高中数学 2.3 变量间的相关关系学案 新人教A版必修3(1)
高中数学第二章统计23变量间的相关关系课件新人教A版必修3(2)
总费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)根据表格数据，画出散点图；
(2)求线性回归方程y^＝b^x＋a^的系数a^，b^； (3)估计使用年限为 10 年时，车的使用总费用是多少？
【解题探究】(1)利用描点法作出散点图； (2)把数据代入公式，可得回归方程的系数； (3)把x＝10代入回归方程得y值，即为总费用的估计 值．
【答案】A 【解析】在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝ b2－4ac也就唯一确定了，因此，这两者之间是确定性的函数 关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越 大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所 以B，C，D是相关关系．故选A．
两个变量x与y相关关系的判断方法 1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在 一定规律，直观地判断．如果发现点的分布从整体上看大致在 一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受 个别点的位置的影响． 2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． 3．经验法：借助积累的经验进行分析判断．
变量之间的相关关系的判断
【 例 1】 下 列 变 量 之 间 的 关 系 不 是 相 关 关 系 的 是 ()
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b 为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量 C．降雪量和交通事故发生率 D．每亩田施肥量和粮食亩产量
【解题探究】判断两个变量之间具有相关关系的关键是 什么？
①反映^y与 x 之间的函数关系；
②反映 y 与 x 之间的函数关系；
③表示^y与 x 之间的不确定关系；
④表示最接近 y 与 x 之间真实关系的一条直线．
A．①②
高中数学 2.3 变量的相关性学案 新人教B版必修3(2021年整理)
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2。
3。
1 变量间的相关关系2。
3.2 两个变量的线性相关1.理解两个变量的相关关系的概念。
（难点）2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.（重点）3.会求回归直线方程.（重点）4.相关关系与函数关系.(易混点)［基础·初探]教材整理1 变量间的相关关系阅读教材P73，完成下列问题.1.两个变量的关系分类函数关系相关关系特征两变量关系确定两变量关系带有随机性2将样本中n个数据点（x i，y i)（i＝1，2，…，n）描在平面直角坐标系中得到的图形。
3.正相关与负相关(1）正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。
（2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。
图2。
31所示的两个变量不具有相关关系的有________。
图2.31【解析】 ①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系.【答案】 ①④教材整理2 两个变量的线性相关 阅读教材P 74～P 76，完成下列问题. 1.最小二乘法设x 、Y 的一组观察值为（x i ,y i )，i ＝1，2，…，n ,且回归直线方程为y ，^＝a ＋bx 。
2014年人教A版必修三课件 2.3 变量间的相关关系
两个变量相互间有一定影响, 我们就说这两个变 量之间存在着一定的相关关系. 两个变量之间, 除了像函数这样有确定的关系外, 在现实生活中, 存在着许多不确定的相关关系的问题. 如: (1) 商品销售收入与广告支出经费之间的关系.
(2) 粮食产量与施肥量的关系.
(3) 开发一项产品的投入与产出的关系. (4) 个人的教育投资与收入的关系.
练习: (课本85页) 1. 有关法律规定, 香烟盒上必须印上 “吸烟有 害健康” 的警示语. 吸烟是否一定会引起健康问题? 你认为 “健康问题不一定是由吸烟引起的, 所以可以 吸烟” 的说法对吗？ 答: 经医学研究, 吸烟对身体有害. 但吸烟不一定会引起健康问题. 因为人的身体健康有很多不确定因素, 所以有些 人吸烟不一定会引起健康问题. 如注射青霉素药物前 要做皮试, 以防药物过敏, 但不是都会产生过敏. 虽然健康问题不一定是由吸烟引起的, 但吸烟与 健康存在相关关系, 虽然有不确定因素, 但有可能引 起健康问题, 所以 “可以吸烟” 的说法是不对的.
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
年龄 脂肪
23 9.5
27 39 41 45 49 50 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
【本章内容】
2.1 随机抽样 2.2 用样本估计总体 2.3 变量间的相关关系
第二章 小结
2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 (2.3.2)两个变量的线性相关
2.3.2 两个变量的线性相关
2014高中数学 2.3 变量间的相关关系课件(2)新人教A版必修3
诱思探究1
一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那 么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点 图中的点吗？
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
样本点的中心的 坐标为样本数据 的平均数； 它不一定是散点 图中的点。
n
i
nx y nx
2
ˆx ˆ y b a
( x x)
x
i 1
2
i
2 ˆ Q ( y y ) i i 为最小，这样就得到了 时，总体偏差 i 1
回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘 ˆx a 法.回归方程 y ˆ b ˆ ˆ 分别表示回归方程的斜率，截距。 中，a ˆ, b
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程， 回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关 关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么 我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内 在联系，并根据回归方程对总体进行估计.
1 1 (5 0 36) 169 15.367 11 11
xi (5)2 02 362 4335
2 i 1
11
11
x y
i 1 i
11
i
5 156 0 150 36 54 14828
i i
ˆ b
x y 11x y
温故知新
一.变量之间的相关关系: 1.变量间相关关系的定义:自变量取值一定时,因变 量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫 做相关关系. 2.相关关系与函数关系的异同点: （1）相同点:两者均是指两个变量间的关系。 （2）不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系 是一种非确定的关系. 函数关系是两个非随机变量的 关系,而相关关系是非随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果 关系,也可能是伴随关系.
新人教版高中数学选择性必修一课件：8.1.1变量的相关关系
sy
sx
( xi x) 上
说明成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系
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由此可见，样本相关系数r的取值范围为[-1，1].样本相关系数
r的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度。
问题5：样本相关系数r的取值与成对样本数据的相关程度
有什么内在联系？
答 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强;
也呈现减少的趋势
线性相关：两个变量呈正相关或负相关，且散点图落在一条直线附近
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40
35
脂肪含量%
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
结论：脂肪含量与年龄成线性正相关关系
60
70
年龄/岁
练习.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（ D ）
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解：先画出散点图,可以看出样本点都集中在一条直线附近，
由此推断脂肪含量和年龄线性相关。
∴ ≈
19403.2 − 14 × 48.07 × 27.26
34181 − 14 ×
48.072
× 11051.77 − 14 ×
27.262
≈ 0.97
类似于平面或空间向量的坐标表示，对于向量
a (a1 , a2 ,, an )
b (b1 , b2 ,, bn )
我们有 a b a1b1 a2b2 anbn
设“标准化”处理后的成对数据 ( x , y ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn )
人教版高中数学必修3全册教案
人教版高中数学教案人教版高中数学必修3全册教案高中数学教案人教A版必修全套必修3教案,全套目录第一章算法初步 1com 程序框图与算法的基本逻辑结构 7 com 输入语句输出语句和赋值语句 29 com 条件语句 36com句 4413 算法案例 51第二章统计 7521 随机抽样 76com 简单随机抽样 76com 系统抽样 81com 分层抽样 8522 用样本估计总体 89com 用样本的频率分布估计总体分布 89 com 用样本的数字特征估计总体的数字特征 97 23 变量间的相关关系 107com 变量之间的相关关系 107com 两个变量的线性相关 107 第三章概率 11531 随机事件的概率 115 com 随机事件的概率 115 com 概率的意义 118com 概率的基本性质 121 com 古典概型 124com 整数值随机数random numbers的产生 128com 几何概型 132com 均匀随机数的产生 136第一章算法初步本章教材分析算法是数学及其应用的重要组成部分是计算科学的重要基础算法的应用是学习数学的一个重要方面学生学习算法的应用目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题通过算法的学习对完善数学的思想激发应用数学的意识培养分析问题解决问题的能力增强进行实践的能力等都有很大的帮助本章主要内容算法与程序框图基本算法语句算法案例和小结教材从学生最熟悉的算法入手通过研究程序框图与算法案例使算法得到充分的应用同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系算法案例不仅展示了数学方法的严谨性科学性也为计算机的应用提供了广阔的空间让学生进一步受到数学思想方法的熏陶激发学生的学习热情在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活从生活中学习数学使数学在社会生活中得到应用和提高让学生体会到数学是有用的从而培养学生的学习兴趣数学建模也是高考考查重点本章还是数学思想方法的载体学生在学习中会经常用到算法思想转化思想从而提高自己数学能力因此应从三个方面把握本章1知识间的联系2数学思想方法3认知规律本章教学时间约需12课时具体分配如下仅供参考com 算法的概念约1课时 com 程序框图与算法的基本逻辑结构约4课时 com 输入语句输出语句和赋值语句约1课时 com 条件语句约1课时 com 循环语句约1课时13算法案例约3课时本章复习约1课时 11 算法与程序框图com 算法的概念整体设计教学分析算法在中学数学课程中是一个新的概念但没有一个精确化的定义教科书只对它作了如下描述在数学中算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤为了让学生更好理解这一概念教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发归纳出了二元一次方程组的求解步骤这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法教学中应从学生非常熟悉的例子引出算法再通过例题加以巩固三维目标1正确理解算法的概念掌握算法的基本特点2通过例题教学使学生体会设计算法的基本思路3通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时激发学生学习数学的兴趣重点难点教学重点算法的含义及应用教学难点写出解决一类问题的算法课时安排1课时教学过程导入新课思路1情境导入一个人带着三只狼和三只羚羊过河只有一条船同船可容纳一个人和两只动物没有人在的时候如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊该人如何将动物转移过河请同学们写出解决问题的步骤解决这一问题将要用到我们今天学习的内容算法思路2情境导入大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧宋丹丹说了一个笑话把大象装进冰箱总共分几步答案分三步第一步把冰箱门打开第二步把大象装进去第三步把冰箱门关上上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法今天我们开始学习算法的概念思路3直接导入算法不仅是数学及其应用的重要组成部分也是计算机科学的重要基础在现代社会里计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具听音乐看电影玩游戏打字画卡通画处理数据计算机是怎样工作的呢要想弄清楚这个问题算法的学习是一个开始推进新课新知探究提出问题1解二元一次方程组有几种方法 2结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤3结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤4请写出解一般二元一次方程组的步骤 5根据上述实例谈谈你对算法的理解 6请同学们总结算法的特征7请思考我们学习算法的意义讨论结果1代入消元法和加减消元法2回顾二元一次方程组的求解过程我们可以归纳出以下步骤第一步??×２得5x 1?第二步解?得x第三步?-?×２得5y 3?第四步解?得y第五步得到方程组的解为3 用代入消元法解二元一次方程组我们可以归纳出以下步骤第一步由?得x 2y,1?第二步把?代入?得2 2y,1 y 1? 第三步解?得y ?第四步把?代入?得x 2×,1第五步得到方程组的解为4 对于一般的二元一次方程组其中a1b2,a2b1?0可以写出类似的求解步骤第一步?×b2-?×b1得a1b2,a2b1x b2c1,b1c2?第二步解?得x第三步?×a1-?×a2得a1b2,a2b1y a1c2,a2c1?第四步解?得y第五步得到方程组的解为5 算法的定义广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法菜谱是做菜的算法等等在数学中算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤现在算法通常可以编成计算机程序让计算机执行并解决问题6 算法的特征?确定性算法的每一步都应当做到准确无误不重不漏不重是指不是可有可无的甚至无用的步骤不漏是指缺少哪一步都无法完成任务?逻辑性算法从开始的第一步直到最后一步之间做到环环相扣分工明确前一步是后一步的前提后一步是前一步的继续?有穷性算法要有明确的开始和结束当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果也就是说必须在有限步内完成任务不能无限制地持续进行7 在解决某些问题时需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题这些步骤称为解决这些问题的算法也就是说算法实际上就是解决问题的一种程序性方法算法一般是机械的有时需进行大量重复的计算它的优点是一种通法只要按部就班地去做总能得到结果因此算法是计算科学的重要基础应用示例思路1例1 1设计一个算法判断7是否为质数2设计一个算法判断35是否为质数算法分析1根据质数的定义可以这样判断依次用26除7如果它们中有一个能整除7则7不是质数否则7是质数算法如下1第一步用2除7得到余数1因为余数不为0所以2不能整除7 第二步用3除7得到余数1因为余数不为0所以3不能整除7第三步用4除7得到余数3因为余数不为0所以4不能整除7第四步用5除7得到余数2因为余数不为0所以5不能整除7第五步用6除7得到余数1因为余数不为0所以6不能整除7因此7是质数2类似地可写出判断35是否为质数的算法第一步用2除35得到余数1因为余数不为0所以2不能整除35第二步用3除35得到余数2因为余数不为0所以3不能整除35第三步用4除35得到余数3因为余数不为0所以4不能整除35第四步用5除35得到余数0因为余数为0所以5能整除35因此35不是质数点评上述算法有很大的局限性用上述算法判断35是否为质数还可以如果判断1997是否为质数就麻烦了因此我们需要寻找普适性的算法步骤变式训练请写出判断n n 2 是否为质数的算法分析对于任意的整数n n 2 若用i表示2 n-1 中的任意整数则判断n是否为质数的算法包含下面的重复操作用i除n得到余数r判断余数r是否为0若是则不是质数否则将i的值增加1再执行同样的操作这个操作一直要进行到i的值等于 n-1 为止算法如下第一步给定大于2的整数n第二步令i 2第三步用i除n得到余数r第四步判断r 0是否成立若是则n不是质数结束算法否则将i的值增加1仍用i表示第五步判断i,n-1是否成立若是则n是质数结束算法否则返回第三步例2 写出用二分法求方程x2-2 0 x 0 的近似解的算法分析令f x x2-2则方程x2-2 0 x 0 的解就是函数 f x 的零点二分法的基本思想是把函数 f x 的零点所在的区间〔ab〕满足f a ?f b 0一分为二得到〔am〕和〔mb〕根据f a ?f m 0是否成立取出零点所在的区间〔am〕或〔mb〕仍记为〔ab〕对所得的区间〔ab〕重复上述步骤直到包含零点的区间〔ab〕足够小则〔ab〕内的数可以作为方程的近似解解第一步令 f x x2-2给定精确度 d第二步确定区间〔ab〕满足f a ?f b 0第三步取区间中点m第四步若f a ?f m 0则含零点的区间为〔am〕否则含零点的区间为〔mb〕将新得到的含零点的区间仍记为〔ab〕第五步判断〔ab〕的长度是否小于d或f m是否等于0若是则m是方程的近似解否则返回第三步当d 0005时按照以上算法可以得到下表a b a-b 1 2 1 1 15 05 125 15 0251375 15 0125 1375 1437 5 0062 5 1406 251437 5 0031 25 1406 25 1421 875 0015 625 1414062 5 1421 875 0007 812 5 1414 062 5 1417 968 75 0003906 25 于是开区间1414 062 51417 968 75中的实数都是当精确度为0005时的原方程的近似解实际上上述步骤也是求的近似值的一个算法点评算法一般是机械的有时需要进行大量的重复计算只要按部就班地去做总能算出结果通常把算法过程称为数学机械化数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成实际上处理任何问题都需要算法如中国象棋有中国象棋的棋谱走法胜负的评判准则而国际象棋有国际象棋的棋谱走法胜负的评判准则再比如申请出国有一系列的先后手续购买物品也有相关的手续思路 2 例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河只有一条船同船可容纳一个人和两只动物没有人在的时候如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊该人如何将动物转移过河请设计算法。
人教A版高中数学必修3 统计 教材分析
mm.
④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)．甲品种棉花的
纤维长度除一个特殊值 352 外，也大致对称，其分布较均匀.
2．直方图的识图要点
⑴通过直方图估计平均数——
平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积
容大大的增加，这已经成为国际中小学数学课程发展的趋势。
2. “新课标”的新要求
第一部分 前言
……与时俱进地认识“双基”（摘录）
数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求
的新的"双基"。例如，为了适应信息时代发展的需要，高中数学课程应增加算法的内容，把 最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能；
乘以小矩形底面中点的横坐标之和. ⑵通过直方图估计中位数—— 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积
应该相等.
（三）统计软件 Excel 与 SPSS.
推荐一本书——《用 Excel 与 Spss 学习统计学》毛炳寰编
1．添加“分析工具库”(平均数、中位数、众数，方差，相等)
本功能需要使用 Excel 扩展功能，如果您的 Excel 尚未安装数据分析， 请依次选择“工具”-“加载宏”，在安装光盘中加载“分析数据库”。加载成功 后，可以在“工具”下拉菜单中看到“数据分析”选项。
分析：将直方图与加权平均数结合考查
(二)重视统计思想的理解，重视结果的解释和应用.
1．茎叶图的识图要点
例 1 (2009 安徽)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A.将其与原有的一个优良品
种 B 进行对照试验．两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据(单位：千克)如下： A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,
高一数学人教A版必修3课件：2.3变量间的相关关系(第二课时)
求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看，各点与直线的距离最小”。 思考6：对一组具有线性相关关系的样本数据： (x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，设其回归 方程为 可以用哪些数量关系来刻画各 样本点与回归直线的接近程度？
回归直线
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方 法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最 小”.
b
( x x)( y y) x y n x y
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n
i 1 n
i
i
2
x nx
i 1 2 i
,
2
a y bx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。
3、回归直线方程 （1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分 布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的 关系，这条直线叫做回归直线。 （2）最小二乘法
n n
b
( x x )( y y ) x y nx y
年龄 23
脂肪 9.5 年龄 53
27
54
39
56
41
57
45
58
49
60
50
61
17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
思考2：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的 更明确的关系，我们需要对数据进行分析， 通过作图可以对两个变量之间的关系有一个 直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含 量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应 的图形吗？
人教版高中数学必修三第二章第3节 2.3.2两个变量的线性相关 课件(共28张PPT)
EXCEL
回归直线与散点图各点的位置应是：整体上最接近 下面列举了四种可能性，你认为可行吗？ 图(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图(2) 表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图(3)表示 经过点最多的直线，图(4)表示上下点的个数“大概” 一样多的直线．
体现了数学思想方法：转化与化归思想
最小二乘法
问题就归结为：
当 a, b 取什么值时 Q 最小.
Q ( y1 bx1 a)2 (y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)2
运算不方便
n
求 (yi yˆi )2的最小值 i1
避免相互抵消
n
求 yi yˆi 的最小值 i1
各点与直线 的整体偏差
【展示交流】
探究三 寻找回归直线（定量） （1）回归直线一定过样本点的中心吗？为什么? （2）为什么要找回归直线？找到这条直线是否说
明年龄与脂肪含量是函数关系? （3）假如我45岁，我的脂肪含量大约是多少？是
表中的27.5吗？ （4）如何具体求出这个回归直线的方程呢？回归
直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
人体内脂肪含量与年龄之间是相关关系
在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪 含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体 育锻炼等有关，可能还与个人的先天体质有关。
人教A版高中数学选择性必修第三册【整合课件】8.1.1、8.1.2_变量的相关关系、样本相关系数
(多选题)下列变量之间的关系是相关关系
的是
()
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别
式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故产生率
D．每亩田施肥量和食粮亩产量
答案 BCD
解析 在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确定了， 因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越 高；降雪量越大，交通事故产生率越高；施肥量在一定范围内越多，食粮亩产量越 高，所以B、C、D是相关关系．
探究二 利用散点图判断变量间的相关关系
以下是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销 售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 49.6 43.2 38.8 58.4 44 (1)画出数据对应的散点图； (2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果有相关关系， 是正相关还是负相关？
∴r＝
7 xiyi－7－x －y
i＝1
7 x2i －7－x 2
i＝1
7 y2i －7－y 2
i＝1
＝ 5 414－178×54227－.427××2172.44×39831－.3 7×81.32≈0.837 5.
由于 r≈0.837 5 与 1 比较接近，∴x 与 y 具有线性相关关系．
[方法总结] 利用相关系数判断成对数据的相关性强弱的步骤 (1)由公式先计算出r的值． (2)当相关系数|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越高，当相关系数|r|越接 近0时，两个变量的线性相关程度越低．
三、样本相关系数
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1 §2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相互关系 2.3.2 两个变量的线性相关 【明目标、知重点】
1．理解两个变量的相关关系的概念． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线的方程． 【填要点、记疑点】 1．两个变量的线性相关 (1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关： ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．
(3)回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^是回归方程的斜率，a^是截距． 3．最小二乘法
通过求Q＝i＝1n (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本数据中的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 【探要点、究所然】 [情境导学] 在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么关系？下面我们共同来研究. 探究点一 变量之间的相关关系 思考1 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎样的关系？考察下列问题中两个变量之间是什么关系？为什么？ (1)商品销售收入与广告支出经费； 2
(2)粮食产量与施肥量； (3)人体内的脂肪含量与年龄． 答 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，这两个变量是一个函数关系．(1)、(2)、(3)都不是函数关系，因为当其中一个变量变化时，另一个变量的变化还受其它因素的影响． 思考2 “名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？为什么？ 答 不是函数关系．因为学生的成绩提高的原因是多个因素的共同结果，并不由老师这一个因素唯一确定．况且一个老师教几十个学生，也有成绩差的． 小结 思考1、思考2中两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系． 思考3 函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的？ 答 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系．函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化． 例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 解 两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 反思与感悟 如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的，由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系，从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么． 跟踪训练1 有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语．吸烟是否一定会引起健康问题？有人认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？ 解 从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康，但是除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果．我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题．但吸烟引起健康问题的可能性大．因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸 3
烟”的说法是不对的． 探究点二 散点图 问题 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 思考1 观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？ 答 随着年龄的增加，人体中脂肪的百分比也有所增加． 思考2 以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？ 答
思考3 阅读教材85页，你能说出散点图的定义吗？ 答 在平面直角坐标系中，表示两个变量的一组数据图形，称为散点图． 思考4 阅读教材86页上半页后，你能说出正相关是如何定义的吗？类比正相关的定义，你能给负相关下个定义吗？ 答 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．一个变量随另一个变量的变大而变小称为负相关，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 思考5 你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗？ 答 成正相关的如：商品销售收入与广告支出经费；作文水平与课外阅读量；粮食产量与施肥量．成负相关的如：在一定范围内汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程． 例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋面积的数据： 房屋面积m2 61 70 115 110 80 135 105 4
销售价格(万元) 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关． 解 散点图如下：
由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量正相关． 反思与感悟 画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或过小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论． 跟踪训练2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)画出散点图； (2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 解 (1)散点图如下：
(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系． 探究点三 回归直线
思考1 在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分 5
布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？ 答 这些点大致分布在一条直线附近． 小结 回归直线的定义：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 思考2 在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？ 答 不能用直尺准确画出回归直线．用计算机中Excel可以方便地画出回归直线(见教材)． 探究点四 回归方程 问题 在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程．对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计，那么如何求出回归直线的方程呢？ 思考1 回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？ 答 整体上最接近．选择能反映直线变化的两个点． 思考2 对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设其回
归方程为y^＝bx＋a，可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？ 答 可以用|yi－y^i|或(yi－y^i)2，其中y^i＝bxi＋a.(如图)
思考3 为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？
答 Q＝i＝1n (yi－y^i)2 ＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2.
小结 根据有关数学原理分析，当b^＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2＝i＝1nxiyi－n x yi＝1nx2i－n x2， 6
a^＝y－b^ x时，总体偏差Q＝i＝1n (yi－y^i)2为最小，这样就得到了回归方程，这种求
回归方程，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 思考4 回归方程中，a^，b^的几何意义分别是什么？ 答 b^是回归方程的斜率，a^是截距． 思考5 利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程y^＝0.577x－0.448，由此我们可以根据一个人的年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值．若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
答 将x＝37代入方程y^＝0.577x－0.448， 得0.577×37－0.448＝20.901. 所以其体内脂肪含量的百分比约为20.901%. 例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图； (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； (3)求回归方程； (4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数． 解 (1)散点图如图所示：
(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少． (3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归