北京大学高等代数 I_2013 期末答案

北京大学数学科学学院期末试题答案

2013 -2014学年第 1 学期

考试科目 高等代数I 考试时间 2014 年 1 月 2 日 姓 名 学 号

一．（30分）填空题 .

1. 已知 A = ⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡01t 1t 101. 当 t = ±2 时, tr （A T A ）= 12 ； 当 t 取 t ≠ 0 值时, AX = 0 解空间的维数等于A 的秩 .

2. 设A, B, C, D 为n 阶矩阵, 且A 可逆. 若有可逆的分块矩阵P , Q , 使得

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E 00A Q D C B A P , 其中E 是n 阶矩阵, 则P =⎥⎦⎤⎢⎣

⎡--n 1n

I CA 0I ,

Q = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n 1n I 0B A I (写出一种取法), 此时E = D – CA -1

B .

3．将矩阵A =

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡31245

1

写成U D U -1

的形式, U 为可逆矩阵, D 为对角矩阵, 则U =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1112, D = ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡40001. (写出一种取法); 当k 趋于正无穷时,

A k

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡11趋于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232.

4. 当 a 取 ( -1, 1 ) 值时, 三元二次型 f = x 12 + 2 x 22 + x 32 + 2 a x 1 x 2 – 2 x 2 x 3

正定 ; 此时作变量替换 X = C Y , C =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡----1110011001122

2

a a a a , 可将 f 化为规范型.

5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {B} {ACD}, 相似分类 {AC}{B}{D} ; 合同分类 {A}{B}{C}{D}.

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2t 2t 40200D 201020102C 000030013B 100121003A ,,, (t 取任意实数) 6. 在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C , 则恰有 48_ 个3阶

正交矩阵A , 使得线性变换 X → A X 保持C 整体不变(顶点映成顶点), 这些正交矩阵中又恰有 _16_ 个矩阵迹等于0 .

二.（12分）已知 A =⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡010022102, 且A X + I = A T + X , 求矩阵X .

解: 移项, 得 ( A －I ) X = A T －I , 对 [ A －I | A T －I ] 作行变换

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡--1011

101101

202

11

01 ⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----→10111013221002

11

01 ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----→

2331

0013221002

1

101 ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----→233

1

00334010212001 于是 X = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----233334212.

三.（18分）设α 1 , α 2 , α 3 , α4是矩阵A = 的列向量.

(1) 求子空间 V = < α1 , α2 , α3 , α4 > 的一组基底 ;

(2) 当a , b 取何值时, 列向量 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 此时β在 (1) 中基底下的坐标是什么?

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-96390011541310113202

解: (1) 对矩阵A T 作行变换, 得到简化阶梯形

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=90513

6040231110913

1

2A T ⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→01201

604023111031

110⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000003100000110302

01 简化阶梯形矩阵的非零行构成A T 行空间的基底, 即

β1 =⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡30201 , β2 =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00110, β3 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000 构成V 的`一组基.

(2) 若 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 则必有β = β1 + a β2 + b β3 . 比较第3, 第5个分量, 有 2 – a = 2 , 3 + 3b = 1 + a . 由此解得a = 0 , b = -2/3 .

此时β在基底β1 , β2 , β3 下的坐标是 ( 1, 0, -2/3 ).

四.（16分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.

1) 若A 是一个n 阶矩阵( n > 1 ), 则一定存在一个n 阶矩阵 B , 使得 B A 是 对角矩阵, 且B A 的秩等于A 的秩 . 解: 错误.

反例: 取 A =⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡0011. 若有矩阵B, 使得B A 是非零的对角矩阵, 则 B A 011≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. 但这是不可能的, 因为011A =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-.