数学：4[1].2《直线、圆的位置关系》课件(10)(新人教版必修2)
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人教A版数学必修2课件：4.2.1直线与圆的位置关系
仿照点和圆位置关系的 判定，怎样判断直线和 圆的位置关系呢？
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法 判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交； 方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆相离. 直线与圆没有交点 半径r的大小关系
(d△ >r= ) 0 直线与圆相切； 1、相离 (2)
2 2
交于A, B两点.
x y 5 0 若弦长 A B 最大，则直线l的方程是2 ___________; x 2y 5 0 若弦长 A B 最短，则直线l的方程是___________.
【总一总★成竹在胸】
一、直线与圆的位置关系； 二、直线与圆的位置关系的判定； 三、直线与圆相交时弦长的求法。
(1)几何法：用弦心距d，半径r及 半弦构成直角三角形的三边
AB r d , d为弦心距，r为半径 2
2 2 2
y r
B
A
d O
x
(2)代数法：用弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k x1 x2 4x1 x2
2 2 2
1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关
相切 系为________ 2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的
相离 位置关系为________
3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0 相交 的位置关系为________
直线和圆相交时, 如何来求弦长呢？
三、直线与圆相交时弦长的求法：
1 1 AB 1 y1 y2 1 k k
2
2Leabharlann y1 y2 2
高中数学 第四章 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教
4.2.1 直线与圆的位置关系
[学习要求] 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2．会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． [学法指导]
通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大 小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌 握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思 想．通过判断直线与圆的方程组成的方程组的解的情况， 理解代数法也可以判断直线与圆的位置关系．
填一填·知识要点、记下疑难点
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交 相切 相离
公共点个数
2个 1个 0 个
几何法：设圆心到直
线的距离d＝
判
|Aa＋Bb＋C| A2＋B2
定
代数法：由
方 Ax＋By＋C＝0
法 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 如何表示导引中的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线 的方程？ 答 取10 km为单位长度．则受暗礁影响的圆形区域所对应的 圆心为O的圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在直线的方程 为4x＋7y－28＝0.
问题3 轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样 的数学问题？ 答 归结为圆与直线有无公共点，若有公共点则会触礁，若没 有公共点，则不会触礁．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 判定直线与圆的位置关系的方法 导引 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的 中心为圆心，半径为30 km的圆形区域．已知小岛中心位 于轮船正西70 km处，港口位于小岛中心正北40 km处．如 果这艘轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
[学习要求] 1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2．会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． [学法指导]
通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大 小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌 握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思 想．通过判断直线与圆的方程组成的方程组的解的情况， 理解代数法也可以判断直线与圆的位置关系．
填一填·知识要点、记下疑难点
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交 相切 相离
公共点个数
2个 1个 0 个
几何法：设圆心到直
线的距离d＝
判
|Aa＋Bb＋C| A2＋B2
定
代数法：由
方 Ax＋By＋C＝0
法 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方
研一研·问题探究、课堂更高效
问题2 如何表示导引中的圆的方程及轮船沿直线返港时的直线 的方程？ 答 取10 km为单位长度．则受暗礁影响的圆形区域所对应的 圆心为O的圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在直线的方程 为4x＋7y－28＝0.
问题3 轮船沿直线返港是否会有触礁危险的问题归结为怎样 的数学问题？ 答 归结为圆与直线有无公共点，若有公共点则会触礁，若没 有公共点，则不会触礁．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 判定直线与圆的位置关系的方法 导引 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的 中心为圆心，半径为30 km的圆形区域．已知小岛中心位 于轮船正西70 km处，港口位于小岛中心正北40 km处．如 果这艘轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
高中数学 人教A版必修2第四章4.2直线与圆的位置关系(共15张PPT)
y
3x+4y-2=0
3
O
5
x
课堂小结
谈谈你这节课学到了什么？
布置作业
已知圆C: (x – 1) 2 + ( y + 1 ) 2 = 1 和直线 l：k x – y + 2k – 2 = 0， （1）讨论直线l与圆C的位置关系； （2）当k=0.5时，求直线被圆截得的弦长； （3）当k=1时，求圆上点到直线的距离的最大值
谢谢
【思考2】 求过一定点的圆的切线方程一般有哪些方法？
【小结】求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的 方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然
后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点 到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令
的取值范围为_（__-_1_，__1_）_
变式2 求证:直线kx-y-k-2=0与圆x2+y2=8恒
y
有两个交点
变式3 直线kx-y-k-2=0与圆x2+y2=m恒有公共
点，则m的取值范围是O__5_,__ x
由直线与圆的三种位置关系引出三大类问题：
1
求弦长以 及弦的中 点问题
2
求圆的切 线方程的 问题
d＝r，进而求出k.
33 圆的切线方程问题
课后思考： 从点P(m,3)向圆 (x 2)2 ( y 2)2 1 引切线，则切线长最小值为_______
4 圆上的动点到直线的最大(小)距离
例4：一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环 行，它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=0 的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算 这个点到直线l的距离。
3x+4y-2=0
3
O
5
x
课堂小结
谈谈你这节课学到了什么？
布置作业
已知圆C: (x – 1) 2 + ( y + 1 ) 2 = 1 和直线 l：k x – y + 2k – 2 = 0， （1）讨论直线l与圆C的位置关系； （2）当k=0.5时，求直线被圆截得的弦长； （3）当k=1时，求圆上点到直线的距离的最大值
谢谢
【思考2】 求过一定点的圆的切线方程一般有哪些方法？
【小结】求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的 方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然
后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点 到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令
的取值范围为_（__-_1_，__1_）_
变式2 求证:直线kx-y-k-2=0与圆x2+y2=8恒
y
有两个交点
变式3 直线kx-y-k-2=0与圆x2+y2=m恒有公共
点，则m的取值范围是O__5_,__ x
由直线与圆的三种位置关系引出三大类问题：
1
求弦长以 及弦的中 点问题
2
求圆的切 线方程的 问题
d＝r，进而求出k.
33 圆的切线方程问题
课后思考： 从点P(m,3)向圆 (x 2)2 ( y 2)2 1 引切线，则切线长最小值为_______
4 圆上的动点到直线的最大(小)距离
例4：一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环 行，它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=0 的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算 这个点到直线l的距离。
高中数学人教A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系 课件
2.圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-
4F>0)
圆心为 (
D 2,Biblioteka E 2)1
半径为2
D2 E2 4F .
3.点 P(x0, y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 d | Ax0 By0 C |
的距离:___________A_2___B_2_______
与圆C相离、相切、相交？
变式变式训训练练
设点M(2,2)为圆x2＋y2=8上一点，如 何求过点M的圆的切线方程？
y
M
o
x
本节课你有哪些收获？
布置作业，自主探究
1、课本第132页习题4.2第1、3题
2、课后探究 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正 西70km处，受影响的范围是半径长30km 的圆形区域。已知港口位于台风中心正北 处，如果这艘轮船不改变航线，问：港口 至少离台风中心多远，轮船返回港口才能 不受台风的影响？
当 0时，直线与圆相离；
当 0时，直线与圆相切； 当 0时，直线与圆相交。
直线与圆的位置关系的判定方法：
2.几何法
位置
相离
相切
相交
d与r
d>r
d=r
d<r
图形
dr
dr
dr
交点
个数
0个
1个
2个
1、已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点 的圆C相切，求圆C的方程.
2、已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线 l
天海 涯上 共升 此明 时月
x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-
4F>0)
圆心为 (
D 2,Biblioteka E 2)1
半径为2
D2 E2 4F .
3.点 P(x0, y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 d | Ax0 By0 C |
的距离:___________A_2___B_2_______
与圆C相离、相切、相交？
变式变式训训练练
设点M(2,2)为圆x2＋y2=8上一点，如 何求过点M的圆的切线方程？
y
M
o
x
本节课你有哪些收获？
布置作业，自主探究
1、课本第132页习题4.2第1、3题
2、课后探究 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到 气象台的台风预报：台风中心位于轮船正 西70km处，受影响的范围是半径长30km 的圆形区域。已知港口位于台风中心正北 处，如果这艘轮船不改变航线，问：港口 至少离台风中心多远，轮船返回港口才能 不受台风的影响？
当 0时，直线与圆相离；
当 0时，直线与圆相切； 当 0时，直线与圆相交。
直线与圆的位置关系的判定方法：
2.几何法
位置
相离
相切
相交
d与r
d>r
d=r
d<r
图形
dr
dr
dr
交点
个数
0个
1个
2个
1、已知直线4x+3y-35=0与圆心在原点 的圆C相切，求圆C的方程.
2、已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线 l
天海 涯上 共升 此明 时月
高中数学人教A版必修2第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
(1)当Δ>0，即－2<b<2 时，直线与圆相交．
(2)当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切． (3)当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离．
9
高中数学人教版必修2课件
求圆的切线方程 例 2：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)
5
高中数学人教版必修2课件
(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0. 故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.
12 (1)当Δ>0，即 k<－ 5 时，直线与圆相交．
12 (2)当Δ＝0，即 k＝－ 5 时，直线与圆相切．
12 (3)当Δ<0，即 k>－ 5 时，直线与圆相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断， 若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直 线与圆相离．
3
高中数学人教版必修2课件
难点
圆的切线方程
求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关
系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线． 在求过圆外一点的切线时常用以下方法： (1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率； (2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率；
高中数学人教版必修2课件
4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1
高中数学人教版必修2课件
D
2．若直线 3x＋4y＋k＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则 k 的值等于( A ) A．1 或－19 C．－1 或－19 B．10 或－10 D．－1 或 19
高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2
2探 ：究 已 知 l： A 直 xB 线 yC0，C 圆 ： (xa)2(yb)2r2， 试 判l与 断C 圆 直 的线 位 置关系。
学法小结
l： 直 A x线 B yC0，C 圆 ： (xa)2 (yb)2r2的位置关系。
自我检测
已4知 x3直 y3线 50与 圆 心 在 的C 圆 相 切 ， C的 求方 圆程 。
典例精析
已 知 M(过 3， 3点 )的 直l倍 线圆 x2y2 4y210所 截 得 的4弦 5，长 求为 直 l的线 方程。
[家庭作业]
《考向标》P89－ P91
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 圆的一般方程； 3. 点 P0 (x0，y0)与圆 (x - a)2 + (y - b)2 = 1） 直 线l：y x 6， 圆C：x2 y2 2 y 4 0，试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点， 请求其坐标。 （2） 直 线l：3 x 4 y 2 0， 圆C：x2 y2 2x 0， 试 判 断 直 线l与 圆C的 位 置 关 系 ， 若 有 交 点， 请 求 其 坐 标 。 （3） 直 线l：3 x 4 y 6 0， 圆C：x2 y2 2 y 4 0， 试 判 断 直 线l与 圆C的 位 置 关 系 ， 若 有 交 点， 请 求 其 坐 标。
人教A版高中数学必修二课件第四章4.2.1直线与圆的位置关系(共36张PPT)
3.弦长问题 当直线和圆相交时,以公共点为端点的线段的长即为弦长,且 半弦长、圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.
类型一直线与圆的位置关系 【典型例题】 1.(2013·临沂高一检测)如果a2+b2=c21,那么直线ax+by+c
2
=0与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.相交或相切 2.(2013·安徽高考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共 点,则实数a取值范围是( ) A.[-3,-1]B.[-1,3] C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
30°，得|PO|＝2，
由可x得2＋y2＝4，
x＋y＝2 2
答案:() 2，2
x＝ 2， y＝ 2.
【互动探究】题2中将圆的方程改为x2＋y2－4x＋2y＋1=0，
其他条件不变，则切线方程又是什么？
【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，
当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx，则有 2 2k 1 ，
【易错误区】求直线的切线方程时，忽略切线斜率不存在的
情况
【典例】过点P(6,-8)与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方
程为
.
【解析】将圆的方程配方,得(x-1)2+(y-2)2=25,所以圆心
C(1,2),半径r=5.
易知点P(6,-8)在圆C外部,设切线方程为y+8=k(x-6),即kx-y-
2
圆的半径r=2，所以弦长为l= 2 r2 d2 2 4 2 2 2；
方法二：代数法：联立直线和圆的方程
y x
x，
高中数学 第4章 第24课时 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2
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24
由斜率公式，得 y1－y2＝k(x1－x2)． ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2x1－x22 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 1＋k2100kk22＋11－2k2－4·25kk2＋k－12＝4 5. 两边平方，整理得 2k2－5k＋2＝0，解得 k＝12或 k＝2 符合题意． 故直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
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11
3 新课堂·互动探究 考点一 直线与圆的位置关系 例 1 已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2－4x－2y ＋1＝0.当 m 为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
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12
分析：直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一 个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
＝ k(x － 4) ． 因 为 圆 心 C(3,1) 到 切 线 的 距 离 等 于 半 径 1 ， 所 以
|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，解得 k＝－185.
所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)， 即 15x＋8y－36＝0.
(2)若切线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线 x＝4 的距离也为 1，这
(3)当 Δ<0 时，即－43<m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公 共点．
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13
方法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2. 圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离 d＝|2m－11＋－mm2－1|＝ |m－2| 1＋m2.
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