3.1.1两角差的余弦公式
学案4：3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ． 题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ． 题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+） 【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。
3.1.1两角和(差)的余弦公式
c o s 1 5 c o （ 6 0 4 5 ) s co s 1 5 co（ 4 5 3 0 ) s
你 会 算 co s 1 5 吗 ？
思考：
有 一 座 小 山 坡 O A ,O A 长 为 a， A C O C , 且 AO C = 15 o ,求 坡 脚 线 O C的 长 度 ？
A
a
15
O
o
C
解 ： 在 R t A O C 中 ， O C A O co s 1 5 a co s 1 5
o
o
co s 1 5 co （ 6 0 4 5 ) s co s 6 0 co s 4 5 1 2 2 2
co s co s co s sin sin sin 2 2 2
所 以 有 co s sin 2
例6.已知 cos = 求 cos .
1 17
， )=cos(
47 51
， , 0
2
解 : 由 sin , , , 得 3 2
cos 1 sin
3
2
2 1 3
2
5 3
3 由 cos , , ,得 5 2
sin 1 cos
两角和的余弦公式
C
Hale Waihona Puke 两角和与差的余弦公式co s
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式班级： 姓名： 编者：陆祖银 审阅：高一数学备课组 问题引航2、两角差的余弦公式是什么？3、两角差的余弦公式的使用条件是什么？ 自主探究βα,，其终边与单位圆相交于B A ,两点，那么OA = ,OB = .(尝试用βα,的三角函数值表示,的坐标)2、如图，观察与的夹角θ与βα,的关系θ= .3、利用向量夹角计算公式表示θcos = .4、通过坐标运算，大家发现了什么？ .5、两角差的余弦公式：)cos(βα-= .6、简记符号： .7、两角差的余弦公式的使用条件：βα,都是 .互动探究（1）︒15cos ；（2）︒75cos .例题2：已知53sin =α，),2(ππα∈，1312sin -=β，)23,(ππβ∈，求)cos(βα-的值。
当堂检测1.已知βα,均为锐角，且552cos =α，1010cos =β，则βα-的值为多少？2.︒345cos 的值等于（ ） 462.-A 426.-B 462.+C 462.+-D3.)24sin()21sin()24cos()21cos(︒-︒++︒-︒+θθθθ= .4.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<，求β的值。
知识拓展1.已知1312)cos(,1312)cos(=+-=-βαβα，且)2,23(),,2(ππβαππβα∈+∈-，求角β的值。
作业课本127页练习第2、3、4题自我评价你对本节课知识掌握的如何（ ）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。
3.1.1 两角差的余弦公式
解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－ ，180° <α<270° ，∴cos α＝－ ， 5 5 5 12 ∵sin β＝ ，90° <β<180° ，∴cos β＝－ ， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两 角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用， 要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1： ， 2 2
6＋ 练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2
3.1.1两角差的余弦公式
三.给值求角
4
3小Biblioteka ：1、两角和与差的余弦公 式： cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
2、运用公式时注意角的范围、三角 函数值的正负及与特殊角的关系等.
作业 课时作业小本（二十七）
4 5 例2：已知sin = , （ ，）,cos = , 5 2 13
二、给值求值
β是第四象限角，求cos(α－β)的值.
思考：运用公式求解需要做哪些准备？
（ ，）去掉， 变式：若将例2中的条件 2
对结果和求解过程会有什么影响？
练习：已知 , 均为锐角, 且 ， 3 3 10 cos , cos( ) , 求 cos 的值. 5 10
2 10
1 9
3 5 例4、在ABC中， cos A= ， cos B= ， 5 13 则cosC的值等于( )
提示： （1）C=180°－(A+B),
（2）正、余弦值的符号。
所以cosC= －cos(A+B)
33 = －cosAcosB+sinAsinB 65
解后回顾: 三角形中的给值求值，内角和180度
cos15 cos 60 45
练习: sin 75 , cos75
练习：
1 1. cos1750 cos550 sin 1750 sin 550 2
2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 )
2 2
体现了角的整体性
3.已知 cos 25 cos 35 cos 65 cos 55的值等于( B ) A 0 B 1 2 C 3 2 D 1 2
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
23冯文平3.1.1《两角差的余弦公式》说课
15 °
A岛
五、教学过程分析
环节一:创设情境，导入新课
2.特例验证，引发思考 思考1：如果我们不仅想提高数学应用能力，还 想进一步提高数学推理运算能力，那么，不用计算 器不查表，该如何计算cos15°？ 思考2：我们能否将15°转化成两个特殊角的差， 进而利用特殊角的三角函数值求出cos15°呢？ 思考3:如何用α，β 的正弦、余 弦值来表示cos(α-β) 呢？
两角差的余 弦公式
中卫市 中宁中学 说课教师：冯文平
说课思路
教学背景分析 教学目标分析 教法学法分析 课堂结构设计 教学过程分析 教学评价反思
一、教学背景分析
1、教材分析
本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验 教科书》数学必修4第3.1.1节。它是三角函数线和 诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余 弦、正切，以及二倍角公式等知识的基础。对三角 变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求 值等问题的解决，有重要的支撑作用。…… 基于上述分析，本节的 教学重点是：两角差的余弦公式的推导及简单 应用。
一、教学背景分析
2、学情分析
学生已经学习了任意角三角函数的定义、同角 三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为 他们探究公式建立了良好的基础。但学生的推理论 证能力毕竟有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定 的难度。…… 基于上述分析，本节的 教学难点是：两角差的余弦公式的探索及探索 过程的组织和适当引导。
〖探究1〗 借助单位圆上的三角函数线来推导cos（α -β ）公式
y
1 A
P1
sin
OM＝ cos(α-β) OB＝cosαcosβ BM＝sinαsinβ
P 又 OM＝OB＋BM
3.1.1两角差的余弦公式PPT
π
1.两角差的余弦公式： 1.两角差的余弦公式： 两角差的余弦公式
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
2.已知一个角的正弦（或余弦） 2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角 已知一个角的正弦 的余弦（或正弦）值时, 的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的 象限，从而确定该角的三角函数值符号. 象限，从而确定该角的三角函数值符号.
1 π 4 3 . 解：由 cosα＝ ，0<α< ，得 sinα＝ 7 7 2 π π 13 由 0<β<α< ，得 0<α－β< . 又∵cos(α－β)＝ ， 2 2 14 ∴sin(α－β)＝ 1－cos (α－β)＝ )
2
13 2 3 3 1－( ) ＝ . ( 14 14
由 β＝α－(α－β)，得 cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) 1 13 4 3 3 3 1 ＝ × ＋ ＝ . × 7 14 7 14 2 π ∴β＝ . 3
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
1、掌握两角差的余弦公式，并能正确的运用 掌握两角差的余弦公式， 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 公式进行简单三角函数式的化简、求值； 2、掌握“变角”和“拆角”的方法. 掌握“变角” 拆角”的方法.
对于30° 45° 60° 对于30°，45°，60°等特殊角的三角函 30 数值可以直接写出， 数值可以直接写出，利用诱导公式还可进 一步求出150° 210° 315° 一步求出150°，210°，315°等角的三角 150 函数值.我们希望再引进一些公式，能够求 函数值.我们希望再引进一些公式， 更多的非特殊角的三角函数值， 更多的非特殊角的三角函数值，同时也为 三角恒等变换提供理论依据. 三角恒等变换提供理论依据.
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学 以 致 用
4 cosβ = - 5 α , ， ， 例3.已知 sinα = ， 13 5 2 β 是第三象限角，求cos(α -β )的值
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
1 0 0 0 0 练习： 1. cos175 cos55 sin 175 sin 55 2
3 解: ∵ cosα = - α , 5 2
∴
cos(
4 sinα = 1 cos α 5
2
4
-α ) cos
4 4 2 3 2 4 2α + sin
sinα
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
对于任意角
α , β
结 cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ 论 归 差角的余弦公式 C 纳
α β
注意：1.公式的结构特点；
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β)
cos( α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
3.1.1两角差的余弦公式
两个向量的数量积
温 故 知 新
a b a b cosθ 其中θ ∈[0，π ]
a x1 , y1
b x2 , y2
a b x1x2 y1y2
两角差的余弦公式 问 题 探 究
如何用任意角α 与β 的正弦、 余弦来表示cos(α -β )？ 思考：你认为会是 cos(α -β )=cosα -cosβ 吗?
思考：以上推导是否有不严谨之处？
当α -β 是任意角时，由诱导公式总可以找到 一个角θ ∈[0，2π ），使cosθ =cos(α -β ) 若θ ∈[0，π ]，则 OA OB cos cos( )
若θ ∈[π ,2π )，则2π -θ ∈[0，π ]，且
OA OB cos(2π –θ )=cosθ =cos(α -β )
分析： cos
cosα sinα cos αβ sin αβ
5 4 12 3 13 5 13 5 16 65
2 2. cos( 210 ) cos( 240 ) sin( 210 ) sin( 240 ) 2
小结
两角差的余弦公式
对于任意角α ,β 都有
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 注意：1.公式的结构特点；
2.对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就 可以求出cos(α－β).
作业：P137. 2、3 、4
再
见
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
思考题：已知 α ，β
5 cos α +β 13
4 都是锐角, cosα = ， 5
求 cosβ 的值
α +β α 变角: β =
cos
学 以 致 用
例1.利用差角余弦公式求cos15 的值
分析: cos15 cos 45 30
cos15 cos 60 45
思考：你会求 sin 75 的值吗?
cos(α -β ) cosα cosβ + sinα sinβ
学 以 致 用
3 cos α 例2.已知 cosα = - α , 求 的值. 4 5 2
OA cosα ,sinα
OB cosβ , sinβ
y
OA OB OA OB cos( )
cos( )
∵ OA OB
A
1
α -β B β 1 x
α
-1 o
cos cos sin sin
-1
∴
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ