7.2 磁场的高斯定理和环路定律
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2、磁场的高斯定理和安培环路定理
L
B dl o I i
L
S
B dS 0 j dS
S
B 0 j
安培环路定理的物理意义 磁场是有旋场(或磁场是非保守场，磁感应线 是闭合曲线)。
三、安培环路定理的应用
O
R
r
例3、求长直螺线管内的磁场。设螺线管的长度为 L,共有N匝线圈，单位长度上有 n = N/L匝线圈， 通过每匝线圈电流为I。管内中间部分的磁场是均 匀的，方向与管的轴线平行，在管的外侧磁场很 弱，可以忽略不计。
B
a
b
c d [解]: 若螺线管很长，则边缘效应可以忽略，螺 线管可看成是无限长，由对称性可知管内磁场是 均匀的，方向与管的轴线平行，并由右手螺旋定 则确定。在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计。
B dl B 2πr μ0 I ,
j I / R2
且 I j s jπr 2 (r <R)
B
1 B μ0 jr 2
μ0 Ir B 2π R 2
0 I B 2R
μ0 I r = R处 B 2π R
B
0 Ir 1 0 jr， ( r R) 2 2 R 2 0 I 1 R2 0 j ， r R ) （ 2 r 2 r
例2、求均匀载流无限长圆柱导体内外的磁场分布。
[解]：当r R时 B dl B 2r 0 I
L
I
R
μ0 I B 2π r
I 由 j πR 2
1 R2 B μ0 j 2 r
(r >R)
I jπR2
r
L
L
《高斯定理环路定理》课件
环路定理的应用
总结词：广泛适用
VS
详细描述：环路定理在电磁学、电动 力学、麦克斯韦方程组等多个领域都 有广泛应用。它可以用来计算磁场穿 过任意封闭曲线的线积分，从而解决 一系列实际问题，如电磁感应、磁场 分布、电磁波传播等。
03 高斯定理与环路定理的比较
定理表述的比较
总结词
高斯定理和环路定理的表述形式各有特点，高斯定理强调空间区域内的电荷分布 ，而环路定理则关注磁场的变化。
应用。
02 环路定理
环路定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：环路定理表述为“磁场穿过一个封闭曲线的线积分等于零”，即磁场在封闭曲线上的线积分与路径无关，只与起 点和终点的磁通量有关。
环路定理的证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过引入矢量场和微分同胚等概念，利用矢量场的散度和旋度的性质，经过严谨的数学推 导，证明了环路定理的正确性。
复杂模型应用
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分析一个通电螺线管的磁场分布，通过环路定理确定磁 场方向和大小，展示环路定理在实际问题中的应用。
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对比验证
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通过对比环路定理和传统积分方法的计算结果，验证环 路定理的正确性和高效性，强调环路定理在电磁学中的重 要地位。
05ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ总结与展望
环路定理是电磁学中的基本定理之一 ，它表述了磁场沿闭合路径的线积分 等于穿过该闭合路径所围成的面积的 磁通量。环路定理反映了磁场沿闭合 路径的线积分与磁通量之间的关系， 是计算磁场分布、磁通量、磁感应线 和磁力等方面的重要工具。
比较与联系
高斯定理和环路定理都是电磁学中的 基本定理，它们之间有着密切的联系 。通过高斯定理可以推导出环路定理 ，反之亦然。它们在描述电场和磁场 分布方面具有不同的侧重点，但都是 描述电磁场性质和行为的重要工具。
高斯定理和环路定理
E
++
+ o+
++
P
dSE
S +e S
E S E dS 左 E dS 右 E dS 2ES
高斯面所包围的电量为
q eS
由高斯定理可知 2ES e S / 0
由此可知，电场强度为 电场强度的方向垂直于带电平面。
E e 2 0
e 0 电场强度方向离开平面 e 0 电场强度方向指向平面
（2）对于闭合曲面
约定：闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。
出发点：一条穿过闭和曲 面的电场线对这个闭和曲
/2
n
面的电通量的贡献为零
E
电场线穿出闭合面为正通量，
电场线穿入闭合面为负通量。 n 0 / 2 E
二、高斯定理
1. 高斯定理的内容 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量，
3、关于高斯定理的说明
1、通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷 的代数和，与闭合曲面内的电荷分布无关,闭合曲面外的电荷 对其电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处 的场强大小和方向；
2、高斯面上电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定；
3、 q 是电荷的代数和, qi 0 并非高斯面内一定无
电荷,E有d可s 能 是面内0正负电并荷非数高目斯相面同上;场强一qi 定处0处为也零只若是；表明,
s
e
Φ 0 4、 e
只能说明高斯面内电量的代数和为零,并非一定没
有电力线穿过;可能是穿进和穿出的一样多而以净电场线数目为零。
三、高斯定理的应用举例
第25讲 磁场的高斯定理和安培环路定理
第25 讲磁场的高斯定理安培环路定理的应用一、通过磁场中任一曲面S 的磁通量为二、磁场的高斯定理三、安培环路定理d SB SΦ=⋅⎰0d =⋅⎰SS B四、利用安培环路定理求解的典型电流的磁场(1) 电流均匀分布的无限长金属柱面02πI B rμ=)(R r >0=B (2) 电流均匀分布的无限长金属柱体02πI B rμ=022πIrB Rμ=()r R <)(R r >()r R <(3) 无限大平面电流20jB μ=(4) 载流无限长均匀密绕直螺线管0=B （管内）（管外）(5) 载流螺绕环=B （管内）（管外）0B nI μ=02πNIB rμ=Olxyz解：（1）立方体阴影面积2222(015m)22510mS l ..-===⨯[Q7.25.1]一边长为l =0.15m 的正立方体如图所示，有一均匀磁场通过立方体所在区域，求（1）通过立方体阴影面积的磁通量；（2）通过立方体六个面的总磁通量。
()6315T B i j .k =++O lxyz阴影面积的法线方向单位矢量通过阴影面积的磁通量为（2）根据磁场的高斯定理，通过立方体六个面的总磁通量n e i =ΦB S=⋅()()226315T 22510m 0135Wbi j .k .i .-=++⋅⨯=dI1r2r3rIld[Q7.25.2]如图所示，两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I=20A。
求（1）两导线所在平面内与两导线等距离的一点处的磁感应强度；（2）通过图中阴影面积的磁通量。
（r1=r3=10cm，l=25cm）I1r 2r 3r Ild解：(1)两导线所在平面内与两导线等距离处的磁感应强度大小为⊗022π2μIB d /=722(4π10N/A )(20A)π(04m).-⨯⨯⨯=⨯54010T-.=⨯I1r 2r 3r IldOr（2）通过图中阴影面积的磁通量为2d ΦB S=⋅⎰121001212d ln 2ππr r r μI μIl r r l r r r ++==⎰72(025m)(4π10N/A )(20A)010m 020mlnπ010m ....-⨯⨯⨯+=62210Wb-.=⨯[Q7.25.3]一无限长圆柱形铜导体（磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I 。
磁场的高斯定理
I π R2Bj
M m
IBR2
2π
0
sin
2 d
ISk I π R2k
y
B
J
I
x
R
Q o d K x
zP
磁介质
一 磁介质 磁化强度
1 磁介质
B B0 B'
磁介质中的
真空中的
介质磁化后的
总磁感强度
磁感强度
附加磁感强度
顺磁质 B B 0（铝、氧、锰等） 弱磁质
磁场的高斯定理
一 磁感线
切线方向—— 疏密程度——
B B
的方向； 的大小.
I
I
I
I
S
I
S
N
N
二 磁通量 磁场的高斯定
理
S B
B ΔN ΔS
磁通场过中的某磁点感处 线垂 数直 目等B矢于量该的点单B的位数面值积.上
B
磁通量：
en
通过某曲面的磁感
s
s
B
线数 匀强磁场下， 面
以Oy为轴，Idl
y
所受磁力矩大小
B
J
dM xdF IdlBxsin I
x
R
x R sin , dl Rd Q o d K x
dM IBR2 sin2 d
zP
dM IBR2 sin2 d
M IBπ R2
B Bi
M
m
B
I π R2Bk i
B
π 2
,M
M max
环路定理
§11.3
磁场的高斯和环路定理
一、磁场的高斯定理 1．磁感应线：
•用来描述磁场分布的曲线。 •磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •磁感应线的疏密程度—— B的大小。 磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的 磁感应线的数目。
几种典型的磁感应线
B I 圆电流
载流长直导线
载流长螺线管
( L)
B
0 I
2 R
2
r.
(rR)
例2、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无限长圆柱面电流的磁场分布 (半径为 R )
解：取以I为轴的圆环为积分环路 当r > R时
L
B dl B2r o I
与电流集中在轴上的 直线电流的磁场相同
o I B 2r
当r < R时
B0
例3、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半径 分别为R2、 R3，电缆载有电流I(方向相反)，求磁场的分布。
I
r
B 2r 0 I
0 I B 2r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
B 2r
2 I ( r 2 R 2 ) 0 I 2 2 ( R3 R2 )
R3 I I
R1
R2
r
0 I ( R r ) B 2 2r ( R R2 )
电流正负的规 定––– 按右手螺 旋法则。
I
l
I
l
电流为正
电流为负
(2) 围绕电流I的垂直平面内 以任一回路为积分环路。
B dl Brd
o I LB dl L 2r rd o I
磁场的高斯和环路定理
一、磁场的高斯定理 1．磁感应线：
•用来描述磁场分布的曲线。 •磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •磁感应线的疏密程度—— B的大小。 磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的 磁感应线的数目。
几种典型的磁感应线
B I 圆电流
载流长直导线
载流长螺线管
( L)
B
0 I
2 R
2
r.
(rR)
例2、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无限长圆柱面电流的磁场分布 (半径为 R )
解：取以I为轴的圆环为积分环路 当r > R时
L
B dl B2r o I
与电流集中在轴上的 直线电流的磁场相同
o I B 2r
当r < R时
B0
例3、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半径 分别为R2、 R3，电缆载有电流I(方向相反)，求磁场的分布。
I
r
B 2r 0 I
0 I B 2r
R2< r < R3 ,
B dl 0 I
B 2r
2 I ( r 2 R 2 ) 0 I 2 2 ( R3 R2 )
R3 I I
R1
R2
r
0 I ( R r ) B 2 2r ( R R2 )
电流正负的规 定––– 按右手螺 旋法则。
I
l
I
l
电流为正
电流为负
(2) 围绕电流I的垂直平面内 以任一回路为积分环路。
B dl Brd
o I LB dl L 2r rd o I
磁场的高斯定理和安培环路定理.
dl1
L
推广到一般情况
I1 ~ I k
—— 在环路 L 中
In I2 I1 Ii Ik
I k 1 ~ I n —— 在环路 L 外
则磁场环流为
LB dl L Bi dl
k k L Bi dl 0 I i 0 0 I i ( L内） i 1 i 1
3）磁感线不相交
7.3.2 磁通量
高斯定理
dN B dS
d B dS
通过面元的磁场线条数 —— 通过该面元的磁通量 对于有限曲面
B dS
对于闭合曲面
规定 磁力线穿入
SB dS
dS
B
0 0
dS
磁力线穿出
磁场的高斯定理 磁场线都是闭合曲线
2r1
B2
0 I
dl
2r2
I
对一对线元来说
B1 dl B2 dl
B1dl cos 1 B2dl cos 2
L
r2
0 Ir1d 0 Ir2d 2r1 2r2
0
I
d
B2
B1
环路不包围电流，则磁场环流为零
dl2 r1
L
I k 1
LB dl 0 Ii
磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分, 等于路径 L 包围的 电流强度的代数和的 0 倍 -----安培环路定理
讨论
(1)积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系
满足右螺旋关系时 I i 0 反之 I i 0
(2)磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心
7. 3 磁场的高斯定理和安培环路定理
11-4磁场的高斯定理和安培环路定理
单根导线产生的磁场
所有电流 的总场
L
L
Bn dl 0 I n
B1 dl 0 I1
L Bn1 dl 0 Bnk dl 0
L
任意回路
L
B dl 0 I i
i
穿过回路 的电流
7
在理解这个定理时，应注意以下几个问题 （1） 定理中的B是安培环路L上任意一点的磁感 应强度，它是由空间所有电流共同产生的。定理中 的 Ii则是安培环路L所包围的电流的代数和。 （2）矢量B的环路积分不恒等于零，说明稳恒磁 场不是保守力场，而是有旋场，所以在磁场中不 能引入势能(标量势)的概念。 （3）定理只适用于稳恒电流的磁场。由于稳恒电 流是闭合的，所以对于不闭合的有限长的载流导线， 安培环路定理不适用；
dl ' o dl ' ' 做 PO 垂线，取对称的长直 电流元，其合磁场方向平行于电流平面。无数对 称元在 P点的总磁场方向平行于电流平面。
电流平面无限大，故与电流平面等距离的各点
B 的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 16
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平面 等分。ab和cd 与电流平
B dl 0
根据安培环路定理，该安培环路一定包围电流。 由此可得结论：磁感应线总是与产生它的电流回 10 路套连在一起的。
3. 安培环路定理的应用 例1：求无限长载流圆柱体磁场分布。 解：圆柱体轴对称，以轴上一点为 I
圆心取垂直轴的平面内半径为 r 的 圆为安培环路
B dl 2πrB 0 I
8
边长为2a的正方形闭合回路 CDEFC，所通电流为I。现仅讨 论CD段，取中心处于其中点且 与其垂直的半径为r的圆为安培 环路，CD段所激发的磁场在圆 上各点的磁感应强度为 0 Ia BCD 2r (a 2 r 2 )1/ 2 BCD的方向与圆周相切，与电流的方向成右螺旋 关系。沿此圆周的环路积分为 0 Ia BCD dl 2 2 1/2 0I
磁场中的高斯定理及安培环路定理
0
l
l
μI
Ñl 2π0R dl
R
l
v B
r
μI 0
2πR＝μ
I
2πR
0
若l 绕行方向与图示方向相反，则
B 0I 2R
dl
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
π＝μ 0
(
I
)
Ñ l
l
赋予电流代数含义，则
v B
dlv＝μ
I
0
l
2. 无限长直电流通过垂直平面内的任一回路
r
Ñ B
r dl
Ñ B
cosθdl
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r
则
B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 ：
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动， 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i （电流密度）。求此电流产生的磁场。
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
d
c
讨论
关于安培环路定理的应用
BdS
0 I
adx
d x
2 x
通过矩形线圈的磁通量为:
dx
d
d b
0I adx
0Ia ln d b
d 2 x
2 d
15.4 安培环路定理
rv
一. 引言：稳恒磁场的环流 Ñl B dl ?
二. 定理推导
1. 无限长直电流通过圆形回路圆心且垂直于该回路
I
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时， 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。
磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时，螺绕环内可视为均匀场 。
已知： 例题 已知：I 、R，电流沿轴向在截面上均匀分 ， 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布，求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解： 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置， 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（ 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。 解：视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线， 做 po 垂线，取对称的 长直电流元， 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等，B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等， r 一致，目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致，目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直， 或 B 的方向与环路方向垂直， r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0