等差等比数列求和公式推导
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有 字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论.
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误解分析
1. 用公式 an=Sn-Sn-1 解决相关问题时，一定要注意条件 n≥2， 因n=1时，a1=S1.
a1 1 q n 2.等比数列的和或利用等比数列求和公式 S n 解 1 q
能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
n 1 S1 【解题回顾】公式 an 给出了数列的项 S n S n 1 n 2
与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：
(1)公式对任何数列都适用； (2)n＝1的情形要单独讨论.
2.已知等比数列 {an} 的公比为 q，前 n项的和为 Sn，且 S3，S9， S6成等差数列. (1)求q3的值； (2)求证a2，a8，a5成等差数列.
【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注 意讨论q.
3.一个等差数列的前 12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶27，求公差d.
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n S n；当ak＜0时， S n ( k =1，2，…，n).若在 Sn
a1，a2,…，an 中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.
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高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(201911)
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
anຫໍສະໝຸດ SS1nSn1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
第2课时 等差、等比数列的通 项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
凭借这种内在自由，这种独立人格和独立思考的能力，那些优秀的灵魂和头脑对于改变人类社会的现实发生了伟大的作用。教育就应该为促进内在自由、产生优秀的灵魂和头脑创造条件。如果只是适应现实，要教育做什么！ 第四条箴言：最重要的教育原则是不要爱惜时间，要浪费时间
这句话出自卢梭之口，由我们今天的许多耳朵听来，简直是谬论。然而，卢梭自有他的道理。如果说教育即生长，那么，教育的使命就应该是为生长提供最好的环境。什么是最好的环境？第一是自由的时间，第二是好的老师。在希腊文中，学校一词的意思就是闲暇。在希腊人看来，学生
当我的人生来到凭吊的遗址，当我的爱情走进玫瑰的墓冢，
当我的耕耘陷进世俗的泥塘。忧伤就是我所能呈现给你的唯一姿态。我的逃避与我的遮掩，只是我无援的思想。也许往前走一步，就来到了崩溃的边缘。我所能做出的选择就是在忧伤的背后，还自已一个无欲无求的心情。
忧伤不会是错误的判断，忧伤是在困境中的辗转。你
的酸楚，与我的苦涩一样，充满了梅雨时节的味道。当你陷进突如其来的情绪低谷，当我遭遇难以摆脱的人生乱麻，忧伤就是命定的人间底色。诱惑逼得你忧伤，想像惹得我忧伤。伤痕刻入了肌肤的深处，埋葬了多年苦苦经营的事业与理想。
尘的心，忧伤是天鹅湖的芭蕾王子没有配角的悲哀，忧伤是玫瑰凋落红颜盈盈含泪，忧伤是枫叶林里边弹琵琶边自吟的舞女，忧伤是再别康桥的思绪万千，忧伤是独上高楼的天地茫茫，忧伤是少年维特的烦恼，忧伤是波光艳影里人生余绪，忧伤是皇城根下遗老遗少的帝都旧影，忧伤是梦
想剧院的破灭，忧伤是沧桑的碎片。
忧伤是美的另一个驿站，是你我生命的另一个海岸。忧伤是无望的追逐，忧伤是困倦的想像，忧伤里藏着夏天的炎热与冬天的寒冷。忧伤书写了人类的不幸与苦难，忧伤引领着人群一步步走出黑暗的迷宫。 ? 宽待人性 一
等差数列与等比数列的求和
等差数列与等比数列的求和等差数列与等比数列的求和是数学中常见的问题。
它们在数学和应用数学的许多领域中都具有重要的作用。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的概念，并详细讲解它们的求和公式和求和方法。
一、等差数列的求和等差数列是指数列中相邻的两项之差是一个常数的数列。
常用的求和符号为∑（sigma），表示将数列中的所有项相加。
等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
举例来说，若等差数列的首项为a1，公差为d，共有n项，则数列的前n项和可以表示为：Sn = (a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n - 1)d)= (n / 2) * (a1 + an)= (n / 2) * (2a1 + (n - 1)d)其中，第一个等号是将等差数列展开后相邻的项相加，第二个等号是根据等差数列的性质进行化简得到的。
二、等比数列的求和等比数列是指数列中相邻的两项之比是一个常数的数列。
常用的求和符号同样为∑（sigma）。
等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
举例来说，若等比数列的首项为a1，公比为q，共有n项，则数列的前n项和可以表示为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，分子的1 - q^n是根据等比数列的求和性质进行的化简。
三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列的求和公式在实际应用中有广泛的用途。
它们在经济学、物理学、统计学等领域中都有应用。
1. 经济学中，等差数列可以用来表示资金的增长或减少等情况。
通过求和公式，可以方便地计算出一段时间内资金的总和。
2. 物理学中，等差数列可以用来表示物体的运动情况。
通过求和公式，可以计算出一段时间内物体的位移或速度。
等差数列求和公式的推导过程
等差数列求和公式的推导过程
等差数列是指一个数列中每个数与它的前一个数之差相等的数列，这个差值称为公差。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
在数学中，我们经常需要求解等差数列的和，这时就需要用到等差数列求和公式。
等差数列求和公式是指求解等差数列前n项和的公式，它的一般形式为：
Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]
其中，Sn表示等差数列前n项和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
下面，我们来推导一下等差数列求和公式。
我们可以将等差数列的前n项和表示为：
Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + [a1 + (n-1)d]
将等差数列的首项a1提取出来，得到：
Sn = [a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n-1)d)] + a1
将等差数列的末项an表示出来，得到：
an = a1 + (n-1)d
将an代入上式，得到：
Sn = [a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n-1)d)] + [a1 + (n-1)d] - (n-1)d
化简得：
Sn = n/2 × [2a1 + (n-1)d]
这就是等差数列求和公式的推导过程。
需要注意的是，等差数列求和公式只适用于公差为常数的等差数列。
如果公差不是常数，就不能使用这个公式。
此外，如果要求解的是等比数列的和，就需要使用等比数列求和公式。
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
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•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
3.设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.若{Sn}是 等差数列，则q=__1_
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的 值为( D )
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
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能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
【解题回顾】公式 an
SS1n
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
高三数学等差和等比数列的通项及求和公式
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和
等差等比数列求和公式大全_等比数列怎么求和等差等比数列求和公式大全等差数列公式：等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.等比数列公式：(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)若通项公式变形为an=a1/qxq^n(n∈Nx),当q0时，则可把an看作自变量n 的函数，点(n,an)是曲线y=a1/qxq^x上的一群孤立的点。
(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1等比数列的求和公式的应用1. 数学题目在一些数学题目中，需要计算等比数列的前 n 项的和。
通过使用等比数列的求和公式，可以快速计算出结果。
这类题目通常涉及金融、物理、几何等领域。
2. 财务和投资计算在财务和投资领域，等比数列的求和公式可以用来计算复利问题。
当利率保持不变，每期利息与本金的比值也保持不变时，可以将问题转化为等比数列，并使用求和公式计算出累积本金与利息的总和。
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等差等比数列求和公式推导
第一篇：等差等比数列求和公式推导
等差数列求和公式推导
求和推导
证明：由题意得：
Sn=a1+a2+a3+。
+an①
Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+。
+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn==n（A1+An）/2(a1，an，可以用a1+（n-1）d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An）
等比数列求和公式推导
Sn=a1+a2+……+an
q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1)
Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n
(1-q)*Sn=a1*(1-q^n)
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
不等式
0 ≤(a-b)^2
0 ≤ a^2+b^2-2ab
a^2+b^2+2ab ≤ 2a^2+2b^2（两边同时加上a^2+b^2+2ab) (a^2+b^2+2ab)/4 ≤(a^2+b^2)/2(两边同时除以4）
再两边开方，所以(a+b)/2≤√（(a^2+b^2)/2）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
第二篇：等差等比数列求和公式
等差等比数列求和公式
Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an
化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立
当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1)
得
2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2))
当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列
和＝（首项＋末项）*项数/2
项数＝（末项-首项）/公差＋1
首项=2和/项数-末项
末项=2和/项数-首项
末项=首项+（项数-1）*公差
等比数列求和公式
等比数列：a（n+1）/an=q, n为自然数。
通项公式：an=a1*q^（n－1）；
推广式：an=am·q^(n－m)；
求和公式：Sn=n*a1(q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于 1）
性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
第三篇：等差等比数列
等差数列 a1, a1+d, a1+2d, …… a1+(n-1)d等差数列求和
a1+a2+a3+K+an=a1+a1+d+a1+2d+K+a1+(n-1)d=n(a1+an)n(n -1)=na1+d 22
n(1+n)2特例：1+2+3+K n=
等比数列 a1,a1q,a1q2,K,a1qn-1
等比数列求和
a1+a2+a3+K+an=a1+a1q+a1q+K+a1q2n-1a1(1-qn)=1-q
第四篇：等差与等比数列
等差与等比数列
一.填空题
1、已知{an}为等差数列，a1+a3=22，a6=7，则a5=
2、等差数列中前n项的和为210，其中前四项的和为40，后四项的和为80，则n的值等于；
3、项数为奇数的等差数列，奇数项之和为102，偶数项之和为85，则此数列的中间项为；
项数为
4、在数列{an}在中，an=4n-
则ab=
5、等差数列{an}中,3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列的前n项和，则Sn取最大值时的n=
6、Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=5,S20=17,则S30=
7、各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2,值是。
8、等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3a5=64，则S8
二、解答题
9、已知数列{an}的前n项和Sn=-
10、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，
a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出5*，a1+a2+Λan=an2+bn，n∈N,其中a,b为常数，2a+a41a3,a1成等差数列，则3的2a4+a532205n+n，求{an}的前n项和Tn。
22{an}及{bn}的前10项和S10及T10。
11、已知数列{an}的首项a1=22an，an+1=，n=1,2,3,…． 3an+1
（Ⅰ）证明：数列{1n（Ⅱ）数列{}的前n项和Sn．-1}是等比数列；anan
第五篇：等差、等比数列问题
等差等比数列问题
一、等差数列、等比数列基本数列问题
1．等差数列{an}，s6=36，sn-6=144，sn=324，求n的值
1）an=2an-1+1；2）an=2an-1+n+1；3）an=2an-1+n2+n+1；4）an=2an-1+2n；5）an=2an-1+3n
1）sn=2an+1；2）sn=22n-1+n+1；3）sn=2an-1+n2+n+1；4）sn=2an-1+2n；5）sn=2an-1+3n 2．已知数列，a{an}满足：a＝m （m为正整数）
anA7n+5
2．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An,Bn，且n=，则使得为整数
bnn+3Bn的的正整数n个数为：
3．已知等差数列{an}，a1+a3+a5+Λ+a99=36，公差d=-2，求s100的值。
4、已知等差数列{an}的第2项为8，前10项和为185。
1）求{an}的通项公式；2）若数列依次取出a2,a4,a8,Λ,a2n
n+1
{an}中
⎧an当a为偶数时
⎪n，若a6＝1，则m所有=⎨2
当an为奇数时⎪⎩3an+1
Λ得到新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式。
可能的取值为
四、数列与其它
1.已知数列{an}的通项公式an=n-(n∈N*)，则数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别
n-是
2．已知数列{an}是递增数列，且an=n2+λn，则实数3.（Ⅰ）设4．设等比数列{an}的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前前n项中数值最大的项为27，求数列的第前2n项。
5．已知数列{an}的首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项起为负数，求Sn的最大值。
λ范围是
an为正整数，6．数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1
数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2=64.（1）求an,bn；（2）求证1+1+Λ+1<3.S1S2Sn
4二、数列思想问题
1．数列{an}的前n项和Sn，又bn2．求和sn=
=3,b1=1，a1,a2,ΛΛ,an是各项均不为零的等差数列（n≥4），且公差d≠0，若将此数列删
a1的数值；②求n的所有可d
去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求
能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
=an
b1,b2,ΛΛ,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．，求{bn}的前n项和
123n+2+3+Λ+n aaaa
3．等差数列{an}和等比{bn}，求数列{an⋅bn}的前n项和4．1+1+1+Λ+
1*2
2*3
3*4
(n+1)-n 12-13-24-3
=+++Λ+
n*n+11*22*33*4n*n+15．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+Λ+nan=n(n+1)，求数列{an}的通项公式
三、复合数列问题
1、已知数列{an}满足下列条件，且a1=1，求数列{an}的通项公式。