2010年四川省成都市中考数学试卷扫描版
2024年四川省成都市高新区中考数学一诊试题(原卷版)
2024年四川省成都市高新区中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1. 在数轴上，点A 与点B 位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A 表示的数为5，则点B 表示的数是（ ）A B. C. 5 D. 2. 空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为，将用科学记数法表示应为（ ）A. B. C. D. 3. 用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（ ）A. B. C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，，在射线上取一点C ，使，以点O 为圆心，的长为半径作，.1515-5-30.00129g/cm 0.00129412.910⨯﹣31.2910⨯﹣41.2910⨯﹣20.12910⨯﹣222a a -=236a a a ⋅=222632m n m n n ÷=()()22444m n m n m n+-=-x 220x x m -+=m 18-188-88374x 8374x x -=+8374x x +=-3487x x -+=3487x x +-=60AOB ∠=︒OA 6OC =OC MN交射线于点D ，连接，以点D 为圆心，的长为半径作弧，交于点E （不与点C 重合），连接．以下结论错误的是（ ）A. B.C. 的长为πD. 扇形的面积为12π二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9. 因式分解=______．10. 如图，一边为平面镜，点在射线上，从点射出的一束光线经上一点反射后，反射光线恰好与平行．现测得入射光线与反射光线的夹角，则的度数为____．11. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为____分．12. 若点，都在二次函数的图象上，则____．（填“＞”，“＝”或“＜”）13. 如图，在中，，点为上一点，过、两点分别作射线的垂线，垂足分别为点，点．若点为中点，，则的长为____．的OB CD CD MN CE OE ，30DCE ∠=︒OD CE ⊥ DECOE 2242x x -+AOB ∠OB C OA C OB D DE OA CD DE 110CDE ∠=︒AOB ∠︒2:4:4()11A y ，()24B y ，()2221y x =--1y 2y Rt ABC △AB AC =D BC B C AD E F F AE 2BE =BC三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14. （1）计算：；（2）解不等式组：．15. 为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表． 项目人数环境保护6敬老服务a 文明宣传8义卖捐赠b（1）分别计算出表中a ，b 的值；（2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率．16. 近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽21(2cos 45|1|3--︒+-3262723x x x x -<+⎧⎪--⎨≥⎪⎩车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A 和底端B 与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A 逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：）17. 如图，是外接圆，，直线，的延长线交于点，交直线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的半径及的长．18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积；AB 72ABH ∠=︒MN 152cm 70.3cm AB AB '102BAB '∠=︒B 'MN sin 720.95cos720.31tan 72 3.08︒≈︒=︒≈，，O ABC AC BC=CD AB ∥AO BC E DC F CF O 6AB =tan 3B ∠=O CF xOy 5y x =-+k y x=(1,)A a B B B x M y N 13BM MN =AMN（3）点在第三象限内反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19. 已知，则代数式的值为____．20. 待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x ，y 为正整数，则____．21. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是_____．22. 如图，中，，，点E ，F 分别在，上，将沿所在直线翻折，点C 的对应点D 恰好在边上，过点D 作的垂线，交的延长线于点G ，设，则的值为____．（用含x 的代数式表示）23. 对于平面直角坐标系中图形M 和图形N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M ，N 间的“捷径距离”，记为d （图形M ，图形N ）．已知三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则与的“捷径距离”的最小值是____，最大值是_____．的的C C O D E ABD ACE ∽E 2225m m =+211()m m m m+-÷()32CuCO Cu OH x y ⋅()32CuCO Cu OH x y ⋅223CuO H O CO x ++↑y x -=1ABC 90ACB ∠=︒24AC BC ==AC BC CEF EF AB AB BC CG x =tan EFC ∠xOy ABC ()21A -，()32B -，()12C -，ABC ()D a a ，90︒A B C ''' A B C ''' O ABC A B C ''' ()d ABC A B C ''' ，二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24. 年月日是联合国教科文组织确定的第个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多元，用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．（1）求每本甲种图书与乙种图书的进价；（2）如果该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接，点D 在直线上方的抛物线上，过点D 作的垂线交于点E ，作y 轴的平行线交于点F ．若，求线段的长；（3）直线与抛物线交于P ，Q 两点（点P 在点Q 左侧），直线与直线交点为S ，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．26. 已知，在菱形中，，分别是，边上的点，线段，交于点．的2024423292526001600200020xOy 24y ax bx =++()20A -，1x =BC BC BC BC BC 3CE EF =DF (4)y x m m =-+<PC BQ OCS ABCD E F BC CD AE BF G（1）如图1，，点与点重合，连接；（i ）求证：；（ⅱ）若为直角三角形，求的值；（2）如图2，，．当时，求线段的长．BGE ABC ∠=∠F D CG BE AD AE AG ⋅=⋅CDG EG CGAB ==45ABC ∠︒3cos 5AE BGE BF ∠==BE。
2010年中考试题集锦--一次函数.doc
（ D ）．
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
(2010?绍兴市)7.一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B
两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的
图象如图所示.则下列结论错误的是( C ) ．．
A.摩托车比汽车晚到1 h
B. A,B两地的路程为20 km
C.摩托车的速度为45 km/h
D.汽车的速度为60 km/h
第7题图
1． (2010?南充市)如图，小球从点A运动到点B，速度v（米/秒）和时间t（秒）的函数关系式是v＝2t．如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是（ C ）．（A）1秒（B）2秒（C）3秒（D）4秒
第10题图
（第6题）
（2010?荆州）7.函数y1。
(最新8年)2004-2011年四川省成都市中考数学试题及答案(权威,全面,实用)
2004年成都市中考数学试卷. （含成都市初三毕业会考）A 卷（共100分）一、 选择题：（每小题4分，共60分） 1、下列算式结果是-3的是（ ） A 、（-3）-1B 、（-3）C 、-（-3）D 、-∣-3∣2、下列各式正确的是（ ）A 、()a b c a b c -+=-+B 、221(1)x x -=-C 、2()()a ab ac bc a b a c -+-=-+D 、23()(0)x x x x -÷=≠3、不等式组231x x >-⎧⎨-⎩≤8-2x的最小整数解是（ ）A 、-1B 、0C 、2D 、34、如图，如果A B C D 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对 5、函数11y x =-+中，自变量x 的取值范围是（ ）A 、1x ≠-B 、0x ≥C 、1x -≤D 、x ≥-16、为了充分利用我国丰富的水力资源，国家计划在四川省境内长江上游修建一系列大型水力发电站，预计这些水力发电站的总发电量相当于10个三峡电站的发电量。
已知三峡电站的年发电量将达到84700000000千瓦时，那么四川省境内的这些大型水力发电站的年发电总量用科学计数法表示为（ ）千瓦时 A 、8.47⨯109 B 、8.47⨯1011 C 、8.47⨯1010 D 、8.47⨯10127、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan B A D ∠′等于（ ） A 、1 B2D、8、下列说法中，错误的是（ ）A 、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B 、 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C 、 四个角都相等的四边形是矩形D 、邻边相等四边形是正方形 9、如果用换元法解分式方程2214301x x xx +-+=+，并设y =21x x +,那么原方程可化为（ ）A 、y 2+3y-4=0B 、y 2-3y+4=0C 、y 2+4y-3=0D 、y 2-4y+3=0 10、已知相交两圆的半径分别是5和8，那么这两圆的圆心距d 的取值范围是（ ） A 、d >3 B 、13d < C 、13d 3<< D 、d =3或d =1311、如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是 AC 的中点， 那么∠DAC 的度数是（ ）BDCm ∠CAB = 32.0︒B 、C 、30ºD 、32º汽车由重庆驶往相距400千米的成都。
2023年四川省成都市数学中考真题(解析版)
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某
班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供 6 张背面完全相同的卡片，其中蔬菜
类有 4 张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有 2 张，正面分别印有草莓、西瓜图案，
【详解】解：由平移性质得： EF BC 8 ， ∴ CF EF CE 8 5 3 ，
故答案为：3． 【点睛】本题考查平移性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 5, 1 关于 y 轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 5, 1
6 1
6
，
∵ 2 6 ，
∴ y1 y2 ， 故答案为： ．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11. 如图，已知△ABC ≌△DEF ，点 B，E，C，F 依次在同一条直线上．若 BC 8，CE 5 ，则 CF 的
长为___________．
【答案】3 【解析】 【分析】利用平移性质求解即可．
2023 年四川省成都市数学中考真题
A 卷（共 100 分） 第 I 卷（选择题，共 32 分） 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一 项符合题目要求）
1 1. 在 3 ， 7 ， 0 ， 9 四个数中，最大的数是（ ）
A. 3
B. 7
C. 0
每个图案对应该种植项目．把这 6 张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概
2010年四川省内江市中考数学试卷及答案
1四川省内江市二O 一O 年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.12010-的倒数是 A ．2010- B. 2010 C.12010 D. 12010- 2.截止2010年4月20日23时35分，央视“情系玉树，大爱无疆”赈灾晚会共收到社会各界为玉树捐款2 175 000 000元，用科学记数法表示捐款数应为A ．102.17510⨯元 B. 92.17510⨯元 C. 821.7510⨯元 D. 7217.510⨯元 3.下列图形是正方体的表面展开图的是4．下列事件中为必然事件的是 A ．早晨的太阳一定从东方升起 B.打开数学课本时刚好翻到第60页 Ｃ从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝上. Ｄ.今年14岁的小云一定是初中学生5．将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC DE ∥，则AFC ∠的度数为A.45°B. 50°C. 60°D. 75° 6.函数y x=x 的取值范围是 A.1x -≥ B. 1x >-C. 1x -≥且0x ≠D. 1x >-且0x ≠ 7.方程()12x x -=的解是A ．1x =- B. 2x =- C. 1212x x ==-， D.1212x x =-=，ABCD28.某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元.设这件衣服的进价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是A ．50%80%240x ⨯=· B.()150%80%240x +⨯=·C.24050%80%x ⨯⨯=D. ()150%24080%x +=⨯·9.学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC 剪下ABC △，展开即可得到一个五角星.如果想得到一个正五角星（如图④），那么在图③中剪下ABC △时，应使ABC ∠的度数为A.126°B. 108°C. 100°D. 90°10.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为A ．14 B. 13 C. 12 D. 3411.如图，反比例函数()0ky x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为A ．1 B. 2 C. 3 D. 412.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且 AF AB ⊥，若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A．B. 1C. 2.5D. 2.3内江市二O 一O 年高中阶段教育学校招生考试① ② ③ ④3及初中毕业会考试卷数学第Ⅱ卷（非选择题 共64分）注意事项：1.第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上.2.答题前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最后答案直接填在题中横线上.） 13.在一次演讲比赛中，某选手的得分情况如下：87、91、91、93、87、89、96、97，这组数据的中位数是_________.14.化简：2111x x x x x+++=--_________. 15.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.16.如图,圆内接四边形ABCD 是由四个全等的等腰梯形组成，AD 是O ⊙的直径，则BEC ∠为___________度. 三、解答题（本大题共5小题，共44分） 17．(7分)已知()1012cos 451201013a b c d π-⎛⎫==+=-= ⎪⎝⎭，°，，（1）请化简这四个数；（2）根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果.418．(9分)如图，ACD △和BCE △都是等腰直角三角形，90ACD BCE AE ∠=∠=°，交CD 于点F BD ，分别交CE AE 、于点.G H 、试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由.19．(9分)学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： （1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5~1小时”部分的扇形统计图的圆心角为______度； （2）本次一共调查了_________名学生； （3）将条形统计图补充完整；（4）若该校有2000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.520.（9分）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造. 如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A ，再在河这边沿河边取 两点B C 、，在点B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量 得BC 长为200米.请你求出该河段的宽度（结果保留根号）.21. （10分）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ （2）如果先进行精加工，然后进行粗加工.①试求出销售利润W 元与精加工的蔬菜吨数m 之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？6内江市二O 一O 年高中阶段教育学校招生考试及初中毕业会考试卷数学加试卷（共60分）注意事项：加试卷共4页，请将答案直接写在试卷上.一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最简答案直接填写在题中横线上.）1.已知2510m m --=，则22125m m m-+=___________. 2.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有___________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有___________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有___________个.3.已知非负数a b c ，，满足条件75a b c a +=-=，，设S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为___________.4.如图，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________.二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分.解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.） 5.（12分） 阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()()1122P x y Q x y ，、，的对称中心的坐标为1212.22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点()()120123P P -、，的对称中心是点A ，则点A 的坐 标为_________；7（2）另取两点()()1.62.110.B C --，、，有一电子青蛙从点1P 处开始依次关于点A B C 、、作循环对称跳动，即第一次跳到点1P 关于点A 的对称点2P 处，接着跳到点2P 关于点B 的对 称点3P 处，第三次再跳到点3P 关于点C 的对称点4P 处，第四次再跳到点4P 关于点A 的对称点5P 处，…则点38P P 、的坐标分别为_________、_________.拓展延伸：（3）求出点2012P 的坐标，并直接写出在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标.6.（12分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于 点.D（1）求证：AD 平分.BAC ∠ （2）若3 4.AC AE ==，①求AD 的值；②求图中阴影部分的面积.7.（12分）如图，抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点.（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明8理由.参考答案及评分意见会考卷（共100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．C 11．B 12．D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最后答案直接填在题中横线上.） 13．91 14．1x 15．7 16．309三、解答题（本大题共5小题，共44分） 17.解：（1）11()33n -==，2cos451212b =+=⨯+°1=，0(2010π)c =- 1=，11d == ·········································································································· 4分（2）a c ，为有理数，b d ，为无理数， ····································································· 5分311)a c bd ∴+-=+- ············································································ 6分 =4(21)3--= ······························································································ 7分18.解：猜测 AE BD AE BD =，⊥． ············································································· 2分理由如下：90ACD BCE ∠=∠=°，ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠，即.ACE DCB ∠=∠ ······································· 3分 ACD ∴△和BCE △都是等腰直角三角形. AC CD CE CB ∴==，， ···································································································· 4分 ACE DCB ∴△≌△． ·········································································································· 5分 AE BD ∴=， ························································································································ 6分 .CAE CDB ∠=∠ ················································································································ 7分 90AFC DFH DHF ACD ∠=∠∴∠=∠=，°． ···························································· 8分 AE BD ∴⊥． ······················································································································· 9分 19.解：（1）54 ······················································································································ 2分 （2）200 ······························································································································· 4分 ··············································································································································· 7分 （3）20005%100⨯=（人） ······································· 9分 20．解：过点A 作AD BC ⊥于点D . ···························· 1分据题意，90306045ABC ACD ∠=-=∠=°°°，°． ···· 2分45CAD ACD CAD ∴∠=∴∠=∠°，， AD CD ∴=，200.BD BC CD AD ∴=-=- ······································· 4分 在Rt ABD △中，tan ADABD BD∠=，tan (200)tan60)AD BD ABD AD AD ∴=∠=-=-··°．······························ 7分AD ∴=10300AD ∴==- ······················································································ 9分答：该河段的宽度为（300-.21．解：（1）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工， ········································ 1分根据题意得 12515140.x y x y +=⎧⎨+=⎩， ·························································································· 3分解得48.x y =⎧⎨=⎩，答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工. ······························································ 4分 （2）①精加工m 吨，则粗加工（140m -）吨，根据题意得20001000(140)W m m =+-=1000140000m + ····································································································· 6分 ②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，14010515m m-∴+≤ 解得 5m ≤ ········································································· 8分 05m ∴<≤ 又在一次函数1000140000W m =+中，10000k =>，W ∴随m 的增大而增大，∴当5m =时，5140000145000.W ⨯+=最大=1000 ·············································· 9分 ∴精加工天数为55÷=1，粗加工天数为(1405)159-÷=．∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元. ······· 10分 加试卷（共60分）一、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最简答案直接填在题中横线上.） 1．28 2．10，28，50 3．7 4二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分.解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.）5.解：（1）（1，1） ·············································································································· 2分（2）（5.21-，） ··············································································································· 4分（2，3） ······························································································································· 6分（3）1(01)P ，-→2(23)P ，→3( 5.21.2)P -，→4(3.2 1.2)P -，→5( 1.23.2)P -，→6(21)P -，→7(01)P -，→8(23)P ，…11∴7P 的坐标和1P 的坐标相同，8P 的坐标和2P 的坐标相同，即坐标以6为周期循环. 20126÷=335…2，2012P ∴的坐标与2P 的坐标相同，为2012(23)P ，； ···························································· 8分 在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标为()(20)10)(50)-，0，，，， ········································································· 12分 6.（1）证明：连接OD ，则OA OD =，DAO ODA ∴∠=∠. ···································· 1分 BC 是O ⊙的切线，.OD BC ∴⊥AC BC OD AC ∴⊥，∥， ·············································· 2分.CAD ODA ∴∠=∠DAO CAD AD ∴∠=∠∴，平分.BAC ∠ ························· 4分（2）①连结ED ，AE 为直径，90ADE C ∴∠=∠=°．又由（1）知DAO CAD ADE ACD ∠=∠∴，△∽△，···················································· 6分AD AC AE AD∴=， ······················································································································ 7分 34AC AE ==，，23412AD AE AC ∴==⨯=·，AD ∴= ··········································································································· 8分 ②在Rt ADE △中，cos 42AD DAE AE ∠=== 30DAE ∴∠=°． ·················································································································· 9分 120 2.AOD DE ∴∠==°，111222AOD ADE S S AD DE ∴==⨯=△△· ·································································· 10分 2120π24π.3603AOD S ⨯=扇形= ······························································································· 11分4π3AOD AOD S S S ∴-=-△阴影扇形= ············································································· 12分 7.解：（1）22223(23)(1)4y mx mx m m x x m x m =--=--=--，∴抛物线顶点M 的坐标为（1，4-m ） ·········································································· 2分 抛物线223(0)y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，∴当0y =时，2230mx mx m --=， 20230.m x x >∴--=，12 解得1213x x =-=，，A B ∴、两点的坐标为（10-，）、（30，）. ····································································· 4分（2）当0x =时，3y m =-，∴点C 的坐标为(03)m ，-.13(1)366.2ABC S m m m ∴=⨯--⨯-==△ ································································· 5分 过点M 作MD x ⊥轴于点D ，则12OD BD OB OD ==-=，，44.MD m m =-=BCM BDM OBC OCMD S S S S ∴=+-△△△梯形=111()222BD DM OC OM OD OB OC ++-··· =11124(34)133222m m m m ⨯⨯++⨯-⨯⨯ =3m. ····················································································································· 7分:1:2.BCM ABC S S ∴=△△ ····································································································· 8分 （3）存在使BCM △为直角三角形的抛物线.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则CMN △为Rt △，13CN OD DN OC m ====，，.MN DM DN m ∴=-=22221.CM CN MN m ∴=+=+在Rt OBC △中，222299BC OB OC m =+=+，在Rt BDM △中，2222416.BM BD DM m =+=+①如果BCM △是Rt △，且90BMC ∠=°，那么222CM BM BC +=， 即222141699m m m +++=+，解得m =，0m m >∴=， ∴存在抛物线222y x =-使得BCM △是Rt △； ······························· 10分 ②如果BCM △是Rt △，且90BCM ∠=°，那么222BC CM BM +=，即222991446m m m +++=+，。
2023年四川省成都市中考数学试卷(解析版)
2023年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）在3，﹣7，0，四个数中，最大的数是（）A．3B．﹣7C．0D．【分析】运用有理数大小比较的知识进行求解．【解答】解：∵﹣7＜0＜＜3，∴最大的数是3，故选：A．【点评】此题考查了有理数大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．2．（4分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A．3×108B．3×109C．3×1010D．3×1011【分析】运用科学记数法进行变形、求解．【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，故选：D．【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．3．（4分）下列计算正确的是（）A．（﹣3x）2＝﹣9x2B．7x+5x＝12x2C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵（﹣3x）2＝9x2，∴A选项的运算不正确，不符合题意；∵7x+5x＝12x，∴B选项的运算不正确，不符合题意；∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，∴C选项的运算正确，符合题意；∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，∴D选项的运算不正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．4．（4分）近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是（）A．26B．27C．33D．34【分析】根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：把这些数从小到大排列为：26，27，33，34，40，则这组数据的中位数是33．故选：C．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．5．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD 【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．【解答】解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，不合题意；B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分，符合题意；C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直，不合题意；D、错误．平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，不合题意；故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6．（4分）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式直接计算即可．【解答】解：∵卡片共6张，其中水果类卡片有2张，∴恰好抽中水果类卡片的概率是．故选：B．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）A．（x+4.5）＝x﹣1B．（x+4.5）＝x+1C．（x+1）＝x﹣4.5D．（x﹣1）＝x+4.5【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设木长x尺，根据题意可得：，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+x﹣6的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（）A．抛物线的对称轴为直线x＝1B．抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣6）C．A，B两点之间的距离为5D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大【分析】A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．【解答】解：A、把A（﹣3，0）代入y＝ax2+x﹣6得，0＝9a﹣3﹣6，解得a＝1，∴y＝x2+x﹣6，对称轴直线为：x＝﹣，故A错误；令y＝0，0＝x2+x﹣6，解得x1＝﹣3，x2＝2，∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；当x＝﹣时，y＝，故B错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）因式分解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．10．（4分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1＞y2（填“＞”或“＜”）．【分析】根据反比例函数的性质得出答案即可．【解答】解：∵y＝中k＝6＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键，反比例函数y＝，①当k＞0时，y随x的增大而减小，②当k＜0时，y随x的增大而增大．11．（4分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为3．【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．【解答】解：∵关于y轴对称，∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．故答案为：（﹣5，﹣1）．【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．13．（4分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，∴△BDC的面积：△BAC的面积＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：+2sin45°﹣（π﹣3）0+|﹣2|．（2）解不等式组：．【分析】（1）分别根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．【解答】解：（1）原式＝2+2×﹣1+2﹣＝2+﹣1+2﹣＝3；（2），解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x＞﹣4，所以原不等式组的解集为﹣4＜x≤1．【点评】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．15．（8分）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有300人，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量，再用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“文明宣传”的人数，进而补全条形统计图；（2）用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%＝300（人），“文明宣传”的人数为：300﹣60﹣120﹣30＝90（人），补全条形统计图如下：（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°×＝144°；答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．16．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）【分析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT＝AB•sin∠BAT＝1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT≈4.8（米），可得CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），而∠ADK＝45°，知DK＝AK＝2.6米，故CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2米．【解答】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：在Rt△ABT中，BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB•cos∠BAT＝5×cos16°≈4.8（米），∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四边形ATCK是矩形，∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK＝2.6米，∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），∴阴影CD的长约为2.2米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．17．（10分）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB 交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长．【分析】（1）结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等易证得∠ADE＝∠ACE＝∠BAC ＝∠B，再由等边对等角即可证得结论；（2）连接AE，易证得△ABC∽△ADE，根据已知条件，利用直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根据三角函数值可得AD＝2BD，再结合，CD＝3，AC＝3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的长度，从而得出AD，BC，AB的长度，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC；（2）解：如图，连接AE，∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴tan B＝＝2，∴AD＝2BD，∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD+CD＝BD+3，∵AD2+CD2＝AC2，∴（2BD）2+32＝（BD+3）2，解得：BD＝2或BD＝0（舍去），∴AD＝2BD＝4，AB＝＝＝2，BC＝2+3＝5，∵＝，∴＝，∴DE＝2．【点评】本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用三角函数值可得AD＝2BD，再根据勾股定理列得方程是解题的关键．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，求得反比例函数的表达式为y＝；（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根据两点间的距离的结论公式得到＝，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y＝4x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）解方程组求得E（﹣4，﹣1），根据相似三角形的性质得到∠PAB＝∠PDE，根据平行线的判定定理得到AB∥DE，求得直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，解方程组得到D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根据两点间的距离距离公式即可得到结论．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣x+5＝5，∴点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，∴a＝1，∴B（1，4），将B（1，4）代入y＝得，4＝，解得k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）设直线l与y轴交于M，直线y＝﹣x+5与x轴交于N，令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，∴N（5，0），∴OA＝ON＝5，∵∠AON＝90°，∴∠OAN＝45°，∵A（0，5），B（1，4），∴＝，∵直线l是AB的垂线，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，∴，∴M（0，3），设直线l的解析式为y＝k1x+b1，将M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，解得，∴直线l的解析式为y＝x+3，设点C的坐标为（t，t+3），∵•|x B﹣x C|＝，解得t＝﹣4或t＝6，当t＝﹣4时，t+3＝﹣1，当t＝6时，t+3＝9，∴点C的坐标为（6，9）或（﹣4，﹣1）；（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，将直线l与双曲线的解析式联立方程组，解得，或，∴E（﹣4，﹣1），画出图形如图所示，∵△PAB∽△PDE，∴∠PAB＝∠PDE，∴AB∥DE，∴直线AB与直线DE的一次项系数相等，设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，∴b2＝﹣5，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣5，∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点，∴解方程组得，或，∴D（﹣1，﹣4），则直线AD的解析式为y＝9x+5，解方程组得，，∴P（﹣，），∴，，∴m＝．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，∵3ab﹣3b2﹣2＝0，∴3ab﹣3b2＝2，∴ab﹣b2＝，当ab﹣b2＝时，原式＝．故答案为：．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．20．（4分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有6个．【分析】根据正面看与上面看的图形，得到搭成这个几何体底层4个，上面1层最多2个小正方体．【解答】解：根据俯视图发现最底层有4个小立方块，从主视图发现第二层最多有2个小立方块，故最多有4+2＝6（个）小立方块．故答案为：6．【点评】本题考查的是三视图知识，以及由三视图判断几何体，利用三视图判断得出几何体形状是解题关键．21．（4分）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳183名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）【分析】过O 作OD ⊥AB ，D 为垂足，可得到∠AOD ＝60°，所以∠AOB ＝120°，再求出S 阴影部分＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m 2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．【解答】解：过O 作OD ⊥AB ，D 为垂足，∴AD ＝BD ，OD ＝5m ，∵cos ∠AOD ＝＝＝，∴∠AOD ＝60°，AD ＝OD ＝5m ，∴∠AOB ＝120°，AB ＝10m ，∴S 阴影部分＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m 2），∴61×3＝183（人）．∴观看马戏的观众人数约为183人．故答案为：183人．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．22．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，将△DEC 沿DE 折叠得到△DEF ，DF 交AC 于点G ．若，则tan A ＝．【分析】过点G作GM⊥DE于M，证明△DGE∽△CGD，得出DG2＝GE×GC，根据AD∥GM，得＝＝，设GE＝3k，AG＝7k，EM＝3n，DM＝7n，则EC＝DE＝10n，在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中GM2＝GE2﹣EM2，则DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，解方程求得k，则k，GE＝3k，用勾股定理求得GM，根据正切的定义，即可求解．【解答】解：过点G作GM⊥DE于M，如图，∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴ED＝EC，∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠DGE＝∠CGD，∴△DGE∽△CGD，∴，∴DG2＝GE×GC，∵∠ABC＝90°，DE∥BC，∴AD⊥DE，∴AD∥GM，∴＝，∠MGE＝∠A，∵，∴，设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n，∴EC＝DE＝10n，∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn，在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2，在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2，∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2，即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2，解得：k，∴EM＝k，∵GE＝3k，∴GM＝＝＝k，∴tan A＝tan∠EGM＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了求正切，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．23．（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．【分析】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．【解答】解：根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，以此类推，当m＝6时，有4个智慧优数，同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，1+2+3+4+5+6＝21，又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的第22个智慧优数，当m＝9时，n＝5，第22个智慧优数为：92﹣52＝81﹣25＝56，第23个智慧优数，当m＝11时，n＝8，第23个智慧优数为：112﹣82＝121﹣64＝57，故答案为：15，57．【点评】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题．【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：，解得：，∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m≤36，∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与列式能力．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；（3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设B（x，y），则AB＝，AP＝4，BP＝，分两种情况讨论：当AB＝AP时，B（﹣4，﹣3）；当AB＝BP时，B（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；（3）设B（t，kt），C（s，ks），联立方程整理得x2+4kx﹣4＝0，根据根与系数的关系可知t+s＝﹣4k，ts＝﹣4，直线AB的解析式为y＝x+1，直线AC的解析式为y＝x+1，求出D（，m），E（，m），过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，则△DOG∽△OEK，再由＝，结合根与系数的关系整理得方程m2＝4（m﹣1）2，解得m＝2或m＝．【解答】解：（1）将P（4，﹣3）、A（0，1）代入y＝ax2+c，∴16a+1＝﹣3，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+1；（2）设B（x，y），∵P（4，﹣3），A（0，1），∴AB＝，AP＝4，BP＝，当AB＝AP时，4＝，∵y＝﹣x2+1，∴x＝4或x＝﹣4，∴B（﹣4，﹣3）；当AB＝BP时，＝，解得x＝﹣2+2或x＝﹣2﹣2，∴B（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；综上所述：B点坐标为（﹣4，﹣3）或（﹣2+2，﹣5+2）或（﹣2﹣2，﹣5﹣2）；（3）存在常数m，使得OD⊥OE始终成立，理由如下：设B（t，kt），C（s，ks），联立方程，整理得x2+4kx﹣4＝0，∴t+s＝﹣4k，ts＝﹣4，直线AB的解析式为y＝x+1，直线AC的解析式为y＝x+1，∴D（，m），E（，m），过D点作DG⊥x轴交于G点，过点E作EK⊥x轴交于K点，∵∠DOE＝90°，∴∠DOG+∠EOK＝90°，∵∠DOG+∠ODG＝90°，∴∠EOK＝∠ODG，∴△DOG∽△OEK，∴＝，∴m2＝﹣，∴m2＝4（m﹣1）2，解得m＝2或m＝．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．26．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E 是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得CE＝BF，即可求解；（2）①先证△ADN和△BDH是等腰直角三角形，可得AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，可求AD＝x，BD＝2x，通过证明△EDN∽△FDH，可求FH＝2NE，即可求解；②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）由题意可得点M在线段CD的垂直平分线上运动，由相似三角形的性质可求M'R ＝1，由勾股定理和相似三角形的性质可求RM″＝n，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：连接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，AD＝DB，∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；（2）①AE+BF＝AB，理由如下：过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝2x，∴AD＝x，BD＝2x，∴AB＝3x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝2NE，∴AE+BF＝x+NE+（2x﹣FH）＝2x＝AB；②如图4，当点F在射线BC上时，过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE+BF＝x+NE+（nx﹣FH）＝2x＝AB；当点F在CB的延长线上时，如图5，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形，∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x，∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DHCN是矩形，∴∠NDH＝90°＝∠EDF，∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD，∴△EDN∽△FDH，∴＝，∴FH＝nNE，∴AE﹣BF＝x+NE﹣（FH﹣nx）＝2x＝AB；综上所述：当点F在射线BC上时，，当点F在CB延长线上时，；（3）如图，连接CD，CM，DM，∵EF的中点为M，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴CM＝DM＝EF，∴点M在线段CD的垂直平分线上运动，如图，当点E'与点A重合时，点F'在BC的延长线上，当点E'与点C重合时，点F″在CB的延长线上，过点M'作M'H⊥F'C于R，∴M'R∥AC，∴＝，∴M'R＝1，F'R＝CR，设AN＝DN＝x，BH＝DH＝nx，∴AD＝x，BD＝nx，∴AB＝（n+1）x＝2，∴x＝，∵F'D＝BD＝nx，∴F'B＝2nx，∴CF'＝2nx﹣2，∴CR＝nx﹣1＝﹣1＝，由（2）可得：CD＝＝x•，DF″＝nDE″＝nx•，∴CF″＝（1+n2）x，∴CM″＝＝＝，∴RM″＝n，∴M″M'＝，∴点M运动的路径长为．【点评】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．。
2024年四川省成都市中考数学真题(解析版)
2024年四川省成都市中考数学A 卷（共100分）第I 卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1.﹣5的绝对值是（）A.5 B.﹣5C.15-D.15【答案】A 【解析】【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．【详解】解：|﹣5|=5．故选A ．2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形求解即可．【详解】解：该几何体的主视图为，故选：A ．3.下列计算正确的是（）A.()2233x x = B.336x y xy +=C.()222x y x y +=+ D.()()2224x x x +-=-【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可．【详解】解：A ．()2239x x =，原计算错误，故该选项不符合题意；B ．3x 和3y 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；C ．()2222x y x y xy +=++，原计算错误，故该选项不符合题意；D ．()()2224x x x +-=-，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D ．4.在平面直角坐标系xOy 中，点()1,4P -关于原点对称的点的坐标是（）A.()1,4-- B.()1,4- C.()1,4 D.()1,4-【答案】B 【解析】【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．【详解】解：点()1,4P -关于原点对称的点的坐标为()1,4-；故选：B ．5.为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（）A.53B.55C.58D.64【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可．【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64，∴这组数据的中位数是：5555552+=，故选：B ．6.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是（）A.AB AD= B.AC BD ⊥ C.AC BD = D.ACB ACD∠=∠【答案】C 【解析】【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AC BD =，AD BC ∥，则ACB DAC ∠=∠，∴选项A 中AB AD =不一定正确，故不符合题意；选项B 中AC BD ⊥不一定正确，故不符合题意；选项C 中AC BD =一定正确，故符合题意；选项D 中ACB ACD ∠=∠不一定正确，故不符合题意，故选：C ．7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出12钱，会多出4钱；每人出13钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x ，琎价为y ，则可列方程组为（）A.142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩B.142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C.142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D.142133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可．【详解】解：设人数为x ，琎价为y ，根据每人出12钱，会多出4钱可得出1y x 42=-，每人出13钱，又差了3钱．可得出133y x =+，则方程组为：142133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故选：B ．8.如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A.ABE CBE ∠=∠B.5BC =C.DE DF= D.53BE EF =【答案】D 【解析】【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC ∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．第II 卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.若m ，n 为实数，且()240m ++=，则()2m n +的值为______．【答案】1【解析】【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m 、n 值，进而代值求解即可．【详解】解：∵()240m +=，∴40m +=，50n -=，解得4m =-，5n =，∴()()22451m n +=-+=，故答案为：1．10.分式方程132x x=-的解是____．【答案】x=3【解析】【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x ﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．考点：解分式方程11.如图，在扇形AOB 中，6OA =，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为______．【答案】4π【解析】【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．【详解】解：由题意得 AB 的长为π120π64π180180n r ⨯==，故答案为：4π12.盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则xy的值为______．【答案】35【解析】【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是38，可得38x x y =+，进而利用比例性质求解即可．【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是38，∴38x x y =+，则35x y =，故答案为：35．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，得到AC A C '=，A A l '⊥，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，再利用勾股定理求A O '即可．【详解】解：取点A 关于直线l 的对称点A '，连A O '交直线l 于点C ，连AC ，则可知AC A C '=，A A l '⊥，∴PO PA PO PA A O ''+=+≥，即当,,O P A '三点共线时，PO PA +的最小值为A O '，∵直线l 垂直于y 轴，∴A A x '⊥轴，∵()3,0A ，()0,2B ，∴3,4AO AA '==，∴在Rt A AO '中，5A O '===，故答案为：5三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：()02sin60π20242+︒--+-．（2）解不等式组：2311123x x x+≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩①②【答案】（1）5；（2）29x -≤<【解析】【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．（1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可；（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：（1()02sin6020242π+︒--+42122=+⨯-+-5=+5=；（2）解不等式①，得2x ≥-，解不等式②，得9x <，∴该不等式组的解集为29x -≤<．15.2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线x亲子互动慢游线48园艺小清新线y根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有______人，表中x 的值为______：（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．【答案】（1）160，40（2）99︒（3）385【解析】【分析】本题考查统计表和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）根据选择“亲子互动慢游线”的人数及其所占的百分比可求得调查总人数，再根据选择“世界公园打卡线”对应的圆心角是90︒可求解x 值；（2）由360︒乘以选择“国风古韵观赏线”所占的百分比可得答案；（3）先求得选择“园艺小清新线”的人数，再由单位总人数乘以样本中选择“园艺小清新线”所占的比例求解即可．【小问1详解】解：调查总人数为4830160÷%=（人），选择“世界公园打卡线”的人数为9016040360⨯=（人），故答案为：160，40；【小问2详解】解：“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为4436099160︒⨯=︒；【小问3详解】解：选择“园艺小清新线”的人数为16044404828---=（人），∴该单位选择“园艺小清新线”的员工人数为282200385160⨯=（人）．16.中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺．在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为BC ；在冬至时，杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD ．已知73.4ACB ∠=︒，26.6ADB ∠=︒，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.50︒≈，sin73.40.96︒≈，cos73.40.29︒≈，tan73.4 3.35︒≈）【答案】9.2尺【解析】【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得BC 和BD ，结合题意利用平均数即可求得春分和秋分时日影长度．【详解】解：∵73.4ACB ∠=︒，杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺．∴tan ∠=AB ACB BC ，即82.393.35BC ≈≈，∵26.6ADB ∠=︒，∴tan AB ADB BD ∠=，即8160.50BD ≈=，∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．∴春分和秋分时日影长度为2.39169.22+≈．答：春分和秋分时日影长度9.2尺．17.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 上一点，以BD 为直径作O ，交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ，DF ．（1）求证：BC DF BF CE ⋅=⋅；（2）若A CBF ∠=∠，tan 5BFC ∠=，45AF =CF 的长和O 的直径．【答案】（1）见详解；（2536．【解析】【分析】（1）先证明EBC DBF ∽，然后利用对应边成比例，即可证明；（2）利用EBC DBF ∽，知道EBC DBF ∠=∠，从而推出CBF EBA ∠=∠，结合A CBF ∠=∠，知道A EBA ∠=∠，推出AE BE =，接下来证明BFC ABC ∠=∠，那么有tan tan BFC ∠=∠，即CB AC CF BC==不妨设CF x =，代入求得CF 的长度，不妨设EF y =，在Rt CEB △和Rt CFB △中利用勾股定理求得EF 和BF 的长度，最后利用tan tan CEB FDB ∠=∠，求得DF 的长度，然后在利用勾股定理求得BD 的长度．【小问1详解】BD Q 是O 的直径90BFD C∴∠=︒=∠又CEB FDB∠∠= EBC DBF∴ ∽EC CB DF FB∴=BC DF BF CE⋅=⋅∴【小问2详解】由（1）可知，EBC DBF∽EBC DBF∴∠=∠EBC FBE DBF FBE∴∠-∠=∠-∠CBF EBA∴∠=∠A CBF∠=∠ A EBA∴∠=∠AE BE∴=A CBF∠=∠ 9090A CBF∴︒-∠=︒-∠ABC CFB∴∠=∠tan BFC ∠=tan tan BFC ∠∴=∠CB ACCF BC∴==不妨设CF x =，那么CB =AF ==x ∴=CF ∴=，5CB ===不妨设EF y =，那么AE AF EF y BE=-=-=在Rt CEB △中，CE EF CF y =+=，5CB =，BE y=-222(5)y y ∴++=y ∴=EF ∴=在Rt CFB △中，CF =，5BC =BF ∴===CEB FDB∠∠= tan tan CEB FDB∴∠=∠CB BF CE DF ∴=DF=DF ∴=BD ∴===∴O 的直径是故答案为：CF =，O 直径是．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形相似的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+与直线2y x =相交于点()2,A a ，与x 轴交于点(),0B b ，点C 在反比例函数()0k y k x=<图象上．（1）求a ，b ，m 的值；（2）若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，求点C 的坐标和k 的值；（3）过A ，C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ，点E 与点D 关于y 轴对称．若有且只有一点C ，使得ABD △与ABE 相似，求k 的值．【答案】（1）4a =，6m =，6b =（2）点C 的坐标为()4,4-或()4,4-，16k =-（3）1-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设(),C t s ，根据平行四边形的性质，分当OA 为对角线时，当OB 为对角线时，当OC 为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可；（3）设点(),0D x ，则(),0E x -，0x <，利用相似三角形的性质得2AB BE BD =⋅，进而解方程得2x =-，则()2,0D -，利用待定系数法求得直线AC 的表达式为2y x =+，联立方程组得220x x k +-=，根据题意，方程220x x k +-=有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可．【小问1详解】解：由题意，将()2,A a 代入2y x =中，得224a =⨯=，则()2,4A ，将()2,4A 代入y x m =-+中，得42m =-+，则6m =，∴6y x =-+，将(),0B b 代入6y x =-+中，得06b =-+，则6b =；【小问2详解】解：设(),C t s ，由（1）知()2,4A ，()6,0B 若O ，A ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况：当OA 为对角线时，则026040t s +=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =-⎧⎨=⎩，∴()4,4C -，则4416k =-⨯=-；当OB 为对角线时，则062004t s +=+⎧⎨+=+⎩，解得44t s =⎧⎨=-⎩，∴()4,4C -，则4416k =-⨯=-；当OC 为对角线时，依题意，这种情况不存在，综上所述，满足条件的点C 的坐标为()4,4-或()4,4-，16k =-；【小问3详解】解：如图，设点(),0D x ，则(),0E x -，0x <，若ABD EBA △∽△，则AB BD BE AB =，即2AB BE BD =⋅，∴()()()()22264066x x -+-=+-，即24x =，解得2x =±，∵0x <，∴2x =-，则()2,0D -，设直线AC 的表达式为y px q =+，则2420p q p q +=⎧⎨-+=⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的表达式为2y x =+，联立方程组2y x k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得220x x k +-=，∵有且只有一点C ，∴方程220x x k +-=有且只有一个实数根，∴2402k +==∆，解得1k =-；由题意，ABD ABE ∽V V 不存在，故满足条件的k 值为1-．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.如图，ABC CDE △≌△，若35D ∠=︒，45ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为______．【答案】100︒##100度【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出45CED ACB ∠=∠=︒，再利用三角形内角和求出DCE ∠的度数即可．【详解】解：由ABC CDE △≌△，35D ∠=︒，∴45CED ACB ∠=∠=︒，∵35D ∠=︒，∴1801803545100DCE D CED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：100︒20.若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为______．【答案】7【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出2520n n -+=，5b m n a+=-=，从而得到252n n =-，再将原式利用完全平方公式展开，利用252n n =-替换2n 项，整理后得到m n 2++，再将5m n +=代入即可．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，∴2520n n -+=，5b m n a+=-=，则252n n =-∴()22m n +-244m n n =+-+5244m n n =+--+2m n =++52=+7=故答案为：721.在综合实践活动中，数学兴趣小组对1n 这n 个自然数中，任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究．发现：当2n =时，只有{}1,2一种取法，即1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，即2k =；当4n =时，可得4k =；……．若6n =，则k 的值为______；若24n =，则k 的值为______．【答案】①.9②.144【解析】【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n 为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n 值所对应k 值，找到变化规律求解即可．【详解】解：当2n =时，只有{}1,2一种取法，则1k =；当3n =时，有{}1,3和{}2,3两种取法，则2k =；当4n =时，有{}1,4，{}2,4，{}3,4，{}2,3四种取法，则243144k =+==；故当5n =时，有{}1,5，{}2,5，{}3,5，{}4,5，{}2,4，{}3,4六种取法，则426k =+=；当6n =时，有{}1,6，{}2,6，{}3,6，{}4,6，{}5,6，{}2,5，{}3,5，{}4,5，{}3,4九种取法，则2653194k =++==；依次类推，当n 为偶数时，()()2135314n k n n =-+-++++= ，故当24n =时，2242321195311444k =++++++== ，故答案为：9，144．22.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =______．【答案】1712+【解析】【分析】连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC BEC ∠=∠=∠，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，证明CBE CED ∽，利用相似三角形的性质和勾股定理得到232m x =+；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明CAB FBE ∽得到()()2212m x x =++，进而得到关于x 的一元二次方程，进而求解即可．【详解】解：连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =，∴112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC ∠=∠，∴2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，∵BE BC =，∴BEC ECB ∠=∠，则BEC EDC ∠=∠，又BCE ECD ∠=∠，∴CBE CED ∽，∴CE CB CD CE=，2CBE CED CAE ∠=∠=∠，∴()22242CE CD CB x x =⋅=+=+，则222232m EF CE CF x ==-=+；∵AD 是ABC 的一条角平分线，∴2CAB CAE CBE ∠=∠=∠，又90ACB BFE ∠=∠=︒，∴CAB FBE ∽，∴AC BC BF EF =∴221m x x m +=+，则()()2212m x x =++，∴()()()23212x x x +=++，即240x x --=，解得1712x +=（负值已舍去），故答案为：1712．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．23.在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =-+-图象上三点．若101x <<，24x >，则1y ______2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是______．【答案】①.>②.112m -<<【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由()224123y x x x =-+-=--+得抛物线的对称轴为直线2x =，开口向下，∵101x <<，24x >，∴1222x x -<-，∴12y y >；∵12m m m <+<+，11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，∴123x x x <<，∵存在132y y y <<，∴12x <，32x >，且()11,A x y 离对称轴最远，()22,B x y 离对称轴最近，∴132222x x x ->->-，即134x x +<，且234x x +>，∵132224m x x m +<+<+，232325m x x m +<+<+，∴224m +<且254m +>，解得112m -<<，故答案为：>；112m -<<．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24.推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A ，B 两种水果共1500kg 进行销售，其中A 种水果收购单价10元/kg ，B 种水果收购单价15元/kg ．（1）求A ，B 两种水果各购进多少千克；（2）已知A 种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A 种水果的最低销售单价．【答案】（1）A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克（2）A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，（1）设A 种水果购进x 千克，B 种水果购进y 千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可．（2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可．【小问1详解】解：设A 种水果购进x 千克，B 种水果购进y 千克，根据题意有：1500101517500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1000500x y =⎧⎨=⎩，∴A 种水果购进1000千克，B 种水果购进500千克【小问2详解】设A 种水果的销售单价为a 元/kg ，根据题意有：()()100014%120%100010a -≥+⨯⨯，解得12.5a ≥，故A 种水果的最低销售单价为12.5元/kg25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =-->与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．（1）求线段AB 的长；（2）当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；（3）延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB '' ．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）4AB =（2）10tan 3ABD ∠=（3）抛物线L '与L 交于定点()3,0【解析】【分析】（1）根据题意可得2230ax ax a --=，整理得2230x x --=，即可知()()1,0,3,0,A B -则有4AB =；（2）由题意得抛物线L ：()222314y x x x =--=--，则()1,4,C -设()2,23,D n n n --()03n <<，可求得2246ABD S n n =-++△，结合题意可得直线AD 解析式为()()31y n x =-+，设直线AD 与抛物线对称轴交于点E ，则()1,26E n -，即可求得21ACD S n =- ，进一步解得点720,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作DH AB ⊥于点H ，则220,39BH DH ==，即可求得tan DH ABD BH∠=；（3）设()2,23,D n an an a --可求得直线AD 解析式为()()31y a n x =-+，过点D 作DM AB ⊥，可得21,23AM n DM an an a =+=-++，结合题意得1,EM n =+()2,23,A n an an a -++'()24,23,B n an an a '+-++设抛物线L '解析式为()20y ax bx c a =++>，由于过点A '，B '可求得抛物线L '解析式为()22463y ax an a x an a =+--++，根据()22232463ax ax a ax an a x an a --=+--++解得3x =，即可判断抛物线L '与L 交于定点()3,0．【小问1详解】解：∵抛物线L ：()2230y ax ax a a =-->与x 轴交于A ，B 两点，∴2230ax ax a --=，整理得2230x x --=，解得121,3,x x =-=∴()()1,0,3,0,A B -则()314AB =--=；【小问2详解】当1a =时，抛物线L ：()222314y x x x =--=--，则()1,4,C -设()2,23,D n n n --()03n <<，则()221142324622ABD D S AB y n n n n =⋅=-⨯⨯--=-++ ，设直线AD 解析式为()1y k x =+，∵点D 在直线AD 上，∴()2231n n k n --=+，解得3k n =-，则直线AD 解析式为()()31y n x =-+，设直线AD 与抛物线对称轴交于点E ，则()1,26E n -，∴()()()2112641122ACD D A S CE x x n n n ⎡⎤=⋅-=⨯---⨯+=-⎣⎦ ，∵ACD 的面积与ABD △的面积相等，∴222461n n n -++=-，解得1271,3n n =-=，∴点720,39D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点D 作DH AB ⊥于点H ，则72203,339BH DH =-==，则10tan 3DH ABD BH ∠==；【小问3详解】设()2,23,D n an an a --直线AD 解析式为()11y k x =+，则()21231an an a k n --=+，解得13k an a =-，那么直线AD 解析式为()()31y a n x =-+，过点D 作DM AB ⊥，如图，则21,23AM n DM an an a =+=-++，∵AD DE =，∴1EM n =+，∵将ADB 沿DE 方向平移得到A EB '' ，()()1,0,3,0,A B -∴()()22,23,4,23,A n an an a B n an an a -+++-++''由题意知抛物线L 平移得到抛物线L '，设抛物线L '解析式为()20y ax bx c a =++>，∵点A '，B '都落在抛物线L '上∴()()2222232344an an a an bn c an an a a n b n c ⎧-++=++⎪⎨-++=++++⎪⎩，解得2463b an a c an a =--⎧⎨=+⎩，则抛物线L '解析式为()22463y ax an a x an a =+--++∵()22232463ax ax a ax an a x an a --=+--++整理得()133n x n +=+，解得3x =，∴抛物线L '与L 交于定点()3,0．【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．26.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．【初步感知】（1）如图1，连接BD ，CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究C ，D ，E 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．【答案】（1）BD CE 的值为35；（2）7039CF =；（3）直角三角形CDE 的面积分别为4，16，12，4813【解析】【分析】（1）根据3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．证明ADE ABC ≌，5AC AE ====，继而得到DAE BAC ∠=∠，DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠即CAE BAD ∠=∠，再证明CAE BAD ∽，得到35BD AB CE AC ==．（2）连接CE ，延长BM 交CE 于点Q ，根据(1)得CAE BAD ∽，得到ABD ACE ∠=∠，根据中线BM 得到1522BM AM CM AC ====，继而得到MBC MCB ∠=∠，结合90ABD MBC ∠+∠=︒，得到90ACE MCB ∠+∠=︒即90BCE ∠=︒，得到AB CQ ，再证明ABM CQM ≌，得证矩形ABCQ ，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．（3）运用分类思想解答即可．【详解】（1）∵3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．∴()SAS ADE ABC ≌，∴5AC AE ====，DAE BAC ∠=∠，∴DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠即CAE BAD ∠=∠，∵1AB AC AD AE==∴CAE BAD ∽，∴35BD AB CE AC ==．（2）连接CE ，延长BM 交CE 于点Q ，根据(1)得CAE BAD ∽，∴ABD ACE ∠=∠，∵BM 是中线∴1522BM AM CM AC ====，∴MBC MCB ∠=∠，∵90ABD MBC ∠+∠=︒，∴90ACE MCB ∠+∠=︒即90BCE ∠=︒，∴AB CQ ，∴,BAM QCM ABM CQM ∠=∠∠=∠，∵BAM QCM ABM CQM AM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BAM QCM ≌，∴BM QM =，∴四边形ABCQ 是平行四边形，∵90ABC ∠=︒∴四边形ABCQ 矩形，∴3,4,90AB CQ BC AQ AQC ====∠=︒，∴,3PQ CN EQ == ，∴313EP EQ PN QC ===，∴12PQ CN =，设,2PQ x CN x ==，则4AP x =-，∵903EPQ APD EQP ADP EQ AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴()AAS EQP ADP ≌，∴4AP EP x ==-，∵222EP PQ EQ =+，∴()22243x x -=+，解得78x =；∴2548AP x =-=，724CN x ==，∵,5PQ CN AC = ，∴APF CNF ∽，∴AP AF CN CF=，∴AP CN AF CF CN CF ++=，∴25758474CF +=，解得7039CF =．（3）如图，当AD 与AC 重合时，此时DEAC ⊥，此时CDE 是直角三角形，故()111·244222CDE S CD DE AC AD DE ==⨯-⨯=⨯⨯=；如图，当AD 在CA 的延长线上时，此时DEAC ⊥，此时CDE 是直角三角形，故()111·8416222CDE S CD DE AC AD DE ==⨯+⨯=⨯⨯= ；如图，当DE EC ⊥时，此时CDE 是直角三角形，过点A 作AQ EC ⊥于点Q ，∵5AE AC ==，∴12EQ QC EC ==，∵AQ EC ⊥，DE EC ⊥，DE AD ⊥，∴四边形ADEQ 是矩形，∴132AD EQ QC EC ====，∴6EC =，故11641222CDE S EC DE ==⨯⨯= ；如图，当DC EC ⊥时，此时CDE 是直角三角形，过点A 作AQ EC ⊥于点Q ，交DE 于点N ，∴12EQ QC EC x ===，NQ CD ∥，∴1EN EQ DN QC==，∴122DN EN DE ===，12QN DC =，∵,90AND ENQ ADN EQN ∠=∠∠=∠=︒，∴DAN QEN ∠=∠，∴tan tan DAN QEN ∠=∠，∴23QN DN EQ AD ==，∴23QN x =，∴4,23DC x CE x ==，∵222ED DC EC =+，∴()2224423x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴23613x =，解得13x =；故21144436482223331313CDE S EC DC x x x ==⨯⨯==⨯= ．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．。
四川成都中考数学试题解析版
四川省成都市2011年中考数学试卷—解析版一、选择题：（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求． 1、（2011?成都）4的平方根是（ ） A 、±16 B 、16 C 、±2 D 、2 考点：平方根。
专题：计算题。
分析：由于某数的两个平方根应该互为相反数，所以可用直接开平方法进行解答． 解答：解：∵4=（±2）2， ∴4的平方根是±2． 故选C ．点评：本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2、（2011?成都）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A 、B 、C 、D 、 考点：简单几何体的三视图。
专题：应用题。
分析：题干图片为圆柱，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：圆柱的主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆形． 故选D ．点评：本题考查了圆柱体的三视图，考查了学生的空间想象能了及解决问题的能力． 3、（2011?成都）在函数y =√1﹣2x 自变量x 的取值范围是（）A 、x≤12B 、x ＜12C 、x ≥12D 、x ＞12考点：函数自变量的取值范围。
专题：计算题。
分析：让被开方数为非负数列式求值即可． 解答：解：由题意得：1﹣2x≥0， 解得x≤12．故选A ．点评：考查求函数自变量的取值范围；用到的知识点为：函数有意义，二次根式的被开方数为非负数． 4、（2011?成都）近年来，随着交通网络的不断完善，我市近郊游持续升温．据统计，在今年“五一”期间，某风景区接待游览的人数约为万人，这一数据用科学记数法表示为（ ） A 、×104人 B 、×105人 C 、×104人 D 、×103人 考点：科学记数法—表示较大的数。
专题：计算题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 解答：解：∵万=203000， ∴203000=×105； 故选B ．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 5、（2011?成都）下列计算正确的是（ ） A 、x+x=x 2 B 、x?x=2x C 、（x 2）3=x 5 D 、x 3÷x=x 2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
2023年四川省成都市中考数学试卷
2023年四川省成都市中考数学试卷试题数：26.满分：150四个数中.最大的数是（）1.（单选题.4分）在3.-7.0. 19A.3B.-7C.0D. 192.（单选题.4分）2023年5月17日10时49分.我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施.深刻改变着人们的生产生活方式．目前.某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A.3×108B.3×109C.3×1010D.3×10113.（单选题.4分）下列计算正确的是（）A.（-3x）2=-9x2B.7x+5x=12x2C.（x-3）2=x2-6x+9D.（x-2y）（x+2y）=x2+4y24.（单选题.4分）近年来.随着环境治理的不断深入.成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好.杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33.27.34.40.26.则这组数据的中位数是（）A.26B.27C.33D.345.（单选题.4分）如图.在▱ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.则下列结论一定正确的是（）A.AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD6.（单选题.4分）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神.某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目.老师提供6张背面完全相同的卡片.其中蔬菜类有4张.正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张.正面分别印有草莓、西瓜图案.每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀.小明随机抽取一张.他恰好抽中水果类卡片的概率是（）A. 12B. 13C. 14D. 167.（单选题.4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木.不知长短.引绳度之.余绳四尺五寸；屈绳量之.不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木.绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木.长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺.则可列方程为（）A. 1（x+4.5）=x-12B. 1（x+4.5）=x+12C. 1（x+1）=x-4.52（x-1）=x+4.5D. 128.（单选题.4分）如图.二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于A（-3.0）.B两点.下列说法正确的是（）A.抛物线的对称轴为直线x=1.-6）B.抛物线的顶点坐标为（- 12C.A.B两点之间的距离为5D.当x＜-1时.y的值随x值的增大而增大9.（填空题.4分）因式分解：m2-3m=___ ．10.（填空题.4分）若点A（-3.y1）.B（-1.y2）都在反比例函数y= 6x的图象上.则y1___ y2（填“＞”或“＜”）．11.（填空题.4分）如图.已知△ABC≌△DEF.点B.E.C.F依次在同一条直线上．若BC=8.CE=5.则CF的长为 ___ ．12.（填空题.4分）在平面直角坐标系xOy中.点P（5.-1）关于y轴对称的点的坐标是 ___ ．13.（填空题.4分）如图.在△ABC中.D是边AB上一点.按以下步骤作图：① 以点A为圆心.以适当长为半径作弧.分别交AB.AC于点M.N；② 以点D为圆心.以AM长为半径作弧.交DB于点M′；③ 以点M′为圆心.以MN长为半径作弧.在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④ 过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21.则BECE的值为 ___ ．14.（问答题.12分）（1）计算：√4 +2sin45°-（π-3）0+|√2 -2|．（2）解不等式组：{2(x+2)−x≤5①4x+13＞x−1②．15.（问答题.8分）文明是一座城市的名片.更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼.于贴心处落地.积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动.其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”.每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况.该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生.将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息.解答下列问题：（1）本次调查的师生共有 ___ 人.请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中.求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生.若有80%的师生参加志愿者服务.请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．16.（问答题.8分）为建设美好公园社区.增强民众生活幸福感.某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷.便于社区居民休憩．如图.在侧面示意图中.遮阳篷AB长为5米.与水平面的夹角为16°.且靠墙端离地高BC为4米.当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时.求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28.cos16°≈0.96.tan16°≈0.29）17.（问答题.10分）如图.以△ABC的边AC为直径作⊙O.交BC边于点D.过点C作CE || AB交⊙O于点E.连接AD.DE.∠B=∠ADE．（1）求证：AC=BC；（2）若tanB=2.CD=3.求AB和DE的长．18.（问答题.10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.直线y=-x+5与y轴交于点A.与反比例函数y= kx的图象的一个交点为B（a.4）.过点B作AB的垂线l.（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上.且△ABC的面积为5.求点C的坐标；（3）P是直线l上一点.连接PA.以P为位似中心画△PDE.使它与△PAB位似.相似比为m.若点D.E恰好都落在反比例函数图象上.求点P的坐标及m的值．19.（填空题.4分）若3ab-3b2-2=0.则代数式（1- 2ab−b2a2）÷ a−ba2b的值为 ___ ．20.（填空题.4分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成.它的主视图和俯视图如图所示.则搭成这个几何体的小立方块最多有 ___ 个．21.（填空题.4分）为传承非遗文化.讲好中国故事.某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形.如图所示.其半径是10米.从A到B有一笔直的栏杆.圆心O到栏杆AB的距离是5米.观众在阴影区域里观看演出.如果每平方米可以坐3名观众.那么最多可容纳 ___ 名观众同时观看演出．（π取3.14. √3取1.73）22.（填空题.4分）如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.CD平分∠ACB交AB于点D.过D作DE || BC交AC于点E.将△DEC沿DE折叠得到△DEF.DF交AC于点G．若AGGE =73.则tanA=___ ．23.（填空题.4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m.n的平方差.且m-n＞1.则称这个正整数为“智慧优数”．例如.16=52-32.16就是一个智慧优数.可以利用m2-n2=（m+n）（m-n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列.则第3个智慧优数是 ___ ；第23个智慧优数是 ___ ．24.（问答题.8分）2023年7月28日至8月8日.第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主.热情迎嘉宾”.成都某知名小吃店计划购买A.B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元.购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A.B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克.其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍.当A.B两种食材分别购买多少千克时.总费用最少？并求出最少总费用．25.（问答题.10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知抛物线y=ax2+c经过点P（4.-3）.与y轴交于点A（0.1）.直线y=kx（k≠0）与抛物线交于B.C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形.求点B的坐标；（3）过点M（0.m）作y轴的垂线.交直线AB于点D.交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m.使得OD⊥OE始终成立？若存在.求出m的值；若不存在.请说明理由．26.（问答题.12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式.某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=BC.D是AB边上一点.且ADBD = 1n（n为正整数）.E是AC边上的动点.过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】AB.请写出证明过程．（1）如图1.当n=1时.兴趣小组探究得出结论：AE+BF= √22【深入探究】（2）①如图2.当n=2.且点F在线段BC上时.试探究线段AE.BF.AB之间的数量关系.请写出结论并证明；② 请通过类比、归纳、猜想.探究出线段AE.BF.AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论.不必证明）．【拓展运用】（3）如图3.连接EF.设EF的中点为M.若AB=2 √2 .求点E从点A运动到点C的过程中.点M 运动的路径长（用含n的代数式表示）．2023年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析试题数：26.满分：1501.（单选题.4分）在3.-7.0. 1四个数中.最大的数是（）9A.3B.-7C.0D. 19【正确答案】：A【解析】：运用有理数大小比较的知识进行求解．＜3.【解答】：解：∵-7＜0＜19∴最大的数是3.故选：A．【点评】：此题考查了有理数大小比较的能力.关键是能准确理解并运用以上知识．2.（单选题.4分）2023年5月17日10时49分.我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星.北斗系统作为国家重要基础设施.深刻改变着人们的生产生活方式．目前.某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A.3×108B.3×109C.3×1010D.3×1011【正确答案】：D【解析】：运用科学记数法进行变形、求解．【解答】：解：3000亿=3000×108=3×1011.故选：D．【点评】：此题考查了科学记数法的应用能力.关键是能准确理解并运用以上知识．3.（单选题.4分）下列计算正确的是（）A.（-3x）2=-9x2B.7x+5x=12x2C.（x-3）2=x2-6x+9D.（x-2y）（x+2y）=x2+4y2【正确答案】：C【解析】：利用幂的乘方与积的乘方的性质.合并同类项的法则.完全平方公式和平方差公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】：解：∵（-3x）2=9x2.∴A选项的运算不正确.不符合题意；∵7x+5x=12x.∴B选项的运算不正确.不符合题意；∵（x-3）2=x2-6x+9.∴C选项的运算正确.符合题意；∵（x-2y）（x+2y）=x2-4y2.∴D选项的运算不正确.不符合题意．故选：C．【点评】：本题主要考查了整式的混合运算.幂的乘方与积的乘方的性质.合并同类项的法则.完全平方公式和平方差公式.熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．4.（单选题.4分）近年来.随着环境治理的不断深入.成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好.杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI）：33.27.34.40.26.则这组数据的中位数是（）A.26B.27C.33D.34【正确答案】：C【解析】：根据中位数的定义即可得出答案．【解答】：解：把这些数从小到大排列为：26.27.33.34.40.则这组数据的中位数是33．故选：C．【点评】：此题考查了中位数.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后.最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好.不把数据按要求重新排列.就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．5.（单选题.4分）如图.在▱ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.则下列结论一定正确的是（）A.AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD【正确答案】：B【解析】：利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题．【解答】：解：A、错误．平行四边形的对角线互相平分.但不一定相等.不合题意；B、正确．因为平行四边形的对角线互相平分.符合题意；C、错误．平行四边形的对角线不一定垂直.不合题意；D、错误．平行四边形的对角相等.但邻角不一定相等.不合题意；故选：B．【点评】：本题考查平行四边形的性质.熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6.（单选题.4分）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神.某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目.老师提供6张背面完全相同的卡片.其中蔬菜类有4张.正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张.正面分别印有草莓、西瓜图案.每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀.小明随机抽取一张.他恰好抽中水果类卡片的概率是（）A. 12B. 13C. 14D. 16【正确答案】：B【解析】：根据概率公式直接计算即可．【解答】：解：∵卡片共6张.其中水果类卡片有2张.∴恰好抽中水果类卡片的概率是26=13．故选：B．【点评】：本题考查了概率公式.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.（单选题.4分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木.不知长短.引绳度之.余绳四尺五寸；屈绳量之.不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木.绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木.长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺.则可列方程为（）A. 12（x+4.5）=x-1B. 12（x+4.5）=x+1C. 12（x+1）=x-4.5D. 12（x-1）=x+4.5【正确答案】：A【解析】：设木长x尺.根据题意列出方程解答即可．【解答】：解：设木长x尺.根据题意可得：12(x+4.5)=x−1 .故选：A．【点评】：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程.正确得出等量关系是解题的关键．8.（单选题.4分）如图.二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于A（-3.0）.B两点.下列说法正确的是（）A.抛物线的对称轴为直线x=1B.抛物线的顶点坐标为（- 12.-6）C.A.B两点之间的距离为5D.当x＜-1时.y的值随x值的增大而增大【正确答案】：C【解析】：A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．【解答】：解：A、把A（-3.0）代入y=ax2+x-6得.0=9a-3-6.解得a=1.∴y=x2+x-6.对称轴直线为：x=- b2a =−12.故A错误；令y=0.0=x2+x-6.解得x1=-3.x2=2.∴AB=2-（-3）=5.∴A.B两点之间的距离为5.故C正确；当x=- 12时.y= 14−12−6=−254.故B错误；由图象可知当x ＞−12时.y的值随x值的增大而增大.故D错误．故选：C．【点评】：本题主要考查二次函数图象的性质.掌握二次函数图象的性质.对称轴的计算方法.函数最值的计算方法是解题的关键．9.（填空题.4分）因式分解：m2-3m=___ ．【正确答案】：[1]m（m-3）【解析】：直接找出公因式m.进而分解因式得出答案．【解答】：解：m2-3m=m（m-3）．故答案为：m（m-3）．【点评】：此题主要考查了提取公因式法分解因式.正确找出公因式是解题关键．10.（填空题.4分）若点A（-3.y1）.B（-1.y2）都在反比例函数y= 6x的图象上.则y1___ y2（填“＞”或“＜”）．【正确答案】：[1]＞【解析】：根据反比例函数的性质得出答案即可．中k=6＞0.【解答】：解：∵y= 6x∴在每个象限内.y随x的增大而减小.∵-3＜-1＜0.∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.能熟记反比例函数的性质是解此题的 . ① 当k＞0时.在每个象限内.y随x的增大而减小. ② 当k＜0时.在每关键.反比例函数y= kx个象限内.y随x的增大而增大．11.（填空题.4分）如图.已知△ABC≌△DEF.点B.E.C.F依次在同一条直线上．若BC=8.CE=5.则CF的长为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=8.计算即可．【解答】：解：∵△ABC≌△DEF.∴BC=EF.又BC=8.∴EF=8.∵EC=5.∵CF=EF-EC=8-5=3．故答案为：3．【点评】：本题考查的是全等三角形的性质.掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．12.（填空题.4分）在平面直角坐标系xOy中.点P（5.-1）关于y轴对称的点的坐标是 ___ ．【正确答案】：[1]（-5.-1）【解析】：根据关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数.纵坐标不变即可得出答案．【解答】：解：∵关于y 轴对称.∴横坐标互为相反数.纵坐标不变.∴点P （5.-1）关于y 轴对称的点的坐标是（-5.-1）．故答案为：（-5.-1）．【点评】：本题考查了关于x 轴.y 轴对称的点的坐标.掌握关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数.纵坐标不变是解题的关键．13.（填空题.4分）如图.在△ABC 中.D 是边AB 上一点.按以下步骤作图：① 以点A 为圆心.以适当长为半径作弧.分别交AB.AC 于点M.N ；② 以点D 为圆心.以AM 长为半径作弧.交DB 于点M′；③ 以点M′为圆心.以MN 长为半径作弧.在∠BAC 内部交前面的弧于点N′；④ 过点N′作射线DN ′交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4：21.则 BE CE 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 23【解析】：由作图知∠A=∠BDE .由平行线的性质得到DE || AC.证得△BDE∽△BAC .根据相似三角形的性质即可求出答案．【解答】：解：由作图知.∠A=∠BDE .∴DE || AC .∴△BDE∽△BAC .△BAC 的面积：△BDE 的面积=（△BDE 的面积+四边形ACED 的面积）：△BDE 的面积=1+四边形ACED 的面积：△BDE 的面积=1+ 214 = 254 .∴△BDC 的面积：△BAC 的面积=（ BE BC ）2= 425 .∴ BE BC = 25 .∴ BE CE = 23 ．故答案为： 23 ．【点评】：本题考查作图-复杂作图.相似三角形的性质和判定.平行线的判定和性质等知识.解题的关键是读懂图象信息.灵活运用所学知识解决问题．14.（问答题.12分）（1）计算：√4 +2sin45°-（π-3）0+| √2 -2|．（2）解不等式组：{2(x+2)−x≤5①4x+13＞x−1②．【正确答案】：【解析】：（1）分别根据算术平方根的定义.特殊角的三角函数值.零指数幂的定义以及绝对值的性质计算即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集.再求出它们的公共部分即可．【解答】：解：（1）原式=2+2× √22-1+2- √2=2+ √2 -1+2- √2=3；（2）{2(x+2)−x≤5①4x+13＞x−1②.解不等式① .得x≤1.解不等式② .得x＞-4.所以原不等式组的解集为-4＜x≤1．【点评】：本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组.掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．15.（问答题.8分）文明是一座城市的名片.更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼.于贴心处落地.积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动.其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”.每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况.该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生.将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息.解答下列问题：（1）本次调查的师生共有 ___ 人.请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中.求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生.若有80%的师生参加志愿者服务.请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．【正确答案】：300【解析】：（1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量.再用样本容量减去其他三个项目的人数.可得“文明宣传”的人数.进而补全条形统计图；（2）用360°乘“敬老服务”所占的百分比即可得出“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可．【解答】：解：（1）本次调查的师生共有：60÷20%=300（人）.“文明宣传”的人数为：300-60-120-30=90（人）.补全条形统计图如下：故答案为：300；=144°；（2）在扇形统计图中.求“敬老服务”对应的圆心角度数为：360°× 120300=360（名）.（3）1500×80%× 90300答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名．【点评】：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图.从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．16.（问答题.8分）为建设美好公园社区.增强民众生活幸福感.某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷.便于社区居民休憩．如图.在侧面示意图中.遮阳篷AB长为5米.与水平面的夹角为16°.且靠墙端离地高BC为4米.当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时.求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28.cos16°≈0.96.tan16°≈0.29）【正确答案】：【解析】：过A作AT⊥BC于T.AK⊥CE于K.在Rt△ABT中.BT=AB•sin∠BAT=1.4（米）.AT=AB•cos∠BAT≈4.8（米）.可得CK=AT=4.8米.AK=CT=BC-BT=4-1.4=2.6（米）.而∠ADK=45°.知DK=AK=2.6米.故CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2米．【解答】：解：过A作AT⊥BC于T.AK⊥CE于K.如图：在Rt△ABT中.BT=AB•sin∠BAT=5×sin16°≈1.4（米）.AT=AB•cos∠BAT=5×cos16°≈4.8（米）.∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°.∴四边形ATCK是矩形.∴CK=AT=4.8米.AK=CT=BC-BT=4-1.4=2.6（米）.在Rt△AKD中.∵∠ADK=45°.∴DK=AK=2.6米.∴CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2（米）.∴阴影CD的长约为2.2米．【点评】：本题考查解直角三角形的应用.解题的关键是掌握锐角三角函数的定义.求出相关线段的长度．17.（问答题.10分）如图.以△ABC的边AC为直径作⊙O.交BC边于点D.过点C作CE || AB交⊙O于点E.连接AD.DE.∠B=∠ADE．（1）求证：AC=BC；（2）若tanB=2.CD=3.求AB和DE的长．【正确答案】：【解析】：（1）结合已知条件.根据同弧所对的圆周角相等易证得∠ADE=∠ACE=∠BAC=∠B.再由等边对等角即可证得结论；（2）连接AE.易证得△ABC∽△ADE.根据已知条件.利用直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=∠ADC=90°.根据三角函数值可得AD=2BD.再结合.CD=3.AC=3+BD.利用勾股定理列得方程.求得CD的长度.从而得出AD.BC.AB的长度.再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解答】：（1）证明：∵∠ADE=∠ACE.∠ADE=∠B.∴∠B=∠ACE.∵CE || AB.∴∠BAC=∠ACE.∴∠B=∠BAC.∴AC=BC；（2）解：如图.连接AE.∵∠ADE=∠B.∠AED=∠ACB.∴△ADE∽△ABC.∴ AD AB = DEBC.∵AC为⊙O的直径.∴∠ADB=∠ADC=90°.∴tanB= ADBD=2.∴AD=2BD.∵CD=3.∴AC=BC=BD+CD=BD+3.∵AD2+CD2=AC2.∴（2BD）2+32=（BD+3）2.解得：BD=2或BD=0（舍去）.∴AD=2BD=4.AB= √AD2+BD2 = √42+22 =2 √5 .BC=2+3=5.∵ AD AB = DEBC.∴ 42√5 = DE 5 . ∴DE=2 √5 ．【点评】：本题主要考查圆与相似三角形的综合应用.（2）中利用三角函数值可得AD=2BD.再根据勾股定理列得方程是解题的关键．18.（问答题.10分）如图.在平面直角坐标系xOy 中.直线y=-x+5与y 轴交于点A.与反比例函数y= kx 的图象的一个交点为B （a.4）.过点B 作AB 的垂线l.（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上.且△ABC 的面积为5.求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点.连接PA.以P 为位似中心画△PDE .使它与△PAB 位似.相似比为m.若点D.E 恰好都落在反比例函数图象上.求点P 的坐标及m 的值．【正确答案】：【解析】：（1）解方程得到点A 的坐标为（0.5）.将B （a.4）代入y=-x+5得.4=-a+5.求得B （1.4）.将B （1.4）代入y= k x 得.求得反比例函数的表达式为y= 4x ； （2）设直线l 与y 轴交于M.直线y=-x+5与x 轴交于N.解方程得到N （S.0）.求得OA=ON=5.根据两点间的距离的结论公式得到 AB =√(1−0)2+(4−5)2 = √2 .求得M （0.3）.待定系数法求得直线l 的解析式为y=x+3.设点C 的坐标为（t.t+3）.根据三角形的面积公式列方程得到t=-4或t=6.求得点C 的坐标为（6.9）或（-4.-1）；（3）解方程组求得E （-4.-1）.根据相似三角形的性质得到∠PAB=∠PDE .根据平行线的判定定理得到AB || DE.求得直线DE 的解析式为y=-x-5.解方程组得到D （-1.-4）.则直线AD 的解析式为y=9x+5.于是得到P （- 14 . 114 ）.根据两点间的距离距离公式即可得到结论．【解答】：解：（1）令x=0.则y=-x+5=5.∴点A 的坐标为（0.5）.将B （a.4）代入y=-x+5得.4=-a+5.∴a=1.∴B （1.4）.将B （1.4）代入y= k x 得.4= k1 .解得k=4.∴反比例函数的表达式为y= 4x ；（2）设直线l 与y 轴交于M.直线y=-x+5与x 轴交于N.令y=-x+5=0得.x=5.∴N （5.0）.∴OA=ON=5.∵∠AON=90°.∴∠OAN=45°.∵A （0.5）.B （1.4）.∴ AB =√(1−0)2+(4−5)2 = √2 .∵直线l 是AB 的垂线.即∠ABM=90°.∠OAN=45°.∴ AB =BM =√2，AM =√AB 2+BM 2=2 .∴M （0.3）.设直线l 的解析式为y=k 1x+b 1.将M （0.3）.B （1.4）代入y=k 1x+b 1得. {k 1+b 1=4b 1=3. 解得 {k 1=1b 1=3. ∴直线l 的解析式为y=x+3.设点C 的坐标为（t.t+3）.∵ S △ABC =12AM •|x B -x C |= 12×2×|1−t |=5 .解得t=-4或t=6.当t=-4时.t+3=-1.当t=6时.t+3=9.∴点C的坐标为（6.9）或（-4.-1）；方法二：设点C的坐标为（t.t+3）. ∴BC= √(1−t)2+(4−t−3)2 =|1-t|.∴S△ABC= 12AB•BC = 12×2×|1−t| =5.∴t=-4或t=6.当t=-4时.t+3=-1.当t=6时.t+3=9.∴点C的坐标为（6.9）或（-4.-1）；（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线.∴点B的对应点也在直线l上.不妨设为E点.则点A的对应点为D.将直线l与双曲线的解析式联立方程组{y=4xy=x+3.解得. {x=1y=4或{x=−4y=−1 .∴E（-4.-1）.画出图形如图所示.∵△PAB∽△PDE.∴∠PAB=∠PDE.∴AB || DE.∴直线AB与直线DE的一次项系数相等. 设直线DE的解析式为y=-x+b2.∴-1=-（-4）+b2.∴b2=-5.∴直线DE的解析式为y=-x-5.∵点D在直线DE与双曲线的另一个交点.∴解方程组{y=4xy=−x−5得. {x=−1y=−4或{x=−4y=−1 .∴D （-1.-4）.则直线AD 的解析式为y=9x+5.解方程组 {y =9x +5y =x +3 得. {x =−14y =114 . ∴P （- 14 . 114 ）.∴ BP =√(−14−1)2+(114−4)2=54√2 . EP =√[−14−(−4)]2+[114−(−1)]2=154√2 .∴m= EP BP =3 ．【点评】：本题考查了反比例函数的综合题.待定系数法求函数的解析式.反比例函数的性质.勾股定理.相似三角形的判定和性质.正确的作出图形是解题的关键．19.（填空题.4分）若3ab-3b 2-2=0.则代数式（1-2ab−b 2a 2 ）÷ a−b a 2b 的值为 ___ ． 【正确答案】：[1] 23【解析】：先根据分式的减法法则进行计算.再根据分式的除法法则把除法变成乘法.算乘法.最后代入求出答案即可．【解答】：解：（1- 2ab−b 2a 2 ）÷ a−b a 2b =a 2−(2ab−b 2)a 2 • a 2b a−b = (a−b )2a 2 • a 2b a−b=b （a-b ）=ab-b 2.∵3ab -3b 2-2=0.∴3ab -3b 2=2.∴ab -b 2= 23 .当ab-b 2= 23 时.原式= 23 ．故答案为： 23 ．【点评】：本题考查了分式的化简求值.能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．20.（填空题.4分）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成.它的主视图和俯视图如图所示.则搭成这个几何体的小立方块最多有 ___ 个．【正确答案】：[1]6【解析】：根据正面看与上面看的图形.得到搭成这个几何体底层4个.上面1层最多2个小正方体．【解答】：解：根据俯视图发现最底层有4个小立方块.从主视图发现第二层最多有2个小立方块.故最多有4+2=6（个）小立方块．故答案为：6．【点评】：本题考查的是三视图知识.以及由三视图判断几何体.利用三视图判断得出几何体形状是解题关键．21.（填空题.4分）为传承非遗文化.讲好中国故事.某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形.如图所示.其半径是10米.从A到B有一笔直的栏杆.圆心O到栏杆AB的距离是5米.观众在阴影区域里观看演出.如果每平方米可以坐3名观众.那么最多可容纳 ___ 名观众同时观看演出．（π取3.14. √3取1.73）【正确答案】：[1]184【解析】：过O作OD⊥AB.D为垂足.可得到∠AOD=60°.所以∠AOB=120°.再求出S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB= 120π×102360 - 12×10 √3 ×5= 1003π-25 √3≈61（m2）.然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．【解答】：解：过O作OD⊥AB.D为垂足.∴AD=BD.OD=5m.∵cos∠AOD= ODOA = 510= 12.∴∠AOD=60°.AD= √3 OD=5 √3 m. ∴∠AOB=120°.AB=10 √3 m.∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB= 120π×102360 - 12×10 √3 ×5= 1003π-25 √3≈61.4（m2）.∴61.4×3=184（人）．∴观看马戏的观众人数约为184人．故答案为：184人．【点评】：本题考查的是垂径定理的应用.根据题意作出辅助线.构造出直角三角形是解答此题的关键.也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．22.（填空题.4分）如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.CD平分∠ACB交AB于点D.过D作DE || BC交AC于点E.将△DEC沿DE折叠得到△DEF.DF交AC于点G．若AGGE =73.则tanA=___ ．【正确答案】：[1] 3√77【解析】：过点G作GM⊥DE于M.证明△DGE∽△CGD.得出DG2=GE×GC.根据AD || GM.得AGEG = DMEM= 73.设GE=3k.AG=7k.EM=3n.DM=7n.则EC=DE=10n.在Rt△DGM中.GM2=DG2-DM2.在Rt△GME中 GM2=GE2-EM2.则 DG2-DM2=GE2-EM2.解方程求得n=34k.则EM=94k.GE=3k.用勾股定理求得GM.根据正切的定义.即可求解．【解答】：解：过点G作GM⊥DE于M.如图.∵CD平分∠ACB交AB于点D.DE || BC.∴∠1=∠2.∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴ED=EC.∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF.∴∠3=∠4.∴∠1=∠4.又∵∠DGE=∠CGD.∴△DGE∽△CGD.∴ DG CG =GEDG.∴DG2=GE×GC.∵∠ABC=90°.DE || BC. ∴AD⊥DE.∴AD || GM.∴ AG GE = DMEM.∠MGE=∠A.∵ AG GE =73.∴ DM EM =73.设GE=3k.EM=3n.则AG=7k.DM=7n.∴EC=DE=10n.∴DG2=GE×GC=3k×（3k+10n）=9k2+30kn. 在Rt△DGM中.GM2=DG2-DM2.在Rt△GME中.GM2=GE2-EM2.∴DG2-DM2=GE2-EM2.即9k2+30kn-（7n）2=（3k）2-（3n）2.解得：n=34k.∴EM= 94k.∵GE=3k.∴GM= √GE2−EM2 = √(3k)2−(94k)2= 3√74k.∴tanA=tan∠EGM= EMGM =94k3√74k= 3√77．故答案为：3√77．【点评】：本题考查了求正切.折叠的性质.勾股定理.平行线分线段成比例.相似三角形的性质与判定.熟练掌握以上知识是解题的关键．23.（填空题.4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m.n的平方差.且m-n＞1.则称这个正整数为“智慧优数”．例如.16=52-32.16就是一个智慧优数.可以利用m2-n2=（m+n）（m-n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列.则第3个智慧优数是 ___ ；第23个智慧优数是 ___ ．【正确答案】：[1]15; [2]57【解析】：根据新定义m2-n2.可以分别列出m2和n2的值.进而即可求解．。
2023年四川省成都市九年级下册中考数学真题卷
2023年成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数 学注意事项： 1. 全卷分A 卷和B 卷，A 卷满分100分，B 卷满分50分；考试时间120分钟. 2. 在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方. 考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.3. 选择题部分必须使用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效.5. 保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1. 在3，7 ，0，19四个数中，最大的数是（A ）3 （B ）7 （C ）0（D ）192. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（A ）8310 （B ）9310 （C ）10310 （D ）113103. 下列计算正确的是 （A ）22(3)9x x（B ）27512x x x（C ）22(3)69x x x（D ）22(2)(2)4x y x y x y4. 近年来，随着环境治理的不断深入，成都已构建起“青山绿道蓝网”生态格局．如今空气质量越来越好，杜甫那句“窗含西岭千秋雪”已成为市民阳台外一道靓丽的风景．下面是成都市今年三月份某五天的空气质量指数（AQI ）：33，27，34，40，26，则这组数据的中位数是 （A ）26 （B ）27 （C ）33 （D ）345. 如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则下列结论一定正确的是 （A ）AC BD（B ）OA OC（C ）AC BD（D ）ADC BCDO D CB A6. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）167. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，则可列方程为（A ）1( 4.5)12x x（B ）1( 4.5)12x x（C ）1(1) 4.52x x（C ）1(1) 4.52x x8. 如图，二次函数26y ax x 的图象与x 轴交于(3,0)A ，B 两点，下列说法正确的是 （A ）抛物线的对称轴为直线1x （B ）抛物线的顶点坐标为1(,6)2（C ）A ，B 两点之间的距离为5（D ）当1x 时，y 的值随x 值的增大而增大第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 因式分解：23m m ______．10. 若点1(3,)A y ，2(1,)B y 都在反比例函数6y x的图象上，则1y ______2y （填“ ”或“ ”）． 12. 如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 依次在同一条直线上．若8BC ，5CE ，则CF 的长为______．CFDEBA13. 如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点'M ；③以点'M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在BAC 内部交前面的弧于点'N ；④过点'N 作射线'DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BECE的值为______．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （本小题满分12分，每题6分）（102sin 45(3)2π ．（2）解不等式组：2(2)5,41 1.3x x x x ①②15. （本小题满分8分）文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：（1）本次调查的师生共有______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．CEN'M'B DM NA卫生服务宣传劝导项目交通劝导文明宣传敬老服务清洁卫生20%为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC 为4米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）17. （本小题满分10分）如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，B ADE ．（1）求证：AC BC ；（2）若tan 2B ，3CD ，求AB 和DE 的长．EE如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线5y x 与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x的图象的一个交点为(,4)B a ，过点B 作AB 的垂线l ．（1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C 在直线l 上，且△ABC 的面积为5，求点C 的坐标；（3）P 是直线l 上一点，连接P A ，以P 为位似中心画△PDE ，使它与△P AB 位似，相似比为m ．若点D ，E 恰好都落在反比例函数图象上，求点P 的坐标及m 的值．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19. 若23320ab b ，则代数式2222(1)ab b a ba a b的值为______． 20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有______个．第20题图 第21题图 第22题图21. 为继承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A 到B 有一笔直的栏杆，圆心O 到栏杆AB 的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳______名观众同时观看演出．（π取3.14，1.73）22. 如图，在Rt △ABC 中，90ABC ，CD 平分ACB 交AB 于点D ，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，将△DEC 沿DE 折叠得到△DEF ，DF 交AC 于点G ．若73AG GE ，则tan A ______． 23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653 ，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n 进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是______；第23个智慧优数是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. （本小题满分8分）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情应嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A ，B 两种食材制作小吃．已知购买1千克A 种食材和1千克B 种食材共需68元，购买5千克A 种食材和3千克B 种食材共需280元．（1）求A ，B 两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A 种食材千克数不少于B 种食材千克数的2倍，当A ，B 两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．EGFCBDA如图，在平面直角坐标系xOy 种，已知抛物线2y ax c 经过点(4,3)P ，与y 轴交于点(0,1)A ，直线y kx （0k ）与抛物线交于B ，C 两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；（3）过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD ⊥OE 始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．备用图探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt △ABC 中，90C ，AC BC ，D 是AB 边上一点，且1AD BD n（n 为正整数），E 是AC 边上的动点，过点D 做DE 的垂线交直线BC 于点F ． 【初步感知】（1）如图1，当1n时，兴趣小组探究得出结论：AE BF ，请写出证明过程． 【深入探究】（2）①如图2，当2n ，且点F 在线段BC 上时，试探究线段AE ，BF ，AB 之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE ，BF ，AB 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（3）如图3，连接EF ，设EF 的中点为M．若AB E 从点A 运动到点C 的过程中，点M 运动的路径长（用含n 的代数式表示）图1 图2 图3FE DBCAFEDBCA。