【SQDH】2016八年级数学下册(华师版)课件：专题训练(九)特殊四边形中的数学思想
2024八年级数学下册练册第9招特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用课件新版新人教版
∴EG＝FG.
∵四边形OABC为矩形，∴CF∥AE，
∴∠CFG＝∠AEF.
又∵∠CGF＝∠AGE，EG＝FG，∴△CGF≌△AGE.
∴CF＝AE.
∴四边形CEAF是平行四边形.
∵AC⊥EF，
∴平行四边形CEAF是菱形.
(3)若点D正好落在x轴上，请画出示意图并直接写出点P
∵∠1＝∠CDB＋∠EBD＝56°，
∴∠EBD＝∠CDB＝∠ABD＝28°，
∴∠A＝180°－∠2－∠ABD＝180°－42°－28°＝110°.
故选C.
巧用菱形的性质解决折叠问题
2.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角
线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，
求EF的长.
1.[2022·大庆]如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，
使点A落在E处，若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数
为( C )
A.108°
B.109°
C.110°
D.111°
Байду номын сангаас
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠ABD＝∠CDB.
由折叠的性质得∠EBD＝∠ABD.
∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD.
将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在点P处，点C落在点
G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，
BH.
(1)求证：∠APB＝∠BPH.
(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°.
由折叠可得BE＝PE，∠EPG＝∠ABC＝90°.
∴∠EBP＝∠EPB.
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形(第4课时)》示范教学课件
（2）若∠BAO＝∠DAO，则平行四边形 ABCD 是_______．
菱形
解析：（2）在平行四边形 ABCD 中，OB＝OD， 又∠BAO＝∠DAO， ∴△ABD 是等腰三角形． ∴AC⊥BD． ∴平行四边形 ABCD 是菱形．
菱形的判定
定义法
对角线
边
3．矩形的判定：
一个角是直角
矩形
对角线相等
三个角是直角
4．矩形的性质与判定：
互逆
发现
猜想
证明
5．菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等． （2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？
特殊的平行四边形（第4课时）
人教版八年级数学下册
1．研究几何图形的一般思路:
平行四边形
定义 性质 判定
矩形
定义 性质 判定
菱形
定义 性质
边 角 对角线
一个角是直角
一组邻边相等
2．矩形的性质：
（1）角：矩形的四个角都是直角． （2）边：对边平行且相等． （3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．
A
B
C
D
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
四条边相等的四边形是菱形．
例2 平行四边形 ABCD 的两对角线 AC，BD 相交于点 O．
（1）若 AB＝AD，则平行四边形 ABCD 是__________．
人教版八年级数学下册 18.2特殊平行四边形复习.课件(共15张PPT)
方程思想 转化成解直角三角形的 问题
4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的 一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周
长的最小值为 6 ．
最短路径问题
5.在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边
AB,BC,CD,DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，
（ ）。
A.3.5 B.4 C.7 D.14
中点：中位线，中垂线，中线
2.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，
DH⊥AB于H，A则DH等于（ ）
O
等面积法
典例精析
3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE 沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点
F．若AB=64，6BC= .则FD的长B为（ ）
那么四边形ABCD是
（只要写出一种即可）
变式训练：（1）在数学课上老师请同学思考如下问题： 如图,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连 接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
（2）若连接AC，BD. ①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，
写出结论并证明； ②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，
直接写出结论.
A
E C
H
F B
G D
思维导图
达标测试题
1.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，
∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ )．
A
D
O A. B. C.55D.210 5 3
B
C
2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
BE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OBEC是矩形．
最新人教版初中八年级下册数学【特殊的平行四边形 第四课时】教学课件
3
1 2
图1
图2
图3
图4
初中数学
应用练习 巩固知识
5．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( C )．
(A)矩形 (B)平行四边形 (C)菱形 (D)任意四边形
A E
H D
G
B F C
初中数学
综合运用 发展能力
例1 如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
D
O
C
B
你还有其他方法吗？
初中数学
推理论证 获得定理
定求理证2：四边都相等的四边形是菱形．
如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA．求证：四边形ABCD是菱形．
D
证明：∵AB=CD，BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A
C
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
B
你还有其他方法吗？
初中数学
般 思路． 3.学习重点：菱形判定条件的探索、证明和应用．
初中数学 回顾反思 类比猜想
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表.你能发现矩形的三条判定定 理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 定义
具有平行四边形的所有性质
矩形的
A.
D
性质
对角线相等
四个角都是直角
O
有一个角是直角的平行四边形是矩形
E，F．求证：四边形AFCE是菱形．
A
E
D
证明：∵ EF垂直平分AC，点E，F在直线EF上，
１
３
∴ AE＝EC，AF＝FC．
O２
∴ ∠１＝∠２，∠３＝∠４，
B
人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题
难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
【SQDH】2016八年级数学下册(华师版)课件：专题训练(七) 矩形折叠问题
AD＝6 cm
3．如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B′的位置，AB′与 CD 交 于点 E.若 AB＝8，DE＝3，P 为线段 AC 上任意一点，PG⊥AE 于点 G，PH⊥EC 于点 H，试 求 PG＋PH 的值，并说明它是定值．
解：延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.∵∠1＝∠2， PG⊥AB′，∴PM＝PG.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1 ＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3， ∴AD＝＝4.∵PH＋PM＝AD，∴PG＋PH＝AD＝ 4.∵AD边的长是固定不变的，∴PG＋PH是定值．
3 AG＝ 2
6．如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，已知 CE ＝3 cm，AB＝8 cm，求图中阴影部分的面积．
30 cm2
7．如图， 将一张矩形纸片 ABCD 沿 CF 折叠， 使点 D 与 AB 的中点 E 重合， 求 AF∶FD.
AF∶DF＝1∶2
类型之三：沿矩形对角线的垂直平分线对折 8．把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使点 B 和点 D 重合，折痕为 EF.若 AB＝3 cm，BC＝5 cm，求重叠部分△DEF 的面积．
5.1 cm2
9．如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处，EF 为折痕． (1)求证：△FGC≌△EBC； (2)若 AB＝8，AD＝4，求四边形 ECGF(阴影部分)的面积．
解 ： (1) 证 明 ： ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ∴AB∥CD ， ∴∠CFE ＝ ∠FEA. 又 ∠CEF ＝ ∠FEA，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC.由折叠的 性质，得GC＝AD＝BC.在Rt△FGC和Rt△EBC中 ，EC＝FC，GC＝BC，∴△FGC≌△EBC (2) 由 (1) 知 ， DF ＝ GF ＝ BE ， 所 以 四 边 形 ECGF的面积＝四边形AEFD的面积＝＝＝16.