两角差的余弦公式的推导过程
两角差的余弦公式
§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.(√) 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(×) 3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(√) 4．任意角α，β，cos α－cos β＝cos(α－β)．(×)题型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简求值解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24.方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.反思感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1(2018·广安期末)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是()A.22B．－22 C.12D．－12考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简、求值答案 A解析cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22.题型二给值求值例2(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)等于()A．－32B．－12 C.12 D.32考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求值答案 D解析因为sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，所以(cos α－cos β)2＝14，(sinα－sin β)2＝74－ 3.两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－ 3. 所以cos(α－β)＝32. (2)已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求值 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思感悟 给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β.②α＝α＋β2＋α－β2.③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．跟踪训练2 已知π4<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 ∵π4<β<α<3π4，∴0<α－β<π2，π2<α＋β<3π2.又sin(α＋β)＝－35，∴π<α＋β<3π2，从而有cos(α＋β)＝－45.∵cos(α－β)＝1213，∴sin(α－β)＝513.∴sin(β－α)＝－513.∴cos 2α＝cos [(α＋β)－(β－α)]＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＝－3365. 题型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值． 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 引申探究若本例条件中的“cos(α＋β)＝－1114”改为“sin(α＋β)＝5314”，则β的值是什么？解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，∴sin α＝437，cos(α＋β)＝±1114，当cos(α＋β)＝－1114时，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12， ∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3； 当cos(α＋β)＝1114时，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1114×17＋5314×437＝7198<1114＝cos(α＋β)，且α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，∴β＝π3.反思感悟 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以2β＝π，则β＝π2.两角差的余弦公式的应用典例 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值． 考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝35.(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513，∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. [素养评析] 从已给信息得出角α，β的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了从图形关系中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现.1．(2018·滨州期末)cos 165°等于( ) A.12 B.32 C ．－6＋24 D ．－6－24 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 C解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－6＋24.故选C. 2．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×55＋35×255＝2525. 3．(2018·河南商丘九校联考)cos(－40°)·cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 12解析 原式＝cos(－40°)cos 20°＋sin(－40°)sin 20° ＝cos(－40°－20°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.4．已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，求α－β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 ∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，求α－β的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用解 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0. 因为－π<α－β<π，所以α－β＝－π2或π2.1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值． (2)确定角所在的范围(找区间)． (3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.一、选择题1．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为( ) A.22 B ．－22 C.32 D ．－32考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式化简、求值 答案 A解析 原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20° ＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°) ＝cos 45°＝22. 2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 B3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.3365考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．(2018·山西孝义高二期末)下列关系式中一定成立的是( ) A ．cos(α－β)＝cos α－cos β B ．cos(α－β)<cos α＋cos β C ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α D ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 C解析 由两角差的余弦公式知A 不正确；令α＝β＝π2知B 不正确；由诱导公式可知C 正确，D 不正确．5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( ) A.3－4310B.4－3310C.23－35D.3－235考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310. 6．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α<β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 7．(2018·北京海淀科大附中高二期中)若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2等于( )A.83 B ．－83 C.223 D ．－223 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 A解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.二、填空题8．若a ＝(cos α ，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a ·b ＝12，则α－β＝________.考点 两角差的余弦公式 题点 两角差余弦公式的综合应用 答案 π3解析 a ·b ＝cos αcos β＋sin βsin α＝cos(α－β)＝12，因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2.所以α－β＝π3.9．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案3解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.10．(2018·湖南衡阳二十六中高二期中)已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________． 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 －π4解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝255，sin β＝31010. ∵sin α<sin β，∴α<β， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4.11．函数f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为________． 考点 和、差角公式的综合应用题点 和、差角公式与其他知识的综合应用 答案 ⎣⎡⎦⎤－5π12，π12解析 f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6＝sin 2x sin π6＋cos 2x cos π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增．取k ＝0，得－5π12≤x ≤π12，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12. 三、解答题12．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π， α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.13．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．考点 两角差的余弦公式题点 和、差角公式与其他公式的综合应用解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1， 即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55. (2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， 所以cos φ＝sin φ，所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ， 即cos 2φ＝12.因为0<φ<π2，所以cos φ＝22.14．(1)已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos(α－β)＝________.考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求值2解析 由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， ∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1， 2(cos αcos β＋sin αsin β)＝－1， ∴cos(α－β)＝－12.(2)已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________. 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求值 答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 即cos(α－β)＝－12.15．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，∵cos α＝17，cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，3。
2017-2018人教版高中数学专题复习 两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cos α＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy 内，作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A ，B ，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式 广东佛山袁锦前如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos （α-β） 解：在△ABD 中,BD=c·cos β，AD=b ·cos α在△ACD 中,CD= b c·sin α，AD= c·sin β11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()c o s =c o sc o s s i n s i nαβαβαβ-+。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。
现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。
第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。
第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。
我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式广东佛山袁锦前如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos（α-β）解：在△ABD中,BD=c·cosβ，AD=b·cosα在△ACD中,CD= b c·sinα，AD= c·sinβ11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()cos =cos cos sin sin αβαβαβ-+。
两角及差正余弦公式的证明
两角及差正余弦公式的证明两角和差正余弦公式的证明：我们知道，任意角的正弦、余弦等三角函数都可以通过单位圆的定义得到。
所以，为了证明两角和差正余弦公式，我们先来考察它们在单位圆上的几何意义。
一、两角和公式的几何意义：设在单位圆上有点A和点B，OA和OB分别为半径。
假设点A对应的角为θ1，点B对应的角为θ2，那么点P是单位圆上点A和点B对应的角的和，即θ1+θ2、我们要研究的是点P的坐标。
首先，我们可以将圆心O作为直角坐标系的原点，点A和点B所在的直线即为直角坐标系的x轴。
我们知道，点A和点B的坐标分别可以表示为：A(x1, y1) = (cosθ1, sinθ1)B(x2, y2) = (cosθ2, sinθ2)点P的坐标为(x, y) = (cos(θ1 + θ2), sin(θ1 + θ2))。
我们需要推导出点P的坐标。
为此，我们利用三角恒等式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβsin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ我们令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 + θ2) = cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2sin(θ1 + θ2) = sinθ1cosθ2 + cosθ1sinθ2即点P的坐标为：P(x, y) = (cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 +cosθ1sinθ2)可以看出，点P的坐标与三角函数的和公式是完全对应的。
这就证明了两角和公式的几何意义，也就是说，两个角的正余弦的和等于一个新角的正余弦。
二、两角差公式的几何意义：在上面的单位圆中，点A和点B表示的角分别为θ1和θ2，设点Q 为点A和点B对应的角的差，即θ1-θ2、我们要研究的是点Q的坐标。
同样地，我们可以得到点Q的坐标为(x, y) = (cos(θ1 - θ2), sin(θ1 - θ2))。
仿照上面的方法，我们利用三角恒等式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 - θ2) = cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2sin(θ1 - θ2) = sinθ1cosθ2 - cosθ1sinθ2即点Q的坐标为：Q(x, y) = (cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 -cosθ1sinθ2)可以看出，点Q的坐标与三角函数的差公式是完全对应的。
(完整版)两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
两角和与差的正弦余弦正切公式的推导
两角和与差的正弦余弦正切公式的推导首先，我们先来推导两角和的正弦公式。
设有两个角A和B，其正弦分别为sinA和sinB，我们要推导这两个角的和（A+B）的正弦。
根据三角函数的定义，sinA可以表示为三角形的对边A与斜边C之比，sinB可以表示为对边B与斜边C之比，即sinA=A/C，sinB=B/C。
现在我们考虑两个角的和（A+B），绘制一个新的三角形，假设它的对边为D，斜边仍然为C。
根据三角形的定义，sin(A+B)可以表示为对边D与斜边C的比值，即sin(A+B)=D/C。
```-------```由于平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的长度相等，我们可以得到有两个等式：（1）三角形ABC的对边A等于平行四边形ADEB的对角线E的一半，即A=1/2E。
（2）三角形BCD的对边B等于平行四边形ADEB的对角线D的一半，即B=1/2D。
将（1）和（2）两个等式代入sinA=A/C和sinB=B/C中，可以得到：sinA=(1/2E)/C --> E=2sinACsinB=(1/2D)/C --> D=2sinBC根据三角形ABC的定义，对边D与斜边C之比sin(A+B)=D/C，代入D=2sinBC和C=sin(A+B)，可以得到：sin(A+B)=2sinBC/sin(A+B) -->sin(A+B)=2sinBC/(sinAcosB+cosAsinB)这就是两角和的正弦公式。
接下来，我们来推导两角和的余弦公式和正切公式。
我们可以使用欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx，其中i是虚数单位。
我们将两个角的和（A+B）代入这个公式：e^(i(A+B))=cos(A+B)+isin(A+B)同时，将欧拉公式应用于角A和角B：e^(iA)=cosA+isinA （欧拉公式1）e^(iB)=cosB+isinB （欧拉公式2）将欧拉公式1和欧拉公式2中的幂指数iA和iB分别乘以i，有：ie^(iA)=icosA+isinsAie^(iB)=icosB+isinsB将上述两个等式相加：ie^(iA)+ie^(iB)=icosA+isinsA+icosB+isinsB合并同类项：ie^(iA)+ie^(iB)=i(cosA+cosB)+i(sinA+sinB)利用欧拉公式中的e^(ix)=cosx+isinx，有：ie^(iA)+ie^(iB)=i(e^(iA)+e^(iB))将上述等式代入原有等式，得到：i(e^(iA)+e^(iB))=i(cosA+cosB)+i(sinA+sinB)取消i的公因子，得到：e^(iA)+e^(iB)=cosA+cosB+isinA+isinB再次使用欧拉公式，令左边的等式为e^(i(A+B)):e^(i(A+B))=cos(A+B)+isin(A+B)对比右边的等式，我们可以得到：cos(A+B)+isin(A+B)=cosA+cosB+isinA+isinB比较实部和虚部，可以得到两角和的余弦公式和正弦公式：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB至此，我们推导出了两角和的正弦公式、余弦公式和正切公式。