重要性抽样法计算积分
可靠性，极限状态和重要性抽样
可靠性，极限状态和重要性抽样概率分析的应用主要是确定事件发生的概率。
通常这个事件是个故障，因此，它与系统的可靠性有关。
可靠性 = R ª {}1P −故障 假设故障与下面的条件有关：如果x 满足：，则能推出limit ()T x T >{}x ∈故障。
这里x 是输入的随机向量。
不失一般性，我们可以构造一个函数：limit ()()g x T x T =−则有：当时，安全运行；()0g x <当时，达到极限状态； ()0g x =当时，故障发生了。
()0g x >假设我们有一个2维的输入系统，则输入数据在对应平面上被分成安全和故障两个区域： 例：平面极限状态函数故障g (x ) = 0极限状态安全然而事情并不总是那么容易，故障区域往往具有非常复杂的形状，例如下图所示：例: 更复杂的极限状态函数故障安全当然，情况还可能更糟, 会包括多个安全和（或）故障区域，例如下图所示：例: 多重故障区域故障故障安全蒙特卡罗可靠性分析蒙特卡罗方法利用随机抽样和无偏概率估计来计算故障发生的概率：N NP ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭故障故障在这里：是样本的总数N 对应的样本数量N 故障()0g x >就像前面讨论的，如果故障发生的概率很低，这种方法的效率就会很低，得不偿失。
重要性抽样重要性抽样是在进行概率模拟时为减小估计结果的方差而普遍采取的一种技巧。
换句话说，如果重要性抽样起作用，我们对确定的样本进行估计的不确定性就会降低，或者说对于达到同样的不确定性，所需要的样本数会减少。
总之，重要性抽样是非常有用的，在对小概率事件的有效估计中发挥着至关重要的作用。
我们先来看看它的工作原理，然后再应用它来估计均值和可靠性。
给定：x 为输入的随机向量f (x )为联合概率密度y (x )是我们感兴趣的模拟的输出all x(())()()E y x y x f x dx =∫ 简单的蒙特卡罗方法（亦即：随机抽样）给出：11()()Nn n y y x E y N ==≈∑ 标准误差为：22yy Nσσ=假如我们定义一个新的概率密度函数，它需要满足：()h x all x1()h x dx =∫ 0()h x 1≤≤ 把带入()h x ()()y x f x dx ∫，得：()()()()()()f x y x f x dx y x h x h x dx =∫∫由于是一个有效的分布，则有：()h x ()()yfhE y E =利用蒙特卡罗方法可以求出()yfh E11()()()()(n n Nnn yf y x f x yfh Nh x h)E E y =⎛⎞=≈⎜⎟⎝⎠=∑其标准误差为：22yfhyfhNσσ=所以，如果我们可以选择(x )使得h y yf hσσ<，从而就能降低对y 估计的不确定性。
抽样方案的重要性和意义是
抽样方案的重要性和意义是抽样方案的重要性和意义摘要：抽样是社会科学研究中常用的一种数据收集方法，其重要性和意义不可忽视。
本文将从六个方面，即研究目的明确、节约成本、提高效率、增加可靠性、拓宽研究范围和实现可行性等，阐述抽样方案的重要性和意义。
通过对抽样方案的合理设计和实施，可以提高研究的可信度和实用性，为决策提供科学依据。
1. 研究目的明确抽样方案的制定应以研究目的为出发点，明确需要解决的问题和研究的目标。
通过明确研究目的，可以确定抽样的内容和范围，避免资源浪费和数据收集的盲目性。
只有当研究目的明确时，抽样方案才能有针对性地进行设计，从而提高研究的有效性和可靠性。
2. 节约成本抽样方案可以通过有效的样本选择，节约研究过程中的时间、人力和物力成本。
相对于全面调查，抽样方法可以将调查的覆盖范围缩小，从而减少调查的成本。
合理的抽样方案可以根据相关指标和样本量要求，选择适当的样本规模和抽样方法，从而在有限的资源条件下实现成本的最优化。
3. 提高效率抽样方案的制定和实施可以提高研究过程的效率。
通过合理选择样本和抽样方法，可以减少研究者的工作量和调查过程中的时间成本。
抽样方案可以帮助研究者集中精力和资源，有针对性地进行数据收集和分析，提高研究的效率和准确性。
4. 增加可靠性抽样方案的设计和实施可以提高研究数据的可靠性。
抽样方法可以通过科学的抽样过程，减少抽样误差和对总体特征的失真。
合理的抽样方案可以使样本具有代表性，从而增加研究结果的可靠性和推广性。
通过合理设计抽样方案，可以减少抽样偏差，提高研究数据的有效性和可信度。
5. 拓宽研究范围抽样方案的制定和实施可以拓宽研究的范围。
在实际调查中，由于资源和时间的限制，不能对全部样本进行研究。
而通过合理的抽样方案，可以在有限的条件下获取全面和充分的样本信息，从而拓宽研究的范围和广度。
抽样方案可以帮助研究者获取更多的数据和信息，为研究提供更加全面和准确的基础。
6. 实现可行性抽样方案的制定和实施要考虑可行性因素。
第19章 马尔科夫链蒙特卡洛法
马尔可夫链的性质
马尔可夫链的性质
• 遍历定理的直观解释：
• 满足相应条件的马尔可夫链，当时间趋于无穷时，马尔可夫链的 状态分布趋近于平稳分布，随机变量的函数的样本均值以概率1 收敛于该函数的数学期望。
• 样本均值可以认为是时间均值，而数学期望是空间均值。遍历定 理实际表述了遍历性的含义：当时间趋于无穷时，时间均值等于 空间均值。
例
• 使用蒙特卡罗积分法，如图所示，在(0,1)区间按照均匀分布抽
取10个随机样本
。计算样本的函数均值
• 也就是积分的近似
• 随机样本数越大，计算就越精确
例
• 用蒙特卡罗积分法求
•令
• p(x) 是标准正态分布的密度函数
• 使用蒙特卡罗积分法，按照标准正态分布在区间
抽样
, 取其平均值，就得到要求的积分值。当样本
例
• 假设每个单词只依赖于其前面出现的单词，也就是说单词序列具有马 尔可夫性， 那么可以定义一阶马尔可夫链，即语言模型，如下计算语 句的概率
• 这里第三个等式基于马尔可夫链假设。这个马尔可夫链中，状态空间 为词表，一个位置上单词的产生只依赖于前一个位置的单词，而不依 赖于更前面的单词。
• 以上是一阶 马尔可夫链，一般可以扩展到 n 阶马尔可夫链。
• 假设天气的变化具有马尔可夫性，即明天的天气只依赖于今天的 天气，而与昨天及以前的天气无关。
例
• 转移矩阵为
• 如果第一天是晴天的话，其天气概率分布（初始状态分布）如 下：
例
• 根据这个马尔可夫链模型，可以计算第二天、第三天及之后的天 气概率分布（状态 分布）
平稳分布
• 直观上，如果马尔可夫链的平稳分布存在，那么以该平稳分布作为初始分布，面 向未来进行随机状态转移，之后任何一个时刻的状态分布都是该平稳分布
蒙特卡洛方法 采样
蒙特卡洛方法采样蒙特卡洛方法是一种重要的数值分析方法，其核心原理是通过在概率空间中进行随机抽样，以近似求解目标问题的解。
其中，采样是蒙特卡洛方法的基础，简单来说，采样就是从一个概率分布中抽取一个样本。
下面就来详细介绍一下关于蒙特卡洛方法采样的相关知识。
1.蒙特卡洛方法的基本原理蒙特卡洛方法的基本原理是，通过在随机抽样的过程中构建样本，建立样本所处的概率空间，从而近似求解目标问题的解。
其中，最重要的一步就是采样。
采用的随机抽样方式包括：等概率采样、重要性采样、Metropolis抽样、Gibbs采样等等。
在目标问题的求解过程中，可以通过大量的采样计算到近似解。
2.蒙特卡洛方法的应用蒙特卡洛方法在实际应用中经常用于计算科学、金融风险评估、图像处理等领域。
例如，利用蒙特卡洛方法可以计算多个变量的积分、求解难以精确解决的概率统计问题、计算期权价格、对图像进行降噪等。
3.采样的技巧在采样过程中，常常需要考虑技巧，以提高采样效率和准确度。
下面介绍一些常见的技巧：（1）重要性采样重要性采样是一种常用的采样技巧，通过构造一个特定的分布，使得样本点在目标概率分布下的权重函数与此特定分布下的权重函数相等，从而提高采样效率。
（2）Metropolis抽样Metropolis抽样是基于马尔可夫链蒙特卡洛方法的一种抽样技巧，能够解决高维分布的采样问题，并且每个样本独立、且不需知道概率密度的具体形式。
（3）Gibbs采样Gibbs采样是一种基于链式条件分布的方法，可以对多维分布进行采样，也常常结合着重要性采样和Metropolis抽样进行增强。
4.总结蒙特卡洛方法是一种重要的数值分析方法，其中采样是基础。
通过采样，可以实现在概率空间中进行随机抽样，从而近似求解目标问题的解。
在采样过程中，常常需要考虑重要性采样、Metropolis抽样和Gibbs采样等技巧，以提高采样效率和准确度。
monto carlo仿真方法
monto carlo仿真方法蒙特卡洛仿真方法简介蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，用于解决复杂问题和评估不确定性。
它通过大量的随机抽样和模拟运算来近似计算数学问题的解决方案。
原理蒙特卡洛仿真方法基于概率统计理论和计算机模拟技术。
其主要思想是通过对模型中的随机变量进行抽样和模拟，计算大量的样本数据，从而得到目标问题的近似解。
步骤1.建立模型：首先需要将目标问题抽象成一个数学模型，明确问题的目标、约束和变量。
2.设定随机变量：为模型中的不确定变量设定随机分布，并生成大量的随机数。
3.进行抽样：根据设定的随机分布，抽取一定数量的随机数，并代入模型进行计算。
4.模拟运算：根据模型的计算规则，对每个随机数进行运算，得到相应的结果。
5.统计与分析：对得到的结果进行统计分析，得出问题的近似解、概率分布、置信区间等。
6.反馈与优化：根据分析结果，对模型进行优化和调整，进一步提高计算的准确性和效率。
应用领域蒙特卡洛仿真方法在各个领域都有广泛应用，包括但不限于： - 金融领域：用于风险评估、衍生品估值、投资组合优化等。
- 工程领域：用于可靠性分析、结构优化、系统建模等。
- 生物医学领域：用于药物研发、流行病传播模拟、生物统计等。
- 物理学领域：用于高能物理实验模拟、粒子轨迹模拟等。
优点与限制蒙特卡洛仿真方法具有如下优点： - 适用范围广，可以解决各种类型的问题； - 能够处理复杂和高维的问题； - 可以提供概率分布和置信区间等统计信息。
然而，蒙特卡洛仿真方法也有一些限制： - 需要大量的计算资源和时间； - 对模型中的不确定性敏感，需要合理设定概率分布； - 结果的准确性受到样本数量的限制。
总结蒙特卡洛仿真方法是一种基于随机数生成的统计模拟方法，可以解决复杂问题和评估不确定性。
它通过随机抽样和模拟运算来近似计算问题的解决方案。
该方法在多个领域都有广泛应用，同时也具有一定的优点和限制。
通过合理的模型建立和参数设定，蒙特卡洛仿真方法可以成为解决实际问题的有力工具。
蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
与马尔可夫链蒙特卡洛法类似的方法
与马尔可夫链蒙特卡洛法类似的方法马尔可夫链蒙特卡洛法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种用于估计复杂概率分布的方法，广泛应用于统计学、机器学习和计算机视觉等领域。
然而，除了MCMC之外，还存在一些与之类似的方法，本文将介绍其中的几种。
1. 重要性采样（Importance Sampling）重要性采样是一种基于蒙特卡洛方法的统计估计方法，用于计算一个概率分布的期望值。
其核心思想是通过从一个已知的简单分布中采样，来估计一个复杂的目标分布的期望值。
与MCMC类似，重要性采样也利用随机采样的方式来估计目标分布的特征。
然而，与MCMC不同的是，重要性采样不需要满足马尔可夫链的平稳性质，因此在某些情况下更加高效。
2. 随机优化方法（Stochastic Optimization）随机优化方法是一类基于随机采样的优化算法，用于解决无法直接求解的优化问题。
与MCMC类似，随机优化方法也利用随机采样的方式来估计优化目标函数的值。
不同的是，随机优化方法更加关注优化问题本身，通过随机采样来探索优化空间，并更新优化参数以寻找最优解。
在大规模数据和高维优化问题中，随机优化方法通常比传统的优化算法更加高效。
3. 变分贝叶斯方法（Variational Bayesian Methods）变分贝叶斯方法是一种基于变分推断的概率建模方法，用于近似推断复杂的概率分布。
与MCMC类似，变分贝叶斯方法也通过随机采样的方式来近似复杂的后验分布。
然而，变分贝叶斯方法更加注重推断过程的优化，通过引入一个近似分布来近似后验分布，并通过优化近似分布的参数来逼近真实后验分布。
相比于MCMC，变分贝叶斯方法通常具有更快的收敛速度和更好的可解释性。
4. 重要性抽样平均（Importance Sampling Average）重要性抽样平均是一种基于随机抽样的估计方法，用于计算概率分布的平均值。
与MCMC类似，重要性抽样平均也利用随机采样的方式来估计目标分布的特征。
3个重要分布和抽样定理
7
0.989
1.690 9.803 12.017 14.067 16.013 16.622 18.475 20.278 22.601 24.322
8
1.344
2.180 11.030 13.362 15.507 17.535 18.168 20.090 21.955 24.352 26.124
9
1.735
则称随机变量
t
X
Y /n
服 从 自 由 度 为n 的 t 分 布,
记为 t ~ t(n).
自由度为n的t分布概率密度
f (x)
n 2
n
1
n
1
x2 n
n1 2
2
x
其中 ( ) x 1e x dx 0
是Gamma函数
不同自由度下的t分布密度曲线
0
t 分布密度曲线特点
服从自由度为n 的²分布，记
2 ~ 2 (n)
独立的随机变量的个数n: 自由度
.
²n分布的概率密度
f (x) 2n
1 2 (n
n 1
x -
x2 e 2,
2)
x
0,
0,
x 0.
其中 ( ) x 1e x dx 0
是Gamma函数
²n分布密度曲线
不同自由度下的2 n分布
f(x)
设X服从N(0, 1) 设f(x)是N (0, 1)的密度函数
则
E
X4
x4
f
x
dx
x3
xf
xdx
x 3d
f x
x 3
f x
f
x
d
x3
3
x
粒子滤波算法
xt : 状态信号 f() : 状态方程
vt : i.i.d. 观测噪声
wt : i.i.d. 状态噪声
☆问题：在已知 h() ，f() 的解析形式以及 vt ，wt 分布特性的条件下
利用 y0:t 递推估计后验分布 p(x0:t | y1:t ) 以及它的相关特性
贝叶斯迭代
☆联合后验分布
p( x0:t
➢ 求出 Pn (x) 的n个零点 x1, x2 L , xn ，这n个零点就是具有2n-1阶代数 精度的高斯积分的积分节点。
➢
计算积分系数
ak
n k 1
ai
b (x x1)L (x xn ) W (x)dx a (xi x1)L (xi xn )
☆重要性抽样
当不能直接利用 p(x0:t | y1:t ) 产生粒子时，可用另一个分布函数
|
y1:t )
p( x0:t-1
|
y1:t -1 )
p( yt | xt ) p(xt | xt-1) p( yt | y1:t-1)
p(xt | y1:t-1) p(xt | xt-1)p(xt-1 | y1:t-1)dxt1
☆条件后验分布
p(xt | y1:t ) p(xt | y1:t-1)
(
x)
称为重要性函数，间接产生粒子
{x0i:t
}N i1
并且给粒子
xi 0:t
分配权值为：
w( x0:t
)
p( x0:t
(x0:t
| |
y1:t y1:t
) )
w%ti 被称为重要性权值。
归一化得
w%ti
w(
xi 0:t
)
N j 1
基于重要性采样的极端事件概率估计方法
基于重要性采样的极端事件概率估计方法重要性采样是一种常用的概率估计方法，可以用于估计极端事件的概率。
本质上，重要性采样是通过引入一个合适的重要性函数，将原概率空间转化为新的概率空间，以便更准确地估计我们感兴趣的事件的概率。
在本文中，我们将介绍基于重要性采样的极端事件概率估计方法。
首先，让我们来了解一下重要性采样的原理。
重要性采样的核心思想是利用一个合适的抽样分布来替代目标分布，从而简化计算。
假设我们希望估计事件A的概率，但直接计算困难，我们可以引入一个重要性函数g(x)，g(x) > 0，使得在x 落在目标分布中的事件A的概率非常大，即g(x)P(x)≈1，其中P(x)是目标分布的概率密度函数。
然后，我们从重要性函数g(x)中进行抽样，得到样本x1, x2, ..., xn，并计算出相应的权重w1, w2, ..., wn。
最后，通过计算样本在目标分布下的加权平均值来估计事件A的概率。
具体而言，对于某个极端事件A，我们希望估计它的概率P(A)。
为了使用重要性采样方法，我们需要选择一个合适的重要性函数g(x)，使得g(x)P(x)≈1，在x落在目标分布中的事件A的概率非常大。
一种常用的选择是，使用一个与目标分布接近且易于抽样的分布作为重要性函数。
接下来，我们需要生成从重要性函数g(x)中抽样得到的样本x1, x2, ..., xn。
根据抽样得到的样本，我们可以计算每个样本对应的权重w1, w2, ..., wn。
权重的计算方法是：wi = P(x_i) / g(x_i)。
然后，我们可以使用这些权重来计算事件A在目标分布下的概率的估计值。
具体来说，我们可以使用加权平均的方法来估计事件A的概率。
即，估计值P(A) = (w1A(x1) + w2A(x2) + ... + wnA(xn)) / (w1 + w2 + ... + wn)，其中A(x)是一个指示函数，当x满足事件A时，A(x)为1，否则为0。
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用重要性抽样法计算积分02/5dxexIx
令xexg，则inifnfEdxxgxfI101，其中2/5xxf，是
以xg分布的随机数，其分布情况可用直接抽样法求得：ln，为0~1上的随机数。
#include
#include
#include
#define N 1000000
void main()
{
double g,I=0;
long int i;
srand((unsigned)time(NULL));
for(i=0;i
g=1.0*rand()/RAND_MAX;
if(g>0) I+=pow(-log(g),2.5)/N;
}
printf("I=%.12f",I);
}
计算结果：I=3.326815065081