必修4两角差的余弦公式
必修四数学 第3讲教师版 两角和与差的三角函数公式
课题：两角和与差的三角函数公式个性化教学辅导教案第3讲两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；（2）cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin αsin_β；（3）tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos__α．（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，＝a 2＋b 2sin(α＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a＝a 2＋b 2·cos(α－φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .三个变化1．变角：通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、已知角的和与差，其手法通常是“配凑”．2．变名：通过变换尽可能减少函数种类，降低次数，减少项数，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等． 3．变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”“逆用变形用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．1．(必修4 P 127练习T 2改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α为( ) A.210B ．－210C.7210 D ．－7210解析：选A.∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．(必修4 P 130例4(1)改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°·sin 42°的值为( ) A.32B ．12C ．－12D ．－32解析：选B.法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°·sin 42° ＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.3．(必修4 P 135练习T 2改编)已知sin(α－k π)＝35(k ∈Z )，则cos 2α的值为( )A.725B ．－725C.1625D ．－1625解析：选A.由sin(α－k π)＝35(k ∈Z )得sin α＝±35.∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫±352＝1－1825＝725.故选A.4．(必修4 P 138A 组T 19(4)改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________.解析：原式＝2tan 15°（1－tan 15°）（1＋tan 15°）＝2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. 答案：335．(必修4 P 137A 组T 10改编)tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个实数根．α，β均为锐角，则α＋β＝________． 解析：由题意知tan α＋tan β＝56，tan αtan β＝16，∴tan(α＋β )＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4. 答案：π4两角和与差公式的应用(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________． [解析] 法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2(22sin 15°＋22cos 15°) ＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin 60°＝2×32＝62. 法二：sin 15°＋sin 75° ＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°) ＝2sin 45°cos 30°＝2×22×32＝62. [答案]62用两角和与差的三角函数公式直接求三角函数值时，只需在α±β中知道α，β的三角函数值，用公式展开后直接代入求值即可．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 扫一扫 进入 精品微课1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．7 B ．17C ．－17D ．－7解析：选B.因α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，且cos α＝－45， 所以sin α<0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________． 解析：tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 答案：4＋3310两角和与差公式的逆向应用(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10° ＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.[答案] D两角和与差的三角函数的公式的逆向应用，注意两点：①角的统一；②三角函数名称的对应．1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22B ．22C ．32D ．1解析：选B.原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 2.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°的值为( )A.33B ． 3C ．－33D ．－ 3解析：选B.原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.3．sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为( ) A.2 B ．22 C ．12D ．32解析：选 B.原式＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22.利用两角和与差公式求角度设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.[答案] B利用两角和与差的三角函数公式求角度，需要注意：①根据基本关系和公式求出需要求的角的三角函数值；②确定所求角的范围，求出对应的角度．1．已知α，β均为锐角，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，则α＋β为( ) A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得 tan α＋tan β＝1－tan αtan β，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1－tan αtan β1－tan αtan β＝1.∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α的值为( ) A.π6B ．π3C ．π4D ．5π12解析：选C.由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)， 因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α， 所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. ∴β＝π4.故选C.二倍角公式及其应用(2015·高考广东卷)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.利用二倍角公式求三角函数值时，应注意：①cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的选择应用； ②高次化简求值时，用cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos2α2降次； ③注意用恒等式(sin α±cos α)2＝1±sin 2α等价转化．1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16B ．13C ．12D ．23＝45×22＋35×22＝7210. 答案：7210一、选择题1．(必修4 P 69A 组T 8(3)改编)已知tan α＝3，则(sin α－cos α)2等于( )A.35B ．25C ．75D ．85解析：选B.∵tan α＝3，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2sin α cos αsin 2α＋cos 2α＝1－2tan αtan 2 α＋1＝1－610＝25. 2．(必修4 P 146A 组T 8(3)改编)化简sin 3αsin α－2cos 2α等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．1D ．0 解析：选C.sin 3αsin α－2cos 2α ＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α－2cos 2α ＝2cos 2α＋cos 2α－2cos 2α＝2cos 2α－(2cos 2α－1)＝1.3．(必修4 P 143A 组T 2(2)改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，若tan α＝m tan β，则m 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13， ∴sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan α＝5tan β，∴m ＝5，故选C.二、填空题4．(必修4 P 137A 组T 5改编)已知sin(30°＋α)＝35，60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________． 解析：设30°＋α＝t ，∴90°<t <180°，∵sin t ＝35， ∴cos t ＝－45， ∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t －30°)＋150°]＝cos(2t ＋90°)＝－sin 2t ＝－2sin t cos t ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(必修4 P 125～126内文改编)用向量法证明cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.证明：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B .则OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)．由向量数量积的坐标表示，有OA →·OB →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.设OA →与OB →的夹角为θ，则OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos θ＝cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β.另一方面，由图(1)可知，α＝2k π＋β＋θ；由图(2)可知，α＝2k π＋β－θ.于是α－β＝2k π±θ，k ∈Z .所以cos(α－β)＝cos θ.则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.一、选择题1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )。
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
高中数学 人教A版必修4 第3章 3.1.1两角差的余弦公式
cos(α－β)≠cos α－cos β；
π π π 3 再如：当 α＝3，β＝6时，cos(α－β)＝cos 6＝ 2 ， 本
课 时 栏 目 开 关
π π 1－ 3 而 cos α－cos β＝cos 3－cos 6＝ 2 ， cos(α－β)≠cos α－cos β.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 课 时 栏 目 开 关
3.1.1
3．1.1
【学习要求】
两角差的余弦公式
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．
本 2．理解用向量法导出公式的主要步骤． 课 时 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进 栏 目 行求值、计算． 开 关 【学法指导】
1．学习两角差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展 到一般的两角差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两 种不同的途径探索、推导公式．
3.1.1
问题 2
请你计算下列式子的值， 并根据这些式子的共同特征，
写出一个猜想． ①cos 45° cos 45° ＋sin 45° sin 45° ＝1 ； 3 ②cos 60° cos 30° ＋sin 60° sin 30° ＝ 2 ； ③cos 30° cos 120° ＋sin 30° sin 120° ＝0 ； 1 ④cos 150° cos 210° ＋sin 150° sin 210° ＝2 . 猜想： cos αcos β＋sin αsin β＝ cos(α－β) ； 即： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β .
3.1.1
2．要利用两角差的余弦公式来求具体的三角函数值，就要善于把 所求值的三角函数先转化为余弦函数，再把其角转化为两个特
本 课 殊角(30° ，45° ，60° ，„)的差，利用公式求其值． 时 栏 3．当给出 α、β 的某个三角函数值，在求 cos(α－β)值时，要善于 目 开 利用同角间的三角函数关系式求出 α、β 的正弦和余弦值，再 关
高中数学必修四《两角差的余弦公式》优秀教学设计
3.1.1两角差的余弦公式一、教材分析《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、教学目标1.引导学生建立两角差的余弦公式。
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
三、教学重点难点重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任意角αβ，的正弦余弦值来表示cos()αβ-，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
五、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课时安排：2课时 七、教学过程（一）创设情景，揭示课题以文峰塔高度测量为背景素材（见课件）引入问题。
并针对问题中的0cos15用计算器或不用计算器计算求值，以激趣激疑，导入课题。
问题：（1）能不能不用计算器求值 ：0cos 45 ，0cos30 ，0cos15（2）0cos(4530)cos 45cos30-=-是否成立？(3)如何用450和300求0cos15?设计意图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解决问题的兴趣，和抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。
（二）、研探新知 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
必修4教案3.1两角差的余弦公式
例 4、化简① sin sin 3 cos cos3 （ cos 2 ） ②
1 sin cos （ tan ） 1 sin cos 2
例 5、已知 tan tan
3 求 (2 cos 2 )(2 cos 2 ) 的值（3） 3
= sin cos cos sin ② sin( ) sin cos cos sin ③ tan( )
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin
tan( )
tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan
4
)
4 3 且 求 cos ( 2 10 ) 5 4 4
5 10 ， cos 求 的值( 4 ) 5 10
例2、
、 均为锐角，且 sin
例3、 ①已知 sin sin
2 4 且 cos cos 求 cos( ) ( 1 9 ) 3 3 1 1 ②已知 、 (0, ) ， sin sin ， cos cos 2 2 2
求 cos2 的值（ 7 25 ）
例 2、已知 sin 3sin(2 ) 求证： tan( ) 2 tan 0 例 3、①求值
2sin 500 sin100 （ 3） cos100
人教版高中数学必修4(A版) 两角差的余弦公式 PPT课件
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
练习：
课本P140 1, 2，3，4 题。
应用
3:公式的逆用
cosααcos cos( -β β )=cos +sinα sin cosβ=cos( +sinααsin -β β ) cos12° +sin27° sin12° 的值 例3： 求 cos27°
–cos30 ° cos( 0° -30° ) ≠ cos 0 ° –cos45° cos(270° -45° ) = cos270° 问题2:你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? cos(60° -30° ) = cos60° cos30° +sin60° sin30° cos(90° -45° ) = cos90° cos45° +sin90° sin45°
人教社高中数学必修四
D
问题1：
①如何把实际问题转 化为数学问题？
C
A
B
引例 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，小 山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（∠CAD） 约为45°，求这座电视发射塔的高度？
D
X 67
45°
A C
在Rt△ABD中， x 30 tan(45°+α)≈ 60 思考：
求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值
6 4
2
这节课，我学到了什么？
知识：掌握了公式Cα-β并会正确应用
能力：通过对公式Cα-β获得过程的探究， 提高了数学的探究能力及分析问题 解决问题的能力 求简 数学 数形结合 思想 分类讨论 方程的思想
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
高中数学必修4三角函数优质课件：两角和与差的正弦、余弦公式
第二页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
给角求值问题
[例 1]
cos (1)sin
2200°°【·c常os考1题0°＋型】3sin
10°tan
70°－2cos
40°＝________.
(2)求值：(tan 10°－
＝－2.
第六页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[类题通法] 解决给角求值问题的策略
对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整 体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊 角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项 求值，化分子、分母形式进行约分式值；要善于逆用或变 用公式．
(2)原式 ＝cos(70°＋α)sin(10°＋α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)
＝sin[(10°＋α)－(70°＋α)] ＝sin(－60°)
＝－ 23.
第二十六页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
(3)原式＝cos 21°cos 24°＋sin(180°－21°)sin(180°＋24°) ＝cos 21°cos 24°－sin 21°sin 24° ＝cos(21°＋24°)
20°cos 10°＋ sin 20°
3sin
10°－2cos
40°
＝2cos
20°cos
10°sin 30°＋sin sin 20°
10°cos
30°－2cos
40°
＝2cos 20°ssinin2300°°＋10°－2cos 40°
＝2cos
20°sin
人教版高中数学高一A版必修4 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
互动课堂疏导引导1.两角和的余弦公式比较cos(α-β)与cos(α+β),并且注意到α+β与α-β之间的关系:α+β=α-(-β),则由两角差的公式得 cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(C (α+β))2.两角和与差的正弦公式sin(α-β)=cos(2π-α+β)=cos ［(2π-α)+β］ =cos(2π-α)cosβ-sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ-cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(S (α-β))在上式中,以-β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(S (α+β))3.正确理解和差角的正弦公式(1)公式对于任意的角α、β都成立.(2)搞清sin(α±β)的意义.例如sin(α+β)是两角α与β的和的正弦,它表示角α+β终边上任意一点的纵坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=3π,β=6π时,sin(3π+6π)=sin 2π=1, sin 3π+sin 6π=23+21=213+≠1. ∴sin(3π+6π)≠sin 3π+sin 6π. 只有在某些特殊情况下,sin(α+β)=sinα+sinβ,例如,当α=0,β=6π时, sin(0+6π)=sin 6π=21,sin0+sin 6π=0+21=21, ∴sin(0+6π)=sin0+sin 6π. 在学习时一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展开.(3)牢记公式并能熟练左、右两边互化.例如化简sin20°cos50°-sin70°cos40°,要能观察出此式等于sin(20°-50°)=-sin30°=-21. (4)灵活运用和(差)角公式.例如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要将sin(α+β),cos(α+β)展开,而应就整个式子,直接运用公式sin ［(α+β)-β］=sinα,这也是公式的逆用.4.两角和与差的正切公式的推导当cos(α+β)≠0时,将公式S (α+β),C (α+β)的两边分别相除,有tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++.当cosα·cosβ≠0时,将上式的分子、分母分别除以cosα·cosβ,得 tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+(T (α+β)). 由于tan(-β)=ββββcos sin )cos()sin(-=-=-tanβ. 在T (α+β)中以-β代β,可得tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-(T (α-β)). 5.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题(1)公式适用范围.因为y=tanx 的定义域为x≠2π+kπ,k ∈Z . 所以T (α±β)只有在α≠2π+kπ,β≠2π+kπ,α±β≠2π+kπ时才成立,否则不成立,这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当tanα、tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T (α±β)处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,不能利用公式T (α-β),所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用 ββαββαtan )tan(1tan )tan(++-+=tan ［(α+β)-β］=tanα, ααααtan 45tan 1tan 45tan tan 1tan 1︒-+︒=-+=tan(45°+α). (3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ),如tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tanα-tan β=tanαtanβtan(α+β).活学巧用1.在△ABC 中,若sinAsinB ＜cosAcosB,则此三角形的外心位于它的( )A.内部B.外部C.一边上D.不确定 解析:cosAcosB-sinAsinB ＞0,即cos(A+B)＞0,∴-cosC ＞0.∴cosC ＜0.∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形.∴三角形的外心位于它的外部.答案:B2.化简下列各式:(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°-3α); (2)sin(x+3π)+2sin(x-3π)-3cos(32π-x); (3))cos(cos cos 2sin cos 2)sin βαβαβαβα+--+(. 解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos ［(80°+3α)-(35°+3α)］=cos45°=22. (2)原式=sinxcos 3π+cosxsin 3π+2sinxcos 3π-2cosxsin 3π-3cos 32πcosx-3sin 32πsinx =23sinx-23cosx+23cosx-23sinx=0. (3)原式=βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos 2sin cos 2sin cos cos sin +-=+--+ =)cos()sin(βαβα--=tan(α-β). 答案:(1)22;(2)0;(3)tan(α-β). 3.已知cos(α+β)=-31,cos2α=-135,α、β均为钝角,求sin(α-β). 解析:∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=- 31＜0,cos2α=-135＜0. ∴α+β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=322)31(1)(cos 122-=---=+--βα,sin2α=1312)135(12cos 122-=---=--α. ∴sin (α-β)=sin ［2α-(α+β)］=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β) =(-1312)×(-31)-(-135)(322-)=3921012-. 答案:3921012-. 4.求下列各式的值. (1)︒︒+︒-︒15tan 75tan 115tan 75tan(2))25tan()305tan(1385tan 55tan ︒-︒--︒-︒ (3)︒+︒-15tan 3115tan 3.解:(1)原式=tan(75°-15°)=tan60°=3.(2)原式=)25tan )(36055tan(1)36025tan(55tan ︒-︒-︒-︒+︒-︒=︒︒+︒-︒25tan 55tan 125tan 55tan =tan(55°-25°)=tan30°=33. (3 ︒+︒-15tan 3115tan 3=︒︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan =tan(60°-15°)=tan45°=1. 答案:(1)3;(2) 33;(3)1. 5.化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.解:原式=(1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°)·tan10°,因为tan10°=tan(40°-30°)=︒︒+︒-︒30tan 40tan 130tan 40tan 所以1+tan40°tan30°=︒︒-︒10tan 30tan 40tan . 同理,1+tan40°tan50°=︒︒-︒10tan 40tan 50tan , 1+tan50°tan60°=︒︒-︒10tan 50tan 60tan . 所以原式=(︒︒-︒10tan 30tan 40tan +︒︒-︒10tan 40tan 50tan +︒︒-︒10tan 50tan 60tan )·tan10° =tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60° =332333=+-. 6.tan12°+tan33°+tan12°tan33°的值为_______________.解析:因为tan45°=tan(12°+33°)=︒︒-︒+︒33tan 12tan 133tan 12tan =1, 所以原式=tan12°tan33°+1-tan12°tan33°=1.答案:1。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
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两角差的余弦公式
（选自人教版高中数学必修4第三章3.1.1节）
一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。
本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论。
二、学情分析
1．本节课的授课对象是高二学生，他们已经了解高中数学的教学模式，并形成自己独特的掌握新知识的方法，具有强烈的好奇心和求知欲；
2．在知识水平上，高二学生之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用，教师在教学新内容前可以先对这些知识进行适当回顾，为学生本节课的学习奠定良好的基础；
3．教师在学生已经掌握三角函数的性质，以及平面向量的运算和应用的基础上，引导学生如何利用差角的正弦余弦值来表示任意角，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。
三、教学目标
（一）知识与技能
引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
（二）过程与方法
通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
（三）情感态度与价值观
在探究公式的过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会合作交流的能力。
四、教学重难点
1．教学重点
通过探索得到两角差的余弦公式以及两角差余弦公式的应用。
2．教学难点
探索过程中的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程所必备的基础知识是否已掌握的问题以及运用已学知识和方法的能力问题等等。
五、教学方法与手段
启发式讲授法，并用多媒体展示、计算机辅助教学。
六．教学关键
注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比，联系，化归的观点去分析，处理问题，使他们能依据三角函数式的特点，逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换，还包括式子中角的变换，以及不同三角函数之间的变换，引导学生逐渐拓广有关公式在变换过程中的作用，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识，并且也注意了这种引导的渐进性和层次性。
七．教学资源
借助PPT软件以及几何画板等多媒体工具展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
八、教学过程
（
学生：
）教师：我们可以设电视发射塔的高度为
，，所以可以求出的值。
是任意角时，能不能用
如何用角
的比值来求解值来表示
可能等于。
解。
我们先对简单的情况进行讨论。
如下图所示，设角且的终边与单位圆的交点为
就可以了。
有关。
但不知道是什么关系。
教师：那我们先把
，则有。
OM=+BM=
，的情况下得到的。
其实当，
ｘ为始边作角
对任意角
）中，
，
教师：
此公式给出了任意角余弦值与其角差
简记为。
的值，就可以求得利用差角公式求
的值之前我们可以先把
=
教师：同学们都做得很好。
那大家可以求出来吗？
就可以求出
角，求。
已经知道了，，而
是第三象限角，所以
角公式求出就可以轻松地得到答案了。