马尔科夫链模型的应用研究讲解
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马尔可夫链例题讲解
马尔可夫链例题讲解
马尔可夫链是一个数学模型，用于描述一系列状态之间的随机转移。
每个状态的未来只取决于其当前状态，而与过去的状态无关。
以下是一个马尔可夫链的简单例题及其讲解：
例题：求销售状态的转移概率矩阵
题目描述：记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1。
试求其销售状态的转移概率矩阵。
表1 某抗病毒药24个季度的销售情况
季度销售状态
Q1 畅销
Q2 畅销
Q3 畅销
... ...
Q24 畅销
分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和
由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2。
由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）。
表2 市场状态转移情况表
下季度药品所处的市场状态 1（畅销） 2（滞销）本季度药品所处的市
场状态
1（畅销） 7 7 1（畅销）
2（滞销） 7 2 2（滞销）
现计算转移概率：以频率代替概率，可得连续畅销的概率：P(连续畅销) =
7/15。
同样得由畅销转入滞销的概率：P(畅销→滞销) = 7/15。
滞销转入畅销的概率：P(滞销→畅销) = 7/15。
连续滞销的概率：P(连续滞销) = 2/15。
综上，得销售状态转移概率矩阵为：P=(P(连续畅销) P(畅销→滞销) P(滞销→畅销) P(连续滞销))=(7/15 7/15 7/15 2/15)。
从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分母中的数为15减1是因为第24季度是
畅销，无后续记录，需减1。
可靠性试验设计中的马尔可夫链应用
可靠性试验设计中的马尔可夫链应用引言：在现代科学和工程领域中，可靠性是一个关键的概念。
可靠性试验设计是评估和验证系统或产品可靠性的重要方法之一。
马尔可夫链是一种数学工具，被广泛应用于可靠性试验设计中，以帮助工程师更好地分析和预测系统的可靠性。
第一部分：可靠性试验设计概述可靠性试验设计旨在通过实验数据和分析方法，确定系统在时间的变化过程中的可靠性和失效概率。
通过对系统的可靠性进行评估，工程师可以识别潜在的问题，并采取相应的改进措施。
可靠性试验设计中的马尔可夫链应用提供了一种有效的方式，分析和预测系统的可靠性。
第二部分：马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种以状态转移为基础的数学模型，它描述了一个系统或过程在一系列状态之间随机转移的概率。
在可靠性试验设计中，系统的状态可以是正常工作、故障或维修等。
马尔可夫链的基本概念包括状态空间、状态转移概率矩阵和平衡方程等。
第三部分：马尔可夫链在可靠性试验设计中的应用马尔可夫链在可靠性试验设计中的应用主要包括以下几个方面：1. 状态转移图的建立：通过分析系统的状态转移过程，可以构建马尔可夫链的状态转移图。
状态转移图能够直观地表示系统不同状态之间的转移关系，为后续的可靠性分析提供基础。
2. 状态转移概率的估计：根据实验数据，可以估计系统在不同状态之间的转移概率。
这些概率可以用于建立马尔可夫链的状态转移矩阵，进而分析系统的可靠性。
3. 平稳分布的计算：马尔可夫链分析中一个重要的目标是计算系统的平稳分布。
平稳分布表示系统在长时间内各个状态的概率分布情况，能够提供系统可靠性的稳定性信息。
4. 系统可靠性的评估：通过分析马尔可夫链的平稳分布，可以计算系统处于正常工作状态的概率，从而评估系统的可靠性。
这种方法可以帮助工程师更好地了解系统的失效特性，并制定相应的维修策略。
第四部分：马尔可夫链应用案例研究以下是一个实际案例，展示了马尔可夫链在可靠性试验设计中的应用：某航空公司使用马尔可夫链来评估飞机的可靠性。
时序预测中的马尔科夫链模型介绍
时序预测中的马尔科夫链模型介绍时序预测是指根据已有的数据来预测未来的发展趋势或变化规律。
在实际生活和工作中，时序预测有着广泛的应用，比如股票市场的走势预测、天气变化的趋势预测、疾病传播的模式预测等等。
而马尔科夫链模型是时序预测中常用的一种方法。
本文将介绍马尔科夫链模型在时序预测中的应用原理和方法。
马尔科夫链是一种随机过程模型，其基本假设是未来的状态只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
这一假设在时序预测中有着重要的应用，因为它简化了模型的复杂性，使得预测过程更加高效和可靠。
马尔科夫链模型在时序预测中的应用可以分为两种情况：离散状态马尔科夫链和连续状态马尔科夫链。
首先介绍离散状态马尔科夫链。
在这种模型中，系统的状态是离散的，即系统在某一时刻可以处于有限个状态中的一个。
在时序预测中，离散状态马尔科夫链通常用于描述离散事件的发展规律，比如天气预测、股票市场的涨跌预测等等。
离散状态马尔科夫链的基本原理是根据历史状态的转移概率来推断未来状态的概率分布。
通过统计历史数据，可以得到系统在不同状态之间转移的概率，从而可以预测未来状态的概率分布。
这种方法在实际应用中有着较好的效果，尤其是在具有明显的状态转移规律的系统中。
其次是连续状态马尔科夫链。
在这种模型中，系统的状态是连续的，即系统在某一时刻可以处于一个连续的状态空间中的任意一个值。
在时序预测中，连续状态马尔科夫链通常用于描述连续事件的发展规律，比如气温的变化预测、金融市场的趋势预测等等。
连续状态马尔科夫链的基本原理是根据历史状态的转移概率来推断未来状态的概率分布。
与离散状态马尔科夫链不同的是，连续状态马尔科夫链需要考虑状态空间的密度分布，因此在建模和预测过程中需要更加复杂的数学方法和计算技术。
然而，连续状态马尔科夫链在一些复杂系统的时序预测中具有很好的适用性，能够较准确地描述系统的发展规律和趋势变化。
除了离散状态和连续状态的马尔科夫链模型，还有一些对马尔科夫链进行改进和扩展的方法，比如隐马尔科夫模型（HMM）、条件随机场（CRF）等等。
马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法及其应用举例
马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法及其应用举例随着科技的不断发展，人们可以更加准确地预测一些复杂的现象，为生产生活提供更好的帮助。
马尔科夫链蒙特卡罗模拟方法便是一种优秀的解决方案。
一、什么是马尔科夫链蒙特卡罗模拟方法？马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法是一种利用概率统计学原理和数学计算来进行计算机模拟的方法。
这种方法建立在马尔可夫链的基础上，利用概率分布和转移矩阵进行模拟。
马尔可夫链是指一个随机过程，按照一定的规则进行状态转移。
在这个过程中，转移的下一个状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
这种性质称为“马尔可夫性”。
蒙特卡罗方法则是一种以概率为基础的数值计算方法，通过大量的随机采样来获得估计值。
采用蒙特卡罗方法可以在数学上得到比较复杂的解决方案。
马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法将马尔可夫链和蒙特卡罗方法融合在一起，利用马尔可夫链的转移和状态分布特性和蒙特卡罗采样方法来对等式进行求解或概率分析。
二、马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法的一些应用1.金融领域中的风险分析金融领域中的风险问题是一个复杂的问题，需要考虑许多不确定的因素，例如市场波动等。
利用马尔可夫链蒙特卡罗方法可以对这些不确定因素进行分析，预估市场风险。
2.物理学中的介观尺度在物理学中，许多问题都涉及到介观尺度。
由于这些尺度的存在，通常需要使用统计物理学方法进行研究。
利用马尔可夫链蒙特卡罗方法可以对这些问题进行深入分析和优化。
3.蛋白质结构预测蛋白质结构的预测是一个重要的问题。
结构预测需要进行大量的计算，而马尔可夫链蒙特卡罗方法可以对这个问题进行比较准确的模拟。
三、马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法的局限性虽然马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法有很多优点，但是它也存在一些局限性。
其中最主要的一个是计算时间较长。
由于需要进行大量的随机采样，所以计算时间非常长。
此外，正确计算蒙特卡罗方法的统计误差也是一个挑战。
四、总结马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法作为一种优秀的计算机模拟方法，在许多领域都有广泛的应用。
马尔可夫链的应用与特性
马尔可夫链的应用与特性马尔可夫链是一种常见的数学模型，基于对随机事件的观察和统计，它可以用来描述系统状态的演化和变化过程，具有广泛的应用和重要的理论意义。
本文将介绍马尔可夫链的一些基本概念和重要特性，以及它在实际问题和学术研究中的一些应用案例。
一、基本概念和定义马尔可夫链指的是一类离散的随机过程，具有无后效性和可数的状态空间。
其转移概率矩阵是一个满足非负性和单位根性质的矩阵，表示了从一个状态到另一个状态的概率分布。
换句话说，如果当前处于某个状态，那么下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种“不记忆”的特性使得马尔可夫链可以用来模拟很多随机现象，如天气、股票价格等。
马尔可夫链的状态可以是离散的或连续的，但必须满足可数性和 Markov 性质。
其中可数性是指状态空间的元素个数是可数的，而 Markov 性质则是指状态转移概率只与当前状态有关，而与时间和历史状态无关。
这是马尔可夫链的核心特性，也是它具有可解性和可控性的基础。
二、重要特性和性质马尔可夫链具有一些重要的数学特性和性质，为理解和应用它提供了一些基础知识。
1. 不可约性：如果系统中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链就是不可约的。
这意味着该系统可以在任意一个状态之间自由转移，并且有可能出现循环或周期性行为。
不可约性是马尔可夫链分析的一个基本假设，它保证了系统的完整性和稳定性。
2. 非周期性：如果系统中任意一条从状态 i 到状态 i 的路径长度都是有限的，那么该马尔可夫链就是非周期的。
这意味着该系统不存在任何循环或周期性结构，而是呈现出一种无规律的变化过程。
非周期性是马尔可夫链的又一重要属性，它保证了系统的随机性和平稳性。
3. 遍历性：如果系统中从任意一个状态出发，都可以到达该系统中的任意一个状态，那么该马尔可夫链就是遍历的。
这意味着该系统具有完整的状态空间和多样的状态转移方式，可以满足更多的需求和条件。
遍历性是马尔可夫链的又一重要保证，它保证了系统具有全局性和可展性。
随机过程中的马尔可夫链应用
随机过程中的马尔可夫链应用马尔可夫链（Markov Chain）是一种数学模型，用于描述一系列随机事件之间的转移关系。
它是通过状态和概率转移矩阵来表示的。
在现实生活中，马尔可夫链在许多领域中都有广泛的应用，如经济学、生态学、计算机科学等。
本文将从几个具体的应用领域出发，介绍随机过程中马尔可夫链的应用。
一、经济学中的马尔可夫链应用在经济学中，马尔可夫链被广泛用于描述和分析经济系统的状态转移。
例如，在宏观经济中，可以将经济的不同状态定义为就业、通货膨胀和经济增长等。
通过构建一个状态空间和状态转移概率矩阵，可以模拟和预测不同状态之间的转移情况。
这对于政府制定经济政策和公司的投资决策具有重要意义。
二、生态学中的马尔可夫链应用在生态学研究中，马尔可夫链可以用于分析生态系统的演替和物种多样性变化。
生态系统中的物种组成和数量通常会发生变化，而马尔可夫链可以描述不同物种之间的种群转移。
通过观察和记录不同物种间的转移规律，可以更好地理解和预测生态系统的演替过程，为保护生物多样性提供科学依据。
三、计算机科学中的马尔可夫链应用在计算机科学中，马尔可夫链被广泛用于模拟和预测随机过程。
例如，在自然语言处理中，可以通过构建一个基于马尔可夫链的模型来生成自然语言的句子和文本。
通过学习和分析大量的文本数据，模型可以识别出不同单词之间的转移规律，从而生成具有连贯性和自然性的句子。
另外，在搜索引擎中，马尔可夫链也可以用于优化搜索结果的排序。
通过分析用户的搜索行为和点击模式，可以构建一个基于马尔可夫链的模型，预测用户在搜索结果中的点击概率。
这样，搜索引擎可以根据用户的偏好和行为，为其提供更加准确和个性化的搜索结果。
总结：以上介绍了随机过程中马尔可夫链的几个应用领域，包括经济学、生态学和计算机科学。
在这些领域中，马尔可夫链提供了一种有效的数学工具，用于模拟和预测随机事件的转移情况。
通过构建状态空间和转移概率矩阵，我们可以更好地理解和掌握系统的演变规律，并为相关领域的决策和优化提供科学依据。
概率论中的马尔可夫链应用实例
概率论中的马尔可夫链应用实例马尔可夫链是概率论的一个重要工具，用于描述一系列随机事件之间的转移概率。
它广泛应用于各个领域，包括经济学、计算机科学、生物学等。
本文将介绍概率论中马尔可夫链的应用实例。
一、经济学领域在经济学中，马尔可夫链常用于描述市场的状态转移。
例如，我们可以利用马尔可夫链来分析企业经营状况和市场竞争态势。
假设有两家企业A和B在某个市场中竞争，它们的市场份额会随着时间发生变化。
我们可以构建一个马尔可夫链来描述这种变化过程，进而预测未来市场占有率的变化趋势。
二、计算机科学领域在计算机科学中，马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理、机器学习等领域。
例如，在自然语言处理中，我们可以利用马尔可夫链来建模语言生成过程。
假设我们有一个文本数据集，我们可以通过统计每个单词的出现概率，构建一个马尔可夫链模型。
这样，我们就可以生成具有类似于原始文本的新的语句。
三、生物学领域在生物学中，马尔可夫链被应用于基因组序列分析、蛋白质结构预测等领域。
例如，在基因组序列分析中，我们可以利用马尔可夫链来模拟DNA序列的变异过程。
这样，我们就可以研究基因的进化规律和变异机制。
四、金融领域在金融领域，马尔可夫链被广泛应用于风险管理、股票价格预测等方面。
例如，在股票价格预测中，我们可以利用马尔可夫链来建立一个模型，通过分析历史价格变动的模式，预测未来股票价格的走势。
五、社交网络分析在社交网络分析中，马尔可夫链可以用于描述用户间的转移行为。
例如，在推荐算法中，我们可以利用马尔可夫链模型来预测用户的喜好和行为，从而实现个性化推荐。
六、天气预报在气象学中，马尔可夫链可以用于天气预报。
我们知道，天气是具有一定的变化规律的，例如晴天转阴天、阴天转雨天等。
我们可以利用马尔可夫链来模拟天气转移的过程，进而预测未来的天气情况。
总结起来，概率论中的马尔可夫链广泛应用于各个领域，包括经济学、计算机科学、生物学等，用于描述随机事件的转移概率。
通过建立马尔可夫链模型，我们可以预测未来的趋势，并应用于风险管理、股票价格预测、推荐算法等实际应用中。
马尔可夫链的基本概念与应用实例
马尔可夫链的基本概念与应用实例马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一个过程，该过程在任何给定状态下进行的概率取决于前一状态，而与过去状态无关。
它在许多领域中有着广泛的应用，如统计学、经济学、化学、物理学等等。
本文将对马尔可夫链的基本概念和一些应用实例进行阐述。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种随机过程，在任何给定状态下，转移到另一个状态的概率只取决于前一个状态，而与之前的状态无关。
这被称为马尔可夫性质。
因此一个马尔可夫链可以完全由初始状态和转移概率矩阵来描述。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫链中所有可能的状态的集合。
它可以是有限的，也可以是无限的。
例如，一个投掷硬币的例子，状态空间为{正面, 反面}。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述的是从一个状态到另一个状态的概率。
在一个马尔可夫链中，概率矩阵的每一行表示从一个状态转移到所有其他状态的概率。
在一个有限状态空间中，概率矩阵是一个n x n 的矩阵（n表示状态的数量）。
例如一个2 x 2的矩阵表示如下：s1 s2s1 p11 p12s2 p21 p22其中，p11 表示从状态 s1 转移到状态 s1 的概率；p12 表示从状态 s1 转移到状态 s2 的概率；p21 表示从状态 s2 转移到状态 s1 的概率；p22 表示从状态 s2 转移到状态 s2 的概率。
3. 初始状态概率分布每个马尔可夫链起始状态可以是任何一个状态。
初始状态概率分布表示从哪个可能的起始状态开始进行模型。
它通常会假定为一个向量，其中每个元素表示该状态成为起始状态的概率。
二、马尔可夫链的应用实例随机漫步是马尔可夫链的一个重要应用。
在随机漫步中，一个行动的结果只取决于之前的状态，而与其之前的状态无关。
这种情况下，马尔可夫链为该过程提供了一个可靠的模型。
在金融领域，股市价格变动也被认为是一个形式的马尔可夫链。
一个股票的价格在任何时间不仅取决于过去的价格，还受到多种经济因素的影响。
时序预测中的马尔科夫链模型介绍(Ⅲ)
时序预测是一种重要的数据分析方法，它可以帮助我们对未来的发展趋势做出预测。
其中，马尔科夫链模型是时序预测中一种常用的方法。
本文将介绍马尔科夫链模型的基本原理、应用场景以及其优缺点，以帮助读者更好地理解时序预测中的马尔科夫链模型。
马尔科夫链是一种描述随机过程的数学模型，其基本思想是当前时刻的状态只与前一个时刻的状态有关，与更早的状态无关。
这种性质被称为马尔科夫性质。
在时序预测中，我们可以利用马尔科夫链模型来描述时间序列数据中的状态转移规律，从而进行未来状态的预测。
马尔科夫链模型在许多领域都有着广泛的应用。
比如，在天气预测中，我们可以利用马尔科夫链模型来分析不同天气状态之间的转移规律，从而对未来天气进行预测。
在金融领域，马尔科夫链模型也被广泛用于股票价格的预测。
此外，马尔科夫链模型还可以应用于自然语言处理、生态学、医学等领域。
马尔科夫链模型具有许多优点，使其成为时序预测中的重要工具之一。
首先，马尔科夫链模型的建模过程相对简单，只需要建立状态转移概率矩阵即可。
其次，由于马尔科夫链模型具有马尔科夫性质，因此在实际应用中可以较好地满足时间序列数据的要求。
另外，马尔科夫链模型还可以很好地处理大规模数据，适用于复杂的系统预测。
然而，马尔科夫链模型也存在一些局限性。
首先，由于其基于马尔科夫性质，因此无法考虑更早时刻的状态对当前状态的影响，从而可能导致预测的不准确性。
其次，马尔科夫链模型需要满足状态转移的稳定性假设，这在实际应用中并不总是成立。
另外，马尔科夫链模型对初始状态的选择比较敏感，不同的初始状态可能会对预测结果产生较大影响。
尽管马尔科夫链模型存在一些局限性，但在时序预测中仍然具有重要的应用价值。
在实际应用中，我们可以通过对马尔科夫链模型的改进和扩展，来克服其局限性，提高预测的准确性。
比如，可以考虑引入隐马尔科夫模型，来解决马尔科夫链模型对初始状态的敏感性问题。
同时，结合其他数据分析方法，如深度学习、时间序列模型等，也可以提高时序预测的准确性。
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管 理 预 测 与 决 策
马尔科夫链模型的应用研究
姓 名：
学 号：
专 业：
指导教师：
2012年11月1日
摘 要
预测春运客流量是铁路部分的一项重要工作。运用马尔科夫链模型可以对
春运期间一天中的客流量进行预测。
首先，介绍了马尔科夫链模型及其预测的基本原理；其次，分析了**火车
站2011年春运期间每天的客流量，并按照**火车站突发事件三级预警方案将客
流量数据处理为三个状态；最后，运用马尔科夫链模型对2011年的春运客流进
行预测，结果表明，运用马尔科夫链模型具有良好的预测结果。
关键词 ：马尔科夫链模型；火车站；客流量
马尔科夫链模型的应用研究
**站每年春运都面临着大规模客流。大量人群的聚集会带来许多安全隐
患，相关领导部门非常重视。如果能够根据以往的客流量，对下一年的春运客流
量做出正确预测，就能够为领导决策层提供有力的信息支持，使他们能够提前做
好应对高峰客流的准备，从而降低风险。影响春运客流的因素很多，并且各个因
素的作用机制无法用精确的熟悉模型描述。目前常用的预测方法主要有数学模型
方法和人工经验模型法。对客流量做预测，目前所知道的是以前客流量的记录。
如何从大量已知的数据中挖掘出有用的信息或知识，为下一步工作服务，这是数
据挖掘技术所完成的工作。数据挖掘领域中有许多新的研究成果，如关联规则、
Web挖掘、马尔科夫链模型等。其中马尔科夫链模型是近年来在数据挖掘方法的
一个研究热点。本文运用该方法对**站春运客流进行预测。
1.马尔科夫链模型
1．1马尔科夫链
马尔科夫链，是数学领域中具有马尔科夫性质的离散时间随机过程。该过
程中，在给定当前指示或信息的情况下，过去（即现在时期以前的历史状态）对
与预测将来（即现在时期以后的状态）是无关的。如果n个连续变动事物在变动
过程中，其中任一次变动的结果都具有无后效性，那么，这n个连续变动事物的
集合就叫做马尔科夫链，这类事物演变的过程称为马尔科夫过程。
1.2 马尔科夫预测的基本原理
对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必
须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的
可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。马尔科夫预测法，就是一种关于
事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或
时期）变动状况的一种预测方法。
1.2.1 状态
在马尔科夫预测中，“状态”是一个重要的术语。所谓状态，就是指某一事
件在某个时刻出现的某种结果。譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、
“滞销”等状态。
1.2.2 状态转移过程（马尔科夫过程）
在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”、从“阴天”转变为“晴天”、从“晴
天”转变为“晴天”、从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。事件的发展，
随着时间的变化而所作的状态转移，就称为状态转移过程。若每次状态的转移只
与前一时刻的状态有关而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性
的，则这样的状态转移过程就称为马尔科夫过程。
1.2.3 状态转移概率矩阵
在事件的变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可
能性，称为状态转移概率。根据条件概率的定义，由状态Ei转移到状态Ej的状
态转移概率P（Ei→Ej）就是条件概率P（Ei/Ej）,
假定某一被预测的事件有E1，E2，E3…，En，共n个可能的状态。记Pij为从
状态Ei转为状态Ej的状态转移概率，作矩阵
则称P为状态转移概率矩阵。
如果被预测的某一事件目前处于状E1，那么在下一时刻，它可能由状态E1转
向E1，E2，…Ei…En中的任一个状态。所以Pij满足条件：
一
般地，将满足条件（3）的任何矩阵都称为概率矩阵。不难证明，如果P为概率
矩阵，则对任意整数m>0，矩阵Pm都是概率矩阵。
如果P为概率矩阵，而且存在整数m> 0 ，使得概率矩阵Pm中诸元素皆非
零，则称P为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标准概率矩阵，则存在非零向
量α=[x1,x2,…,xn]，而且xi满足0≤xi≤1及
，
这样的向量α称为平衡向量或终极向量。
计算状态转移概率矩阵P，就是要求出每个状态转移到其它任何一个状态
的转移概率Pi j （i，j = 1 ，2，…，n）。为求出每一个Pij，这里采用频率
近似概率的思想计算 。
1.2.4 马尔科夫预测法
为运用马尔科夫预测法对事件发展过程中状态出现的概率进行预测，需要
介绍一个名词：状态概率π i ( k ) 。π i ( k)表示事件在初始（k = 0 ）
状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，第k个时刻处于状态Ei的概率。
根据概率的性质，显然有：
从初始状态开始，经过k次状态转移后到达状态Ei这一状态转移过程，可
以看作是首先经过（k-1）次状态转移后到达状态Ei （ i = 1 ，2 ，…，n），
然后再由Ei经过一次状态转移到达状态Ej。根据马尔科夫过程的无后效性及
Bayes条件概率公式，有
若记行向量π (k ) = [ π 1 (k )，π 2 (k )，…，π n (k ) ] ，则由
（5）式可得逐次计算状态概率的递推公式：
…
2． 客流量数据处理
根据上面的分析，运用马尔科夫链模型预测客流量，需要对客流量数据进
行简单的处理，按照一定的规则转化为若干“状态”，然后，才能进行预测。
2.1 三级预警方案
要对客流量数据进行处理，转化为若干“状态”，需要一定的依据，这里将
《北京西站突发事件三级预警方案》作为标准进行数据到“状态”的转换。三级
预警方案如下（见表1）：（下列达到条件中的一条就启动相应预警。《管规》第
208条规定：候车室旅客占用面积标准为1 . 1 ～ 1 . 2 m 2/人，此表标准按
1 . 2 m 2/ 人计算，最大可容纳人数为经验值。）
2.2 生成状态
这里根据三级预警将预测状态规定如表2：
3 马尔科夫链预测过程
3.1 历史数据（见表3）
表3:2011年春运期间的上车人数
3.2 计算转移概率
4.结论
通过马尔科夫链模型及其预测的基本原理，分析**火车站2011年春运期
间每天的客流量，并按照**火车站突发事件三级预警方案将客流量数据处理为三
个状态；最后，运用马尔科夫链模型对2011年的春运客流进行预测，结果表明，
运用马尔科夫链模型具有良好的预测结果，能够为领导决策层提供有力的信息支
持，使他们能够提前做好应对高峰客流的准备，从而降低风险。