3.3对数函数y=logax的图像和性质
对数函数图像及性质
小 小技巧：判断对数 log a b 与0的大小是
只要比较（a-1)(b-1)与0的大小
图 形
补充 性质 一 补充 性质 二
y
y=log 2 x
y=log 10 x
01
x
y=log 0.1 x
y=log 0.5 x
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴 对称。
函数图像在第一象限底数按顺时针方向越来越 大
比较两个对数值的大小.
㈠ 若底数为同一常数,则可由对数 函数的单调性直接进行判断. ㈡ 若底数为同一字母,则按对数函 数的单调性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借 助1、0、－1等中间量进行比较
想 一 想 ： 函 数 f(x)=log2(x2ax1)的 定 义 域 为 R，
比较下列两值大小
（4） log8 3.4 与 log23.4
y
我分析我发展
1.如图 ：曲线C1 ， C2 ，
C3 ， C4 分别为函数 y=logax， y=logbx，
o1
y=logcx， y=logdx，的
图像，试问a，b ，c，
d的大小关系如何？
c1 c2 x
c3 c4
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.
3
3
l o g 1 .5 6 ＜ l o g 1 .5 8
log2 m ＞ log2 n 则 m ＜ n
3
3
log1.5 m ＜ log1.5 n 则 m ＜ n
比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
提示 : log aa＝1
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
对数函数y=logax的图像与性质1
5.2 y=log2x的图像与性质安康中学马安成三维目标1.知识与技能（1）能利用列表描点等方法画出对数函数y=log2x和y=log1/2x的图像，掌握两个对数函数的性质.（2）了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数，了解其图像之间的关系.（3）了解运用现代信息技术学习、探索和解决问题.例如，利用几何画板画出对数函数的图像，探索、比较他们的变化规律，研究函数的性质等.2.过程与方法学生通过类比研究指数函数图像与性质的方法，采用多种方法动手作出对数函数y=log2x和y=log1/2x的图像，教师借助几何画板准确作出其对数函数的图像，利用数形结合思想和类比的方法总结归纳出两个对数函数的性质.3.情感、态度与价值观经历对数函数y=log2x和y=log1/2x的图像与性质的探究过程，学生深刻体会分类与整合，数形结合等数学思想，感受数学的对称美，和谐美，认识到现代信息技术在研究数学问题中所发挥的重要作用，激发学生学习的兴趣，培养学生观察、分析、归纳的思维能力和数学的应用意识.教学重点对数函数y=log2x和y=log1/2x的图像与性质.教学难点对数函数y=log2x和y=log1/2x的性质的总结和归纳.教学过程：1.新课导入：问题1：对数函数的概念？问题2：底数相同的指数函数和对数函数有什么关系？其图像之间有什么关系？问题3：研究指数函数的性质时，从哪里入手？运用了那些数学思想方法?今天我们借鉴研究指数函数的性质的方法，再结合指、对数函数的关系来探究特殊的两个对数函数的图像和性质.2.新课探究探究一：对数函数y=log2x和函数y=log1/2x的图像设计意图：学生先用列表描点法画出图像并且尝试总结两个函数的性质.学生活动：在坐标纸上用列表描点法画出两个函数图像，学生作好图后进行投影展示，学生互评，老师点评.教师活动：用几何画板展示y=log2x和y=log1/2x的图像，让学生自己修正自己所画的的图像，再试着总结性质.坐标纸1（作对数函数函数y=log2x和指数函数y=2x图像）坐标纸2（作对数函数函数y=log1/2x和指数函数y=(1/2)x的图像探究二：在同一个坐标系下作出对数函数y=log2x和指数函数y=2x图像，归纳函数y=log2x的性质设计意图：1.观察两个图像，体会和归纳图像之间的关系；2.类比指数函数的性质系统归纳对数函数y=log2x的性质.教师活动：1.用PPT投影指数函数y=2x和指数函数y=(1/2)x图像与性质2.用几何画板展示对数函数y=log2x和指数函数y=2x图像的对称变换学生活动：投影展示，总结对数函数y=log2x的性质.探究三：在同一个坐标系下作出对数函数y=log1/2x和指数函数y=(1/2)x图像，归纳函数y=log1/2x的性质设计意图：1.观察两个图像，体会和归纳图像之间的关系；2.类比指数函数的性质系统归纳对数函数y=log1/2x的性质.学生活动：1.投影展示，总结对数函数y=log1/2x的性质.2.系统归纳总结对数函数y=log2x和y=log1/2x的图像和性质，图 像性 质（1）定义域： （1）定义域： （2）值域：（2）值域：（3）过定点（ ） （3）过定点（ ）（4）x>1时， y___0; 0<x<1时，y___0.（4）x>1时， y___0; 0<x<1时，y___0.(5)单调性：(5)单调性： （6）奇偶性：（6）奇偶性：问题4：你能用几种方法做出函数y=log 1/2x 的图像？ 拓展与延伸问题5：通过两个具体的对数函数图像与性质的研究，试着谈谈对数函数中底数对函数的影响.学生活动：学生自己试着总结底数对函数图像的影响.教师活动：举例两个底数差距很小的对数函数y=log 0.9999x 和y=log 1.0001x,当x 取相同值时函数值差距很大.（设计意图：说明底数对函数有影响和德育教育） 3.课堂练习及检测：P94，2，3. 4.如右图所示:曲线（1），（2），（3），（4）分别是四个对数函数的图像，试着比较四个对数函数底数的大小.学生活动：先独立思考，再同桌之间交流.教师活动：通过多个对数函数图像让学生感受数学的对称美，和谐美. 4.课堂小结：（学生从知识，方法，思想三个角度自己谈谈收获，学生和老师补充.） 5.课外作业（1）书面作业：P98，A 组：2，3.（2）课外预习：5.3对数函数的图像和性质（3）课后探究：设a,b,c 均为正数，且2a =log 21a ,(21)b =log 21b ,(21)c =log 2c,试比较a,b,c 的大小关系. 课后反思及改进意见。
高中数学第4章对数运算与对数函数3对数函数3-1对数函数的概念3-3对数函数y=logax的图象和性
(2)已知对数函数f(x)的图象过点
1
4,
2
.
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
解 ①由题意设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),由函数图象过点
即
1
loga4= ,
2
1
所以2 =4,解得
a=16,故 f(x)=log16x.
②方程f(x)=2,即log16x=2,
所以x=162=256.
.
解析 ∵已知函数 f(x)=2log 1 x 的值域为[-1,1],
2
∴-1≤2log 1 x≤1,
2
即
1 -1
1 1
log 1 (2) ≤2log 1 x≤log 1 (2) ,
2
2
2
1
化简可得
2
≤x ≤2.再由 x>0
2
2
可得
2
≤x≤ 2,故函数 f(x)的定义域为[
2
,
2
2].
变式探究本例(1)中的函数变为
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0
性质 (5)在定义域(0,+∞)上是增函数
(5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
趋近于负无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于负 当x值趋近于0时,函数值趋近于正
规律方法
涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是
“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线
对数函数的图象和性质
安徽黄口中学 ： 陈华武
抽象概括 y=logax(0<a≠1)在底数 在底数a>1及0<a<1 在底数 及 这两种情况下的图象和性质总结如表3-10 这两种情况下的图象和性质总结如表
a>1
3
3
0<a<1
2.5 2 1.5
2.5
2
1.5
图 象
1
-1
1
1-111源自0.50.50
-0.5
比较下列各题中两个数的大小： 例5 比较下列各题中两个数的大小： (1)㏒25.3, ㏒24.7 ㏒ (2) ㏒ 0.27,㏒0.29 ㏒ (3) ㏒3 ∏ ,㏒∏ 3 ㏒ (4) ㏒a 3.1,㏒a5.2 ㏒ (a>0,a≠1)
1）因为2>1，函数y=㏒ x是增函数 是增函数， 解（1）因为2>1，函数y=㏒2 x是增函数， 5.3>4.7,所以 所以 ㏒25.3>㏒24.7; ㏒ （2）因为 ）因为0<0.2<1，函数 ㏒0.2x是减函 ，函数y=㏒ 是减函 数，7<9,所以 所以 ㏒ 0.27>㏒0.29; ㏒
比较下列各组中两个值的大小: 例3 比较下列各组中两个值的大小 ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . log aa＝1 提示: log a1＝0 提示 : 提示 ＝ 解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 ＞ ＝ log76＜log77＝1 ＜ ＝ ∴ log67＞log76 ＞ ∴ ⑵ ∵ log3π＞log31＝0 ＞ ＝ log20.8＜log21＝0 ＜ ＝ log3π＞log20.8 ＞
(3)因为函数 ㏒3x是增函数，∏>3 所以 因为函数y=㏒ 是增函数 是增函数， 因为函数 ㏒3 ∏ > ㏒3 3 =1, 同理1= 同理 ㏒∏∏>㏒∏3，所以 ㏒ ， ㏒3 ∏ >㏒∏ 3 ; ㏒ (4)(对数函数的增减性决定于对数的底数是 对数函数的增减性决定于对数的底数是 大于1还是小于 还是小于1.而已知条件中并未指出底 大于 还是小于 而已知条件中并未指出底 哪个大,因此需要对底数 进行讨论) 数a与1哪个大 因此需要对底数 进行讨论 与 哪个大 因此需要对底数a进行讨论 上为增函数， 当a>1时，函数 ㏒ax在(0, +∞)上为增函数， 时 函数y=㏒ 在 上为增函数 此时 , ㏒a 3.1<㏒a5.2 ㏒ 时函数y=㏒ 在 当0<a<1时函数 ㏒ax在(0, +∞)上为减函 时函数 上为减函 此时, 数，此时 ㏒a 3.1>㏒a5.2 ㏒
对数函数 对数函数的图像和性质
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
对数函数的图像与性质1221
Y
3
Y=log2x Y=lgx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
2 1
O -1 -2 -3
Y=log1/2x
其它性质：
（1）随着底数a的增大，图象在同一 象限内的位置按顺时针转。 （2）y=logax与y=log1/ax的图象关于 对称。
x轴
（3）对数函数是非奇非偶函数。
例4 求下列函数定义域：
x
y=㏒2X y=㏒3X y=㏒5X
… … … …
0.5 -1
1 0
1.5 2 0.58 1
3 1.58
4 2 1.26 0.86
… … … …
1000 … 9.73 … 6.29 4.29 … …
-0.63 0 -0.43 0
0.37 0.63 1 0.25 0.43 0.68
探究：选取底数 a (a ＞0，且 a≠1）的若干不同的值，在同一 平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观 察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
解
14C的半衰期
为5730年，所以建立方程
1/2=e-5730r 解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数 C（t）=C0 e -0.000121 t 设发现Hammurbi 王朝木炭的时间（1950年）为t0 年，放射性物质的衰减速度是与质量成正比的，所以 C（t0）/C0= 4.09/6.68 于是 e -0.000121 t0 = 4.09/6.68 两边取自然对数，得-0.000121 t0 =㏑ 4.09- ㏑6.68, 解得 t0 ≈4050（年） 即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年。
课堂练习
• 求下列函数的定义域
y log2 ( x 1)
对数函数的图像和性质 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
a＜1.
x－4<x－2
解集为(4,+∞)
3.对数型函数的奇偶性和单调性
例 4.函数 f(x)＝log1 (x2－3x－10)的单调递增区间为( )
2
A．(－∞，－2)
B．(－∞，32)
C．(－2，3) 2
D．(5，＋∞)
[解析] 由题意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
∴函数f(x)为奇函数
若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( B )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(1，＋∞)
令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数， 又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1] 上恒大于零，当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
1
o1
x
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分 对称翻折到x轴上方
类型2 对数函数的性质
1.比较大小 例2.比较下列各组中两个值的大小:
(1) log25.3 , log24.7 y＝log2x在( 0,＋∞) 是增 函数.log25.3 > log24.7
(2) log0.27 , logo.29 y＝log0.2x在( 0,＋∞) 是减 函数.log0.27 > logo.29
②当 0＜a＜1 时，有12＜a，从而12＜ a＜1.
∴a 的取值范围是( 1
2
,1).
a＜(14. ).解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)．
①当 a①＞当1 时a＞，1有时xx－－a，＜有4212>>，00a＜此12时，无此解时无解 x－4>x－2
对数函数的图像和性质
函数研究思路
概念 图像 性质 应用
利用列表、描点、 利用列表、描点、连线画出具 体某几个函数图像后， 体某几个函数图像后，归纳总 结得到一般这类函数图像
二 规律总结
a
y
函数y=logax (a>0且a≠1)的图像和性质 函数 且 的图像和性质
a>1
0<a<1
y
图 像
x x 定义域 (0，+∞) ， 值域 R
∴ x > 2或x < −2 ∴ y = loga ( x − 4)定义域 (−∞,−2) U (2,+∞)
2
( 2) Q x + 2 > 0 ∴ x > −2 ∴ y = log a ( x + 2)定义域 ( −2,+∞ )
例2 比较下列各题中两个数的大小 解：) Q 2 > 1 (1
(1) log25.3 , log24.7 (2)log0.27 , log0.29 (3) log3π, logπ3 (4)loga3.1 loga5.2
对数函数的图像与性质
函数y=log x和y=log 和 一 知识回顾 函数
2
的图像和性质 0.5x的图像和性质
y=log0.5x
y=log2x y y
图 像
x
定义域（ 定义域（0,+∞） ） 值域 R
x
性 质增函数ຫໍສະໝຸດ 定点（ ） 即 定点（1,0） ,即 loga1=0 0<x<1,y<0 ; x>1,y>0 0<x<1,y>0 ;x>1,y<0 减函数
小结
函数y=log (a>0且 ≠1) 函数y=logax (a>0且a≠1)的图 像和性质 函数定义域求解方法规律总结 两个数大小比较方法规律总结
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3.3对数函数y=log a x 的图像和性质
1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.
2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。
log a y x = 1a > 1a <
图像
性质
（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R
（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数
（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R
（3）图像过定点：(1,0)
（4）在(0,)+∞上是减函数
3.指对数函数性质比较
图象特征
函数性质
共性 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）
0<a<1
自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢； a>1
自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1
图象上升趋势是越来越陡
函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极快；。