现控指实验导书

《现代控制理论》实验指导书

实验设备

计算机1台，MATLAB6.5以上软件1套。

实验一 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换

一 实验目的

1 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；

2 通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。

二 实验内容

1 设系统的模型如式(1.1)示。

p m n R y R u R x D

Cx y Bu Ax x

∈∈∈??

?+=+= (1.1)

其中A 为n×n 维系数矩阵、B 为n×m 维输入矩阵 C 为p×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1.2)示。

()

()()()

num s G s C SI A B D den s -1=

=-+ (1.2)

式(1.2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p×m；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。 2 实验步骤

① 根据所给系统的传递函数或（A、B、C 阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达

式之间的关系如式(1.2)，采用MATLA 的file.m 编程。注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令；

② 在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。

③ [例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1.3)，求系统的传递函数。

,631234100010321321u x x x x x x ??????????-+????????????????????---=?????????? []????

?

?????=321001x x x y (1.3)

程序:

%首先给A、B、C 阵赋值； A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2]; B=[1;3;-6]; C=[1 0 0]; D=0;

%状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u) [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)

程序运行结果:

num =

0 1.0000 5.0000 3.0000 den =

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000 从程序运行结果得到:系统的传递函数为:

4

323

5)(23

2+++++=s s s s s S G …………………… .. (1.4) ④ [例1.2] 从系统的传递函数(1.4)式求状态空间表达式。

程序:

num =[0 1 5 3]; %在给num 赋值时，在系数前补0，使num 和den 赋值的个数相同； den =[1 2 3 4];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

程序运行结果:

A =

-2 -3 -4 1 0 0 0 1 0

B = 1 0 0

C =

1 5 3

D =

由于一个系统的状态空间表达式并不唯一, [例 1.2]程序运行结果虽然不等于式(1.3)中的A、B、C 阵，但该结果与式(1.3)是等效的。不防对上述结果进行验证。

⑤ [例1.3] 对上述结果进行验证编程 %将[例1.2]上述结果赋值给A、B、C、D 阵； A =[-2 -3 -4;1 0 0; 0 1 0]; B =[1;0;0]; C =[1 5 3]; D=0；

[num,den]=ss2tf(A，B，C，D,1) 程序运行结果与[例1.1]完全相同。

三 实验报告要求

在运行以上[例]程序的基础上，应用MATLAB 对(1.5)系统仿照[例1.2]编程，求系统的

A、B、C、阵；然后再仿照[例1.3]进行验证。并写出实验报告。

4

32352)(2

32+++?

?????+++=s s s s s s S G (1.5) 提示：num =[0 0 1 2；0 1 5 3]；

四 讨论

系统传递函数模型和状态空间藐视之间的区别和联系。

实验二 状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解

一 实验目的

1、 熟悉线性连续系统的状态空间控制模型的各种表示方法。

2、 熟悉系统模型之间的转换功能。

3、 利用MATLAB 对线性定常系统进行动态分析

二 实验内容

1、给定系统1

25.03

2)(2

323++++++=s s s s s s s G ，求系统的零极点增益模型和状态空间模型，并求其单位脉冲响应及单位阶跃响应。 num=[1 2 1 3];den=[1 0.5 2 1];

sys=tf(num,den);sys1=tf2zp(sys);sys2=tf2ss(sys); impulse(sys2);step(sys2) sys=tf(num,den) Transfer function: s^3 + 2 s^2 + s + 3 ----------------------- s^3 + 0.5 s^2 + 2 s + 1 sys1=tf2zp(num,den) sys1 =

-2.1746 0.0873 + 1.1713i 0.0873 - 1.1713i [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) a = -0.5000 -2.0000 -1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0 b = 1 0 0

c = 1.5000 -1.0000 2.0000

d = 1 单位脉冲响应：

图2.1 系统的单位脉冲响应 单位阶跃响应：

图2.2 系统的单位阶跃响应

2、考虑由以下状态方程描述的系统

求该系统状态对初始状态的时间响应。

得到如下图2.3所示系统状态对初始条件的响应曲线：

图2.3 系统状态对初始条件的相应 3、考虑以下系统

试给出该系统的单位阶跃响应曲线。

可以得到如图2.4所示的四条单位阶跃响应：

图2.4单位阶跃响应曲线

三 实验报告要求

1、进行模型间的相互转换。

2、试求以下系统

在阶跃输入信号和初始状态T [1,1]x =下的状态响应。编程实现，并给出响应曲线。 四 讨论

系统的状态轨迹和系统输入输出的关系。

实验三 系统能控性、能观性的判别

一、实验目的

（1） 系统的能控性和能观测性的判别方法、系统的能控性和能观测性分解。 （2） 了解MATLAB 中相应的函数。

二、 实验原理

（1） 能控性判据

线性定常连续系统完全能控的充分必要条件：

1n rank B AB A B n -??=?? ，其中n 为矩阵A 的维数。

（2） 能观测性判据

线性定常连续系统完全能观测的充分必要条件：

1n C CA rank n CA -????

?

?=??????

，其中n 为矩阵A 的维数。

（3） 系统的能控性分解

不能控系统的动态方程：

x

Ax Bu =+ ，y Cx = 变换为下列的规范表达式

111121220

0c c c c c c x x x A A B PAP PBu u x x x A -????

??????=+=+??????????????????

?? 1

12c c c c x x y CP C C x x -????

??==??????????

其中c x 为r 维能控状态子向量；c x 为()n r -维不能控状态子向量 令12y y y =+，则可得到子系统的动态方程，其中能控子系统动态方程

11121c c c x

A x A x

B u =++ ，11y

C x = 不能控子系统动态方程为

22c c x

A x = ，22c y C x =

（4） 系统的能观测性分解

不能观测系统的动态方程：

x

Ax Bu =+ ，y Cx = 变换为下列能观测分解的规范表达式

11

1

1221

22??0

???o o o o o o x x x A B TAT TBu u x x x B A A

-??????????=+=+??????????????????

??????

11?0o o o o x x y CT C x x -??????==??????????

能观测子系统动态方程为

111??o o x A x B u =+ ，11?o

y C x y == 不能观测子系统动态方程为

21222???o o o x A x A x B u =++ ，1

0y =

三 实验内容

已知系统

u x x ??

?

???+??????--=103210

x y ]43

[=

（1）判别系统的能控性。

程序如下: A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1];

Qc=ctrb(A,B); %Qc 为能控性矩阵 n=rank(Qc); %求能控性矩阵的秩 L=length(A); if n= = L

str='系统状态完全能控' else

str='系统状态不完全能控' end

（2）求系统的能控性分解后的模型。

程序如下： A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]； C=[3 4];

[K T C B A ,]=ctrbf(A,B,C) %T 为变换矩阵，

sum （K ） %可求出能控状分量的个数

四 实验报告要求

调试完所有实验内容后，输入状态空间模型

001103013A -????=-????-?? ，110B ??

??=??

????

，[]012C =- ，0D =

（1）判别系统的能观性。

提示：Qo=obsv(A,C)

（2）求系统的能观性分解后的模型。

提示：[K T C B A ,,,,]=obsvf(A,B,C)

五 讨论

1.能控性和能观测性的定义.

2.对于一个完全能控的系统，如何将其变换为能控标准型。

实验四 系统稳定性仿真实验

一． 实验目的

（1） 掌握线性系统稳定性的判别方法 （2） 了解MATLAB 中相应的函数

二． 实验原理

（1） 线性定常系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q ，都存在唯

一的对称正定阵P ，满足如下矩阵Lyapunov 方程：

（2） 对于给定传递函数矩阵G

（s ）的线性定常系统，如果找到一个状态空间描述

x

Ax Bu =+ ，y Cx Du =+ （4-1） 使得 1()()G s C sI A B D -=-+

则称（4-1）是给定传递函数阵G （s ）的一个实现，维数最低的实现称为最小实现。

（3） 线性系统的稳定性的充分必要条件是：它的微分方程的全部根都是负实数或实部为

负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。

三． 实验内容

判定如下系统的李亚普诺夫稳定性。

x x ??

????--=1110

程序如下： A=[0 1;-1 -1];

Q=eye(size(A,1)); %取Q 矩阵为与A 矩阵同维的单位矩阵 P=lyap(A,Q); %解李亚普诺夫代数方程，得对称矩阵P P_eig=eig(P); if min(P_eig)>0

disp('The system is Lypunov stable.') else

disp('The system is not Lypunov stable.') end

四． 实验报告要求

（1） 输入状态空间模型

T A P PA Q +=-

3824100001000010A ----?????

?=??????

，1000B ????

??=??????，[]0011C =，0D = 判定如下系统的李亚普诺夫稳定性。

五 讨论

系统稳定性的含义。

实验五 状态反馈及状态观测器的设计

一、实验目的

1、熟悉状态反馈矩阵的求法。

2、熟悉状态观测器设计方法。 二、实验原理 （1）给定可控对(),A b 和一组期望的闭环特征值{}12n λλλ ，要确定()1n ?维的状态反馈向量k ，使闭环系统状态矩阵()A bk -的特征值为{}12n λλλ 。

（2）计算A 的特征多项式：

[]1110det n n n sI A s a s a s a ---=++++

（3）计算由{}1

2n λλλ 所决定的希望特征多项式

()()()()**1**12110n n n n a s s s s s a s a s a λλλ--=---=++++

（4）计算 *

**

00

1111n n k a a a a a a --??=---??

（5）计算变换矩阵

11111111n n n a P A b Ab b a a ----????????=????????

（6）求P

（7）计算状态反馈向量k kP =

三、实验内容和要求

内容：

1、某控制系统的状态方程描述如下：

[]242471,0001,01000010000124503510=?????

???????=????

?????

???----=C B A 通过状态反馈使系统的闭环极点配置在P=[-30，-1.2,-2.4±4i]置上,求出状态

反馈阵K,并绘制出配置后系统的时间响应曲线。 2、考虑下面的状态方程模型：

[]0,001,10000,100008.20980010==????

?

?????=??????????--=D C B A 要求选出合适的参数状态观测器(设观测器极点为op=[-100;-102;-103])。

要求：

1、求出系统的状态空间模型；

2、依据系统动态性能的要求， 确定所希望的闭环极点P；

3、利用上面的极点配置算法求系统的状态反馈矩阵K；

4、检验配置后的系统性能。

四、实验报告要求

完成实验要求。并且编写具体仿真程序。

提示：pzmap(sys) %画系统的零极点图

[p,z]=pzmap(sys) %画系统的零极点图,并将零点、极点分别存储于%数组p step(sys) %系统阶跃响应曲线

五、思考题

熟悉反馈及状态观测器、及极点配置的有关理论。