2018版高考数学理科专题复习：专题7 不等式第47练含解析

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2018年高考数学理人教A版一轮复习习题：第七章不等式

考点规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为()A.2B.1C.3D.02.(2016河北唐山一模)若x,y满足不等式组的最大值是()A. B.1 C.2 D.33.(2016北京,理2)若x,y满足则2x+y的最大值为()A.0B.3C.4D.54.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是()A. B.C.2D.〚导学号37270334〛5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限内,若点(x,y)在△ABC的内部,则z=-x+y的取值范围是()A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.(2016河南中原联盟高考仿真)已知实数x,y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是()A. B.-1 C. D.1 〚导学号37270335〛7.已知实数x,y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为.8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.〚导学号37270336〛9.(2016江苏,12)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.10.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.11.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 kg、B原料2 kg;生产乙产品1桶需耗A原料2 kg,B原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12 kg.试通过合理安排生产计划,求从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润.〚导学号37270337〛能力提升12.已知x,y 满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为()A.或-1B.2或C.2或1D.2或-113.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()A.-3B.1C.D.314.设x,y 满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为.〚导学号37270338〛15.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.〚导学号37270339〛高考预测16.若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为()A.4B.C.6D.参考答案考点规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.B解析由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,即(b-2)<0,解得<b<2,则b应取的整数为1.2.C解析画出x,y满足不等式组的平面区域,如图所示,表示平面区域内的点与原点连线的斜率.由图知直线AO的斜率最大,故的最大值为=2.故选C.3.C解析由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.由可得P点坐标为(1,2),故z max=2×1+2=4.4.B解析直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.∵k AC=-,∴-a=-,即a=5.A解析由顶点C在第一象限内,且与点A,B构成正三角形,可求得点C的坐标为(1+,2).将目标函数z=-x+y化为y=x+z,结合图形(图略)可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时z min=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时z max=2,故z的取值范围为(1-,2).6.D解析约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示.x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1表示点(-1,0)到可行域内任一点距离的平方再减1,由图可知当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.7.10解析画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由解得x=2,y=4-c,代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.由得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.8.27解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.由题意得此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.由图可知当y=-x+经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,z max=5×3+3×4=27(万元).9解析画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是10解析由约束条件画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即d min=11.解设每天分别生产甲产品x桶,乙产品y桶,相应的利润为z元,则z=300x+400y,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时,相应直线在y轴上的截距达到最大,此时z=300x+400y 取得最大值,最大值是z=300×4+400×4=2 800,即该公司可获得的最大利润是2 800元.12.D解析(方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则z A=2,z B=-2a,z C=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A=z B>z C或z A=z C>z B或z B=z C>z A,解得a=-1或a=2.(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.13.B解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.由解得则A(2,0).由解得则B(1-m,1+m).同理C,M(-2m,0).因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=(2+2m),由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).14.1解析=1+,而表示过点(x,y)与(-1,-1)的直线的斜率.易知a>0,故作出可行域如图阴影部分,由题意知的最小值是,即,即a=1.15.解 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元. 16.B解析作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-x+指的是直线y=-x+在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-x+通过点A时,可使取得最小值,即z取得最小值.易知点A的坐标为,所以z min=3×1+2。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题7 不等式第45练含解析

1．(2016·泰州模拟)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是________．3．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值是________．4．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，且x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．函数y ＝1－2x －3x(x ＜0)的最小值为________．6．(2016·盐城模拟)已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a }，则a 2＋b 2＋7a －b(其中a ＞b )的最小值为________．7．(2016·深圳模拟)已知正实数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________________． 8．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为________．9．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．10．(2016·苏州模拟)若直线ax ＋by －1＝0(a ＞0，b ＞0)过曲线y ＝1＋sinπx (0＜x ＜2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为__________．11．(2016·苏州、无锡、常州三模)已知常数a ＞0，函数f (x )＝x ＋a x －1(x ＞1)的最小值为3，则a 的值为______．12．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．13．(2016·郑州第一次质量预测)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且a·c ＝b·c ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是________．14．(2016·南京盐城联考)已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______________．答案精析1. 22.43.44.(－4,2) 5．1＋2 6 解析 ∵x ＜0， ∴y ＝1－2x －3x＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 6．6解析由不等式ax 2＋2x ＋b ＞0的解集为{x |x ≠－1a }可得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，a ＞0，所以a 2＋b 2＋7a －b ＝(a －b )2＋2ab ＋7a －b＝a －b ＋9a －b≥6，当且仅当a －b ＝3时等号成立． 7.509 解析1a ＋2b ＝3⇒2a ＋b ＝3ab ⇒3ab ＝2a ＋b ≥22ab ⇒ab ≥89，因此(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝4ab ＋2≥4×89＋2＝509，当且仅当2a ＝b ＝43时，等号成立．8．4解析原式＝(a －b )＋b ]2＋1b (a －b )≥2(a －b )b ]2＋1b (a －b )＝4(a －b )b ＋1b (a －b )≥24(a －b )b ·1b (a －b )＝4(当且仅当a ＝2，b ＝22时取等号)．9.32解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，又∵{a n }是正项等比数列， ∴a 5≠0，且q ＞0， ∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2或q ＝－1(舍去)．又a m ·a n ＝4a 1，∴a m ·a n ＝16a 21，a 21q m ＋n －2＝16a 21，又a 21≠0，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， 1m ＋4n ＝16(1m ＋4n )(m ＋n ) ＝16(5＋4m n ＋n m ) ≥16(5＋24mn ·n m )＝32. 当且仅当4m n＝nm，即m ＝2，n ＝4时取等号．10．3＋2 2解析画出y ＝1＋sinπx (0＜x ＜2)的图象(图略)，知此曲线的对称中心为(1,1)，则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)，所以a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，所以1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝1＋b a ＋2ab＋2≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab时取等号．即(1a ＋2b)min ＝3＋2 2.11．1解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0，又a ＞0， ∴f (x )＝x ＋a x －1＝x －1＋a x －1＋1≥2a ＋1，∴2a ＋1＝3，∴a ＝1，此时，x －1＝1x －1，即x ＝2.12．5解析 ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，PA ·PB 为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴AP 2＋BP 2＝AB 2＝10， ∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当PA ＝PB 时，上式等号成立．13．2 2解析 ∵a ，b 是互相垂直的单位向量，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．由a·c＝b·c＝1，得x ＝y ＝1，即c ＝(1,1)，∴c ＋t a ＋1t b ＝(1,1)＋(t,0)＋(0，1t)＝(1＋t,1＋1t)，∴|c ＋t a ＋1tb|＝错误!)2 ＝2＋2(t ＋1t )＋t 2＋1t2，∵t ＞0，∴t ＋1t ≥2，t 2＋1t2≥2，当且仅当t ＝1时取等号，∴|c ＋t a ＋1t b|≥2＋4＋2＝22，故|c ＋t a ＋1tb|的最小值为2 2. 14．(－∞，658] 解析因为x ＋y ＋8＝xy ≤(x ＋y 2)2，即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2，解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为a ≤(x ＋y )2＋1x ＋y恒成立，令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t.函数f (t )在8，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658.所以实数a 的取值范围为(－∞，658]．。

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2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练：第七章不等式、推理与证明34 Word版含解析

考点规范练34基本不等式及其应用基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lg>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)2.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A. B.≤1C.≥2D.a2+b2≥83.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()A.a<v<B.v=C.<v<D.v=5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A. B. C.2 D.6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.9.已知x>1,则log x9+log27x的最小值是.10.(2016山东滨州二模)已知正实数m,n满足m+n=1,当取得最小值时,曲线y=xα过点P,则α的值为.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是.能力提升12.(2016江西师大附中期末)不等式2x2-axy+y2≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤2B.a≥2C.a≤D.a≤〚导学号37270469〛13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.4 〚导学号37270470〛14.(2016山东临沂一模)已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,则的最小值是.〚导学号37270471〛15.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单位:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450(单元:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号37270472〛高考预测16.若a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.参考答案考点规范练34基本不等式及其应用1.C解析因为x>0,所以x2+2·x=x,所以lglg x(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,有=1,故选项D不正确.2.D解析因为a>0,b>0,所以4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即2,ab≤4,,选项A,C 不成立;1,选项B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.3.B解析由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.A解析设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为,从而v=∵0<a<b,=a,,即,∴a<v<5.C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.C解析设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4 m2.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D解析因为x>0,y>0,=1,所以x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C解析由a x=b y=3,=又a>1,b>1,所以ab=3,所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.9解析∵x>1,∴log x9+log27x=2,当且仅当x=时等号成立.∴log x9+log27x的最小值为10解析∵正实数m,n满足m+n=1,=(m+n)=17+17+2=25,当且仅当n=4m=时,取得最小值25.∵曲线y=xα过点P,即P,∴可得,解得α=11.乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a由于(1+p%)(1+q%)<=,故提价多的是方案乙.12.A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0.令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t,即2t2-at+1≥0在t时恒成立.由2t2-at+1≥0可得a,即a≤2t+又2t+2=2当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A.13.D解析令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14解析∵x>y>0,x+y=1,=2+2=22+,当且仅当2,即x=,y=时等号成立15.解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得:当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250.当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1 200-1 200-2=1 200-200=1 000.当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.16.(-∞,1]∪[9,+∞)解析∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2,∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.因此ab的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).。

2018版高考数学(理)一轮复习题库：第七章第2讲一元二次不等式及其解法含解析

第2讲一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式错误!≤0的解集是（ )A ．(－∞，－1）∪(－1,2］B ．（－1,2]C ．（－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]解析 ∵错误!≤0⇔错误!⇔错误!∴x ∈(－1,2］．答案 B2. 若集合{},{}x A x x B x x-2=-1≤2+1≤3=≤0,则A B ⋂=（） A. {}x x -1≤<0 B 。

{}x x 0<≤1C 。

{}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1，选B 。

答案 B3．设a >0，不等式－c <ax ＋b 〈c 的解集是｛x |－2<x 〈1},则a ∶b ∶c ＝ ( )．A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a 〉0，∴－错误!<x 〈错误!。

∵不等式的解集为{x |－2<x 〈1｝，∴错误!∴错误!∴a∶b∶c＝a∶a2∶错误!＝2∶1∶3。

答案B4．不等式（x2－2)log2x>0的解集是( )．A．(0，1)∪(2,＋∞) B．（－错误!，1）∪(错误!，＋∞) C．(错误!，＋∞）D．(－错误!，错误!)解析原不等式等价于错误!或错误!∴x〉错误!或0〈x<1，即不等式的解集为(0，1）∪(错误!，＋∞）．答案A5．已知二次函数f(x）＝ax2－（a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f（x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f（x)〉1的解集为（)．A．(－∞,－1）∪(0，＋∞）B．（－∞，0）∪(1，＋∞）C．（－1，0) D．(0,1）解析∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0,∴函数f（x）＝ax2－(a＋2）x＋1必有两个不同的零点,又f（x）在(－2,－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，∴（6a＋5）（2a＋3）<0，∴－错误!〈a<－错误!，又a∈Z，∴a＝－1，不等式f（x）>1即为－x2－x>0，解得－1<x〈0.答案C6．设函数f（x）＝错误!若f（－4)＝f（0），f（－2）＝0，则关于x 的不等式f（x）≤1的解集为( )．A．(－∞,－3］∪［－1，＋∞) B．［－3,－1］C．［－3,－1]∪（0，＋∞）D．［－3，＋∞）解析当x≤0时,f（x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f（0）,故其对称轴为x＝－错误!＝－2，∴b＝4。

高考数学总复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式教案文(含解析)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0，解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立，故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a 0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，02a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

2018年高考数学课标通用理科一轮复习真题演练：第七章

真题演练集训1．[2016·北京卷]已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1y ＞0B ．sin x －sin y ＞0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0答案：C解析：解法一：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sinπ－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln 1＝0，排除D.故选C.解法二：因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故选C. 2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c 0，所以y ＝x c 为增函数，又a >b >1，所以a c >b c ，故A 错；对于选项B ，ab c <ba c⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫b a c <b a ，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 是减函数，故B 错；对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C.3．[2015·江苏卷]不等式2x 2－x ＜4的解集为________．答案：{x |－1＜x ＜2}[或(－1,2)]解析：∵ 2x 2－x ＜4，∴ 2x 2－x ＜22，∴ x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.课外拓展阅读转化与化归思想在不等式中的应用[典例1] 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6), 则实数c ＝________.[审题视角] 考虑“三个二次”间的关系；[解析] (1)由题意知，f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a 2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ，①－a 2＋c ＝m ＋6.②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.[答案] 9[典例2] 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．[审题视角] 将恒成立问题转化为最值问题求解．[解析] ∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}．[答案] {a |a >－3}方法点睛本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．。

2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练47专题研究2数学归纳法理2018051

题组训练47 专题研究2 数学归纳法11．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于2()A．1B．2C．3 D．0答案 C解析边数最少的凸n边形是三角形．2．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23答案 D解析当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.1 1 1 1273．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋> (n∈N*)成立，其初始值至少应取()2 4 2n－1 64A．7 B．8C．9 D．10答案 B11－1 1 1 2n 127解析1＋＋＋…＋＝> ，整理得2n>128，解得n>7.2 4 2n－1 1 641－2∴初始值至少应取8.1 1 14．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()2 3 3n－11 1 1A. B. ＋3n＋2 3n 3n＋11 1 1 1 1C. ＋D. ＋＋3n＋1 3n＋2 3n 3n＋1 3n＋2答案 D5．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为()A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1)1答案 A解析因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．16．若数列{a n}的通项公式a n＝，记c n＝2(1－a1)(1－a2)…(1－a n)，试通过计算c1，（n＋1）2c2，c3的值，推测c n＝__________．n＋2答案n＋11 3 解析c1＝2(1－a1)＝2×(1－)＝，4 21 1 4c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－)×(1－)＝，4 9 31 1 1 5c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－)×(1－)×(1－)＝，4 9 16 4n＋2故由归纳推理得c n＝.n＋17．设数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的自然数n都有：(S n－1)2＝a n S n.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想S n的表达式并证明．1 2 3 n答案(1)S1＝，S2＝，S3＝(2)S n＝，证明略2 3 4 n＋11解析(1)由(S1－1)2＝S12，得S1＝；22由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；33由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.4n(2)猜想：S n＝.n＋1证明：①当n＝1时，显然成立；k②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，S k＝成立．k＋11 1 k＋1则当n＝k＋1时，由(S k＋1－1)2＝a k＋1S k＋1，得S k＋1＝＝＝.2－S k k k＋22－k＋1从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．8．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{a n}满足：0<a1<1，a n＋1＝f(a n)，n＝1，2，3，…，证明：0<a n＋1<a n<1.2答案略解析先用数学归纳法证明0<a n<1，n＝1，2，3，….①当n＝1时，由已知，结论成立．②假设当n＝k时结论成立，即0<a k<1.因为0<x<1时，f′(x)＝1－cosx>0，所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)<f(a k)<f(1)，即0<a k＋1<1－sin1<1.故当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，0<a n<1对一切正整数都成立．又因为0<a n<1时，a n＋1－a n＝a n－sina n－a n＝－sina n<0，所以a n＋1<a n.综上所述0<a n＋1<a n<1.3 19．(2018·保定模拟)已知f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，a n＋1＝f(a n)，n∈N＋，证明：a n＜2 21.n＋1答案略1证明(1)当n＝1时，0＜a1＜，21不等式a n＜成立；n＋13 1 1 1 1 因a2＝f(a1)＝－(a1－)2＋≤< ，2 3 6 6 3故n＝2时不等式也成立．1 3 1(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式a k＜成立，因为f(x)＝x－x2的对称轴为x＝，知f(x)k＋1 2 31 1 1 1在(－∞，]上为增函数，所以由a k＜≤，得f(a k)＜f( )．3 k＋1 3 k＋11 3 1 1 1 1 k＋4 1于是有a k＋1＜－·＋－＝－＜.k＋1 2 （k＋1）2 k＋2 k＋2 k＋2 2（k＋1）2（k＋2）k＋2所以当n＝k＋1时，不等式也成立．1根据(1)、(2)可知，对任何n∈N＋，不等式a n＜成立．n＋1110．已知数列{a n}的各项都是正数，且满足：a0＝1，a n＋1＝a n·(4－a n)，(n∈N)．2证明：a n<a n＋1<2，(n∈N)．答案略证明方法一：用数学归纳法证明：1 3 (1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，2 2所以a0<a1<2，命题正确．(2)假设n＝k时命题成立，即a k－1<a k<2.则当n＝k＋1时，a k－a k＋11 1＝a k－1(4－a k－1)－a k(4－a k)2 21＝2(a k－1－a k)－(a k－1－a k)(a k－1＋a k)21＝(a k－1－a k)(4－a k－1－a k)．2而a k－1－a k<0，4－a k－1－a k>0，所以a k－a k＋1<0.1 1又a k＋1＝a k(4－a k)＝[4－(a k－2)2]<2.2 2所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有a n<a n＋1<2.方法二：用数学归纳法证明：1 3 (1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，2 2所以0<a0<a1<2.(2)假设n＝k时有a k－1<a k<2成立，1令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0，2]上单调递增，2所以由假设有f(a k－1)<f(a k)<f(2)．1 1 1即a k－1(4－a k－1)< a k(4－a k)< ×2×(4－2)．2 2 2也即当n＝k＋1时，a k<a k＋1<2成立．所以对一切n∈N，有a k<a k＋1<2.11．在数列{a n}，{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；1 1 1 5(2)证明：＋＋…＋< .a1＋b1 a2＋b2 a n＋b n 12答案(1)a2＝6，a3＝12，a4＝20，b2＝9，b3＝16，b4＝25，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2，证明略(2)略解析(1)由条件得2b n＝a n＋a n＋1，a n＋12＝b n b n＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即a k＝k(k＋1)，b k＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，a k＋1＝2b k－a k＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，a k＋12b k＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．b k由①②，可知a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切正整数都成立．1 1 5(2) ＝< .a1＋b1 6 12当n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.1 1 1故＋＋…＋a1＋b1 a2＋b2 a n＋b n1 1 1 1 1< ＋( ＋＋…＋)6 2 2 × 3 3 × 4 n（n＋1）1 1 1 1 1 1 1 1＝＋( －＋－＋…＋－)6 2 2 3 3 4 n n＋11 1 1 1 1 1 5＝＋( －)< ＋＝.6 2 2 n＋1 6 4 121 1 1 131．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，n＋1 n＋2 n＋n 24不等式的左边增加的式子是________．1答案（2k＋1）（2k＋2）1 1 1 1解析不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填2k＋1 2k＋2 k＋1 （2k＋1）（2k＋2）1.（2k＋1）（2k＋2）1 1 1 n 2．用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.1 × 3 3 × 5 （2n－1）（2n＋1）2n＋1答案略1 1 1 1解析(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．1 × 3 32 × 1＋1 35。

高考数学复习热点07 数列与不等式(原卷版)

热点07 数列与不等式【命题趋势】在目前高考卷的考点中，数列主要以两小或一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题与三角函数，解三角形的内容交替考查，早在2014年和2015年卷中，以数列的通项与求和为主，而近3年的第17题（即解答题的第1题的位置），完全是考查解三角形.但是数列仍然作为解答题第一题的热点.由于三角函数与数列均属于解答题第一题，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目，对于不等式一般以线性规划以及作为一个工具配合其他知识点出现.主要是以基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等本.专题针对高考中数列，不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式.请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结.【知识点分析以及满分技巧】等差数列如果记住基本的通项公式以及求和公式，所有的等差数列问题都可以解决.数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.{}n a {}n b 1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，，()11111n n n n =-++()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等.()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件.【考查题型】选择，填空，解答题（数列）【限时检测】（建议用时：50分钟）1．（2021·全国高三专题练习（理））定义：在数列中，若满足（{}n a 211n n n na a da a +++-=为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，*,n N d ∈{}n a {}n a ，则等于（）1231,3a a a ===20202018a a A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×201822．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足，且，{}n a ()*111n na n N a +=-∈12a =则（）2017a =A ．B ．C ．D ．21-12323．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列中，，，则{}n a 11a =()11n n n a na ++=（）12a =A ．11B ．12C ．13D ．144．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足：，{}n a 113a=，，则下列说法正确的是（）1(1)21n n n a na n ++-=+*n N ∈A ．1n na a +≥B ．1n na a +≤C ．数列的最小项为和{}n a 3a 4a D ．数列的最大项为和{}n a 3a 4a 5．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和为，，且满足{}n a n n S 15a =，若，，，则的最小值为（）122527n na a n n +-=--p *q ∈N p q >p q S S -A ．B ．C ．D ．06-2-1-6．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列的前n 项和为S n ，则下列命题一定{}n a 正确的是（）A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞07．（2021·全国高三其他模拟（理））等比数列中，且，，成等差数{}n a 11a =14a 22a 3a 列，则的最小值为（）()*na n N n ∈A ．B ．C ．D ．1162549128．（2021·全国高三专题练习（理））已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（）A ．15B ．12C ．5D ．39．（2021·银川市·宁夏银川二十四中高三月考（理））函数的图像恒过定点，若点在直线上，()()log 310,1a y x a a =+->≠A A 10mx ny ++=其中，则的最小值为（）0mn >12m n +A ．B ．C ．D ．7891010．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足，.设{}n a 112a =*11()2n n a a n N +=∈，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）2n n n b a λ-=*n N ∈{}n b λA ．B ．C ．D ．(,1)-∞3(1,2-3(,)2-∞(1,2)-12．（2021·全国高三专题练习（理））已知f (x )＝，则f (x )在上的最小值221x x x -+1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦为（）A ．B ．1243C ．－1D ．013．（2021·福建高三其他模拟）已知，，，则的最小值为0x >0y >23x y +=23x yxy +（）A ．B ．CD3-1+11+14．（2021·全国高三专题练习（理））已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，313m a b a b +≥+则m 的最大值为（）A ．9B ．12C ．18D ．2415．（2021·全国高三专题练习（理））若是面积为的内的一点（不含边界），若P 1ABC ∆和的面积分别为，则的最小值是（）,PAB PAC ∆∆PBC ∆,,x y z 1y z x y z +++A ．B C ．D313二、解答题16．（2020·威远中学校高三月考（理））已知数列是等差数列，前项和为，且{}n a n n S .53463,8S a a a =+=（1）求；n a （2）设，求数列的前项和.2nn n b a =⋅{}n b n n T 17．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考（理））设公差不为零的等差数列的前项和{}n a n 为，已知，且，，成等比数列．n S 39S =2a 5a 14a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）对任意的正整数，都有成立，求实数的取值范围．n 20nn m a ⋅->m18．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知正项数列的前项和为{}n a n .2*111,1,,n n n n S a S S a n N ++=+=∈（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足：，求数列{}n b 1122222...22n n n n a b a b a b a b +++++=-的前项和.221log n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭n n T 19．（2020·黑龙江高三月考（理））已知数列的前项和为，．{}n a n n S 22n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，，记数列的前项和．若对，2log n n b a =11n n n c b b +={}n c n nT*n N ∈恒成立，求实数的取值范围．()4n T k n ≤+k 20．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知等差数列满足，．{}n a 22a=145a a +=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足：为等比数列，求数列的前n 项和．{}n b {}123,6,n n b b b a ==-{}n b nT。

2018年黑龙江全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4 8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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训练目标
巩固不等式的基础知识，提高不等式在解决函数、三角函数、数列、向量、几
何等方面的应用能力，训练解题步骤的规范性．

训练题型
(1)求函数值域、最值；(2)解决与数列有关的不等式问题、最值问题；(3)解决恒
成立问题、求参数范围问题；(4)不等式证明．

解题策略
将问题中的条件进行综合分析、变形转化，形成不等式“模型”，从
而利用不等式性质或基本不等式解决.
1．(2016·泰州模拟)已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，Q＝{x|log2(x－1)≤1}，则(∁
R
P)∩Q＝

____________.

2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB
→＝2，由点集{P|OP→

＝λOA→＋μOB→，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．
3．(2016·南京一模)若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则
x
2＋y2

x－y
的最小值为________．

4．(2016·徐州质检)若关于x的方程9
x＋(4＋a)3x

＋4＝0有解，则实数a的取值范围是

______________．

5．(2016·潍坊联考)已知不等式
x＋2
x＋1
＜0的解集为{x|a＜x＜b}，点A(a，b)在直线mx＋ny＋1＝0上，

其中mn＞0，则2m＋1n的最小值为________．
6．(2016·山西大学附中检测)已知函数f(x)＝|lgx|，a＞b＞0，f(a)＝f(b)，则
a
2＋b2

a－b
的最小值等于

________．
7．(2016·宁德质检)设P是不等式组
y≥0，
x－2y≥－1，
x＋y≤3
表示的平面区域内的任意一点，向量m＝

(1,1)，n＝(2,1)．若OP
→
＝λm＋μn(λ，μ∈R)，则μ的最大值为________．

8．(2016·镇江模拟)设函数f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f(a＋b2)，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列
关系式中正确的是________．(填序号)
①q＝r＜p;②q＝r＞p；
③p＝r＜q;④p＝r＞
q.
9．(2016·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x
千

件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)；当年产量不少
于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一
年内生产的商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)
的函数解析式；

(2)
年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

10．(2016·海口一模)已知函数f(x)＝x
＋

x
＋2(m为实常数)．

(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为2，求实数m
的值；

(2)若函数y＝f(x)在区间2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m
的取值范围；

(3)设m＜0，若不等式f(x)≤kx在x
∈

2
，1]时有解，求k的取值范围．

答案精析
1．(2,3]
2．43

解析由|OA→|＝|OB→|＝OA→·OB→＝2知〈OA→，OB→〉＝
π
3
.

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