离散数学(命题逻辑)课后总结
离散知识点总结
本学期离散课程我们共学习了命题逻辑，一阶逻辑，集合的基本概念，二元关系和函数，图的基本概念，树等六章内容。
第一章命题逻辑在读取蕴含式时，如果前件为假，命题逻辑就为真。
重要等值式：分配律，德.摩根律，吸收律，蕴含等值式，由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式；由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。
N个命题变项，在简单合取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，称为极小项。
N个命题变项，在简单析取式中每个命题变项与其否定有且仅有一个出现一次，称为极大项。
若合取范式中的简单析取式全是极大项，则该合取范式称为主合取范式。
任一命题公式都有唯一的主合取范式。
最简展开式：包含最少运算。
推理定律：附加，化简，假言推理，拒取式，析取三段论，假言三段论，等价三段论，构造性二难构造证明法的技巧：附加前提证明法，归缪法。
难点：构造推理的证明。
原因：需要有一定的解题技巧性。
解决方法：深刻理解推理定律并记住，多加练习。
第二章一阶逻辑自由出现和约束出现无自由出现的个体变项简称闭式。
换名规则：将一个指导变项及其所在辖域中所有约束出现替换成公式中没有出现的个体变项符号。
用谓词公式处处代换命题公式，即代换实例。
量词否定等值式，量词辖域收缩与扩张等值式，量词分配等值式。
A为一谓词公式，若A具有Q1x1Q2x2….B，则称A是前束范式。
难点：前束范式的求取。
原因：解题往往要用多个定理和换名规则，较繁琐。
解决方法：熟练掌握定理和规则，多做题。
第三章集合的基本概念和运算幂等律，结合律，交换律，分配律，同一律，零律，排中律，矛盾律，吸收律，德摩根律双重否定律难点：集合关系的证明，集合的化简原因：运算较复杂解决方法：掌握算律，特别是德摩根律。
第四章二元关系和函数A上二元关系：全域关系EA；恒等关系IA；小于等于关系LA；整除关系DA；4.1~2定义域dom R 值域ran R4.3~4特殊的：若R只含有一个有序对，也满足传递关系（前提条件为假）自反闭包r(R) 对称闭包s(R) 传递闭包t(R)4.5哈斯图：利用偏序自反，反对称，传递性简化的关系图。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是一门重要的数学学科，它涉及到离散的对象和离散的结构，而不是连续的对象和结构。
以下是离散数学的几个重要知识点的总结：集合论- 集合：集合是由元素组成的对象的集合。
集合的运算包括并集、交集和差集等。
集合：集合是由元素组成的对象的集合。
集合的运算包括并集、交集和差集等。
- 子集和超集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集，反之则称后者为前者的超集。
子集和超集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集，反之则称后者为前者的超集。
- 幂集：一个集合的幂集是所有可能的子集构成的集合。
幂集：一个集合的幂集是所有可能的子集构成的集合。
逻辑- 命题：一个命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
命题：一个命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
- 逻辑运算：逻辑运算包括与、或、非等，用来连接和否定命题，构成复合命题。
逻辑运算：逻辑运算包括与、或、非等，用来连接和否定命题，构成复合命题。
- 真值表：用来列出复合命题在各种可能情况下的真值。
真值表：用来列出复合命题在各种可能情况下的真值。
关系- 关系：关系用来描述元素之间的联系。
关系可以是二元的或多元的。
关系：关系用来描述元素之间的联系。
关系可以是二元的或多元的。
- 等价关系：等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的关系。
等价关系：等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的关系。
- 偏序关系：偏序关系是一种满足自反性、反对称性和传递性的关系。
偏序关系：偏序关系是一种满足自反性、反对称性和传递性的关系。
- 图的表示：图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
图的表示：图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
图论- 连通性：图中的连通性用来描述图中顶点之间是否存在路径。
连通性：图中的连通性用来描述图中顶点之间是否存在路径。
- 最短路径：最短路径问题是寻找两个顶点之间最短路径的问题。
最短路径：最短路径问题是寻找两个顶点之间最短路径的问题。
离散数学(命题逻辑)
联结词运算规则
我们所学的5种基本联结词也称为逻辑 运算符，其运算顺序为： ┐，∧，∨，→，↔ 如果出现的基本联结词相同，又无括号 时，则按从左到右的运算顺序； 如果遇有括号时，不管出现的基本联结 词如何，都先进行括号中的运算。
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真值表
p p T F q
p
F T
T T F F
T F T F
而 (4)为排斥或. (4) 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨， 则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).
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四、联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义4 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q
的蕴涵式，记作pq ，并称 p是蕴涵式的前件， q为蕴涵
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主要内容
数理逻辑 集合论 代数结构 图论 组合分析初步 形式语言和自动机初步
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数理逻辑
莱 布 尼 兹
逻辑学是研究 推理的科学
数理逻辑用 数学方法研 究推理的一 门数学学科
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利用计算的方 法来代替人们 思维中的逻辑 推理过程
数理逻辑
------ 一套符号体系 + 一组规则 数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既 是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分 支。 是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。 其研究对象是对证明和计算这两个直观概 念进行符号化以后的形式系统。
抽不同抽不同牌的香烟牌的香烟11411420141013collegecomputersciencetechnologybupt谁养鱼英国人住在红色房屋英国人住在红色房屋瑞典人养狗瑞典人养狗丹麦人喝茶丹麦人喝茶绿色的房子在白色房子的左边绿色的房子在白色房子的左边绿色房屋的屋主喝咖啡绿色房屋的屋主喝咖啡抽抽pallmallpallmall香烟的屋主养鸟香烟的屋主养鸟黄色屋主抽黄色屋主抽dunhilldunhill位于最中间的屋主喝牛奶位于最中间的屋主喝牛奶挪威人住在第一间房屋挪威人住在第一间房屋10
高三离散数学知识点归纳
高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。
在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。
本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。
一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。
3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。
二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。
命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。
2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。
3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。
三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。
排列和组合分别具有不同的计算公式。
2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。
四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。
顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。
2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。
五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。
2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有并集、交集、补集等。
集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。
补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。
集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。
这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。
等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。
等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。
偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。
偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。
函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。
函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。
四、图论图是由顶点和边组成的结构。
图可以分为无向图和有向图。
图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学总复习-知识点
离散数学总复习第1章命题逻辑一、命题的判断例：1、仁者无敌！2、x+y<23、如果雪是红的，那么地球是月亮的卫星。
4、我正在说谎。
二、命题符号化例：1、蓝色和黄色可以调成绿色。
2、付明和杨进都是运动员。
3、刘易斯是百米游泳冠军或百米跨栏冠军。
4、李飞现在在宿舍或在图书馆。
5、只要天不下雨，我就步行上学校。
6、只有天不下雨，我才步行上学校。
7、并非只要你努力了，就一定成功。
三、主范式1、会等值演算；2、主合取和主析取范式的相互转换。
例：求命题公式P∨Q的主析取范式和主合取范式。
3、根据主范式进行方案的选择例1：某科研所要从3名科研骨干A,B,C中挑选1-2名出国进修，由于工作需要，选派需同时满足条件：（1）若A去，则C同去；（2）只有C不去，B才去；（3）只要C不去，则A或B就可以去。
问有哪些选派方案？例2：甲、乙、丙、丁四人有且仅有两个人参加比赛，下列四个条件均要满足：（1）甲和乙有且只有一人参加；（2）丙参加，则丁必参加；（3）乙和丁至多有一人参加；（4）丁不参加，甲也不会参加。
问哪两个人参加了比赛？四、简单的推理例1：如果明天天气好我们就去爬长城。
明天天气好。
所以我们去爬长城。
例3：课后习题16第2章谓词逻辑一、谓词逻辑中的命题符号化例：1、所有运动员都是强壮的2、并非每个实数都是有理数3、有些实数是有理数二、量词的辖域，约束变元换名、自由变元代替例：1、∀x(P(x)∨∃yR(x,y))→Q(x)2、∀x(P(x,z)∨∃yR(x,y))→Q(x)中量词的辖域，重名情况，改名等三、命题逻辑永真式的任何代换实例必是谓词逻辑的永真式。
同样，命题逻辑永假式的任何代换实例必是谓词逻辑的永假式。
例：1、(∀xP(x)→∃xQ(x))↔(⌝∀xP(x)∨∃xQ(x))2、(∀xP(x)→∃xQ(x))∧(∃xQ(x))→∀zR(z)))→(∀xP(x) →∀zR(z))1-2是永真式（重言式）3、⌝(∀xF(x) ∃yG(y)) ∧ ∃yG(y) 永假式（矛盾式）四、消量词例：个体域D={1,2}，对∀x∀y(P(x)→Q(y))消量词五、简单的前束范式会判断即可。
离散数学课后答案详解第二版
离散数学课后答案详解第二版离散数学课后答案详解第二版是一本重要的参考书，在学习离散数学的过程中能够提供很大的帮助。
下面就是本书中的一些重要知识点和解答，希望对各位读者有所帮助。
一、命题逻辑1.什么是命题？命题是用来陈述某个陈述语句真假的陈述句。
2.什么是合取和析取？合取是将两个命题连接起来，且要求两者同时成立，符号用“∧”表示；析取是也将两个命题连接起来，但是只要求其中一个成立即可，符号用“∨”表示。
3.什么是条件和双条件？条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假，符号用“→”表示；双条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假；同时后者为真则前者也为真，反之后者为假则前者也为假，符号用“↔”表示。
4.什么是命题公式？命题公式是用变量、命题连接词和括号构成的表达式，构成命题公式的常常为命题或者是一些常用的命题连接词。
二、谓词逻辑1.什么是一阶逻辑？一阶逻辑是对命题进行量化的扩展。
除了命题外，一阶逻辑还包括了“个体”和它们之间的关系，以及用于描述这些关系的“量词”。
2.什么是量词？量词包括“存在量词∃”和“全称量词∀”，前者表示存在至少一个使谓词成立的个体，后者表示所有个体都满足该谓词。
3.什么是命题函数？命题函数是将数学函数和逻辑命题符号相结合的一种新型命题符号。
4.什么是名词？名词是指代对象的标签，它是一般化的名词。
例如，女人是一般化的名词，梅丽莎是特定的名词。
三、集合论和图论1.什么是集合？集合是指具有某种共同特征而组成的元素的整体。
2.什么是集合的理论？集合的理论是关于集合的性质、关系和操作的一种抽象理论。
3.什么是图？图是用来描述一些个体之间的关系的工具，由节点和边构成。
其中节点表示个体，边表示个体之间的某种关系。
4.什么是路径？路径是指通过边连接一些节点的一系列节点。
四、树和排序1.什么是树？树是一种数据结构，它由一组节点和边构成。
节点可以包含数据，边用于连接节点并表示关系。
2.什么是排序？排序是一种对数据进行重新排列的操作，目的是使数据具有某种有序结构。
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离散数学（课件上习题）第一章例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。
⑴2是个素数。
⑵雪是黑色的。
⑶2013年人类将到达火星。
⑷如果a>b且b>c，则a>c 。
（其中a,b,c都是确定的实数）⑸x+y<5⑹请打开书！⑺您去吗？⑴⑵⑶⑷是命题例1-2.1 P：2是素数。
⌝P：2不是素数。
例1-2.2 P：小王能唱歌。
Q：小王能跳舞。
P∧Q：小王能歌善舞。
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。
（析取“∨”）例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。
（异或、排斥或。
即“⊽”）注意：P ⊽Q 与(P∧⌝Q)∨(Q∧⌝P ) 是一样的。
归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联结词，分别是：（1）否定“⌝”(2) 合取“∧”(3) 析取“∨”(4) 异或“⊽”(5) 蕴涵“→”(6) 等价“↔”例1-2.5：P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
P→Q：如果缺少水分，植物就会死亡。
P→Q：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”，“如果P则Q”。
也说成P是P→Q 的前件，Q是P→Q的后件。
还可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
以下是关于蕴含式的一个例子P：天气好。
Q：我去公园。
1.如果天气好，我就去公园。
2.只要天气好，我就去公园。
3.天气好，我就去公园。
4.仅当天气好，我才去公园。
5.只有天气好，我才去公园。
6.我去公园，仅当天气好。
命题1.、2.、3.写成：P→Q命题4.、5.、6.写成：Q→P例1-2.6：P：△ABC 是等边三角形。
Q ：△ABC是等角三角形。
P↔Q ：△ABC 是等边三角形当且仅当它是等角三角形。
课后练习：填空已知P∧Q为T，则P为( )，Q为( )。
已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。
已知P为F，则P∧Q为( )。
已知P为T，则P∨Q为( )。
已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。
已知P→Q为F，则P为( )，Q为( )。
已知P为F，则P→Q为( )。
已知Q为T，则P→Q为( )。
已知⌝P→⌝Q为F，则P为( )，Q为( )。
已知P为T，P→Q为T，则Q为( )。
已知⌝Q为T, P→Q为T，则P为( )。
已知P↔Q 为T ，P 为T , 则Q 为( ).已知P↔Q 为F ，P 为T , 则Q 为( ).P↔P 的真值为( ).P→P 的真值为( )。
1—3节例1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。
P：离散数学是有用的。
Q：离散数学是枯燥无味的。
该命题可写成：⌝ (⌝P∧Q)例2. 如果小张与小王都不去，则小李去。
P ：小张去。
Q ：小王去。
R ：小李去。
该命题可写成：(⌝P∧⌝Q)→R如果小张与小王不都去，则小李去。
该命题可写成：⌝(P∧Q)→R也可以写成：(⌝P∨⌝Q)→R例3. 仅当天不下雨且我有时间，才上街。
P：天下雨。
Q：我有时间。
R：我上街。
分析：由于“仅当”是表示“必要条件”的，既“天不下雨且我有时间”，是“我上街”的必要条件。
所以该命题可写成：R→(⌝P∧Q)例4. 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
P ：人犯我。
Q ：我犯人。
该命题可写成：(⌝P→⌝Q)∧(P→Q)或写成：P↔Q例5 .若天不下雨，我就上街；否则在家。
P：天下雨。
Q ：我上街。
R：我在家。
该命题可写成：(⌝P→Q)∧(P→R).注意：中间的联结词一定是“∧”，而不是“∨”，也不是“⊽”。
1—4节重言(永真)蕴涵式证明方法方法1.列真值表。
方法2.假设前件为真，推出后件也为真。
例如求证：((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) ⇒⌝A∨⌝B证明:设前件((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) 为真则((A∧B)→C)、⌝D、(⌝C∨D)均真，⌝D为T，则D为F⌝C∨D为T 得C为F((A∧B)→C )为T 得A∧B为F如果A为F，则⌝A为T，所以⌝A∨⌝B为T。
如果B为F，则⌝B为T，所以⌝A∨⌝B 为T。
∴((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) ⇒⌝A∨⌝B方法3.假设后件为假，推出前件也为假。
例如求证：((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) ⇒⌝A∨⌝B证明: 假设后件⌝A∨⌝B 为F, 则A 与B 均为T 。
1. 如C 为F ，则(A∧B)→C为F，所以前件((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) 为F 。
2. 如C 为T ，则⑴若D 为T ，则⌝D 为F ，所以前件((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) 为假；⑵若D为F，则⌝C∨D 为F ，所以前件((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) 为假。
∴((A∧B)→C)∧⌝D∧(⌝C∨D) ⇒⌝A∨⌝B重要的重言蕴涵式( 如教材第43 页所示)（课件中出现过多次，可不用记忆）I1. P∧Q⇒P I2. P∧Q⇒QI3. P⇒P∨Q I4. Q⇒P∨QI5. ⌝P⇒P→Q I6. Q⇒P→QI7. ⌝(P→Q)⇒P I8. ⌝(P→Q)⇒⌝QI9. P,Q ⇒P∧Q I10. ⌝P∧(P∨Q)⇒QI11. P∧(P→Q)⇒Q I12. ⌝Q∧(P→Q)⇒⌝PI13. (P→Q)∧(Q→R)⇒P→RI14. (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R)⇒RI15. A→B ⇒(A∨C)→(B∨C)I16. A→B ⇒(A∧C)→(B∧C)1—5节重要的等价公式（课件中出现多次，可不用记忆）⑴对合律⌝⌝P ⇔P ⑵幂等律P∨P⇔P P∧P⇔P⑶结合律P∨(Q∨R)⇔(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)⇔(P∧Q)∧R⑷交换律P∨Q⇔Q∨P P∧Q⇔Q∧P⑸分配律P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)⑹吸收律P∨(P∧Q)⇔P P∧(P∨Q)⇔P⑺底-摩根定律⌝(P∨Q)⇔⌝P∧⌝Q ⌝(P∧Q)⇔⌝P∨⌝Q⑻同一律P∨F⇔P P∧T⇔P ⑼零律P∨T⇔T P∧F⇔F⑽互补律P∨⌝P⇔T P∧⌝P⇔F ⑾P→Q ⇔⌝P∨Q⑿P→Q ⇔⌝Q→⌝P ⒀P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P)⒁P↔Q ⇔(⌝P∨Q)∧(P∨⌝Q) ⒂P↔Q ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q )例题1. 求证吸收律 P ∧(P ∨Q)⇔P证明 ： P ∧(P ∨Q)⇔ (P ∨F)∧(P ∨Q) (同一律)⇔P ∨(F ∧Q) (分配律)⇔P ∨F (零律)⇔P (同一律)例题2. 求证 (⌝P ∨Q)→(P ∧Q) ⇔P证明 (⌝P ∨Q)→(P ∧Q)⇔⌝(⌝P ∨Q)∨(P ∧Q) ( 公式E16)⇔ (⌝⌝P ∧⌝Q)∨(P ∧Q) ( 摩根定律)⇔ (P ∧⌝Q)∨(P ∧Q) ( 对合律)⇔P ∧(⌝Q ∨Q) ( 分配律)⇔P ∧T ( 互补律)⇔P ( 同一律)公式E16 ： P →Q ⇔⌝P ∨Q例题3.化简⌝(P ∧Q)→(⌝P ∨(⌝P ∨Q))解 原公式⇔⌝⌝(P ∧Q)∨((⌝P ∨⌝P)∨Q) (E16,结合)⇔(P ∧Q)∨(⌝P ∨Q) (对合律，幂等律)⇔(P ∧Q)∨(Q ∨⌝P) (交换律)⇔((P ∧Q)∨Q)∨⌝P (结合律)⇔Q ∨⌝P (吸收律)公式E16 ： P →Q ⇔⌝P ∨Q1-6.范式(Paradigm)例1. 求 P →Q 和P ↔Q 的 主析取范式方法一：真值表P →Q ⇔ m0∨m1∨m3⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧Q)∨(P ∧Q)P ↔Q ⇔m0∨m3⇔ (⌝P ∧⌝Q)∨(P ∧Q)方法Ⅱ ：用公式的等价变换⑴ 先写出给定公式的析取范式 A1∨A2∨...∨An 。
⑵ 为使每个Ai 都变成小项，对缺少变元的Ai补全变元，比如缺变元R ， 就用∧ 联结永真式(R ∨⌝R) 形式补R 。
⑶ 用分配律等公式加以整理。
P →Q ⇔⌝P ∨Q⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q))∨((P ∨⌝ P)∧ Q)⇔(⌝P ∧Q)∨(⌝P ∧⌝Q)∨(P ∧Q)∨(⌝P ∧Q)⇔(⌝P ∧Q)∨(⌝P ∧⌝Q)∨(P ∧Q)TT T T FF F T FT T F TT F F PQPQ Q P思考题: 永真式的主析取范式是什么样 ？（包含所有小项）例2.求 P →Q 和P ↔Q 的 主合取范式P →Q ⇔ M2 ⇔ ⌝P ∨QP ↔Q ⇔ M1∧M2⇔ (P ∨⌝Q )∧(⌝P ∨Q)方法Ⅱ：用公式的等价变换⑴ 先写出给定公式的合取范式 A1∧A2∧...∧An 。
⑵ 为使每个Ai 变成大项，对缺少变元的析取式Ai 补全变元，比如缺变元R ， 就用∨联 结永假式(R ∧⌝R) 形式补R 。
⑶ 用分配律等公式加以整理。
例如，求(P →Q)→R 的主合取范式(P →Q)→R⇔ ⌝(⌝P ∨Q)∨R⇔ (P ∧⌝Q)∨R⇔ (P ∨R)∧(⌝Q ∨R)⇔ (P ∨(Q ∧⌝Q)∨R)∧((P ∧⌝P)∨⌝Q ∨R)⇔ (P ∨Q ∨R)∧ (P ∨⌝Q ∨R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧(⌝P ∨⌝Q ∨R)⇔ (P ∨Q ∨R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧ (⌝P ∨⌝Q ∨R)例3. 安排课表，教语言课的教师希望将课程安排在第一或第三节；教数学课的教师 希望将课程安排在第二或第三节；教原理课的教师希望将课程安排在第一或第二节。
如何安排课表，使得三位教师都满意。
令L1 、L2 、L3 分别表示语言课排在第一、第二、第三节。
M1 、M2 、M3 分别表示数学课排在第一、第二、第三节。
P1 、P2 、P3 分别表示原理课排在第一、 第二、第三节。
三位教师都满意的条件是：(L1∨L3)∧(M2∨M3)∧(P1∨P2 ) 为真。
将上式写成析取范式( 用分配律) 得：((L1∧M2)∨(L1∧M3)∨(L3∧M2)∨(L3∧M3))∧(P1∨P2)⇔(L1∧M2∧P1)∨(L1∧M3∧P1)∨(L3∧M2∧P1)∨(L3∧M3∧P1)∨(L1∧M2∧P2)∨(L1∧M3∧P2)∨(L3∧M2∧P2)∨(L3∧M3∧P2)可以取(L3 ∧M2∧P1)、(L1∧M3∧P2) 为T ， 得到两种排法。
T T T T F F F T F T T F TT F F PQ PQ Q P课堂练习： 1.已知A(P,Q,R)的真值表如图： 求它的主析取和主合取范式。
2.已知A(P,Q,R)的主析取范式中含有下面小项m1, m3, m5, m7 求它的主合取范式. 3.已知A(P1,P2,…,Pn)的主合取范式中含有k 个大项，问它的主析取范式中有多少个小项？ 课堂练习答案1.A(P,Q,R)的主析取范式:A(P,Q,R)⇔ m0∨m3∨m4∨m6∨m7⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧R)∨(P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(P ∧Q ∧⌝R)∨(P ∧Q ∧R)A(P,Q,R)的主合取范式：A(P,Q,R)⇔ M1∧M2∧M5 ⇔(P ∨Q ∨⌝R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧(⌝P ∨Q ∨⌝R)2. A(P,Q,R)⇔ M0∧M2∧M4 ∧M6⇔(P ∨Q ∨R)∧(P ∨⌝Q ∨R)∧(⌝P ∨Q ∨R) ∧(⌝P ∨⌝Q ∨R)3. A(P1,P2,…,Pn)的主析取范式中含有2n-k 个小项.1-7. 命题逻辑推理例题１求证 P →Q ，Q →R ，P ⇒ R证明序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式(1) P P(2) P →Q P(3) Q T (1)(2) I11(4) Q →R P(5) R T (3)(4) I11例题２求证⌝(P ∧Q)∧(Q ∨R)∧⌝R ⇒ ⌝P(1) Q ∨R P(2) ⌝R P(3) Q T (1)(2) I10(4) ⌝(P ∧Q) P(5) ⌝P ∨⌝Q T (4) E8(6) ⌝P T (3)(5) I10注公式I10为： ⌝ P,P ∨Q ⇒ Q公式E8为： ⌝(P ∧Q) ⇔ ⌝P ∨⌝Q例题３ 用命题逻辑推理方法证明下面推理的有效性：如果我学习，那么我数学不会不及格。