2021高考数学研讨会---济南(1)
2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案
(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。
【金版学案】2021届高考数学总温习 第五章 第三节等比数列及其前n项和课时精练 理(1)
第三节 等比数列及其前n 项和1．(2021·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)． 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)． 故数列的第四项为－24. 答案：A2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且9a 1,3a 2，a 3成等比数列．假设a 1＝3，那么a 4＝( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．5解析：设等差数列{a n }的公差为d ，那么有9(a 1＋d )2＝9a 1·(a 1＋2d )，因为a 1＝3，因此可解得d ＝0，因此{a n }为常数列，a 4＝a 1＝3.应选C.答案：C3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设8a 2＋a 5＝0，那么以下式子中数值不能确信的是( ) A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n解析：由8a 2＋a 5＝0知，公比q ＝－2，因此a 5a 3＝q 2＝4，S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113，a n ＋1a n＝q ＝－2.S n ＋1S n＝1－q n ＋11－q n，依照n 的奇偶性可知，该式的结果不定．应选D.答案：D4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.6164B.6364C.3116D.3316 解析：∵a 1＝1,9S 3＝S 6，∴q ≠1.那么9·1－q 31－q ＝1－q 61－q ，得q 3＝1(舍)，q 3＝8，∴q ＝2，∴1a n ＝12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……若是那个进程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.666－16－1只 B ．66只C ．63只D ．62只解析：从第一天起，每一天归巢后，蜂巢中的蜜蜂数依次为：6,62,63，…，这是一个等比数列，首项为6，公比为6，因此第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂66只．应选B.答案：B6．等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝∫304x d x ，那么公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：S 3＝∫304x d x ＝2x 2|30＝2×32－0＝18，由题知，a 1q 2＝6①a 1＋a 1q ＝12②②式除以①式得1q 2＋1q ＝2，解得q ＝1或－12，应选C.答案：C7．概念在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，若是关于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，那么称f (x )为“保等比数列函数”．现有概念在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.那么其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 ( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④解析：等比数列性质，a n a n ＋2＝a 2n ＋1，①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝2a n 2a n ＋2＝2a n ＋a n ＋2≠22a n ＋1＝f 2(a n ＋1)； ③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln|a n |ln|a n ＋2|≠(ln|a n ＋1|)2＝f 2(a n ＋1)．应选C. 答案：C8．(2021·茂名一模)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3·a 9＝2a 25，那么q ＝__________.解析：设等比数列的首项为a 1，由a 3·a 9＝2a 25，得：(a 1q 2)·(a 1q 8)＝2(a 1q 4)2，即a 21q 10＝2a 21q 8， ∵a 1≠0，q ＞0，∴q ＝ 2.答案：29．(2021·北京卷)假设等比数列{a n }知足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，那么公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 11－q n1－q＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－210．(2021·广东深圳二模)已知递增的等比数列{a n }中，a 2＋a 8＝3，a 3·a 7＝2，那么a 13a 10＝________.解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，又∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，那么a 2＝1，a 8＝2， ∴q 6＝a 8a 2＝2，∴q 3＝2，∴a 13a 10＝q 3＝ 2.答案：211．若是数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，那么a 5＝________.解析：∵a na n －1＝a 1(－2)n －1＝(－2)n －1，∴a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1＝(－2)4＋3＋2＋1＝32.答案：3212．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }知足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，那么数列{b n }前n 项和的最大值为__________．解析：由题知，b 3＝18＝ln a 3，a 3＝e 18，b 6＝12＝l n a 6，a 6＝e 12，a 6a 3＝q 3＝e －6，q ＝e －2，那么a 1＝e 22，那么b 1＝22，b 2＝20，b n ＝22＋(n －1)·(－2)，n ＝12时，b n ＝0，那么S 12最大为132.答案：13213．(2021·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解析：(1) 分两种情形讨论．①当q ＝1时，数列{a n }是首项为a 1的常数数列，因此S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1. ②当q ≠1时，数列S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ⇒qS n ＝qa 1＋qa 2＋…＋qa n －1＋qa n . 上面两式错位相减：(1－q )S n ＝a 1＋(a 2－qa 1)＋(a 3－qa 2)…＋(a n －qa n －1)－qa n ＝a 1－qa n . ⇒S n ＝a 1－qa n 1－q＝a 11－q n1－q.③综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q ，q ≠1.(2)利用反证法．设{a n }是公比q ≠1的等比数列， 假设数列{a n ＋1}是等比数列．那么 ①当∃n ∈N *，使得a n ＋1＝0成立，那么{a n ＋1}不是等比数列． ②当∀n ∈N *，使得a n ＋1≠0成立，那么a n ＋1＋1a n ＋1＝a 1q n ＋1a 1q n －1＋1＝恒为常数⇒a 1q n ＋1＝a 1q n －1＋1⇒当a 1≠0时，q ＝1.这与题目条件q ≠1矛盾．③综上两种情形，假设数列{a n ＋1}是等比数列均不成立，因此当q ≠1时， 数列{a n ＋1}不是等比数列． 14．(2021·广州一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)假设p，q，r是三个互不相等的正整数，且p，q，r成等差数列，试判定a p－1，a q－1，a r－1是不是成等比数列？并说明理由．解析：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，∴当n＝1时，有a1＝(1－1)S1＋2，解得a1＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n，①a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＋(n＋1)a n＋1＝nS n＋1＋2(n＋1)，②②－①得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2.③由③式得：(n＋1)a n＋1＝nS n＋1－(n－1)S n＋2＝n(S n＋1－S n)＋S n＋2，得a n＋1＝S n＋2.④当n≥2时a n＝S n－1＋2，⑤⑤－④得：a n＋1＝2a n.由a1＋2a2＝S2＋4，得a2＝4，∴a2＝2a1.∴数列{a n}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝2n.(2)∵p，q，r成等差数列，∴p＋r＝2q.假设a p－1，a q－1，a r－1成等比数列，那么(a p－1)(a r－1)＝(a q－1)2，即(2p－1)(2r－1)＝(2q－1)2，化简得：2p＋2r＝2×2q.(*)∵p≠r，∴2p＋2r＞22p×2r＝2×2q，这与(*)式矛盾，故假设不成立．∴a p－1，a q－1，a r－1不是等比数列．。
2021高考数学 复数历年来高考习题荟萃（2020-2021）（含解析）(1)
zi，+2=2z设=2a+2bi在复平面内对应的．第四象限，故答案为D．对应的点的坐标是( ) ()(+为虚数单位1i iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,因此对应点(-1,1).选B 选B9.【2021山东】（1）复数z 知足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( D )A. 2+i C. 5+i10.【2021上海理】设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，那么________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩11.【2021四川理】2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，那么图中表示z 的共轭复数的点是（ ）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 12.【2021全国新课改II 】设复数z 知足(1i )z = 2 i ，那么z =（A ）1+ i（B ）1 i（C ）1+ i（D ）1 i答案：A【解法一】将原式化为z =2i 1- i ,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一查验即可.13.【2021课标1】假设复数z 知足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45（C ）4（D ）45【命题用意】此题要紧考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【点评】此题考查复数代数形式的四那么运算及复数的大体概念，考查大体运算能力.先把Z 化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数概念得出1z i =--. 10.【2021高考湖北文12】.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），那么a+b=____________. 【答案】3【点评】此题考查复数的相等即相关运算.此题假设第一对左侧的分母进行复数有理化，也能够求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，大体概念（共轭复数），大体运算等的考查.11.【2021高考广东文1】设i 为虚数单位，那么复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i - 【答案】D12.【2102高考福建文1】复数（2+i ）2等于 +4i +4i +2i +2i 【答案】A.【解析】i i i 43)22()14()2(2+=++-=+，应选A.13.【2102高考北京文2】在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A14.【2021高考天津文科1】i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+i （C ）1+i （D ）-1-i【答案】C或,复数a+为纯虚数0,0b00b,应选B.=+(i为虚数单位年高考（山东理））假设复数)117i-i D．3--B．35i【解析】1iz i-=2021年高考（大纲理）【考点定位】此题要紧考查复数的代数运算在复平面内所对应的图形的面积为__8__.3416．（2021年高考（上海春））假设复数z 知足1(iz i i =+为虚数单位),那么z =1i -_______.34（江苏））设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),那么a b +的值为____. 7. 【考点】复数的运算和复数的概念.【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,因此=5=3a b ，,=8a b + .2020年高考复数1.【2020安徽理】 设 i 是虚数单位，复数aii1+2-为纯虚数，那么实数a 为 （A ）2 (B) -2 (C) 1-2(D) 12A. 【命题用意】此题考查复数的大体运算，属简单题.【解析】设()aibi b R i1+∈2-=，那么1+(2)2ai bi i b bi =-=+，因此1,2b a ==.应选A. 2.【2020北京理】复数i 212i-=+ A. i B. i - C. 43i 55-- D. 43i 55-+【解析】：i 212ii -=+，选A 。
2021年全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案
2021年全国普通高等学校招生全国统一考试〔全国一卷〕理科数学一、选择题：〔此题有12小题，每题5分，共60分。
〕 1、设z=，那么∣z ∣=〔 〕B. C.1 D.2、集合A={x|x 2-x-2>0}，那么A =〔 〕A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地理解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是〔 〕A. 新农村建立后，种植收入减少B. 新农村建立后，其他收入增加了一倍以上 建立前经济收入构成比例建立后经济收入构成比例D.新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记Sn 为等差数列{an}的前n项和，假设3S3= S2+ S4，a1=2，那么a5=〔〕A、-12B、-10C、10D、125、设函数f〔x〕=x³+〔a-1〕x²+ax .假设f〔x〕为奇函数，那么曲线y= f〔x〕在点〔0，0〕处的切线方程为〔〕A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么=〔〕A. -B. -C. +D. +7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B，那么在此圆柱侧面上，从M到N的途径中，最短途径的长度为〔〕A. 2B. 2C. 3D. 28.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点〔-2，0〕且斜率为的直线与C交于M，N两点，那么·=( )9.函数f〔x〕= g〔x〕=f〔x〕+x+a，假设g〔x〕存在2个零点，那么a的取值范围是( )A. [-1，0〕B. [0，+∞〕C. [-1，+∞〕D. [1，+∞〕10.下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2021年高考数学(理)2月模拟评估卷(二)(全国1卷)(解析版)
2021年高考数学（理）2月模拟评估卷（二）（全国1卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分150分.考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =,{3,4,5}A =,{1,2,5}B =,则{}1,2=（ ） A ．ABB ．()UA B ⋂C ．()UA B ∩D ．()()UU A B ⋂【答案】B 【解析】{}5AB =,故A 不正确；(){}1,2U A B =,故B 正确；(){}3,4UAB =,故C 不正确；()()UU A B ⋂=∅,故D 不正确.故选B2．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位),则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部是-iB ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【答案】C【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-.对选项A,z 的虚部是1-,故A 错误.对选项B,1z i =-为虚数,故B 错误.对选项C,z ==故C 正确.对选项D,112z z i i +=-++=,故D 错误.故选C3．设x ,y ∈R ,则“1≥x 且1y ≥”是“221x y +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为1x ≥且1y ≥,所以21x ≥且21y ≥,所以2221x y +≥>；若221x y +≥,可取0x =,1y =-,不满足1x ≥且1y ≥,所以前者是后者的充分不必要条件,故选A.4．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=,则221sin188sin 18n ︒︒-=（ ） A ．14B ．12C．4D．2【答案】A【解析】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos7241cos72482-︒-︒===-︒-︒⨯.故选A ． 5．已知非零向量a ,b 满足233a b =,且()a b b -⊥,则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】因为()a b b -⊥,所以()0a b b -=,即20a b b ⋅-=,得2cos 0a b θb -=, 又因为233a b =,22cos 0b θb -=,得cos 2θ=,所以6πθ=.故选A 6．若实数x 、y 满足20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩,且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值（ ）A ．2B ．94C ．52D ．3【答案】B【解析】画出可行域如图所示,将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+,平移直线 2y x =-,当过点B 时,在y 轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,由20x y y x b-=⎧⎨=-+⎩得2()33b b B ，,则22333b b ⨯+=,解得94b =,故选B. 7．设函数()f x 和()g x 的定义域为D ,若存在非零实数c D ∈,使得()()0f c g c +=,则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P .现有三组函数：①()f x x =,()2g x x =；②()2-=x f x ,()x g x e =-；③()2f x x =-,()2x g x =,其中具有性质P 的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】对于①,()()2f xg x x x +=+,则()()11110f g -+-=-+=,合乎题意；对于②,()()20x xf xg x e -+=-=,可得102xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即()21x e =,解得0x =,不合乎题意；对于③,()()22x f x g x x +=-+,则()()2222220f g +=-+=,合乎题意.因此,具有性质P 的是①③.故选B.8．已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（ ）．A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】Acos 1ϕϕ-=知：2sin()16πϕ-=,即1sin()62πϕ-=,∴锐角3πϕ=,故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭, 又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+,∴17()sin(2)26f x x π=+,故()f x 是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到,故选A9．在ABC 中,角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．若2cos b a A =,222a b c ab +-=,则下面式子中不可能成立的是（ ） A ．a c b << B ．a b c ==C ．c b a <<D ．223sin sin sin sin 4B A A B +-=【答案】C【解析】因为222a b c ab +-=,所以2221cos 22a b c C ab +-==,而(0,)C π∈,所以3C π=,又2cos b a A =,由正弦定理得sin 2sin cos sin2B A A A ==,,A B 是三角形内角,所以2B A =或2B A π+=,若2B A =,则由3C π=得,29A π=,49B π=,则a c b <<,A 可能成立,若2B A π+=,则由3C π=得,3A B π==,则a b c ==,B 可能成立,此时若c =则2222232cos 4a b ab C a b ab c +-=+-==,D 可能成立,只有C 不可能成立．故选C ． 10．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形,PA a =,点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心,当三棱锥P ABC -体积最大值时,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．3B ．23a πC ．32a D ．212a【答案】B【解析】如下图所示,延长PH 交BC 于点D ,连接AD ,H 为PBC 的垂心,则BC PD ⊥,AH ⊥平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,BC AH ∴⊥,AHPD H =,BC ∴⊥平面PAD ,AD ⊂平面PAD ,BC AD ∴⊥,连接BH 并延长交PC 于点E ,连接AE ,AH ⊥平面PBC ,PC ⊂平面PBC ,AH PC ∴⊥,BE PC ⊥,AHBE H =,PC ∴⊥平面ABE ,AB ⊂平面ABE ,AB PC ∴⊥,设点P 在平面ABC 内的射影为点O ,延长CO 交AB 于点F ,连接PF ,PO ⊥平面ABC ,AB 平面ABC ,PO AB ∴⊥,PO PC P =,AB ∴⊥平面PCF ,PF 、CF ⊂平面PCF ,则PF AB ⊥,CF AB ⊥,AD CF O =,O ∴为正ABC 的中心,且F 为AB的中点,PO ⊥平面ABC ,OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ,PO OA ⊥,PO OB ⊥,PO OC ⊥,且OA OB OC ==,所以,POA POB POC ≅≅,PA PB PC a ∴===,当PB PC ⊥时,PBC 的面积取最大值,当PA ⊥平面PBC 时,三棱锥P ABC -的体积取得最大值,将三棱锥A PBC -补成正方体AEMN PBDC -,所以,三棱锥A PBC -的外接球的直径即为正方体AEMN PBDC -的体对角线长,设三棱锥A PBC -的外接球直径为2R ,则2R =,因此,三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()222423R R a πππ=⨯=.故选B.11．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F,左、右顶点分别是12,A A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B,C 两点,若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．12±B ．2±C ．1±D ．【答案】C 【解析】,,,,所以,根据,所以,代入后得,整理为,所以该双曲线渐近线的斜率是,故选C.12．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,且当[]0,3x ∈时,()2x f x xe-=,若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,则实数t 的取值范围是（ ） A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-,所以()()()6f x f x f x -==-,即()()6+f x f x =, 所以函数()f x 是以6为周期的周期函数,当[]0,3x ∈时,()2x f x xe-=,所以()22xx f x e -'=（1-）,当02x ≤<时,()0f x '>,函数()f x 递增；当23x <≤时,()0f x '<,函数()f x 递减； 当当2x =时,函数()f x 取得极大值()2f x e=,作出函数()f x 在(3,3]-上的图象,如图所示：因为不等式()()20fx tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解,所以不等式()()20f x tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解,当()0f x =时,不符合题意,故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解,因为()()1322133,f e f e--==,所以()()3311f f e=>,即13f f ,故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2,2,3,所以,()()13f f t <<,即32123t e e --<<,故选B二.填空题:本大题共4小题,每小题5分13. 某工厂生产A ,B ,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a =______. 【答案】5 【解析】由题意,605120a a =+,解得5a =． 14．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,过点Fl 交C 于A ,B 两点,以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ,N 两点,设线段AB 的中点为Q ,若点F 到C 的准线的距离为3,则sin QMN∠的值为______． 【答案】58【解析】抛物线C ：()220y px p =>的焦点为(,0)2pF ,准线方程为2p x =-,由题意得3p =,则抛物线方程为236,(,0)2y x F =,则直线AB的方程为3)2y x =-,由23)26y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,得22731504x x -+=,设,A B 的横坐标分别为12,x x ,则125x x +=,所以AB 的中点Q的坐标为5(2,12538AB x x p =++=+=,则圆Q 的半径为4,在QMN 中,552sin 48QMN ∠==,故答案为5815．新冠疫情期间,甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6（列）×2（行）的座位.甲､乙家庭各有三人,且乙家庭有一个小孩,丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上,不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻）,小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法. 【答案】9216【解析】由题甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行两类：（1）甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步处理如下：①先甲、丙选行,有12C 种；①再甲、丙选左右两边,有12C 种；①两边分别排甲、丙,甲、丙间隔一个位置,有3232A A 种；①排乙,乙在甲、丙另一行,又分3人相邻和只2人相邻两类,3人相邻有1343C A ,只2人相邻有122242C A A 种故共有()1132122132232242433456C C A A C A A C A +=种；（2）乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步处理如下①先乙、丙选行,有12C 种；①再乙、丙选左右两边,有12C 种；①两边分别排乙、丙,乙、丙间隔一个位置,有3232A A 种；①排甲,甲在乙、丙另一行,有36A 种,故共有12323223265760C C A A A =种坐法由（1）（2）共有345657609216+= 种.16．已知a ,b R ∈,满足22x x x be e a e+≥-对任意x ∈R 恒成立,当2a b +取到最小值时,2a b +=______. 【答案】24【解析】令x t e =,则0t >,所以22bt t a t+≥-,即3220t t at b -++≥对于0t >恒成立, 令32()2f t t t at b =-++()0t >,因为(2)8822f a b a b =-++=+,因为对于0t >时()0f t ≥恒成立,所以20a b +≥,当2a b +取最小值时,即20a b +=,此时在2t =时()f t 有最小值,因为函数()f t 的定义域为(0,)+∞,()202t ∈+∞=，，不是区间端点值,又在(2)f 处取得最小值,所以(2)f 也是函数的一个极小值,且2()34f t t t a '-=+,所以(2)3480f a '=⨯-+=,得4a =-,从而8b =故224a b +=.三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.(一)、必考题：共60分17.(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且645,62.a S =-=- （1）求{}n a 通项公式；（2）求数列{||}n a 的前n 项和.n T解：（1）在等差数列{}n a 中,因为645,62a S =-=-, 所以1155,4662a d a d +=-+=-, 解得 120,3a d =-=,(3分)所以 1(1)323n a a n d n =+-=-.(5分) （2）令3230n a n =-≥,解得233n ≥, 当7n ≤时,0n a <,当8n ≥时,0n a >,(7分)所以当7n ≤时, ()()1221343 (2)n n n n n a a a a a T a -=-+=----++=-,(9分)当8n ≥时, 12789......n n T a a a a a a =----++++, ()()()127123432 (1542)n n n a a a a a a -=-+++++++=+,(11分) 所以()()343,72343154,82n n n n T n n n ⎧--≤⎪⎪=⎨-⎪+≥⎪⎩.(12分) 18.(12分) 在三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,1AA =AB AC ⊥,1B C ⊥平面ABC ,E 是1B C 的中点.（1）求证：平面1AB C ⊥平面11ABB A ； （2）求直线AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值. 解：（1）由1B C ⊥平面ABC ,AB平面ABC ,得1AB B C ⊥,(2分)又AB AC ⊥,1CB AC C =,故AB ⊥平面1AB C ,(4分)AB 平面11ABB A ,故平面11ABB A ⊥平面1AB C .(5分)（2）以C 为原点,CA 为x 轴,1CB 为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()1,1,0B又BC =11BB AA ==故11CB =,()10,0,1B ,10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,0,0CA =()111,1,1AA BB ==--,11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(7分)设平面11AAC C 的一个法向量为(),,n x y z =,则100n CA n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x y z =⎧⎨--+=⎩,令1y =,则1z =, ()0,1,1n =,(9分) 设直线AE 与平面11AAC C 所成的角为θ,故1sin 2n AE n AEθ⋅===即直线AE 与平面11AAC C 分)19.(12分) 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,3M ,其上､下顶点分别为点A ,B ,且直线AM ,MB 的斜率之积为34AM BM k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线,分别交椭圆C 于另一点S ,T .若2QS QT k k +=,求证：直线ST 过定点.（1）解：①()0,A b ,()0,B b -, ①333224MA MB b b k k -+⋅=⋅=-,解得212b =, 将212b =,()2,3M 都代入椭圆方程,得216a =,①椭圆方程为2211612x y +=；(5分)（2）证明：设()11,S x y ,()22,T x y ,直线ST 的方程为y kx t =+. 将y kx t =+代入椭圆方程,整理得()2223484480kxktx t +++-=,122843kt x x k +=-+,212244843t x x k -=+,(7分) 由1212244y y x x +=++,得1212244kx t kx tx x +++=++. 整理,得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=,即()()2224488224883204343t kt k k t t k k -⎛⎫-⋅++-⋅-+-= ⎪++⎝⎭. 化简,得()228316120t k t k k -+++=,即()()4430t k t k ---=.(10分)当4t k =时,直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+,恒过左顶点,不合题意 当43t k =+时,直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++,恒过点()4,3-.∴直线ST 过定点()4,3-.(12分)20.(12分) 某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成,各个电子元件能否正常工作的概率均为12,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C 中有超过一半的电子元件正常工作,则G 可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需费用为500元. (1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G 组成,设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用,求ξ的分布列与期望; (3)为提高G 系统正常工作概率,在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p ,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则C 可以正常工作,问:p 满足什么条件时,可以提高整个G 系统的正常工作概率?解：（1）系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2分)（2）设X 为维修维修的系统的个数,则13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭,且500X ξ=, 所以()()3311,0,1,2,325002kkk P P k X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()50037502E ξ=⨯⨯=. (7分) （3）当系统G 有5个电子元件时,原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作,G 系统的才正常工作. 若前3个电子元件中有1个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作,则概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；若前3个电子元件中有两个正常工作, 同时新增的两个至少有1个正常工作,则概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若前3个电子元件中3个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作,系统G 均能正常工作,则概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+, 于是由()3113214828p p +-=-知,当210p ->时,即112p <<时,可以提高整个G 系统的正常工作概率. (12分)21.(12分) 已知函数()22ln ln f x x x a x =---.（a R ∈）（1）令()()g x xf x '=,讨论()g x 的单调性并求极值； （2）令()()22ln h x f x x =++,若()h x 有两个零点；（i ）求a 的取值范围；（ii ）若方程()ln 0xxe a x x -+=有两个实根1x ,2x ,且12x x ≠,证明：12212x x e ex x +> 解：（1）因为()2ln 1x af x x x'=-- 所以()()2ln g x xf x x x a '==--,()0,x ∈+∞ 则()2x g x -'=,所以()g x 单调递减区间为()0,2,单调递增区间为()2,+∞ 极小值为()222ln 2g a =--,无极大值. (4分) （2）（i ）()ln h x x a x =-有两个零点. 因为()1a x ah x x x-'=-=①当0a ≤时,()0h x '>,()h x 单调递增,不可能有两个零点；①当0a >时,令()0h x '<,得0x a <<,()h x 单调递减；令()0h x '>,得x a >,()h x 单调递增.所以()()min ln h x h a a a a ==- 要使()h x 有两个零点,即使()0h a <,得a e >,又因为()110h =>,()0h e e a =-<,所以()h x 在()1,e 存在唯一一个零点, 且a e >,()2ee0aah a =->,所以()h x 在(),ae e上存在唯一一个零点,符合题意.综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) 法二：()ln h x x a x =-有两个零点.等价于1x ≠时,ln xa x =有两个实根,（1） 令()ln x F x x =,()2ln 1ln x F x x-'= 当()0,1x ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减,且()0F x <； 当()1,x e ∈时,()0F x '<,()F x 单调递减； 当(),x e ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增；()F e e =,1x +→,()F x →+∞,x →+∞,()F x →+∞.要使（1）有两个实数根,即使()a F e e >=, 综上,当a e >时,函数()h x 有两个零点. (8分) （ii ）()()()e ln e ln e0xxxx a x x x a x x -+=->有两个实根,令e x t x =,()ln g t t a t =-有两个零点1t ,2t ,111e x t x =,222e x t x =所以1122ln 0ln 0t a t t a t -=⎧⎨-=⎩,所以()2121ln ln a t t t t -=-（1）()2121ln ln a t t t t +=+（2）要证12212x x e ex x +>,只需证()()12212x x x e x e e ⋅>,即证()()1212ln ln 2x x x e x e +>, 所以只需证12ln ln 2t t +>.由（1）（2）可得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t tt t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--, 只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<,令21t t t =,则1t >,所以只需证1ln 21t t t ->+,即证4ln 201t t +->+ 令()4ln 21h t t t =+-+,1t >,则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++, ()()10h t h >=,即当1t >时,4ln 201t t +->+成立. 所以12ln ln 2t t +>,即()()12212x x x ex e e ⋅>,即12212x x e x xe+>.(12分)(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系 xOy 中,直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭.以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为：2cos 2sin 0ρθθ-=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ,B 两点,M 为AB 中点,且满足||,||,||PA PM PB 成等比数列,求直线l 的斜率.解：（1）因为直线l 过点(0,2)P ,倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭, 所以直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数),因为2cos 2sin ρθθ=,所以22cos 2sin ρθρθ=,所以曲线C 的直角坐标方程为：22x y =；(5分)（2）将直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩(t 为参数)代入22x y =可得：22cos 2sin 40t t αα--=,设A,B 所对应的参数为12,t t ,所以1212222sin 4,cos cos t t t t ααα-+=⋅=, 因为||,||,||PA PM PB 成等比数列,所以212122t t t t +⎛⎫= ⎪⎝⎭,即242sin 4cos cos ααα=, 解得2tan 4α=,tan 2α=±,故直线l 的斜率为2±. (10分) 23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数()21f x x =+,()|||21|g x x a x =---,12a ≥. （1）当12a =时,解不等式27()2g x <-；（2）对任意1x ,2x R ∈,若不等式12()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.解：（1）当12a =时,11()||21||22g x x x x =---=--,不等式27()2g x <,即217||22x --<-,即217||22x ->,解得24x >或23x <-(舍去),由24x >,解得2x <-或2x >.所以不等式27()2g x <-的解集是(,2)(2,)-∞-+∞. (5分)（2）由题意知,只需满足()min max ()g x f x ≥即可.()21f x x =+,()min 1f x ∴=,依题意,当12a ≥时,11,21()31,21,x a x g x x a x a x a x a ⎧+-<⎪⎪⎪=-++≤≤⎨⎪--+>⎪⎪⎩,由一次函数性质知,()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递减,max 11()()22g x g a ∴==-.由()min max ()g x f x ≥,得112a -≥,即32a ≤. 所以实数a 的取值范围是：1322a ≤≤. (10分)。
2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)
8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ， 所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、 经典例题
考点一 集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，
历下区高考数学模拟卷(一)文(2021年整理)
山东省济南市历下区2017届高考数学模拟卷(一）文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页.时量120分钟.满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设A，B是两个非空集合,定义集合A－B＝｛x｜x∈A且x∉B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5｝，B＝{x|x2－7x＋10〈0｝，则A－B＝（D）（A){0,1} (B)｛1，2｝ (C){0，1，2} (D){0，1，2，5｝（2)如果复数错误!(a∈R）为纯虚数,则a＝(D）(A）－2 （B）0 （C)1 (D)2（3）等差数列{a n}中，a3＝5，a4＋a8＝22，则{a n}的前8项和为(B)(A）32 (B)64 (C)108 （D）128(4)某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2，…，800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1,200]的人做试卷A，编号落在［201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为(B)(A)10 （B）12 （C）18 (D)28(5）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是错误!，则(C)(A)a＝13 (B）a＝12 (C)a＝11 (D)a＝10（6）已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（D)（A）46 （B)52＋π (C）52＋3π (D)46＋2π（7)如图是函数y＝A sin（ωx＋φ)错误!在区间错误!上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin x(x∈R）的图象上所有的点(D）(A)向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（B)向左平移错误!个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标不变（C）向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变（D）向左平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标不变（8)设变量x，y满足约束条件错误!则z＝｜x－3y｜的最大值为（A）（A)8 (B)4 (C)2 (D)错误!【解析】作出约束条件错误!对应的可行域如下,z＝｜x－3y|＝错误!·错误!，其中错误!表示可行域内的点（x，y)到直线x－3y＝0的距离，由下图可知，点A（－2,2）到直线x－3y ＝0的距离最大，最大值为错误!，所以z＝|x－3y｜的最大值为8.故选A。
2021-2022年高考数学总复习 第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教案 理 北师大版
2021年高考数学总复习 第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教案 理 北师大版考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．知识梳理1．命题能够__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中__________的命题叫作真命题，__________的命题叫作假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________． 基础自测1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．a ＜0，b ＜0的一个必要条件是( )． A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞C ．a b ＞1D ．a b＜－14．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )．A．l1∥平面α，l2∥平面αB．直线l1⊥直线l3，直线l2⊥直线l3C．l1平行于l2所在的平面D．l1⊥平面α，l2⊥平面α5．命题“如果x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为__________．思维拓展1．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？提示：逆命题为真即q⇒p，逆否命题为假，即pq，故p是q的必要不充分条件．2．“命题的否定”与“否命题”一样吗？提示：不一样．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则q”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若p，则q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．3．如何理解充分条件与必要条件的传递性与对称性？提示：传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件；对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．一、四种命题及其关系【例1】命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是__________．方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．请做[针对训练]1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】已知各个命题A，B，C，D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的__________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．【例2－2】是否存在实数m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？方法提炼判断充分条件、必要条件的方法1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B时，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A时，则p是q的必要不充分条件；(3)若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．3．等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．请做[针对训练]2三、充分条件与必要条件的证明及应用【例3－1】“x＞0”是“3x2＞0”成立的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【例3－2】已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．【例3－3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }成等比数列的充要条件是p ≠0，p ≠1且q ＝－1.方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节：一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．3．解决例3－2之类问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．请做[针对训练]3考情分析从近两年的高考试题看，充要条件的判定、命题真假的判断等是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属中低档题目．本节知识常和函数、不等式、向量、三角函数及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系判定的掌握程度．预测xx 年高考仍将以充要条件的判定、判断命题的真假为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力．针对训练1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )． A ．x ＜0 B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥33．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)·(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则a 的取值范围为( )．A ．－1＜a ＜6B ．－1≤a ≤6C ．a ＜－1或a ＞6D ．a ≤－1或a ≥64．(xx 江西六校联考)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(xx 陕西高考，理12)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．判断真假 正确 错误2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 p ⇔q 基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由数的性质知：a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＜0，所以选A.4．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破【例1】 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数解析：原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．【例2－1】 必要不充分 解析：∵A ⇒B ⇒C ⇔D ， 而DDA ，∴D 是A 的必要不充分条件． 【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件．【例3－1】 A 解析：∵x ＞0⇒3x 2＞0，而3x 2＞0Dx ＞0，∴x ＞0是3x 2＞0成立的充分不必要条件．【例3－2】 解：(1)由x 2－8x －20≤0， 得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9. ∴这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3.综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 【例3－3】 解：先证充分性：当p ≠0，p ≠1，且q ＝－1时，S n ＝p n－1. ∴S 1＝p －1，即a 1＝p －1， 又n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴a n ＝(p －1)p n －1(n ≥2)． 又n ＝1时也满足，∴a n ＝(p －1)·p n －1(n ∈N ＋)， ∴{a n }是等比数列．再证必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)·p n －1.由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列．要使{a n }(n ∈N ＋)是等比数列，则a 2a 1＝p ，即(p －1)p ＝p (p ＋q )，∴q ＝－1，即{a n }是等比数列的充要条件是p ≠0且p ≠1且q ＝－1.演练巩固提升 针对训练1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－12或x ≥3，∴对于A ，当x ＝－13时，2x 2－5x －3＜0.同理，B 选项也可用特殊值验证，而D 选项是它的充要条件，故选C.3．B 解析：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B. 4．A 解析：设[x ]＝[y ]＝n ，n ∈Z ，则x ，y ∈[n ，n ＋1)，x －y ∈(－1,1)，即|x －y |＜1，所以[x ]＝[y ]⇒|x －y |＜1，反之，若x ＝2.1，y ＝1.9，满足|x －y |＜1，但是[x ]＝2，[y ]＝1，所以[x ]≠[y ]．故|x －y |＜1 [x ]＝[y ]．因此，选A.5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0.∴n ≤4，原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数．又∵n ∈N ＋，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数.。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
2021 全品高考第二轮专题 数学 新高考21 (1)
本资料分享自千人QQ 群323031380 期待你的加入与分享全品高考第二轮专题 数学 新高考2核心素养与高考新变化——解析几何中的数列、不等式问题一、解析几何与不等式交汇1.A [解析] 圆(x+2)2+(y+1)2=1的半径为1,圆心坐标为(-2,-1),由直线ax+by+2=0(a>0,b>0)被圆(x+2)2+(y+1)2=1截得的弦长为2,可得直线经过圆的圆心,则-2a-b+2=0,即2a+b=2,则1a +2b =121a +2b(2a+b )=122+2+b a +4ab≥2+√b a ·4ab=4,当且仅当a=12,b=1时等号成立,故选A .2.A [解析] 清洁钢球能擦净凹槽的最底部时,轴截面如图所示,圆心在双曲线的对称轴上,且该圆与双曲线的顶点相切.设清洁钢球的半径为r ,则圆心坐标为(0,r+1),圆的方程为x 2+(y-r-1)2=r 2,与双曲线方程y 2-x 2=1联立,消去x 得y 2-(r+1)y+r=0,解得y=1或y=r ,要使清洁钢球能到达底部,则0<r ≤1.故选A .3.A [解析] 记椭圆E 的左焦点为F 1(-2,0),连接AF 1,PF 1,则|AF 1|=1,∵|PF 1|≤|PA|+|AF 1|,∴2a=|PF 1|+|PF|≤|PA|+|AF 1|+|PF|=1+8=9,即a ≤92,又|PF 1|≥|PA|-|AF 1|,∴2a=|PF 1|+|PF|≥|PA|-|AF 1|+|PF|=8-1=7,即a ≥72.∵c=2,∴292≤e=c a ≤272,即49≤e ≤47,则椭圆E 的离心率的取值范围是49,47,故选A .4.D [解析] 由题意可知a 2=4,b 2=1,∴c 2=3.设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,则x+y=4,且2-√3≤x ≤2+√3,1|PF 1|+1|PF 2|=|PF 1|+|PF 2||PF 1||PF 2|=4xy =4x(4-x),∵函数t=x (4-x )=-x 2+4x=-(x-2)2+4,2-√3≤x ≤2+√3的值域为[1,4],∴1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围是[1,4].故选D .5.A [解析] 双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax ,不妨设过点F 2且与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=b a(x-c ),与y=-b ax 联立,可得交点Mc 2,-bc 2a.∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外,∴|OM|>|OF 2|,即c 24+b 2c 24a 2>c 2,∴b2a2>3,即b 2>3a 2,∴c 2-a 2>3a 2,即c>2a ,则e=ca >2,∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).二、解析几何与平面向量交汇1.C [解析] 设双曲线C 的左焦点为F',连接F'B',F'B ,AF',则四边形BFB'F'为平行四边形.设|BF|=|B'F'|=m ,则|AF|=3m ,由双曲线的定义可得|B'F|=|BF'|=m+2a ,|AF'|=3m+2a.∵B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -B'A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=B'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B'F ⊥AB ,∴四边形BFB'F'为矩形.在Rt △ABF'中,由勾股定理得|AB|2+|BF'|2=|AF'|2,即(4m )2+(m+2a )2=(3m+2a )2,解得m=a ,∴|B'F'|=a ,|B'F|=3a ,在△B'F'F 中,由勾股定理得|B'F'|2+|B'F|2=|F'F|2,即10a 2=4c 2,∴双曲线C 的离心率e=ca =√104=√102.故选C .2.①③ [解析] ∵e=c a=√1+(b a) 2>2,∴b a>√3,∴∠AOB<60°.对于①,根据向量加法的平行四边形法则,结合∠AOB<60°,可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |<|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故①正确;对于②,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∵∠AOB<60°,∴∠AOB 没有最大值,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |没有最大值,故②错误;对于③,当∠AOB=60°时,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2·2cos30°=2√3,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=12+12+2·|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·12=36,∵∠AOB<60°,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>36,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |>6,故③正确.3.1 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2x 1+x 2=0,2y 1+y 2=3,又A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,所以4x 124+4y 123=4,(-2x 1)24+(3-2y 1)23=1,两式相减得y 1=32,所以y 2=0,因此点M 的纵坐标为y 1+y 22=34,则点M 到直线y=-14的距离为34--14=1.4.解:(1)由e=c a =12可得a 2=43b 2,又b=√6√1+1=√3,∴b 2=3,a 2=4.故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k (x-4). 由{y =k(x -4),x 24+y 23=1,消去y 得(4k 2+3)x 2-32k 2x+64k 2-12=0,则Δ=(-32k 2)2-4(4k 2+3)(64k 2-12)>0,得k 2<14①,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=32k24k 2+3,x 1x 2=64k 2-124k 2+3,∴y 1y 2=k (x 1-4)·k (x 2-4)=k 2x 1x 2-4k 2(x 1+x 2)+16k 2,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2-4k 2(x 1+x 2)+16k 2=(1+k 2)64k 2-124k 2+3-4k 2·32k 24k 2+3+16k 2=25-874k 2+3<0②,由①②,解得-√35<k<√35.∴直线l 的斜率的取值范围是-√35,√35.三、解析几何与数列交汇1.D [解析] 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,不妨设P 在第一象限,则由已知得{m -n =2a,m 2+n 2=(2c)2,n +2c =2m,∴5a 2-6ac+c 2=0,等号两边同时除以a 2,得e 2-6e+5=0,解得e=5或e=1(舍去),故选D .2.ABD [解析] 把点B (1,2)的坐标代入抛物线方程y 2=2px ,得p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,故A 正确;因为A (x 1,y 1),B (1,2),C (x 2,y 2),F (1,0),所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2),由FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1+x 2=2,所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 1+1+x 2+1=4=2|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列,故B 正确;因为A ,F ,C 三点共线,所以k CF =k AF ,即y 1x 1-1=y 2x 2-1,所以y 114y 12-1=y214y 22-1,化简得y 1y 2=-4,故C 不正确;设AC的中点为M (x 0,y 0),因为|AF|+|CF|≥|AC|,|AF|+|CF|=x 1+1+x 2+1=2x 0+2,所以2x 0+2≥6,得x 0≥2,即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2,故D 正确.故选ABD . 3.解:(1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1, 两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k ,得x 1+x 24+y 1+y23·k=0, 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k=-34m ①.由题设得0<m<32,故k<-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则由FP⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0. 因为点P 在椭圆C 上,所以14+4m 23=1,得m=34,从而P 1,-32,所以|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=32, 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x 12,同理得|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x 22.所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3,故2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列.设该数列的公差为d ,则2|d|=||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|FA⃗⃗⃗⃗⃗ ||=12|x 1-x 2|=12√(x 1+x 2)2-4x 1x 2②. 将m=34代入①得k=-1,所以l 的方程为y=-x+74,与椭圆C 的方程联立, 整理得7x 2-14x+14=0,故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d|=3√2128,所以该数列的公差为3√2128或-3√2128.4.解:(1)∵点A (√a n ,√a n+1)在双曲线y 2-x 2=1上,∴a n+1-a n =1,∴{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列, ∴a n =n+1.∵点(b n ,T n )在直线y=-12x+1上, ∴T n =-12b n +1,当n=1时,T 1=b 1=-12b 1+1,∴b 1=23, 当n ≥2时,b n =T n -T n-1=-12b n +12b n-1,∴b n =13b n-1,∵b 1≠0,∴b n ≠0,∴b n b n -1=13,∴{b n }是以23为首项,13为公比的等比数列,∴b n =23n .(2)∵T n =-12b n +1=1-13n,∴|T n -1|=13n<12020,解得n>6,∴使得|T n -1|<12020成立的n 的最小值为7.(3)证明:c n =a n ·b n =2(n+1)3n,则c n+1-c n =2(n+2)3n+1-2(n+1)3n =-2(2n+1)3n+1<0, ∴c n+1<c n ,∴数列{c n }为递减数列.。