高等数学教学微分中值定理
同济大学的高等数学讲义 (7)
f (b) f (a) f ′(ξ ) g′(ξ ) = 0 g(b) g(a)
由此得到公式(4).
g
注1 柯西中值定理可简单地表示为
( f , g ∈ C [a , b ] ∩ D[a , b ]) ∧
g ′( x ) ≠ 0
f (b ) f ( a ) f ′ (ξ ) x ∈ (a, b ) ∧ = . g (b ) g ( a ) g ′ (ξ )
sin x sin x 0 = = ( sin x )′ = cos ξ > cos x. x x0 x =ξ
g
例3 设函数 f (x)的导函数(-∞, +∞)内恒为常数,则 f (x) 为线性函数. 证 则 设在区间(-∞, +∞)内 f ′( x) ≡ k ,令F(x)=f(x)-kx,
F ′( x ) = f ′( x ) k = k k ≡ 0,
f ′(ξ ) =
或
f (b ) f ( a ) , ba
f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ).
g
注1 拉格朗日中值定理的几何描述 注2 当b<a时,上式仍然成立,即
f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ).
公式⑴称为微分中值公式.
y y=f (x)
y= (x) o a
y
f ( x0 + x) f ( x0 ) ≤ 0,
x0 o U(x0) x
故当Dx>0时 ,
f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≤ 0; x
故当Dx<0时, f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≥ 0; x
由函数f (x)在点x0处的可导性及极限的保号性,得
3.1微分中值定理
化简得： ( a b) 2
课堂练习
2. 证明不等式： arc tan a arctan b a b
证
设f (t ) arctan t.若a b ，应用拉格朗日中值定 理，得 1 arc tan a arctan b (a b) (a, b), 2 1 1 arctan a arctan b ( a b) a b . 2 1
高等数学
广东南方职业学院
第3章 微分中值定理与导数的应用
第一节 中值定理 第二节 函数的单调性、极值
Байду номын сангаас
第三节 洛必达法则
第四节 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
3.1 中值定理
学习目标： 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的意义；
3.1 中值定理
3.1.1 罗尔（Rolle）定理
定理3.1
两边取绝对值，得
上式当a b时也成立. 故 arc tan a arctan b a b
课堂练习
1.试证明对函数y px 2 qx r应用拉格朗日中值定理 时所求得的点总是位 于区间的正中间.
解
定义域(,) , 设函数y px2 qx r在[a, b]满足拉格朗日中值定理
则
pb2 qb r Pa 2 qa r 2 p q
C
A
a
bx
3.1 中值定理
推论3.1 设函数f ( x)在(a, b)内可导, 且f ( x) 0 ，则f ( x)在该区间是一个常 数函数 , 即
证明
f ( x) C (常数 )
在(a, b)内任取两点x1 , x2 ( x1 x2 )
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
高等数学- 中值定理
2
( x (0,1) ) .
拉四、格设朗a日 b(La0g，ranng1e，)中证值明定理主要用来证明不等式
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
例五5、证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ； 2、当x 1时，e x ex .
两个重要结论: (1) 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 即x (a,b),若有 f ( x) 0 f ( x) C
(2) x (a,b),若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
例3 验证 f (x) arctan x 在[0,1] 上满足 Lagrange中值定理的条件 .
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .
例1 验证 f (x) x2 2x 3在区间[1,3]上满足 Rolle定理.
几何解释:
y
连续光滑曲线 y f (x)
C
在点 A、B处纵坐标相
等,则弧 AB 上至少有一
点C ,在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
(1) f C[a,b] D(a,b) 且 f (a) f (b)
(a,b) , 使 f ( ) 0 ;
(2) f C[a,b] D(a,b)
(a,b)，使 f (b) f (a) f ( );
ba
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
高数大一上知识点总结中值定理
高数大一上知识点总结中值定理高等数学（一）知识点总结：中值定理在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识和定理，其中之一就是中值定理。
中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数的性质以及解决实际问题中扮演着重要的角色。
本文将对中值定理进行总结和讨论。
一、中值定理概述中值定理是微积分的基本定理之一，它包括三个重要的定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理都是以其创立者的名字命名的，它们在解决函数连续性和导数性质相关问题时非常有用。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中最常见和基础的一个。
它得出的结论是：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得函数的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在c∈(a, b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
三、柯西中值定理柯西中值定理是在拉格朗日中值定理的基础上进行拓展得到的。
柯西中值定理的条件为：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0。
那么在(a, b)上至少存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的重要性在于它将一个函数的导数和在另一个函数上的值联系在一起。
这个定理可以用于证明其他重要的数学定理，如罗尔定理和拉格朗日定理的推广形式。
四、罗尔中值定理罗尔中值定理是中值定理中的一个特例，它的前提条件是函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a)=f(b)。
那么在(a, b)上至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的直观理解是：如果一个函数在两个端点处取相同的值，那么在函数曲线上至少存在一个点处的切线斜率为零。
高等数学b学习资料-2-6微分中值定理ren
设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域U ( x0 , )内
有定义并且在 x0 处可导，如果对任意 y 的 x U ( x0, )，有
f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ))
则
f ( x0 ) 0 .
o x0 x
若f ( x0 ) 0 , 则称 x0 为函数 f ( x) 的驻点 .
则有 F ( x) C[a,b] , F( x) D[a,b] ,
F(a) b f (a) a f (b) F(b) , ba
即 F ( x) 在 [a,b] 上满足罗尔定理的条件,
在 (a,b)内至少存在一点 , 使得 F ( ) 0 .
即 f ( ) f (b) f (a) 0 ,
例6 设 f ( x) C[a,b] D(a,b) , f (a) f (b) 0,
证明: 至少存在一点 (a,b) 使 f ( ) f ( ) 0 .
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
Lagrange 中值定理： 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导.
则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (b) f (a) = f '()(ba) ((a,b)) .
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成 f (b) f (a) f ( ).
ba
证明：作辅助函数 F ( x) f ( x) f (b) f (a) x , ba
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) g(b) g(a) g( )(b a), (a , b)
上面两式相比即得结论.
《高等数学》(北大第二版 )6-7多元函数的微分中值定理与泰勒公式
例 ， = 2, f 在(x0 , y0 )的泰勒多项式是 如 n
f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
1 2 + [ f xx (x0 , y0 )∆x2+ 2 fxy (x0 , y0 )∆x∆y + f yy (x0 , y0 )∆y ]. 2! π 2 例1 求函数 f (x, y) = sin( x y) 在点(1,1)的二阶泰勒多 2
ϕ(1) −ϕ(0) = ϕ′(θ ),
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )
∂f ∂f = (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆x + (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆y. ∂y ∂x
证毕.
推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
∂f ∂f 满足 ≡ 0, ≡ 0, 证明：f(x,y)在D内为一常数. ∂y ∂x 证 在区域D内任意取定一点P0 (x0 , y0 ). ∀P(x, y) ∈D，
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 定理1
(二元函数的拉格朗日中值公式) 二元函数的拉格朗日中值公式
又假定D中有两个点P0 ( x0 , y0 )与P ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , 1 并且P0到P的直线P0 P ⊂ D, 则存在θ , 0 < θ < 1, 使得 1
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y 或写成
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
3-1第一节 微分中值定理
再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1∈(a,b), x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1) =0.那么由罗尔定理知道,必 定存在一点ξ ∈(a,b),使f ‘(ξ)=0,则与题设导数恒 不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.
高 二 拉格朗日(Lagrange)定理 等 定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b] 数 y f(x)=k B 学 A 电 上连续,在开区间(a,b)内可导,则 f(b) f(ξ) 子 f(a) x 教 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 o a ξ1 ξ2 b 案
高 等 数 学 电 子 教 案
(中值定理与导数的应用)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
第三章
微分中值定理与导数的应用
这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中 又提供了两种求极限的方法---洛必达法则与泰勒式；另 外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式
a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
即f(a)=f(b)，且除了端点外
b
处处有不垂直于x轴的切
线。
高 等 数 学 电 子 教 案
可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水
平的切线.如果记C点的横坐标为ξ ，那么有 f ' ( ) = 0。我 们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
m ξ2 b
x
高 等 数 学 电 子 教 案
定理1的几何意义是: 对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有
一点ξ(即中间值),使f(x)在x=ξ时有水平切线,即f ’(ξ)=0. 罗尔中值定理: 若函数y=f(x)满足条件 (1)在闭区间[a,b]上连续;
《医用高等数学》微分中值定理教学论文
《医用高等数学》微分中值定理的教学研究【摘要】对rolle定理、lagrange中值定理、cauchy中值定理等三个微分中值定理采用完全不同于现行所有教材体系的模式进行教学，在一定程度上解决了课时紧张的矛盾。
【关键词】微分中值定理；教学内容体系；一般到特殊1、引言作为导数应用的理论基础，微分学的几个中值定理在《高等数学》中具有重要的地位。
在现有《高等数学》教材的教学内容体系中，三个微分中值定理的编排顺序均是rolle定理、lagrange中值定理、cauchy中值定理。
这样处理的最大优点就是循序渐进，由浅入深；其次是讲授辅助函数的设计思想。
然而事物都是一分为二的，这样编排教材内容也有不足：第一，占用课时太多，对于课时紧张的非数学专业矛盾比较突出，对于课时极为紧张的医学类专业更是不可能完成这种内容编排的计划，更谈不上实现辅助函数设计教学应该达到的目标。
我们在长期的教学过程中，根据一般到特殊的认识认识规律，综合分析三个中值定理的内在联系，按照与教材完全相反的内容顺序进行教学，收到了较好的效果：整个体系以及证明很简捷，加上我们在许多其他“板块”中也对内容进行了类似处理，很大程度上缓解了课时紧张的矛盾。
更重要的，这样处理，与“精简课时，提高效率，加强训练”的国际教改大趋势和教育部有关文件精神不谋而合。
2、一个引理引理设函数、满足条件：（1）、于连续；（2）、于可导；（3）则，使证明据条件（1）、（2）可知：①于连续；②于可导。
又根据条件（3）有：讨论：ⅰ、若（常数），则，可见，取内任一点为，结论均成立。
ⅱ、若，，则由①可知于中某点取得最大（小）值，并且亦为极值点，又由②可知，故结论成立。
综上，引理得证。
3、三个中值定理在上段引理中加上条件非0，立得cauchy中值定理：定理1（柯西中值定理）：若、满足：（1）、于连续；（2）、于可导；（3），。
则，使：。
评注2：在定理1中令，则得lagrange中值定理：定理2（拉格朗日中值定理）：若函数满足条件：（1）于连续；（2）于可导。