初中数学教材教法研究初探

初中数学教材教法研究初探

一、引言

1、教师的专业危机

与医生或律师等专业性较强的职业相比，教师职业的专业性明显不足。这种状况如不改善，将很难提升教师职业的专业门槛和社会声誉。

2、新时期我国基础教育发展的主要方向。

西方发达国家的经验告诉我们，基础教育的发展基本上走的是从“数量发展”到“质量提高”的道路，两者虽有一定的交叉，但是阶段性比较明显。在基础教育发展的初级阶段，政府更加关注的是诸如“入学率”、“流生率”、“义务教育年限”等数量方面的指标，当实现了一定程度的数量普及，政府开始关注基础教育

的质量问题，如“教学目标的多样化”、“提高课程的适切性和灵活性”、“降低课堂的师生比”、“鼓励个别化教学”、“重视学生个体的学习需要和学习质量”等等。目前我国基础教育的发展已经从“数量稀缺”走向“质量稀缺”，即有质量的基础教育的稀缺。所有这些都对教师的专业性提出了更高的要求。见下表：

二、转

和学习方式，

弘扬学生的

主体性

我们认为学

生的课堂学习要

有充分的可支配

的时间。因为学

习成绩的提高，

不是简单的时间

的叠加或累积，或者说延长学习时间，而应该是学习效率的极大提高和学习潜能的激发。乌克兰教育科学院专家反复强调了苏霍姆林斯基的一个观点：只有当孩子每天按照自己的愿望随意使用5~6小时的空余时间，才有可能培养出聪明的、全

面的人。教育学家夸美纽斯在《大教学论》中写到：找到一种教学方法，使教师因此可以少教，但是学生可以多学；

使学校因此可以少些喧嚣、厌恶和无益的劳苦，独具闲暇、快乐及坚实的进步。这是多么独到的对时间的诠释。由于种种原因，我们可能犯有这样或那样的失误，但决不能饶恕的是用挤占学生的“时间”来扑灭学生旺盛的求知欲，扼杀学生的创造力。对一个人的终生发展来说，学习的兴趣和能力至关重要。教育应该让孩子从小就感到读书是一件很有乐趣的事情，使学习成为一种乐趣和需要，特别忌讳用强迫性学习的目的剥夺学习的享受性质。没有自主学习的乐趣，就不会有长远的学习效果。经验证明，一个人最终能否成材，往往不取决于学历的高低和课堂知识的多少，而取决于是否善于自我教育。所以新课程强调的是探究学习和合作学习。

1、探究学习的条件

探究学习是从知识获得的途径与方式的角度对学习进行的分类，它相对于接受学习。所谓探究学习即从学科领域或现实社会生活中选择和确定研究主题，在教学中，创设一种类似于学术（或科学）研究的情境，通过学生自主学、独立地发现问题、实验、操作、调查与处理信息、表达与交流等探索活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，特别是探索精神和创新能力发展的学习方式和过程。从这个定义可以看出，探究的主题既可以是学科领域的，也可以是社会生活中的；它最根本的特点是学生自主、独立地发现问题；其目标不仅仅是知识与技能、情感与态度的发展，更重要的是探索精神和创新能力的发展；探究既是一种学习方式，也是一个学习过程。

问题性、实践性、参与性和开放性是探究学习的本质特征。经历探究过程，获得深层次的情感体验、建构知识、掌握解决问题的方法是探究性学习的三个目标。

在课堂教学中实施探究学习必须具备以下条件：

（1）要有探究的欲望

探究就是探讨研究，探究是一种需要，探究实际上就是求知欲。探究欲望是一种内在的东西，它解决的是“想不想”探究的问题。在课堂教学中，教师一个十分重要的任务就是培养和激发学生的探究欲望，使其经常处于一种探究的冲动之中。

例如，在讲到平方差公式时，首先教师出示计算题，教师与学生一起开展计算多项式乘法竞赛，教师的速度又远远超过学生，这其中原因就是教师运用了平方差公式。那么什么是平方差公式，平方差公式为什么会有这么好的作用就成了学生急于弄清的问题。学生的探究欲望被激发起来了，于是很自然就有了后面的探究过程。教师再学生用多项式乘法证明了平方差公式后向学生提出，你能不能用图形来证明一下平方差公式。图形能证明代数吗？怎样来证明呢？这些都是学生想要搞清楚的事情。因为在初二学生的头脑中还没有用图形证明代数问题的意识。这样同样极大地激发了学生探究的欲望，培养了学生这种探索的情感。（2）探究要有问题空间

不是什么事情，什么问题都需要探究的。对于初中生来说1+1=2这是无须探究的。问题的空间有多大，探究的空间就有多大。如在上个例子当中，教师要求学生从多项式乘法运算中自己发现平方差公式，这个问题不是学生一眼就能看明白，一下子就能想明白的，它需要认真观察、比较，脑子多转几个弯才能发现的，因此它为学生提供了较大的探究空间。要想让学生真正的探究学习，问题设计是关键。问题从哪里来，一方面是教师设计，一方面是学生提出。我们就教师如何设计具有探究空间的问题谈谈自己的看法。

教师要想设计出具有一定的探究空间的问题必须从内容和形式两方面去努力。

①从内容上，教师设计的问题必须符合维果茨基的“最近发展区”理论。前苏联教育家维果茨基在谈到教学和发展关系时，提出了这个理论。他认为，儿童有两种水平，一种是儿童现实所实际具有的水平，叫现实水平；一种是在教师的引导下儿童所能达到的水平，是潜在水平。在儿童的现实水平和潜在水平之间存在一定的空间，这个空间就是最近发展区。我们形象地把他称为是“跳一跳，摘桃子”。这个桃子不是伸手可得，需要跳起来才能摘到

手；但又不是怎么跳也够不到。教师在设计问题时，一定要把问题落在“最近发展区”，这样的问题是最具有探究价值的。太难或太易都没有探究价值。

②从形式上，教师要从教学目标出发，更多的设计一些发散类问题和探索类问题。从问题涉及的内容看，我们把问题类型分为四类：一类是判别类问题。主要是对事物加以判定，代表性词语是“是不是”、“对不对”；二是描述类问题。主要是对客观事物加以陈述和说明，代表性词语是“是什么”、“怎么样”；三是探索类问题。主要是对事物的原因、规律、内在联系加以说明，代表性词语是“为什么”、“你能从中发现什么”；四是发散类问题，主要是从多角度、多方面、多领域去认识客观事物，代表性词是“除此之外，还有那些方法”、“你从中体会到了什么”。这类问题最根本的特点是答案不唯一。

（3）要有充分的自主学习时间

在课堂教学中，时间是最重要的学习资源。一个教师对时间如何分配，直接反映这个教师的教学观。探究的问题性、实践性、参与性和开放性决定了探究学习必须有充分的自主学习时间，否则就是一句空话。苏霍姆林斯基曾说过，自由支配的时间是学生个性发展的必要条件，苏霍姆林斯基所说的自由支配时间，其实就是这种自主学习的时间，同样它也是探究的必要条件。

（4）要有多维互动的交流的空间

儿童深层次的认知发展既需要独立思考，更需要合作交流。建构主义把协作交流作为学习的基本要求之一。因为，从理论上说儿童之间都存在个体差异，这种差异就是一种宝贵的学习资源，儿童的思维彼此之间的差异就是最近发展区。如果我们的课堂是“一言堂”、“满堂灌”还有什么探究可言。可以把个别学习与合作学习结合起来，从而为学生的探究提供了广阔的交流空间；或者学生先自主学习，然后小组交流和班级展示，引导学生在形成自己的思考后通过交流来学习。

（5）反思探究的过程让学生体验到成功

学生在探究的过程中，无论是成功还是失败，都会有自己的体验，这种体验是别人无法代替的，学生在体验中感受，就会增强学生探究的兴趣，从而形成一种探究的思考方式，能有效的培养学生的创新精神和创新能力，让学生在探究中热爱数学、学好数学。学生的探究反思往往是把学生在探究过程中的体验上升到理性，让学生在探究的体验变成一学习的动力，成为一种思考习惯和生活方式。

2、合作学习的有效性

合作学习是从学习的组织形式的角度对学习的分类，相对于个别学习。合作学习是指学生在小组或团队中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互助性学习。20世纪80年代，随着建构主义理论的兴起，合作学习越来越受到各国教育的广泛关注。合作学习的基本要素：积极的相互支持、配合，特别是面对面的促进性互动；积极承担在完成共同任务中个人的责任；期望所有的学生能进行有效的沟通，建立并维护小组成员之间的相互信任，有效地解决组内冲突；对于完成各人完成的任务进行小组分工；对共同的活动成效进行评估，寻求提高其有效性的途径。

合作学习的过程不仅仅是个人认知过程，更是一个交往过程与审美过程。在合作学习的过程中，学生不仅可以相互间实现信息与资源整合，不断地扩展和完善自我认知，而且可以学会交往，学会参与，学会倾听，学会尊重他人。这些都是21世纪公民所应该具有的素质。

例如，在讲到平方差公式时，首先教师出示计算题，教师与学生一起开展计算多项式乘法竞赛，教师的速度远远超过学生，这其中原因就是教师运用了平方差公式。那么什么是平方差公式，平方差公式为什么会有这么好的

作用就成了学生急于弄清的问题。然后教师说：“大家从这四个题目中自己找一找，看看存在什么规律，当你找到规律时，平方差公式就找到了。”（学生个别学习，大约3分钟）。此时教师看大家都有了自己的想法，就说：“请把你的想法说给同桌，一个说一个听，然后调换角色。要注意说的一方首先要整理思维，就是要把你阐述的问题说清楚，最好列出几条，听的一方要仔细听对方的阐述，在哪儿阐述的清楚在哪儿阐述的不到位。应该如何调整。最后每个小组要推选一位中心发言人代表本小组向全班交流。”（学生按各自的小组开始合作学习，每组4~6人，教师深入到每个小组，先是认真倾听每个学生的发言，针对不同情况加以引导，使各组的讨论既热烈又深入。讨论大约持续了10分钟）。最后各组的中心发言人把本组的认识与想法向全班交流，教师充分肯定各组合作学习的表现。

在学生发现了平方差公式后，教师接着说：“下面的时间大家采取小组合作的形式，利用平方差公式自编应用题，看看哪个小组编得又快又多又好。”（学生按照老师的要求开展合作学习，教师深入各组巡视，仔细看他们编出来的题，发现有特点的，就让他们当中的同学上黑板写出来）。教师问：“你们能否再变换一下角度来编题？”（小组又继续讨论，在巡视中教师发现两个学生不出声，问是为什么，学生说是对公式中的a和b究竟代表什么还没有完全搞清楚，教师及时给这两位学生讲解，学生边听边点头）。我们可以从这个例子可以看出如何才能提高合作学习的有效性。

（1）合理分组

合作交流适宜采用异质分组的原则，每个小组4~6人为宜，每个学期应该调整一次小组的划分，以便有更宽的交往空间。

（2）规范操作

①小组中只有两种角色，一种是学习的操作者，一种是学习的检查者，这两种角色由小组成员轮流担任。

②在全班交流中，只有中心发言人，没有小组长，而且中心发言人是轮流担任，每个人的机会是均等的。培养学生平等合作的意识。

③中心发言人的久留代表的是小组而不是个人，教师对中心发言人的评价不是对其个人的评价，而是对这个小组的评价。

④要给予足够的时间，这点非常重要。必须确保每个学生在小组的充分交流和表现的机会。

（3）明确任务

开展合作学习的任务的选择非常重要，必须选择那些具有一定的挑战性、开放性、探索性的问题才能开展合作学习。如果教师提出一个计算的问题让学生进行合作学习那就没有太大意义了。

（4）形式整合

所谓形式整合是指合作学习在实施中要与其它学习形式进行整合，以期求得最佳效果。如先独立思考，整理自己的思路，从心理上做好与他人交流的准备，形成自己的思想和认识再开展合作学习。

（5）全班交流

合作学习最终要让各小组向全班交流，分享成果。交流的内容一是认知和技能方面的；二是过程与方法方面的；三是情感态度与价值观方面的。尽量达到最大范围的资源整合。

（6）教师的作用

教师在学生的合作学习中应该是组织者、引导者、参与者。教师必须深入到每个小组，认真倾听大家的发言，

适时地与小组成员进行交流。具体说有以下作用：规范行为；发现火花；排除障碍；引导深入。

三、"开放型"数学教学模式

1、该模式的产生背景：

当今社会是高度信息化的社会，这个社会要求人们面对汹涌而来的信息、不断

变化的事态作出快速、正确的反应与判断；也要求人们在浩瀚的信息群中探索出规律，找到解决问题的最佳策略。知识经济是建立在知识和信息的生产、分配和使用的基础上的经济，知识经济是智力经济，是建立在知识创新基础上的经济。知识经济的崛起给无知识者的机会越来越少，而且给低知识者、旧知识者与不会学习者的机会也越来越少。当今社会已逐步成为学习化的社会。教会学生学会学习、主动学习，树立终身学习的观念，体验知识创新，将来成为高素质的劳动者，这是决定中华民族创新进程的基础。社会的发展呼唤能够激发创造力的教育。

数学教育应适应社会的发展：数学教师应该孜力于为学生今后的个人生活、职业、社会生活准备数学工具，教师应该成为发展的动因和工具，而不是变革的障碍和牺牲品；数学不仅是理论研究成果构成的大厦，它也是一种活动过程——包括提问题、探索、调查、创造发明、问题解决；我们教的数学应该是一个整体，一个五花八门、缤纷精彩的数学。

陈旧的数学教学模式由于依赖于以教授者为本的教学思想和教学程序，学生的学习基本上是一种他主学习，即把学习建立在人的受动性的一面之上，依靠外在强制是其主要特征，缺少师生之间、学生之间的相互合作。造成学生缺乏主体意识，成为模仿解题机器；教师和教科书成为至高无上的权威；学生的数学学习能力、应用能力、探究能力和创造能力得不到应有的培养。总之目前我们数学教育的现状距离以学生发展为中心的要求相去甚远。

2、该模式的基本涵义

"开放型"数学教学模式，就是在数学教育中旨在学生于知识、能力、态度、品

格等多方面的发展。在课堂教学中使学生自然成为认知的主体，尊重学生以自己的方式构建数学知识，激起多数学生的好奇心，培养学生对数学的积极态度，给予学生体验知识创新的欢乐，培养学生的数学学习能力、探索能力和创新能力。

3、该模式的理论依据。

（1）数学学习心理学的一般原理：当今数学教育界普遍赞同的建构主义数学学习观认为，数学学习是学生主动接受数学知识，并以自己的方式进行构建的过程。所以，在课堂教学中使学生自然成为学习的主体既是教学的出发点，又是教学的归宿。教师的作用在于为学生提供良好的数学环境，使学生对已有的知识经验进行操作、交流、反省来主动构建新知，教师是知识的"助产士"，是教学活动的组织者、指导者和鼓励者；教师的重要任务是按照学生的思维模式，建立学生的数学意义，促进其有意义的发现学习。

（2）教育心理学的发展表明：人们逐步放弃行为主义的观点和方法，不再把数学学习看成被动地接受外部作用的影响，或看成一种刺激-反应的单向关系，而是转向认知方面的研究，认识到有了适当的外部条件和原有知识的基础，如果缺乏学习者的主动加工，新的学习仍然不能发生，即更侧重于教学情景下学生认知的能动性、创造性和科学的思考方法。通过问题情景、小组讨论、课堂实践等来激发学生的内部学习动机和创造动机已成为当代教学的基本立足点。

4、该模式的教学目标

"开放型"教学模式的主要目标是更加注重学生学习的主动性、生动性和活泼性，挖掘学生的潜能，同时强调

学生学习数学的能力、探索能力、创新能力、对数学的积极态度以及创新精神的培养。因此，在数学教育中，需要

使学生意识到自己是学习的主人翁，教师无法代替学生的学习；需要学生树立创新意识，主动思考问题，探索新知；需要培养学生的创造性思维能力，提高学生发现问题、解决问题的能力；需要发挥非智力因素的作用，培养学生的良好心理品质（特别是敢于发表己见，倾听别人意见的品质），全面提高学生的素质。

5、该模式的教学程序

（1）组织教学。其目的是使课堂保持安静和秩序井然，使学生做好物质上和心理上的准备，为教学的顺利进行创造良好的条件。

（2）认知准备。

其目的是复习已有的数学概念方法，这些概念或方法与本课的学习有密切联系，对要完成的任务极为重要。理清这些概念或方法，可调动学生的内部组织，为新知识的学习扫除障碍铺平道路。教育心理学的原理表明："影响学习的重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并据此进行教学。"

（3）设计引子。

其目的是教师设计或选用某一数学问题。通过师生的共同探讨，得出这个问题的解法。解决这个问题的知识与方法正是前面所复习的；这个问题本身或解决问题的方法可以进行开放或迁移，这个问题称为引子问题。引子问题的设计至关重要，它是整堂课成功的基础。

（4）提出问题，小组讨论，思维发散。

在教师与学生共同解决引子问题的基础上，教师可以发问：通过解决这个问题，我们已经得到了什么结论？通过类比、联想、猜测等我们还可以进一步得到什么样的结论（以上是结论的发散）？在其它什么条件下，我们同样可以得到这个结论（条件发散）？解决这个问题的方法是否可以用来解决其它问题？这个问题，我们是否可以用其它方法予以解决？其中最佳的方法是哪一种（方法发散）？针对教师的发问，组织学生小组讨论。小组讨论是开放型数学课的最显著的特征之一。在小组讨论中，学生们能有效地对相互之间的反应予以强化。有些事情学生从互相之间来学习可以比从成年人或书本上更容易接受。通过小组讨论能够产生"开窍反应"，经过"开窍反应"的集体能够产生解决问题的办法高于其每个成员单独工作所获得的解决办法。在小组讨论中，学生的思维得到很大的启发，思维成发散状态。

在小组讨论的前提下，教师选派学生代表发言，这是体现学生是学习主体的特征之一。以"我认为"为开场白的学生发言是"开放型"数学课的最重要的特征之一。学生的思维极为活跃，发言热烈，思维也达到一定的广度与深度。

（5）归纳总结，思维收敛。

对于学生众多的结论、见解，教师应与学生一起作出判断、归纳，揭示出认知

规律、探索的一般方法，强调对思维过程的反省，使知识条理化、方法最优化。这是达成教育目的不可缺少的一步，也是使思维有序的必要一步。

（6）布置作业。

它是对学生课外学习活动的安排，其目的是使学生合理利用课外时间，进一步巩固课内所学的知识、方法、

技能，培养他们的独立思考能力，延伸课内的思考，内化知识、能力。

三、初中数学教学中问题情境的创设

所谓问题情境，指的是一种具有一定困难，需要努力克服（寻求达到目标的途径），而又是力所能及的学

习情境（学习任务）。教学实践证明，创设良好的问题情境可以激活学生的求知欲，促使学生为问题的解决形成一个合适的思维意向，从而收到最佳的教学效益。

1、问题情境的创设原则

（1）遵循启发诱导原则

在教学中贯切启发诱导原则，主要是为了调动学生学习的积极性，引导学生积极思考，探索解决问题的方法。教师要善于结合教材和学生的实际状况，用通俗形象，生动具体的事例，提出富有启发性的数学问题，对学生形成一种智力活动的刺激，从而引导学生积极主动地去发现问题，获取知识。

（2）遵循直观性原则

在教学中贯彻直观性原则，主要是为了使学生掌握知识能建立在感性认识的基础上，帮助学生正确地理解书本知识。

（3）遵循及时反馈原则

教学过程是信息双向传递的过程，是在刺激反应和纠正反应中进行的，学生只有在不断的错误——理解——纠正的循环认知中，才能牢固地掌握所学的知识和技能。教师根据学生反馈的信息，设置疑惑情境，让学生参与讨论，在讨论中辩明正误，从而准确地掌握所学知识。

（4）遵循理论联系实际原则

学生学习数学知识，最终目的是应用于实际，解决实际问题，在教学中教师应创设实际的问题情境，帮助学生自觉地应用教学知识去分析，解决实际问题，提高解决问题的能力。

2、问题情境的创设要求

适宜的问题情境能激发学生的思维，调动学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，而不切实际，抽象空洞的问题情境只会使学生产生高深莫测的心理困惑，创设适宜的问题情境，应具备以下要素：

（1）具有最近发展区

问题情境的创设要与学生的智力和知识水平相适应。过易的问题学生不感兴趣，反之会使学生感到高不可攀。现代数学理论认为，在学生的“最近发展区”提出问题，能促进学生最大限度地调动相关旧知识来积极探究，找到新知识的“生长点”，从而实现学生的“现有水平”向“未来的发展水平”的迁移。因此，创设的问题情境必须依原有知识为基础，以新知识为目标，才能收到良好的效果。

（2）具有针对性

问题情境必须针对教学目标来创设

（3）具有一定的开放性

创设的问题情境必须具有趣味性，这样才能引起学生的共鸣，产生探究结论的兴趣，调动学生为问题的解决形成一个合适的思维意向。

（4）具有连续性

创设的问题情境具有连续性，能起到承前启后，温故知新的作用。问题情境可以具有单一的连续性，也可以具有层层递进的梯度式的连续性。

3、问题情境的创设方法

创设问题情境的关键是选准新知识的切入点，设计问题一定要有梯度，有连贯，能引起学生的注意和良好的情感体念。

（1）通过设计概念的发生，扩展过程创设问题情境

根据学习的认知理论，数学学习是数学认知结构的建立，扩大或重新组织的过程。无论是新知识的接受还是纳入，都取决于学生原有的数学认知结构。因此，在教学中，教师首先要考虑学生已经知道了什么，掌握到何种程度，然后再考虑数学教学内容的难易程度来提出问题，确保学生原有认知结构与新的数学知识相互作用。

范例1：建立平面直角坐标系的问题情境创设

对于平面直角坐标系的建立，如果仅按照教科书的叙述，直接给出什么叫平面直角坐标系，学生可能会疑虑重重，如产生这个数学模型是从那里来的呢等疑问，这种把概念作为“结果”直接抛给学生的教法，很难在学生的头脑中形成一个有效的认知结构。数学教学不应是“结果”的教学，而是“过程”的教学，在概念的教学中，要重视概念的形成过程，将思维过程暴露给学生。所以我们从复习制作折线统计图开始，设计了问题1

问题1 某地1997年每月的平均气温如下表：

通过问题1的复习，学生头脑里有了“1/4个平面直角坐标系”的概念，于是我们又设计了问题2：

你能根据下表中的数据，制作折线图？

问题2 某地1997年每月的平均气温如下表：

通过问题2的学习，学生从“1/4个平面直角坐标系”扩展到“1/2个平面直角坐标系”。

在小学里，学生还学过了两种相关联的量，因此，我们根据两种相关联的量设计了问题3 ：

通过问题3的学习，学生从“1/2个平面直角坐标系”扩展到“整个平面直角坐标系”，当教师祝贺学生发现了一个新的数学模型——平面直角坐标系时，同学们的脸上都露出了笑容，从而激起了他们学习数学的热情。

以上教学，从学生原有的认知结构出发，设计了问题1，问题2，问题3的学习情境，给学生以主动思考的线索，他们或独立思考或相互讨论，自己动了脑筋，处于积极学习的状态，在交流中内化了新知识，构造和改正了自身的认知结构，同时也消除过滤，在头脑里牢固地建起了平面直角坐标系。

（2）通过设“疑”，置“错”创设问题情境

设“疑”、置“错”，目的是激发学生的学习动机，教师有意识地将“疑”、“错”设在学习新旧知识的矛盾冲突之中，使学生在“疑中生趣”，“错中生奇”，这是学生学习新知识的最佳心理状态。

范例2：有理数的加法的问题情境

对于有理数的加法实际生活中有许多这样的事物，因此要以学生的日常生活经验为基础，学生为主体，自主探索，这当中会和小学的加法产生抵触，产生疑问，产生错误，从而引发学生的创新意识和对数学的强烈探索意识。

问题：某人在贯穿东西公路上的一点A进行两次步行，一次步行5米，另一次步行3米，问有几种步行方案，终点与A点的位置有几种不同的情况。

给学生充分的时间讨论、探索，由学生总结步行方案（共8种），终点与A点的位置不同的情况（共4种），并思考有理数的加法与小学的加减法的异同。

范例3：平行四边形的识别

在学习平行四边形特征的基础上探索由三角形补成四边形的方法，由此发现平行四边形的一些识别方法，体验数学活动充满着探索性和挑战性；经过自主探索和合作交流，敢于发表自己的观点，能从交流中获益。

问题：学生小Q很调皮，在课间的时候也想学数学老师的样子用三角尺在黑板上画平行四边形，可是画到了一半，上课了，数学老师进来了，小Q了自己的座

位上。

请同学们观察小Q留在黑板上的图形，你们能将他未画完的平行四边形补充完整吗？用尽可能多的方法，并且能说明你的理由。

学生分小组进行讨论，拿出补全方案，并尝试从平移与旋转的角度和简单推理进行说明；教师分别到各小组参与学生讨论，检查并指导学生活动，让学生尽可能多的得到多种方案，进而总结出平行四边形的一些识别方法。然后各小组选派小组发言人上黑板展示说明本组方案。

学生可能会得到以下平行四边形的识别方法：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（根据平行四边形的定义）

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（根据平移的特征）

应向学生说明的是，平行四边形从边、角、对角线看有许多特征，但是并不意味着只要一个四边形有以上某个特征就一定是平行四边形，我们应该对符合这些特征的四边形加以判断和说理，最终要根据平行四边形的定义。本节课的教学过程实际上是学生观察、类比、猜测、验证的过程，更是让学生体验知识的发生与发展的过程。

（3）采用试验——猜想——证明的方法创设问题情境

数学教学就是学生在教师的指导下，学习数学家的思维活动，在数学教学中存在着三种思维活动：（1）是数学家的思维活动（它出现在教材中）；（2）是数学老师的思维活动；（3）是学生的思维活动，其中教师在教学过程中起着主导作用，协调着这三种活动，使得学生的学习思维过程与数学家的思维过程同步，并逐步使其思维结构与数学家相似，但由于过去的教材所表示的是经过逻辑加工的严格的演绎体系，表现为概念——公式（定理）——范例组成的纯数学系统，掩盖了数学家真实的思维过程，这就需要教师引导学生模拟数学家的思维过程带领学生“似真性”地发现，让学生体会到寻求真理的喜悦。

范例4 多边形内角和公式发现的问题情境创设

请看教学片断：

师：我们知道三角形内角和是1800边数是3，如果我们以三角形的一边再画一个一角形，就得到一个四边形ABCD，请问这四边形的内角和是多少度？

生：（思考）

生1：3600

师：为什么？

生：四边形的内角和就是两个三角形内角和。

师：噢！原来是把四边形的内角和转化为三角形的内角和，如果给你一个五边形，你能求出它的内角和？请同学们试一试。

生：（思考，讨论）

生2：我知道了，是5400

师：说说你的想法。

生2：添一条辅助线，将五边形变为一个三角形和一个四边形，那么五边形内角和是3600+1800=5400

师：对，还有不同的思考方法？

生3：也可以添两条辅助线，将五边形分割为3个三角形。

师：很好！通过添辅助线，将五边形分割为一个四边形和一个三角形或分割为三个三角形，从而将五边形的内角和转化为已知的四边形或三角形的内角和，这是数学中常用的数学思想——化归思想，（教师一边讲，一边有意识地列表，见下表）

师：不同的多边形，它的内角和也不同，你知道多边形内角和是随着哪个量变化而变化的吗？

生：多边形的边数。

师：对！下面请同学们猜想n边形的内角的（画出n边形A1A2……A n见上表）

经过学生思考，讨论，得出猜想：n边形的内角和是（n－2）1800。经过学生自己发现的公式，无论在思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出公式再加以证明更富有吸引力。

有了猜想的结论，证明猜想的正确性就成了学生自发的需要。于是教师趁热打铁，先请学生画一个七边形验证，在验证的基础上，又请学生对猜想的公式进行合理地说明（用不同的分割方法；从n边形的一个顶点或内一点或边上一点出发，连结各个顶点）。

由于公式严格的证明要用到数学归纳法，此处只能用说明的方法，体现了对教材处理的“淡化形式，注重实质”。

在试验——猜想——说明的过程中，教师将培养学生的思维和渗透数学思想方法融为一体，学生也经历了一次象数学家一样的“发明创造”的历程，这使他们促进了创新能力的发展和思维能力的提高。

（4）通过数学故事、数学趣题、生活中的实例或成语来创设情境。

如在《有理数的乘方》一课的新课教学时，以“印度国王奖赏象棋发明家的故事”为素材，设置问题情境来引入。如在《过三点的圆》的一课教学中，教师提出成语“破镜重圆”，给出了破了的镜

子的残片，能否设计一种方案，把圆镜的图形完整画出，让“破镜重圆”。如在《直线和圆的位置关系》的一课教学中，教师让学生观看录象片《海上日出》，试猜想：如果把地平线

看做一条直线，太阳看做一个圆，那么直线和圆有哪几种位置关系呢？

四：小结

总之我们的课堂教学是让学生在教师的指导下，通过观察、自我发现、讨论、交流等，充分体现新课程基本理念的学生自主学习、探究学习、合作学习的学习方式，力求做到对教材的处理“返璞归真”，适度的“非形式化”。

（1）实际教学设计很多都贴近学生的生活，增加了趣味性，对学生有吸引力；

（2）教学设计更多的体现了数学结果的“来龙去脉”，给学生留出探索和创造的空间；

（3）教学情境的创设力求从学生出发，平实近人；

（4）教学过程也是学生数学学习的过程，它是建立在经验基础上的一个主动建构的过程；

（5）在教学当中力图体现学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理与交流等丰富多采的数学活动。

这些都体现了数学教学的科学性、清晰性和主动性。值得研究的问题有：

（1）教学目标的确定不落实，求全求大。要理解课程标准中关于目标的说明，对潜在目标要注意贴切恰当；（2）教学理念和教学实践相结合的问题，说课中褒奖性强，理念不具体。要形成正确的学风，理论联系实际；（3）真正使学生成为学习的主体要下较大的功夫。合作学习是很难的事情，许多问题值得研究：合作学习的动力、目标、程序、操作，合作学习和独立思考的关系等。

以教师为中心的教学模式已不能满足社会对教育的需求，学生的主动参与成为当前教育面临的重大课题。理论是灰色的，而生命之树常青。让我们一起努力，一切都是为了孩子！