高中数学易混淆的数学概念辨析
高考数学答题模板12个(最新)
高考数学答题模板12个选择填空题1.易错点归纳九大模块易混淆难记忆考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式记忆错误等，强化基础知识点记忆，避开因为知识点失误造成的客观性解题错误。
针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情况、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。
2.答题方法：选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;填空题四大速解方法：直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
解答题专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=A sin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。
(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。
2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
③求结果。
④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。
②求通项公式。
③求数列和通式。
2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
概念辨析
概念辨析一．易混淆的概念1．宇宙、天球宇宙——天地万物的总称，指广漠无垠的空间和存在于其中的天体和祢漫物质。
在空间上无边无际，在时间上无始无终。
天球——以无穷大为半径的假想球体。
2．天体、天体系统天体——宇宙中所有物质的统称。
天体系统——天体不断运动，天体间因相互吸引和相互绕转，形成天体系统。
3．光年、天文单位光年——光在一年内在真空中所走过的路程，约94605亿千米或63238天文单位。
天文单位：日地平均距离，约1.5千米。
4．太阳高度、正午太阳高度太阳高度——太阳光线与地面的倾角。
表示昼夜状况的指标，大于0为白昼，小于0时为黑夜，等于0时在晨昏线上。
变化规律：每时太阳高度从直射点向四周递减。
正午太阳高度——一天中最大的太阳高度，是太阳上中天或地方时为12点时的太阳高度。
变化规律：正午太阳高度由直射纬度向南北两侧递减。
5．太阳活动、太阳视运动太阳活动——太阳大气层的变化，主要标志是黑子和耀斑。
太阳视运动——我们所观察到的太阳东升西落的运动，由于地球自转而造成的。
6．昼夜、昼夜更替、昼夜长短昼夜——由于地球是不发光、不透明的球体而引起地表向日的一半明亮而另一半黑暗的现象。
昼夜更替——地球自转而使地球上的白昼与黑夜以一个太阳日（24小时）为周期的交替现象。
昼夜长短——由于黄赤交角的存在和地球公转引起太阳直射点的移动，除赤道外的各纬度昼夜长短产生周年变化的现象。
7．时间、时刻、时段、时差时间——物质运动过程的持续性和顺序性。
度量以地球、公转为标准，单位如：年、月、日、时、分、秒等。
时刻——时间的迟早。
时段——时间间隔。
客观物质运动的两个不同状态之间所经历的时间历程。
时差——不同经度的时刻差值。
8．节气、季节节气——根据天气和物候的演变情况确定的，一个回归年有24个节气。
季节——根据各地正午太阳高度和昼夜长短的周年变化情况确定的，以太阳在黄道上运行90度为划分标准。
另有气候四季。
9．五带（热量带）、温度带、气候带五带——地球根据天文因素即太阳高度和昼夜长短划分，以回归线和极圈为界线划分的五个热量带。
初一数学学习中常见的易混淆概念解析与解决方法
初一数学学习中常见的易混淆概念解析与解决方法数学是一门需要严谨思维和逻辑推理的学科，而初一阶段正是学生开始接触数学基础知识的时候。
在初一数学学习中，存在着一些易混淆的概念，这些概念之间相似度较高，容易让学生感到困惑。
本文将对初一数学学习中常见的易混淆概念进行解析，并给出解决这些概念混淆的方法。
一、整数与有理数初一数学学习的第一个重要内容便是整数和有理数。
整数包括正整数、负整数和零，而有理数包括整数和分数。
它们之间的区别常常让学生感到迷惑。
首先，要理解整数和有理数的定义。
整数是由整数部分构成的数，有理数是可以表示为两个整数的比的数。
整数只包括正整数、负整数和零，而有理数包括整数和分数，且可以用分数表示的小数也属于有理数。
解决整数和有理数的混淆，学生需要理解两者的定义，并注意整数只包括正整数、负整数和零，有理数则包括整数和分数。
二、相似与全等在初一几何学习中，相似和全等是最容易混淆的概念之一。
相似是指两个图形的形状相同，但是大小可以不同。
全等则是指两个图形的形状和大小完全相同。
相似和全等的判断方法有所不同，容易让学生混淆。
要解决相似和全等的混淆问题，学生需了解它们的几何定义和判断方法。
相似的判断通常有三个条件，即对应角相等、对应边成比例、对应边的比例相同。
而全等则是指两个图形在形状和大小上完全相同。
三、平行四边形与矩形平行四边形和矩形是初一数学学习中经常会混淆的概念。
平行四边形是指具有两对相对边平行的四边形，而矩形是一种特殊的平行四边形，其四个内角都是直角。
要解决平行四边形和矩形的混淆问题，学生需要理解两者的定义和性质。
平行四边形只要满足两对相对边平行即可，而矩形除了具备平行四边形的性质外，还需要四个内角都是直角。
四、长方形与正方形长方形和正方形是初一数学学习中易混淆的概念之一，特别是与矩形和平行四边形相比较。
长方形是指具有两对相对边相等的四边形，而正方形是边长相等的平行四边形和矩形。
要解决长方形与正方形的混淆问题，学生需要理解两者的定义和性质。
高中数学概念、公式整理
高中数学概念、公式整理一、 函数1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。
二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。
2、 幂函数nmx y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m<n 时，其大致图象是3、 函数652+-=x x y 的大致图象是由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。
二、 三角函数1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=ry，cos α=r x ，tg α=xy，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。
2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin22=+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=⋅ααctg tg ，1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα；相除关系是：αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg 。
3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。
如：=-)23sin(απαcos -，)215(απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。
4、 函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念
巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念作者：蔡鸣晶来源：《职业教育研究》2012年第07期摘要：对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。
在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。
关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。
它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。
在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。
学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。
因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。
对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。
下面举例说明。
频率与概率定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。
定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。
两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。
因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。
频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。
概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。
高中数学最易混淆知识点
高中数学最易混淆知识点在高中数学中，学生们经常会遇到一些易混淆的知识点。
这些知识点可能在数学考试中产生错解或者笔误，给成绩带来不利影响。
以下是我总结的高中数学中最易混淆的知识点。
一、平方与二次方平方和二次方是经常被高中学生混淆的概念。
平方是一个数自己与自己相乘的结果，而二次方是一个数乘以自己两次的结果。
例如，2的平方是4，2的二次方是4。
一个常见的错误就是把平方和二次方的符号混淆，例如将一个负数的平方写成一个正数的二次方。
二、代数式和方程式代数式和方程式也是高中数学中常见的混淆点。
代数式只包含变量、常数和运算符号，而方程式则包含一个等号。
代数式是一个数学表达式，它没有等号，而方程则是等式，包含等号。
举例来说，2x - 3是一个代数式，但2x - 3 = 0是一个方程式。
三、整式和分式整式和分式也是混淆的常见概念。
整式是系数与变量幂次的乘积的和，而分式则是一个整数除以另一个整数。
整式一般包含加法、减法和乘法，但不包含除法。
而分式则包含对数学运算中除法的运用，分子和分母之间的符号是除号。
举例来说，2x^2 + 3x是一个整式，但(2x + 3)/(x - 1)是一个分式。
四、函数和方程函数和方程也常常被高中学生混淆。
一个函数是一个集合，它的输入是一个或多个变量，它的输出是一个或多个结果。
一个方程是两个或多个表达式之间的相等关系。
虽然函数可以被描述为一个方程，但这不是它的本质。
函数与方程不同之处在于其定义域和值域的范围。
函数通常用f(x)表示，而方程则用x表示。
五、复合函数和逆函数复合函数和逆函数也是易混淆的概念。
复合函数指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
逆函数是一个与给定函数相对应的反函数。
虽然这些概念都涉及到函数的性质和函数之间的关系，但它们的定义和运用是不同的。
复合函数通常用符号f(g(x))表示，而逆函数则用x的倒数表示。
六、直线和平面直线和平面也是高中数学中常见的混淆点。
直线是由无数个连续的点组成的轨迹，它只有一个维度。
(精选试题附答案)高中数学第十章概率易混淆知识点
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第十章概率易混淆知识点单选题1、某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是13,12,23，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．718 答案：D分析：把汽车在三处遇两次绿灯的事件M 分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A ，B ，C ，则P(A)=13,P(B)=12,P(C)=23，汽车在三处遇两次绿灯的事件M ，则M =ABC +ABC +ABC ，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，而事件A ，B ，C 相互独立，则P(M)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=13×12×(1−23)+13×(1−12)×23+(1−13)×12×23=718，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718.故选：D2、分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 答案：C分析：结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6， D 选项结论正确. 故选：C3、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ） A ．35B ．23C ．34D ．415 答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P=69=23.故选：B.4、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是（）A．该教职工具有本科学历的概率低于60％B．该教职工具有研究生学历的概率超过50％C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.5、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天24：00以后随机关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8答案：C分析：把问题转化为亮的2盏插空到不亮的3盏之间，计算出2盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有C 42=6种，相邻的情况共有4种，因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为610=0.6 ， 故选：C.6、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）． A ．112B ．16C ．14D ．13 答案：B分析：设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，列举所有比赛的情况，利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.设齐王的三匹马分别为a 1,a 2,a 3，田忌的三匹马分别为b 1,b 2,b 3，所有比赛的情况:： (a 1,b 1)、(a 2,b 2)、(a 3,b 3)，齐王获胜三局； (a 1,b 1)、(a 2,b 3)、(a 3,b 2)，齐王获胜两局； (a 1,b 2)、(a 2,b 1)、(a 3,b 3)，齐王获胜两局； (a 1,b 2)、(a 2,b 3)、(a 3,b 1)，齐王获胜两局； (a 1,b 3)、(a 2,b 1)、(a 3,b 2)，田忌获胜两局；(a 1,b 3)、(a 2,b 2)、(a 3,b 1)，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为P =16故选：B小提示：本题考查了古典概型的概率计算问题，考查了理解辨析和数学运算能力，属于中档题目. 7、甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别15,13,14,则此密码能被译出的概率是 A ．160B ．25C ．35D ．5960答案：C解析：先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.用事件A ,B ,C 分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,且P(ABC)=P(A)P(B)⋅P(C )=45×23×34=25.∴此密码能被译出的概率为1−25=35.故选：C小提示：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.8、抛掷一颗均匀骰子两次，E 表示事件“第一次是奇数点”，F 表示事件“第二次是3点”，G 表示事件“两次点数之和是9”，H 表示事件“两次点数之和是10”，则（ ） A ．E 与G 相互独立B ．E 与H 相互独立 C ．F 与G 相互独立D ．G 与H 相互独立 答案：A分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义P(AB)=P(A)P(B)判断个选项的正误. 解：由题意得： P(E)=1836=12，P(F)=636=16，P(G)=436=19，P(H)=336=112对于选项A ：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12×19=118，P(EG)=P(E)P(G)，所以E 和G 互相独立，故A 正确； 对于选项B ：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112=124，P(EH)≠P(E)P(H)，所以E 和H 不互相独立，故B 错误； 对于选项C ：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19=154，P(FG)≠P(F)P(G)，所以F 和G 不互相独立，故C 错误； 对于选项D ：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1108，P(GH)≠P(G)P(H)，所以G 和H 不互相独立，故D 错误； 故选：A9、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ⋅B ，然后根据积事件的概率公式P(A ⋅B)= P(A)+P(B)−P(A +B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A +B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A ⋅B ， 则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P (A +B )=0.96，所以P(A ⋅B)= P(A)+P(B)−P(A +B) =0.6+0.82−0.96=0.46 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.10、把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A ．23B ．13C ．35D ．14 答案：B解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为P =618=13. 故选：B .小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型. 填空题11、台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________． 答案：0.902解析：根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确分别记为A,B,C ，则至少两颗预报准确的事件有AB C ，A B C ，A BC ，ABC ，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解. 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A ，B ，C ，不准确分别记为A,B,C ， 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，P (A )＝0.2，P (B )＝0.3，P (C )＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C ，A B C ，A BC ，ABC ，这四个事件两两互斥且独立． 所以至少两颗预报准确的概率为P ＝P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 所以答案是：0.902.12、甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________. 答案：1112分析：考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率. 两个都不命中的概率为(1−34)×(1−23)=112，故至少有一人命中的概率是1112，所以答案是：1112.13、新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作．已知甲小组研发成功的概率为23，乙小组研发成功的概率为12．在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为__________．答案：45##0.8分析：根据对立事件，相互独立事件及条件概率公式直接计算即可. 设事件A 为“疫苗研发成功”，即甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功， 其概率为：P (A )=1−(1−23)×(1−12)=56， 事件B 为“甲小组研发成功”，则P (B )=P (AB )=23，所以P (B |A )=P (AB )P (A )=2356=45，所以答案是：45.14、将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为12的概率为__________.（结果用最简分数表示） 答案：19分析：将一枚骰子先后抛两次，先计算所有可能的情况数，再分析其中向上的点数之积为12的情况数，进而求得概率即可由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情况有6×6=36种，其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况，故向上的点数之积为12的概率为436=19 所以答案是：1915、已知A，B是相互独立事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.6，则P(AB)= ________.答案：0.12分析：根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可由题意，P(B)=1−P(B)=0.4，P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12所以答案是：0.12解答题16、某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.（1）由表中的数据分析，老年人､中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率.（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？答案：（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）25；（3）建议他选择报团游.分析：（1）分析数据，直接求出老年人､中年人和青年人选择报团游的频率进行比较；（2）列举基本事件，利用古典概型求概率；（3）分别求报团游和自助游的满意率，进行比较，得到结论.（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：P1=1518=56,P2=3040=34,P3=2242=1121，∵P 1>P 2>P 3，∴老年人更倾向于选择报团游.（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a ，中年人有2人，记为b,c ，青年人有2人，记为d,e ，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：(a,b ),(a,c ),(a,d ),(a,e ),(b,c ),(b,d ),(b,e ),(c,d ),(c,e ),(d,e )， 其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为： (a,b ),(a,c ),(a,d ),(a,e )， ∴这2人中有老年人的概率为P =410=25.（3）根据表中的数据，得到： 报团游的满意率为P 4=12+18+1515+30+22=4567， 自助游的满意率为P 5=1+4+63+10+20=13， ∵P 4>P 5，∴建议他选择报团游. 小提示：概率的计算： （1）由频率估计概率；（2）利用古典概型、几何概型求概率；（3）利用概率公式（互斥事件、相互独立事件、条件概率）求概率17、某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级A ，B ，C 的概率分别是34，18，332. （1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率. 答案：（1）18；（2）532.分析：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件A，B，C，D两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；（2）设事件A i，B i，C i，D i表示“第i单被评为等级A，B，C，D”，i=1,2.则“两单共获得的奖励为0元”即事件(A2B2)∪(A1C2)∪(A2C1)，且事件A2B2，A1C2，A2C1互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可解：（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件A，B，C，D两两互斥，所以P(D)=1−34−18−332=132.又C∪D=“延迟送达且被罚款”，所以P(C∪D)=P(C)+P(D)=18.因此“延迟送达且被罚款”的概率为18.（2）设事件A i，B i，C i，D i表示“第i单被评为等级A，B，C，D”，i=1,2. 则“两单共获得的奖励为0元”即事件(A2B2)∪(A1C2)∪(A2C1)，且事件A2B2，A1C2，A2C1互斥，又P(A2B2)=18×18=164又P(A1C2)=P(A2C1)=34×332=9128所以P=P[(A2B2)∪(A1C2)∪(A2C1)]=P(A2B2)+P(A1C2)+P(A2C1)=18×18+34×332×2=53218、已知口袋中有3个小球a1，a2，a3．(1)若从中任取2个，写出这个试验的样本空间；(2)每次任取1个，连续取两次①若每次取出后不放回，写出这个试验的样本空间；②若每次取出后放回，写出这个试验的样本空间．答案：(1){(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)}(2)①{(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2)}；②{(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3)}分析：（1）利用列举法求得正确答案.（2）①利用列举法求得正确答案.②利用列举法求得正确答案.（1）依题意这个试验的样本空间为：{(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)}.（2）①依题意这个试验的样本空间为：{(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2)}.②依题意这个试验的样本空间为：{(a1,a1),(a1,a2),(a1,a3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,a3),(a3,a1),(a3,a2),(a3,a3)}.19、人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0−25dB（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某校500名同学参加了听力测试，从中随机抽取了50名同学的测试值作为样本，制成如下频率分布直方图：（1）从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率；（2）已知样本中听力非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数；（3）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的编号分别为1，2，3，4．测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的同学依次听完后，将四个音叉按发音由强到弱重新排序，所对应的音叉编号分别为a1，a2，a3，a4（其中集合{a1,a2,a3,a4}={1,2,3,4}）．记Y=|1−a1|+|2−a2|+|3−a3|+|4−a4|，可用Y描述被测试者的听力偏离程度，求Y≤2的概率．答案：（1）0.2；（2）60；（3）1．6分析：（1）由频率直方图得到(0,10]内的频率，由频率即为对应区间的概率即可求区间(0,10]内的概率；（2）由（1），结合已知可得样本中听力为优秀的学生人数，由样本中各组人数的比例关系即可估计总体中听力为优秀的学生人数.（3）由题设，列出所有Y≤2情况下a1，a2，a3，a4的组合数量，并写出所有情况的组合数量，应用古典概型求概率即可.（1）根据频率分布直方图知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率为1−(0.06+0.08+0.02)×5=1−0.8=0.2，以频率为概率，从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2．（2）由（1）知：样本中听力为优秀的学生人数为0.2×50−4=6，∴估计总体中听力为优秀的学生人数为500×6=60．50（3）当a1=1时，序号a1，a2，a3，a4的情况为6种：分别记为(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，同理，当a1=2,3,4时，序号a1，a2，a3，a4的情况也分别为6种，∴序号a1，a2，a3，a4所有的情况总数为24种．当Y=0时，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，当Y=|1−a1|+|2−a2|+|3−a3|+|4−a4|=2时，a1，a2，a3，a4的取值为a1=1，a2=2，a3=4，a4= 3，或a1=1，a2=3，a3=2，a4=4，或a1=2，a2=1，a3=3，a4=4，∴Y≤2时，序号a1，a2，a3，a4对应的情况为4种，即P(Y≤2)=424=16．小提示：关键点点睛：（1）应用频率确定指定样本区间中的人员被抽到的概率.（2）根据样本中指定区间人数的所占比例，估计总体中对应区间的人数. （3）应用列举法求古典概型的概率.。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第二课时补集及综合应用课件新人教A版必修1
知识探究
1.全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这 个集合为全集.通常记作 U .
2.补集
自然语言 符号语言
不属于集合A
对于一个集合A,由全集U中
的所有
元∁素UA 组{x成|.x的∈集U,合且称x∉为A}集合A相对于全集U的补集,记作
∁UA=
.
图形语言
探究:若集合A是全集U的子集,x∈U,则x与集合A的关系有几种? 答案:若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. 【拓展延伸】 德·摩根定律 设集合U为全集,集合A,B是集合U的子集. (1)如图(1),∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);
误区警示 (1)利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情况 的变化. (2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要防止漏解.如 A={x| 1 <0},
x
∁RA≠{x| 1 ≥0}={x|x>0}.应先求出 A={x|x<0},再求∁RA={x|x≥0}. x
即时训练2-1:(1)设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)
当
B={2}时,
a 5
1 a
2, 2,
解得 a=3,综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.
题型四 易错辨析——概念认识不到位致误
【例4】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},求实数a的值.
错解:因为∁UA={5}, 所以5∈U,且5∉A, 所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5, 解得a=2或a=-4. 故实数a的值为2或-4. 纠错:以上求解过程忽略了验证“A⊆U”这一隐含条件.
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高中数学易混淆的数学概念辨析试卷
1. 已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则其对应的方程组为___________________.
2. 线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
的系数矩阵是__________________．
3．设41:<≤x α，m x <:β，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 .
4. 若由命题A: “22031x
x >-”能推出命题B: “x a >”
，则a 的取值范围是________． 5. 方程093
11421
2=-x x 的解集为_____________.
6. 从申请上海世博志愿者的2530人，随机抽取20人，测得他们的身高分别为（单位：cm ） 162， 153， 148， 154， 165， 168， 172， 171， 170， 150
151， 152， 160， 165， 164， 179， 149， 158， 159， 175
根据样本频率分布估计总体分布的原理，在上海世博志愿者中任抽取一人身高在155.5cm —170.5cm 之间的概率为______________（用分数表示）
7. 把23322
b a b a －33311b a b a ＋42211b a b a 表示成一个三阶行列式为_________
8．已知3=x 是函数x ax x f 2)1(log )(2-+=的零点，则=a ．
9．已知在ABC ∆中，0
90,BAC ∠=点B 、C 的坐标分别为(4,2)、(2,8)，向量(3,2),d = 且d 与AC 边平行，则ABC ∆的边AB 所在直线的点法向式方程是 ．
10. 已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=，若12l l ⊥，则直线2l 的一个方向向量为d = .
11．直线l 的一个法向量是()k ,1=，则下列说法正确的是 ( )
（A ）直线l 的斜率是k ； （B ）直线l 的一个方向量是()1,k -；
（C ）直线l 的倾斜角是k
1arctan ； (D ）()k ,2=与()k ,1=不可能平行 12. 已知||||2,a b a b == 与的夹角为,3π则a b + 在a 上的投影为 ．
13（理）—袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红
球得2分，则所得分数ξ的数学期望=ξE
（文）一空间几何体的三视图如图所示,
（理）摸球分二黑积0分和一红一黑积2
14．（理）某同学在一次知识竞赛中有200道必答题，每道题答对得5分，答错扣2分，假设每题回答正确的概率均为0.7，且各题之间没有影响，则这名同学回答
这两百道题的总得分ξ的数学期望是___________．
（文）在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若
使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于
________．
15．（理）将βαsin sin +化简成两个三角比的积的形式 .
（文）某校共有2500名学生，其中男生1300名，女生1200名，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，则男生应抽取 名.
16．某项闯关游戏分为三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者
进入闯关游戏的下一阶段，否则即遭淘汰．已知某选手通过三个阶段的概率分别是311,,424
，且各阶段通过与否相互独立．
（1）求该选手在第二阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在闯关游戏中回答问题的个数为ξ，求ξ的数学期望和方差. 17. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 .
18．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个面直径为24cm,
深为8cm 的空穴，那么该球的半径为（ ）
（A ）8cm （B ）12cm （Ｃ）１３cm （Ｄ）侧(左)视图 正(主)视。