
+
由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-
，得021215(6)77x x x x =+==；
由D 在AB 上知0022x kx +=，得02
12x k
=+
．所以212k =+，
化简得2242560k k -+=，解得23k =
或3
8
k =． （2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别
为
1h =
=
，2h =
=
又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为
121()2S AB h h =
+12=
=
=
≤ 当21k =，即当1
2
k =
时，上式取等号．所以S
的最大值为 解法二：由题设，1BO =，2AO =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△222x y =+
=
=
=
当222x y =时，上式取等号．所以S
的最大值为
四、垂直关系
10.（上海春季）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(10)F ，，短轴的两个端点分别为1B 、2B 。 (1) 若112F B B △为等边三角形，求椭圆C 的方程；
(2) 若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11
F P FQ ⊥u u u r u u u r ，求直线l 的方程。 解：（1）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=（0a b >>）。
根据题意知22
21
a b a b =??-=?，解得243a =，2
13b =，故椭圆C 的方程为2214133
x y +=。 （2）容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=。
当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-。
由2
2
(1)
12
y k x x y =-???+=??，得2222
(21)42(1)0k x k x k +-+-=。 设11()P x y ，，22()Q x y ，，则2122421k x x k +=+，2122
2(1)
21k x x k -=+，111(1)F P x y =+u u u r ，，1
22(1)FQ x y =+u u u r
，， 因为11F P FQ ⊥u u u r u u u r ，所以11
0F P FQ ?=u u u r u u u r
，即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--
2
2
2
1212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021
k k -==+，
解得21
7
k =
，即k =
故直线l
的方程为10x +-=
或10x -=。
11. 如图，设椭圆12
22
=+y x 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线
l 使得F 为BMN △的垂心。若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
解：由已知可得，B (0，1)，F (1，0)，∴k BF =-1。 ∵BF ⊥l ，∴可设直线l 的方程为y =x +m ， 代入椭圆方程整理，得2234220x mx m ++-=。
设11()M x y ，，22()N x y ，，
则1243
m
x x +=-，212223m x x -=。
∵BN ⊥MF ，∴1212
1
11y y x x -?=--，即1212120y y x x y x +--=。
∵11y x m =+，22y x m =+，∴121212()()()0x m x m x x x m x +++-+-=。 即212122(1)()0x x m x x m m +-++-=，
∵222242(1)()033m m m m m -?+-?-+-=，∴2
340m m +-=，∴43
m =-或1m =。
由222(4)12(22)2480m m m ?=--=->，得23m <
又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴4
3m =-，
故存在直线l ：4
3
y x =-满足题设条件。
F
B
N
M
l
O x
y
12. （2012年高考（湖北理））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与
x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且
。当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H 。是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。
解析：
（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且， 可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m
=。①
因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=。②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2
22 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且。
因为(0,1)(1,)m ∈+∞U ，所以
当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,
。
（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ， 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得
222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=。
依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得
21
1222
44k x x x m k
-+=-+，即2122
24m x x m k =+。 因为点H 在直线QN 上，所以2
121222224km x y kx kx m k
-==+。
于是11(2,2)PQ x kx =--u u u r ，2211
21212222
42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++u u u r 。
而PQ PH ⊥等价于222
122
4(2)04m k x PQ PH m k -?==+u u u r u u u r ，
即220m -=，又0m >，得m
故存在m =2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥。
解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ， 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222112
2
2
2
22,,
m x y m m x y m ?+=??
+=??两式相减可得
222221212()()0m x x y y -+-=。③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠。于是由③式可得212121212()()()()
y y y y m x x x x -+=--+。④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121
12
2y y y x x x +=+。
于是由④式可得211212*********()()12()()2
PQ PH
y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=---+。
而PQ PH ⊥等价于1PQ PH
k k ?=-，即212
m -=-，又0m >
，得m =
故存在m =2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥
13. （10浙江/21）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2
22:1x C y m
+=，12,F F 分别为椭圆C 的左、
右焦点.
(1) 当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
(2) 设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
【解】（Ⅰ）因为直线:l 202m x my --=
经过2F
22
m =
，得22m =， 又因为1m >
，所以m =
，故直线l
的方程为10x --=.
（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y
由2
22221m x my x y m
?=+????+=??，消去x 得：22
2104m y my ++-=
则由22
28(1)804m m m ?=--=-+>，知2
8m <，且有212121,282
m m y y y y +=-?=-
由于12(,0),(,0)F c F c -，由重心坐标公式可知1122(,),(,)3333
x y x y G H .222
1212()()99x x y y GH --=+
设M 是GH 的中点，则1212
(
,)66
x x y y M ++，由题意可知2MO GH < 即22
2212121212()()4[()()]6699
x x y y x x y y ++--+<+
，即12120x x y y +<
而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22
1(1()82m m =+-），所以21082
m -<，即24m <
又因为1m >且0?>，所以12m <<，所以m 的取值范围是(1,2).
14. （09山东/22）设椭圆E ：22
221x y a b
+=（a ，b >0）过M (2
，N
1)两点，O 为坐标原点.
(1) 求椭圆E 的方程；(2) 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，
B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由.
【解】（Ⅰ）因为椭圆E ：22
221x y a b
+=（a ，b >0）过M （2
，N
，1)两点，
所以2222421611a b a b +=+=???????，解得2211
8
114a b
?=????=??，所以2284a b ?=?=?. ∴椭圆E 的方程为22184x y +=.
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r
，设
该圆的切线方程为y kx m =+，
解方程组2218
4x y y kx m +==+??
???，得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，122
2
1224122812km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
，要使OA OB ⊥u u u r u u u r ，需使12120x x y y +=， 2
2
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 2222222
222
(28)48121212k m k m m k m k k k --=-+=
+++ 即22222
28801212m m k k k --+=++，所以22
3880m k --= 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r =222
228381318
m m r m k ===-++
，∴r b < 此时圆2
2
8
3
x y +=都在椭圆的内部，所以圆的切线与椭圆必有两个不同的交点，且OA OB ⊥u u u r u u u r .
而当切线的斜率不存在时，切线x =与椭圆22184
x y +=的两个交点为
，)或
(
，，满足OA OB ⊥u u u r u u u r . 综上，存在圆心在原点的圆228
3
x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r .
12
||
AB x x
=-=
=
①当0
k≠
时||
AB=，因为2
2
1
448
k
k
++≥
所以
2
2
11
18
44
k
k
<
++
≤，所以
2
2
32321
[1]12
1
3344
k
k
<+
++
≤，
||
AB≤
2
k=±时取“=”.
②当0
k=
时，||
AB=.
而当AB的斜率不存在时，两个交点为
，)或
(
，所以此时||
AB=，
综上，|AB|
|
【另解】对于求||
AB
如图，设AOTθ
∠=，∠
Q
则cot)
ABθθ
+
tan
AT
OT
θ==
所以当tan1
θ=时，
min
||
AB
当tanθ=时，||
AB
五、存在性问题
15. 以椭圆)1
(1
2
2
2
>
=
+a
y
a
x
的短轴的一个端点)1,0(B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，问这样的直角三角形是否存在？如果存在，请说明理由，并判断最多能作出几个这样的三角形；如果不存在，请说明理由.
解：①过点)1,0(B分别作斜率为1
±的直线，必与椭圆1
2
2
2
=
+y
a
x
各另有一交点N
M,，则BMN
?即为所求的等腰直角三角形，故这样的内接等腰直角三角形至少有一个；
②如除了(1)给出的内接等腰直角三角形外，还存在其他的内接等腰直角三角形，那么设直线
1
:
1
+
=kx
y
l，1
1
:
2
+
-
=x
k
y
l，)1
,0
(≠
>k
k，则
1
l与
2
l均过点)1,0(B，且互相垂直，
1
l与
2
l与椭圆分别
交于F E ，，
???+==-+1
02222kx y a y a x ?02)1(2
222=++kx a x k a ?)11,12(2
222222k a k a k a k a E
+-+-. 用k 1-代k ，得)1111,111
2(2
22
2222
k
a k a k a k a F +-+?),2(2
222222a k a k a k k a F +-+ 2
2
222
2
22]12)[1()1(||k a k a k x k BE E
+-+=+=，
22
222
222222222
]2)[1(]2[1)11(||a
k a k a k k a k k x k BF F ++=++=+= ∵1,0≠>k k ，∴||||BF BE =?2
22222212a
k a k a k a +=+?2
2231k a k a k +=+ ?11
)1()1)(1(122
32
++=-++-=--=k k k k k k k k
k k a . 由1,0≠>k k 得，32>a ?3>a ，由于椭圆关于y 轴对称，故当3>a 时，还存在斜率1±≠k 的内接等腰直角三角形两个.
综合：①当13a <≤
时，可作出一个椭圆的内接等腰直角三角形（图1），②当3>a 时，可作出
三个椭圆的内接等腰直角三角形（图2）.
F 2
F 1
y
x
P Q
O
16. （2015虹口二模）已知圆1
F ：
22
(1)8x y ++=，点2F (1,0)，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交
1
QF 于点P .
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设M N 、分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N
在第三象限，若
122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r
, O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；
(3)过点
1
(0,)
3S -的动直线l 交曲线C 于A B 、两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆 恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1) 因为
2
QF 的垂直平分线交
1
QF 于点P . 所以
2PF PQ
=，从而
121112222,
PF PF PF PQ FQ F F +=+==>=
所以，动点P 的轨迹C 是以点
12
F F 、为焦点的椭
圆. ……3分
设椭圆的方程为122
2
2=+b y a x ，则22,222==c a ，
1222=-=c a b ，
故动点P 的轨迹C 的方程为
2
212x y += ……5分
(2) 设
1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)
a b a b >><<，则
2222112222,22
a b a b +=+= ①
因为122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r
，则121222,20a a b b +=-+= ②
由①、② 解得
11221
14514
,,,2
448a b a b =
==-=- ……8分
所以直线MN 的斜率
MN
k 2121314b b a a -=
=
- . ……10分
(3)设直线l 的方程为1,3y kx =-则由2
21312y kx x y ?
=-????+=??，得
22
9(21)12160,k x kx +--=
由题意知，点1(0,)
3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、 22(,)B x y ，则
1212
22416,.3(21)9(21)k x x x x k k +=
=-++ ……12分
假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则
1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=-u u r u u r
因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ?=-?-=u u r u u r
即
1212()()0
()
x x y m y m +--=* ……14分
因为
112211
,,
33y kx y kx =-=-故()*可化为 2
121212221212()121
(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++
22
22222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)
k k k m m m k k m k m m k +=--+?+++
++-++-=
+
由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ?=u u r u u r
恒成立，故22
10,3250m m m ?-=?
?+-=??
解得 1m =.
因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分
17. （2015嘉定二模）已知椭圆1:22
22=+b
y a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，
过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且12220F F F D +=u u u u r u u u u r r
。
（1）求证：△21F BF 是等边三角形；
（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；
（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点。在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）设)0,(0x D （00 因为F ⊥2，所以02 0=--b cx ，（1分） c b x 2 0-=，故??? ? ??--=0,22c c b F ，（2分） 又)0,2(21c F F =，故由02221ρ=+F F F 得032 =-c b c ，所以，223c b =。（3分） 所以，3tan 12== ∠c b F BF ，?=∠6012F BF ，即△21F BF 是等边三角形。 （4分） （2）由（1）知，c b 3= ，故c a 2=，此时，点D 的坐标为)0,3(c -，（1分） 又△2BDF 是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1c F -，半径为c 2，（3分） 所以， c c 22 | 3|=--，1=c ，3=b ，2=a ， （5分） 所求椭圆C 的方程为13 42 2=+y x 。（6分） （3）由（2）得)0,1(2F ，因为直线l 过2F 且不与坐标轴垂直，故可设直线l 的方程为： )1(-=x k y ，0≠k 。 （1分） 由22(1) 143y k x x y =-???+ =?? ，得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，（2分） 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有2221438k k x x +=+，2 22143124k k x x +-=，（3分） 由题意，11(,)M x y -，故直线QM 的方向向量为),(1212y y x x d +-=ρ ， 所以直线QM 的方程为 1 21 121y y y y x x x x ++=--，（4分） 令0=y ，得) 1()1()1()1()(121 221121*********-+--+-=++=++-= x k x k x x k x x k y y x y x y x y y x x y x k x x k x x k x kx 2)()(2212121-++-=2)()(2212121-++-=x x x x x x 2 4384384312422 222 22-++-+-?=k k k k k k 46 24=--=。 （5分） 即直线QM 与x 轴交于定点）0,4(。 所以，存在点)0,4(N ，使得M 、Q 、N 三点共线。（6分） （注：若设0(,0)N x ，由M 、Q 、N 三点共线，得01 110 22 11 =-x y x y x ， 得2 11 2210y y y x y x x ++= 。） 六、定点或定直线问题 18. 已知椭圆方程为22 142 x y +=，当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时， 在线段AB 上取点Q =Q 总在某定直线上 解：设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r 均不为零，记AP AQ PB QB λ== u u u r u u u r u u u r u u u r ，则0λ>且1λ≠ 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP PB λ=-u u u r u u u r ，AQ QB λ=u u u r u u u r ， 于是1241x x λλ-= -，1211y y λλ-=-，121x x x λλ +=+，12 1y y y λλ+=+。 从而22212241x x x λλ-=-，L L （1）222 12 2 1y y y λλ -=-，L L （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y +=L L 22 2224,(4)x y +=L L （1）+（2）×2并结合（3），（4）得4x +2y =4， 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上。 19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2 ，短轴长为 (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则 22222, 2, c b a b c =??=??=+? 解得 2, a b =??? =??∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=．……… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m ?? +=??=+? 消去y ，得 ()2223484120k x kmx m +++-=………… 6分 由题意△()( )()2 2 2 84344120km k m =-+->，整理得：22340k m +-> ① …………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122 834km x x k +=-+， 212241234m x x k -=+……… 8分 由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)，∴ ()()1212220x x y y --+=………… 10分 即 ()()()2 2 12 1 2 1240 k x x km x x m ++-+++=， 也 即 ()()22 2 22412812403434m km k km m k k --+?+-?++=++， 整理得2271640m mk k ++=．解得2m k =- 或 27 k m =- ，均满足①…………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去； 当27k m =- 时，直线l 的方程为 27y k x ? ?=- ?? ?，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2 (,0)7 ． ……………………… 13分 20. 在直角坐标系xOy 中，点M 到F 1(0)、F 20)的距离之和是4，点M 的轨迹C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线l ：y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． (1) 求轨迹C 的方程；(2) 当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 解：（1）∵点M 到(0)，0)的距离之和是4， ∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为 2 214 x y +=…………………3分 （2）将y kx b =+，代入曲线C 的方程，整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=…………………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以22 2 2 2 2 644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+>． ① 设1122()()P x y Q x y ，，，，则122 814kb x x k +=-+， 21224414b x x k -=+． ②………7分 且 22 12121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ?=++=+++． ③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点(2,0)A -， 所以11(2,)AP x y =+u u u r ，22(2,)AQ x y =+u u u r ，由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=，………………………10分 所以(2)(65)0k b k b --=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件①． 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点(2,0)-点．即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k = 时，直线l 的方程为65()56y kx k k x =+=+．显然，此时直线l 经过定点6 (,0)5 -点，且不过点A ． 综上，k 与b 的关系是：65b k = ，且直线l 经过定点6 (,0)5 -点．…………13分 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >> 椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。 ∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为 椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=； 椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质： 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。 椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ； 人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦： 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用： e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中，F 1PF 2 ，则当P 为短轴端点时 最大，且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系： 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ； ~2~ ； a y 。 范围：0 e 1, e 越大，椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点，焦点 为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定 a 2, b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1； 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆 y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是（ ） 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方 2 2 a ， b ,从而求出标 1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为 10,则M 的轨迹为（ A 椭圆 B 圆 4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 （ ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1 （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 椭圆题型归纳大全 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y += 4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程； 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 椭圆与双曲线常见题型总结(附答案) 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。 椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 椭圆各类题型分类汇总 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 例5 已知动圆P 过定点()03， -A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+ y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴 端点为 1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 3.第二定义应用 例1 椭圆112 162 2=+ y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标． 例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距 离． 例3 已知椭圆15 92 2=+ y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆1492 2=+ y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使 AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用 考点11 椭圆 1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ． 45 B ．35 C ．25 D ．15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+， ∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+， ∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴ 0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 3 5 c e a = =，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ?u u u r u u u r 的表达式，进而转化 为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴?=?++u u u r u u r 2001x x 34=++()2 01x 224 =++，又[]0x 2,2∈-， () []OP FP 2,6∴?∈u u u r u u r ，所以 ()max 6OP FP ?=u u u r u u u r . 3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22 221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦 点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程. 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得 2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ，M 是α内的动点，且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹. 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。 8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求 椭圆方程. 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点，则该椭圆的方程 为 。 3. 如果椭圆：k y x =+224上两点间的最大距离为8，则k 的值为 。 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方 形的四个顶点，且椭圆C 过点A （2，－3），求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离为 354和3 52，过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 知识点回顾： 题型一、定义及其应用： 知识点： 例1、已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2、方程2x =++所表示的曲线是 练习： 16=对应的图形是（ ） A 、直线 B 、线段 C 、椭圆 D 、圆 210=对应的图形是（ ） A 、直线 B 、线段 C 、椭圆 D 、圆 310=成立的充要条件是（ ） A 、 2212516x y += B 、221259x y += C 、2211625x y += D 、22 1925 x y += 41m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5、过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6、设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二、椭圆的方程。 知识点： （一）由方程研究曲线 例1、方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4、求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 22x y 22 x y 1. 椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1 ）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 椭圆的标准方程为: （2）当A 2,0为短轴端点时, 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况. 2 2 例2已知椭圆— 匚 1的离心率e k 8 9 分析：分两种情况进行讨论. 由e 1，得」1，即 2 9 4 k 5 0, 得3 k 5，故k 的取值范围是3 k 5. 3 k 0, 椭圆经典例题分类汇总 2 2 例3 已知方程 x y 1表示椭圆，求k 的取值范围 k 5 3 k k 5 0, 解: 由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4. k 5 3 k, ?满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为: 2 2 x y 4 16 ，求k 的值. 解：当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2 b 2 9，得 c 2 k 1 .由 e 当椭圆的焦点在y 轴上时, b 2 得c 2 ???满足条件的k 4或k 4 说明：本题易出现漏解?排除错误的办法是： 可能在x 轴上，也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点 k 5,且 k 4. 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b 时，并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0 ）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围. 说明：本题易出现如下错解：由 椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0 椭圆高考典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程2x =++所表示的曲线是 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.10成立的充要条件是（ ） A. 2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22 1925 x y += 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 22 21()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹； （五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2 214 x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程； 例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB = 的点，求点P 的轨迹方程； （七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1 2 ，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题 例1. 已知椭圆 22 11625 x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠； 例2. 题型四.椭圆的几何性质 例 1.已知P 是椭圆22 221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ， 则12PF PF 的最大值与最小值之差为 例 2.椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的 离心率为 ； 椭圆题型总结 一、焦点三角形 1. 设F 1、F 2是椭圆12 322 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。 （法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，， 根据椭圆的定义，1||AF m = ，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得 22 22)44cos )44cos m m m n n n αα ?=+-??=++??， ∴m = ，n = ∴1 1211 ||||2()sin 22 F AB B A S F F y y m n α?=?-=??+ α= =令sin t α=，所以01t <≤，∴2 1()22t g t t t t = =++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2 πα= 时，max 1()3 g t =，故1ABF △ （法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2+3y 2=6联立，消x 得 (2m 2+3)y 2+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆内定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则 Δ=48(m 2+1) 1ABF S ?=|y 1-y 2 |= 令 t=m 2+1≥1，m 2=t-1， 则 1ABF S ? = t ∈[1,+∞) f(t)=144t t ++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1 注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。椭圆典型题型归纳(供参考)
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