数与式计算中的符号运算法则
数与式是高一哪一章知识点
数与式是高一哪一章知识点数与式是高一数学教材中的一章知识点，它是学习高中数学的基础，对于学生打好数学基础非常重要。
本文将从数与式的定义、运算法则和实际应用三个方面进行阐述。
一、数与式的定义数是指数学中的基本概念，用来表示事物的数量。
数可以分为自然数、整数、有理数和实数等。
而式是由数字、字母和运算符组成的符号集合，用来表示数与数的关系。
在数与式中，数是最基本的单位，式则是数的表达形式。
二、数与式的运算法则1. 加法与减法法则：数与式的加法与减法法则是我们常见的运算法则。
当两个数相加或相减时，只需按照数值的大小进行运算，然后保持原来的符号即可。
2. 乘法法则：数与式的乘法法则表示了两个数相乘的运算法则。
当两个数相乘时，将两个数的绝对值相乘，正负号由两个数的符号决定。
3. 除法法则：数与式的除法法则用来表示两个数相除的运算法则。
当两个数相除时，将两个数的绝对值相除，正负号由两个数的符号决定。
4. 开方法则：数与式的开方法则是指对一个数进行开方的运算法则。
开方是将一个数分解为两个相同的数的乘积。
若一个数为正数，则它有两个实数的平方根；若一个数为负数，则它没有实数的平方根，但可以使用虚数单位i表示。
三、数与式的实际应用数与式在实际生活中有着广泛的应用。
它们可以用来解决各种实际问题，例如计算距离、速度、时间等。
在科学领域，数与式也具有重要的应用价值，可以用来表示物理量、化学方程式等。
总结：数与式是高一数学中的重要知识点，它是数学学习的基础。
通过学习数与式的定义、运算法则和实际应用，学生可以掌握数学基本概念和运算技巧，为后续高中数学的学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真学习数与式，善于应用数与式解决实际问题，提高数学水平。
让我们一起努力，掌握好数与式这一章知识点！。
初中数学知识归纳数与式的计算
初中数学知识归纳数与式的计算初中数学知识归纳：数与式的计算数与式的计算是初中数学学科中的基础知识，也是日常生活和其他学科中常常会用到的技能。
本文将对初中数学中数与式的计算进行归纳总结，包括数的四则运算、整数运算、分数运算、乘方运算以及代数式的计算等内容。
一、数的四则运算数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法四种运算法则。
在进行数的四则运算时，首先需要注意运算法则的优先级，即先乘除后加减。
同时，还需注意进行运算时需要根据数的性质进行合理的变形，以简化计算过程。
例如：1. 计算：3 + 7 × 2 - 4 ÷ 2 = 3 + 14 - 2 = 152. 计算：6 × (3 + 4) - 2 × 5 = 6 × 7 - 2 × 5 = 42 - 10 = 32二、整数运算整数运算包括整数之间的加减乘除等运算。
在整数运算中，需要特别注意正数、负数之间的相互转化，以及乘积、商的符号与乘数、被除数及除数的符号之间的关系。
例如：1. 计算：(2 + 5) - (-3) + (-4) × (-2) = 7 - (-3) + 8 = 7 + 3 + 8 = 182. 计算：(-1) × (-2) ÷ (-4) = 2 ÷ (-4) = -0.5三、分数运算分数运算是指对分数进行加减乘除等运算。
在分数运算中，需要特别注意分数的化简和通分，以及加减乘除运算的规则。
例如：1. 计算：1/2 + 2/3 - 3/4 = 6/12 + 8/12 - 9/12 = 5/122. 计算：3/4 × 2/5 ÷ 1/2 = 6/20 ÷ 1/2 = 6/20 × 2/1 = 12/20 = 3/5四、乘方运算乘方运算是指将一个数进行多次乘法运算，其中的数称为底数，乘方数称为指数。
乘方运算的结果为底数的指数次幂。
高一数学课程教案数与式的计算与应用
高一数学课程教案数与式的计算与应用高一数学课程教案：数与式的计算与应用导言：数与式是数学中的基础概念和重要工具之一。
通过本节课的教学，旨在加深学生对数与式的理解，培养他们的计算思维和问题解决能力。
本教案将结合实际应用情境，通过数与式的计算与应用，引导学生探索数学的实际应用意义。
一、知识概述1. 数与式的基本概念数是人们用来计数、计量和比较事物多少的概念。
在数学中，我们用数字和符号表示数。
式是数的表示方式之一，它是由数字、运算符号和字母等组成的表达式。
2. 数与式的计算规则（1）数的加法和乘法运算a. 两个数的加法：如a + bb. 两个数的乘法：如a × b（2）式的合并与展开a. 合并式：将同类项合并，如a + b + a = 2a + bb. 展开式：将括号内的式展开，如(a + b) × c = ac + bc （3）运算的顺序a. 先乘除后加减b. 先计算括号内的式子c. 先计算乘方运算二、教学目标1. 知识目标（1）理解数与式的概念及其关系。
（2）掌握数与式的基本计算规则。
2. 能力目标（1）运用数与式的计算规则解决实际问题。
（2）发展学生的逻辑思维和分析问题的能力。
三、教学重点1. 数与式的概念及其关系。
2. 数与式的基本计算规则。
3. 实际问题的数与式的计算与应用。
四、教学内容及方法1. 概念讲解与拓展（1）通过实例引入数与式的概念。
（2）利用教学软件或板书讲解数与式的基本概念，并与学生一起讨论理解。
（3）展示一些实际问题，引导学生思考如何将问题转化为数与式的计算过程。
2. 计算规则的讲解与练习（1）使用彩色笔为学生展示数与式的计算规则。
（2）布置计算练习题，让学生进行练习。
鼓励学生采用不同的计算方法，培养他们的灵活思维。
3. 实际问题的探究与应用（1）引导学生通过实际问题探索数与式的应用。
（2）组织小组合作学习，让学生在小组内自主解决实际问题并进行讨论。
4. 总结与反思（1）让学生总结所学内容，归纳数与式的计算规则和应用方法。
第一单元《数与式》教案
学习必备欢迎下载余庆县实验中学九年级（下）数学教案上课时间20XX年月日（第周星期）总第课时备课人授课班级九（）班教学内容 1.1.实数的有关概念1、使学生复习巩固有理数、实数的有关概念；2、了解有理数、无理数以及实教学目标教学重点教学难点数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义；3、会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小；4、画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。
有理数、无理数、实数、非负数概念；相反数、倒数、数的绝对值概念；实数的分类，绝对值的意义，非负数的意义。
教学准备多媒体课件课堂教学程序设计设计意图一、【中考考点清单】考点 1：实数的相关概念（高频考点）1、正负数及其意义：2、数轴：规定了、和单位长度的直线叫做数轴 . 任何实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示 , 即实数与数轴上的点是一一对应的 .3、相反数：(1) 如果两个数只有不同,那么其中一个数叫做另一个数的相反数. 如２与 -2 互为相反数 ,-3 的相反数是 3．(2)一般地 , a 的相反数是 - a, 特别地 ,0 的相反数是 0; 如-2014 的相反数是2014；(3)若 a, b 互为相反数 , 则 a+b=0；(4)在数轴上 , 表示互为相反数 (0 除外 ) 的两个点 , 位于原点两侧 , 并且到原点的距离相等。
4、绝对值：(1)概念 : 一般地 , 数轴上表示 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 , 记作.(2)性质 :a ( a>0 ) 即│a│= 0 ( a=0 )-a ( a<0 )5、倒数 :实数 a（a≠0）的倒数为,特别地,0没有倒数,倒数是其本身的数是１或- １。
6、无理数：(1)概念 : 无限不循环小数叫做无理数．(2)常见的几种无理数 : ①根号型；②某些三角函数；③构造型；④π及某些含π的数；学习必备欢迎下载课堂教学程序设计设计意图考点 2实数及其分类１、实数 : 有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类（1）按定义分类：(2)按正负分类：考点 3：科学记数法（高频考点）1、科学记数法：把一个数记成± a×10n的形式（其中 1≤a<10， n 是整数）2、近似数和有效数字近似数：是指根据精确度取其接近准确数的值。
高一数学单元知识点专题讲解1---数与式的运算
【例 8】计算：
(1) ( a + b + 1)(1 − a + b ) − ( a + b )2
(2)
a
a
+
a − ab a + ab
解： 原式 (1) = (1 + b)2 − ( a )2 − (a + 2 ab + b) = −2a − 2 ab + 2 b + 1
【例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
3 (1)
2+ 3
11 (2) +
ab
(3) 2
x −
x3 +
8x
2
解： 原式 (1)
=
3(2 − 3)
3(2 − =
3) = 6 − 3 3
(2 + 3)(2 − 3) 22 − 3
原式 a + b a2b + ab2
(2) =
=
ab
ab
3/7
解：（ ）原式 1
= 43 + m3 = 64 + m3
（ ）原式 2
= (1 m)3 − (1 n)3 = 1 m3 − 1 n3
5
2 125 8
（ ）原式 3
= (a 2 − 4)(a 4 + 4a 2 + 42 ) = (a 2 )3 − 43 = a 6 − 64
（ ）原式 4
= (x + y)2 (x 2 − xy + y 2 )2 = [(x + y)(x 2 − xy + y 2 )]2
三、分式
4/7
专题01数与式的运算(解析版)-2021年初升高数学无忧衔接(人教A版2019)
专题01数与式的运算初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n n a 与()nn a 的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义 《高中课程要求》 1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂专题综述课程要求高中必备知识点1：绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232a a b b +++，22a b +等是无理式，而22212x x ++，222x xy y ++，2a 等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入知识精讲有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等．一般地，a x 与x ，a x b y +与a x b y -，a x b +与a x b -互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a b ab a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式2a 的意义2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像a b c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：典例剖析我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x = . 【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|x－3|+|x+4|=9的解是x=4或x=－5，∴不等式|x－3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简√a2+|a−b|−|b−a|.【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组{x+y=5+a4x−y=10−6a的解x、y的值的符号相同.(1)求a的取值范围；(2)化简：|2a+2|−2|a−3|.【答案】(1) −1<a<3；(2)4a−4.【解析】(1){x+y=5+a①4x−y=10−6a②，①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0，解得−1<a <3；(2)∵−1<a <3，∴当−1<a <3时，|2a +2|−2|a −3|=2a +2−2(3−a )=2a +2−6+2a =4a −4. 高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【答案】（1）3（2）4ab -8b 2【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4=5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab -4b 2=4ab -8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-【答案】（1）8 （2）－6x+13【解析】(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b. 【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ；（2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭． 高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2【答案】(1) 56-;(2)【解析】（1））×3﹣＝﹣＝﹣（2）x4﹣4x＝2x4x2x．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：═.2【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中【答案】2a a b -． 【解析】解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+ =()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+-- =2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a ba 2b -⋅-- =2a a b -， 当+3，-3时，原式22． 高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0． 【答案】21x x-,1. 【解析】解：原式＝()()()221-211121x x x x x x x x---=-+ 210x x +﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】 化简：22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2） 【答案】yx +21 【解析】 22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2） =2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+- =yx +21. 【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？ 【答案】43-. 【解析】解：∵112a b-=， ∴a -b=-2ab ，则2ab 2ab 44ab 7ab 3--=--+1．下列运算正确的是（ ） A ．2xy xy y -＝-x x y B ．3710+=C ．3x 3﹣5x 3＝﹣2D ．8x 3÷4x ＝2x 3 【答案】A对点精练解：A ，2()xy xy x xy y y x y x y==--- ，正确．B ，不正确．C ，3x 3﹣5x 3＝﹣2x 3，不正确．D ，8x 3÷4x ＝2x 2，不正确．故选：A ．2．下列计算结果正确的是（ ）A ．321222x x x +=---B ．235()x x =C ．5()xy -÷3()xy -=22x y -D ．22352x y xy xy -=- 【答案】A ∵321222x x x +=---， ∴选项A 计算正确；∵236()x x =，∴选项B 计算错误；∵5()xy -÷3()xy -=22x y ，∴选项C 计算错误；∵223,5x y xy -不是同类项，无法计算，∴选项D 计算错误；故选A3．若式子1x x +有意义，则下列说法正确的是（ ） A ．1x >-且0x ≠B ．1x >-C ．1x ≠-D ．0x ≠ 【答案】C解：由题意可知：10x +≠∴1x ≠-故选：C4．计算3311a a a ---的结果是（ ） A ．3 B ．0 C ．1a a - D ．11a - 【答案】A 解：3311a a a --- =331a a -- =3(1)1a a -- =3．故选A ．5．若||4=a ，||2b ，且+a b 的绝对值与相反数相等，则-a b 的值是（ ）A ．2-B ．6-C ．2-或6-D ．2或6【答案】C解：∵||4=a ，||2b ，∴4a =±，2b =±，∵+a b 的绝对值与相反数相等，∴+a b ＜0，∴4a =-，2b =±， 426a b -=--=-或422a b -=-+=-，故选：C ．6．设有理数a 、b 、c 满足(0)a b c ac >><，且c b a <<，则222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣的最小值是（ ）A ．2a c -B ．22a b c ++C ．22a b c ++D ．22a b c +- 【答案】C解：∵0ac <，∴a ，c 异号，∵a b c >>，∴0a >，0c <， 又∵c b a <<，∴0a b c c b a -<-<<<-<<， 又∵222a b b c a c xx x ++++++﹣﹣表示到2a b +，2b c +，2a c +-三点的距离的和， 当x 在2b c +时距离最小， 即222a b b c a c x x x ++++++﹣﹣最小，最小值是2a b +与2a c +-之间的距离，即22abc ++． 故选：C ．7．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc +++的所有可能的值为（ ）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，4【答案】D①a 、b 、c 均是正数，原式=1111+++=4；②a 、b 、c 均是负数，原式=1111----=4-；③a 、b 、c 中有一个正数，两个负数，原式=1111--+=0；④a 、b 、c 中有两个正数，一个负数，原式=1111+--=0；故选D ．8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3）个数是（用含n 的代数式表示）（ ）．A B C D【答案】C由图中规律知，前（n -1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n -1）＝n （n -1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3）个数的被开方数是：n （n -1）+n -3＝n 2-3，∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n -3故选：C ．9最接近的整数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B解：原式3，∵49<54<64，∴78<<，∵27.556.25=， ∴7547.5，7，3-最接近7-3即4，故选：B ．10．设a b 21b a-的值为（ ）A 1+B 1+C 1D 1 【答案】B∴a ，∴b ，∴21b a -， 故选：B ．11．若113-=a b ，则分式2322a ab b a ab b+-=--______﹒ 【答案】35解：113-=a b 两边都乘ab ，得： 3b a ab -=①2322a ab b a ab b+--- ()232a b ab a b ab-+=-- ()232a b ab a b ab-+=--② 将①代入②得：6333==3255ab ab ab ab ab ab -+---- 故答案为：35﹒12．若分式222x x x ---的值为零，则x 的值为_______． 【答案】1- 解：∵分式222x x x ---的值为零， ∴220x x --=且20x -≠，解方程得，11x =-，22x =； 解不等式得，2x ≠，∴1x =-故答案为：1-．13．已知整数a 满足13a ，则分式2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值为________． 【答案】15 2214a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭ =()()222a a a a a -⋅+- =12a +， 由题意0a ≠且240a -≠，所以0a ≠且2a ≠且2a ≠-，又∵整数a 满足13a， ∴3a =，当3a =时，原式=11325=+， 故答案为：15．14．计算2的结果等于_________．【答案】14-解：2222=-⨯122=-14=-故答案为：14-15．计算21)+=__．【答案】3解：原式21=+-3=．故答案为：3．16．化简：23a b=___________【答案】-解：要使该二次根式有意义，则有10 9ab->22033ab a b a b∴∴====-＜故答案为：-17____．1解：原式===1=．1．18．若有理数x ，y ，z 满足（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）＝36，则x +2y +3z 的最小值是_____．【答案】﹣8解：当x ＜﹣1时，|x +1|+|x ﹣2|＝﹣（x +1）﹣（x ﹣2）＝﹣2x +1＞3，当﹣1≤x ≤2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1﹣（x ﹣2）＝3，当x ＞2时，|x +1|+|x ﹣2|＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1＞3，所以可知|x +1|+|x ﹣2|≥3，同理可得：|y ﹣1|+|y ﹣3|≥2，|z ﹣3|+|z +3|≥6，所以（|x +1|+|x ﹣2|）（|y ﹣1|+|y ﹣3|）（|z ﹣3|+|z +3|）≥3×2×6＝36，所以|x +1|+|x ﹣2|＝3，|y ﹣1|+|y ﹣3|＝2，|z ﹣3|+|z +3|＝6，所以﹣1≤x ≤2，1≤y ≤3，﹣3≤z ≤3，∴x +2y +3z 的最大值为：2+2×3+3×3＝17，x +2y +3z 的最小值为：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．故答案为：﹣8．19．已知|2||1|9x x ++-=，则x y +的最小值为__．【答案】3-．|2||1|9x x ++-=|2||1||1||5|9x x y y ∴++-+++-=，|2||1|x x ++-可理解为在数轴上，数x 的对应的点到2-和1两点的距离之和；|1||5|y y ++-可理解为在数轴上，数y 的对应的点到1-和5两点的距离之和，∴当21x -，|2||1|x x ++-的最小值为3；当15y -时，|1||5|y y ++-的最小值为6， x 的范围为21x -，y 的范围为15y -，当2x =-，1y =-时，x y +的值最小，最小值为3-．故答案为：3-．20．已知式子|x+1|+|x ﹣2|+|y+3|+|y ﹣4|＝10，则x+y 的最小值是_____．【答案】4- 解：∴123410x x y y ++-+++-=，∴12x -≤≤，34y -≤≤，∴x y +的最小值为4-，故答案为：4-．21．（1）计算：1031(2)|2|(2)2-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭； （2）先化简，再求值：221224x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =-．【答案】（1）9；（2）24x +；5解：（1）原式1228=++9=-（2）原式()22422x x x x ⎛⎫=+- ⎪+-⎝⎭， (2)2(2)x x x =-++24x =+．当1x =-时，原式2(1)4=-+5=．221．【答案】3解：原式3= 33323=23．已知a ，b ，c 满足2|3|(5)0a c +-=，请回答下列问题：（1）直接写出a ，b ，c 的值．a =_______，b =_______，c =_______．并在数轴上表示．（2）a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，若点A 以每秒1个单位长度向右运动，点C 以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A ，C 两点相距几个单位长度．②几秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒解：（1）∵2|3|(5)0a c +-=，∴a +3=0，b -1=0，c -5=0，∴a =-3，b =1，c =5，数轴表示如下：（2）①由题意可得：1.5秒后，点A 表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，点C 表示的数为：5-3×1.5=0.5，0.5-（-1.5）=2，∴A ，C 两点相距2个单位长度；②设t 秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度，若点A 在点C 左侧，则-3+t +4=5-3t ，解得：t =1；若点A 在点C 右侧，则-3+t =5-3t +4，解得：t =3，综上：1秒或3秒后，A ，C 两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】（1）6；（2）-2，-1，0，1，2，3，4，理由见解析；（3）有最小值为3解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为：6；（2）令x -4=0或x +2=0时，则x =4或x =-2，当x ＜-2时，∴-（x -4）-（x +2）=6，∴-x +4-x -2=6，∴x =-2（范围内不成立）；当-2＜x ＜4时，∴-（x -4）+（x +2）=6，∴-x +4+x +2=6，∴6=6，∴x =-1，0，1，2，3；当x ＞4时，∴（x -4）+（x +2）=6，∴x -4+x +2=6，∴x =4（范围内不成立），∴综上所述，符合条件的整数x 有：-2，-1，0，1，2，3，4；（3）|x -3|+|x -6|表示数轴上到3和6的距离之和，∴当x 在3和6之间时（包含3和6），|x -3|+|x -6|有最小值3．25．（1）已知250x x -=，求代数式2210x x -（2）化简：226993x x x x x ++---．【答案】（1（2）33x -.解：（1）由已知得：25x x -=，∴原式()225x x =-==（2）原式2(3)(3)(3)3+=-+--x x x x x 333+=---x x x x 33x =-．26．先化简，再求值：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中x =【答案】1x x-解：222111x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ ()2122111x x x x x x -+-+=⨯+- ()()21111x x x x x -+=⨯+- 1x x-=．当x =55==． 27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为3-，计算“A B +”的结果；（2）若3a =+“A B -”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．【答案】（1）2223a a --+；（2）0．解：（1）()2246323A B a a a a +=++-+--2246323a a a a =+-+--2223a a =--+；（2）设污染的数字为m ，∴()()224623A B a a ma a -+-=+-- 224623a a ma a =+--+-2269a a ma =+--()223a ma =--∵3a =+∴()()223333a -=+=是整数 ∵A B -的结果是整数∴2ma 是整数∵(22312a =+=+m 是整数 ∴0m =即存在整数0满足题意．28．（1）计算：12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π（2）先化简再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =． 【答案】（1）2；（2）22x x -+，1 解：（1）12022011|3|tan 30(2021)2-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭︒π13212=-++--+ 131212=-++--+2=（2）2344111x x x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ 23(1)(1)111(2)x x x x x x +-+⎡⎤=-⋅⎢⎥+++⎣⎦=223(1)11(2)x x x x --+=⋅++ 2(2+)(2)11(2)x x x x x -+=⋅++ 22x x -=+，当2x =时，原式1==．29．已知2210a a +-=，求代数式242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的值． 【答案】22a a +，1 解：242a a a a⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭ 2242a a a a -=⨯- 2(2)(2)2a a a a a +-=⨯-22a a =+．∵2210a a +-=，∴221a a +=．∴原式221a a =+=．30．计算：（1）()()()345222a a a ⋅÷- （2）()3242(3)2a a a -⋅+-（3）34()()x y y x -⋅-（4）2201901(1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 【答案】（1）4a -；（2）6a ；（3）7()x y -；（4）9-．解：（1）()()()345222a a a ⋅÷-， = ()6810a a a⋅÷-，=6810a +--，=4a -； （2）()3242(3)2a a a -⋅+-，=24698a a a ⋅-，=6698a a -，=6a ； （3）34()()x y y x -⋅-，= 34()()x y x y -⋅-，（4）2 201901 (1)( 3.14)3π-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭，=119 -+-，=9-．。
专题一：数与式课件
总复习1—数与式（一）知识点1．数的分类0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎩正整数整数负整数有理数实数正分数分数负分数无理数——无线不循环小数0⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正数有理数正数分数无理数实数整数有理数负数分数无理数 2．有关概念：实数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、自然数、平方根、算术平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、同类二次根式、分母有理化（1）实数：有理数和无理数统称为实数 （2）有理数：整数和分数统称为有理数（3）无理数：无限不循环的小数叫无理数。
如：1.413……，，带且开方开不尽的数。
（4）数轴：规定原点、正方向、单位长度的直线。
（5）相反数：只有符号不同的两个数（6）绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。
绝对值意义：一个正数的绝对值等于它本身； 一个负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值等于零。
即=（7）倒数：如果两个数的积等于1，那么这两个数互为倒数（0没有倒数） （8）自然数：非负整数，如：0、1、2、3、4、…… （9）平方根、算术平方根：如果，那么x 叫做a 的平方根。
其中叫非负数a 的算术平方根平方根意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；零的平方根是零。
（10）非负数a 的正的平方根叫做a 的是算术平方根（11）立方根：如果= a，那么x叫做a的立方根x =（12）二次根式：式子(a0)叫做二次根式（13）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开放数中不能含有开得尽方的因数或因式②被开方数中不含有分母（14）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式（15）分母有理化：利用= a（a）和平方差公式将分母中的化去的过程叫分母有理化。
3．有理数加减乘除运算（1）有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
初中数与式知识点整理
初中数与式知识点整理数与式是数学学科中的重要基础知识，它们是数学思维、逻辑思维和推理能力的锻炼对象。
在初中数学学习中，数与式是我们必须要掌握的知识点之一。
本文将围绕初中数与式知识点展开，为大家系统整理相关内容。
一、数与式的基本概念和表示方法1. 数的概念：数是对事物数量的概括和表示。
数可以是自然数、整数、有理数、无理数和实数。
2. 式的概念：式是数与运算符号所组成的代数表达式。
式的基本组成部分有数字、变量、运算符号和符号间的关系。
3. 表示方法：a) 数的表示方法：使用阿拉伯数字进行表示，如1、2、3等。
b) 式的表示方法：使用数、运算符号和等号组成的表达式，如3+4=7。
c) 变量的表示方法：使用字母表示，如x、y等。
二、数与式的运算1. 加法和减法a) 加法运算：将两个数相加得到的结果称为和，加法运算可满足交换律和结合律。
b) 减法运算：从一个数中减去另一个数得到的结果称为差，减法运算没有交换律。
2. 乘法和除法a) 乘法运算：将两个数相乘得到的结果称为积，乘法运算可满足交换律和结合律。
b) 除法运算：将一个数除以另一个数得到的结果称为商，除法运算没有交换律和结合律。
3. 数的乘方和开方a) 乘方运算：将一个数自身连乘若干次称为乘方，乘方运算可满足指数法则。
b) 开方运算：将一个数的平方根或立方根等找出来，称为开方运算。
三、数与式的性质和性质的运用1. 数与式的性质a) 交换律：数的加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a×b=b×a。
b) 结合律：数的加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)。
c) 分配律：乘法对加法满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。
2. 性质的运用a) 同底数的幂相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。
b) 同底数的幂相除：a^m ÷ a^n = a^(m-n)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数与式计算中的符号运算法则
符号运算是数学中的一项重要内容，通过运用合适的法则和规则，能
够对含有符号的式子进行简化、求值和推导等操作。
本文将介绍常见的数
与式计算中的符号运算法则，包括加法、减法、乘法、除法和指数运算等。
一、加法法则
1.加法交换律：a+b=b+a，即变换加法顺序不改变结果。
2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即变换加法括号的位置不改变结果。
3.零元素：a+0=a，其中0为零元素。
二、减法法则
1.减法的定义：a-b=a+(-b)，即减法可转化为加法。
2.减法符号的传递：a-b=a+(-b)=a+(-1)·b。
三、乘法法则
1.乘法交换律：a·b=b·a，即变换乘法顺序不改变结果。
2.乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)，即变换乘法括号的位置不改
变结果。
3.乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c，即乘法可以分配到加法。
4.乘法幂法则：(a^m)·(a^n)=a^(m+n)，即同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
五、指数运算法则
1.幂的乘法法则：(a^m)·(a^n)=a^(m+n)，即同底数的幂相乘，底数
不变，指数相加。
2.幂的除法法则：(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，即同底数的幂相除，底数
不变，指数相减。
3.幂的幂法则：(a^m)^n=a^(m·n)，即幂的幂，底数不变，指数相乘。
4.幂的零幂法则：a^0=1，即任何非零数的0次幂都等于1
5.幂的负指数法则：a^(-n)=1/(a^n)，即负指数的幂等于底数的倒数
的正指数次。
六、除法法则
1.除法的定义：a/b=a·(1/b)。
2.除法的倒数法则：a/b=a·(1/b)=a·b^(-1)，即除法可转化为乘法。
以上是数与式计算中的常见符号运算法则。
在实际运用中，我们可以
根据这些法则对含有符号的式子进行化简、求值和推导等操作，从而达到
简化计算、推导结论和解决实际问题的目的。