2012考研数学易混淆概念分析——概率论与数理统计(三)

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2012钻石卡考研数学易混淆概念分析——概率论与数理统计（三）
万学海文
随着复习的展开，同学们遇到的问题也随之增多，如果不能及时将这些问题解决，势必会影响我们整个复习的进度，阻碍我们复
习的进行。所以当我们遇到问题时一定要在第一时间内将其解决掉。万学海文的数学钻石卡考研辅导专家们下面主要为2012年的考生
们讲解一下概率论和数理统计中多维随机变量及其分布的常见易混淆知识点。

1．由二维随机变量(,)XY的联合分布可以确定关于X，关于Y的边缘分布，但是反之如果知道两个边缘分布能否确定(,)XY的联
合分布呢？

答：不一定．但如果两个随机变量独立，则可以确定，因为如果随机变量,XY相互独立，只需把两个随机变量的分布函数相乘即
得(,)XY的联合分布函数，即(,)()()XYFxyFxFy．如果两个随机变量,XY不独立，要得联合分布函数是没有直接的方法的，只能先
求得联合分布律或联合概率密度函数．如果(,)XY是二维离散型随机变量，则{,}{}{|}ijijiPXxYyPXxPYyXx；如果
(,)XY

是二维连续型随机变量，则|(,)()(|)XXYfxyfxfxy．

2.假设随机变量1X和2X相互独立且服从同一离散型分布101(1,2)111424iXi，则121PXX成立吗？
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答：错误．“两个随机变量同分布”与“两个随机变量相等”是两个完全不同的概念，两个随机变量同分布并不意味它们相等，
只说明它们取相同值的概率相等．不能想当然的觉得既然它们是服从同分布的，则其相等的概率一定等于1．

事实上，由于它们独立，则其联合分布律为：
1X
2X
0
1 2



1ii
PXxp

0
116 18 116
14
1
18 14 18
12
2
116 18 116
14

2jj
PXyp
14 12 14

故

12121212
0,01,12,2PXXPXXPXXPXX

1113

164168


3.设随机变量XY和都服从正态分布，则XY一定服从正态分布？
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答：不是．我们举一个反例：假设随机变量X服从标准正态分布，则易见随机变量YX也服从标准正态分布．事实上，随机变
量YX的分布函数为：

()FyPYyPXyPXy

222211()22xxyyedxedxy
是标准正态分布的分布函数．这样，随机变量XYX和都服从正态分布，然而0XY不服从正态分布．但是，当XY和都服
从正态分布且相互独立时，XY一定服从正态分布．

推广：设随机变量12,,,nXXX相互独立，且2(,)iiiXN，则
22
111,nnniiiiiiiiicXNcc








.

4.若X是离散型随机变量，其概率分布为：(1,2,,)kkPXapkn，Y是连续型随机变量，并且与X相互独立，则XY也
一定是连续型随机变量．

答：已知离散型随机变量X的概率分布为：(1,2,,)kkPXapkn，设连续型随机变量Y的概率密度与分布函数为
()()fyFy与
，以()Gz表示随机变量ZXY的分布函数，则由全概率公式和独立性，有
4

11(),,nnkkkkkGzPXYzPXaXYzPXaYza
11()nnkkkkkkPXaPYzapFza
所以11()()()()nnkkkkkkgzGzpFzapfza，
因此随机变量ZXY有概率密度()gz，从而是连续型随机变量．
说明：本题证明了一个结论：若X是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，并且相互独立，则可以根据全概率公式与独立性求
得ZXY的分布函数与密度函数，得出它也是连续型随机变量．

注意：其中离散型随机变量X的取值必须是有限个，如果X取可列个值，则该结论未必成立．
5.二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，则这两个正态分布的非零线性组合亦服从正态分布．
答：正确．由二维正态分布得到的两个边缘分布服从一维正态分布，这两个正态分布不需要满足独立，其非零线性组合亦服从正
态分布，这是二维正态分布比较特殊的地方．而一般情况下，两个正态分布需要满足独立的条件，其非零线性组合才服从正态分布．
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补充说明：二维正态分布的边缘分布服从一维正态分布，由这两个正态分布线性函数构成的新的正态分布放一起，构成新的二维
正态分布．例如：221212(,)~(,;,;)XYNuu，则211~(,)XNu，222~(,)YNu，若ZXY，WXY（这两都是,XY的线性组合
的形式），则(,)ZW服从二维正态分布．..............................................