一次函数全章知识及练习

一次函数全章知识及练习概念梳理1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。

当b>0,直线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0时，直线与y轴交于坐标原点。

2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限；k＞0,b＜0时，直线经过一、三、四象限；k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限；k＜0,b＜0时，直线经过二、三、四象限。

关于函数的几个重要概念一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量；二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．三、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）a0其中a0（5）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（6）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．四、函数值函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值例如：在正方形的面积公式S=a2中，若a=2；则S＝4；若a=3，则S＝9，这说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值六、函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.当b =0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。

(2)性质:当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

(3)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（x0，y0）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．九、一次函数与正比例函数的图象与性质一次函数概念图像性质如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.一条直线k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).直线y=kx+b（k≠0）（1）k>0，b＞0；（2）k>0，b＜0；的位置与k、b符号（3）k>0，b＝0（4）k＜0，b＞0；之间的关系.（5）k＜0，b＜0（6）k＜0，b＝0一次函数表达式的求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；确定求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.5.解一次方程（组）与一次函数问题不等式问题解一元一次方程kx＋b=0解一元一次方程kx＋b=c解一元一次不等式kx＋b﹥0（或﹤0）解一元一次不等式kx＋b﹥m（或﹤m）解一元一次不等式从“数”的角度当一次函数y=kx＋b的函数值（y值）等于0时求自变量x的值当一次函数y=kx＋b的函数值（y值）等于c时求自变量x的值当一次函数y=kx＋b的函数值（y值）大于0（或小于0）时求自变量x的值当一次函数y=kx＋b的函数值（y值）大于m（或小于m）时求自变量x的值当一次函数y=kx＋b的值大于mx从“形”的角度当直线y=kx＋b上点的纵坐标为0时，求这个点的横坐标是什么？（即求直线与x轴的交点坐标）当直线y=kx＋b上点的纵坐标为c时，求这个点的横坐标是什么？当直线y=kx＋b上的点的纵坐标大于0（或小于 0）时，求这些点的横坐标在什么范围？（即求直线与x轴的交点坐标的上方（或下方）的部分直线的横坐标的范围）当直线y=kx＋b上的点的纵坐标大于m（或小于 m）时，求这些点的横坐标在什么范围？在相同横坐标的情况下,当直线y=kx＋b上的点kx＋b﹥mx＋n＋n的值时，对应的自变量x的范的纵坐标大于直线y=mx＋n上的点的纵坐标时，围是多少？人教版初中数学课堂教学资料设计求这些点的横坐标在什么范围？解二元一次方程组y kx by mx n 当一次函数y=kx＋b与y=mx＋n的值相等时，对应的自变量x的值是多少？这个函数值是多少？当直线y=kx＋b与直线y=mx＋n相交时求交点坐标十、求函数解析式的方法:待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。

思想方法小结：（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．b②当k，b异号时，即-＞0时，直线与x轴正半轴相交；b当b=0时，即-=0时，直线经过原点；b当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．③当b＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②k k12b b12y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；kkk③kk , 1 2 bb12y1 与 y2 平行；k k , 1 2 b b④12y1 与 y2 重合（一）函数的概念1．矩形的面积为 ，则长 和宽 之间的关系为 是常量，是变量S，当长一定时,2.下列：① ；②；③ y 22 x ( x ≥ 0)；④yx ( x ≥ 0)，具有函数关系（自变量为 ）的是3．齿轮每分钟 120 转，如果 表示转数， 表示转动时间，那么用 表示 的关系是 ，其中 为变量， 为常量5C ( F 32)4．摄氏温度 C 与华氏温度 F 之间的对应关系为 ℃，则其中的变量是 ，常量是5．在⊿ 中，它的底边是 a ，底边上的高是 h ，则三角形的面积 关系式中的常量是 ，变量是1 s ah2，当底边的长一定时，在6．全年级每个同学需要一本代数教科书，书的单价为 6 元，则总金额y(元) 与学生数 (个)的关系是。

其中是的函数，是自变量7 ．学校计划购买 50 元的乒乓球，则所购买的乒乓球总数y( 个) 与单价 ( 元 ) 的函数关系式是；其中是的函数，是自变量8．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（） A 、沙漠 B 、体温 C 、时间 D 、骆驼9．在圆的周长c2R中，常量与变量分别是()2 是常量，c 、 、 R 是变量(B)2 是常量，c 、 R 是变量S aby x 2y 2 x 1xn t n t9ABCa n x(C) c 、2 是常量， R 是变量(D)2 是常量，c 、 R 是变量10．以固定的速度v0 (米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球的运动的时间 (秒)之间的关系式是h v t 4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为()(A) 4.9 是常量， 、 是变量 (B)v 0是常量， 、是变量(C)v0 、4.9是常量， 、 是变量(D) 4.9 是常量，v0 、 、 是变量（二）自变量取值范围1．函数y x 2 中自变量 的取值范围是函数y 2 x23x 7中自变量的取值范围为圆的面积Sr2中，自变量的取值范围是y2 x 1自变量 x 的取值范围是函数yx 5中自变量 x 的取值范围是___________2． 边形的内角和s (n 2)g 180 o，其中自变量 的取值范围是（）A ．全体实数B ．全体整数C ．n ≥ 3D ．大于或等于 3 的整数3．写出下列各函数中自变量的取值范围：①y2x 21；②y1 x；③y x 2 x 2；④yx 2 x 1（三）函数的图象 1．如图 1 是襄樊地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中：（1）气温 （℃）（填“是”或“不是”）时间 （时）的函数（1） 时气温最高，时气温最低，最高汽温是℃，最低气温是℃（3）10 时的气温是 ℃．（4） 时气温是 4℃（5）时间内，气温不断上升．（6）时间内，气温持续不变2．下图是北京春季某一天的气温随时间变化的图象：根据图象回答，在这一天：(1)8 时、12 时、20 时的气温各是多少？T(C)(2)最高气温与最低气温各是多少？14 t t ht h t ht hx r n nT tO 2 4 681012141618202224t(时)人教版初中数学课堂教学资料设计3.下列各图给出了变量x与y之间的函数是：（）y y y y o x o x o x o xA B C D（四）函数值1．函数y 2x 1中，当x4时，y，当y 4时，x2．点A(1，m)在函数y 2x的图象上，则点A的坐标是3．在一次函数y 5x 3中，已知，则y；若已知y 2,则x4．已知点P（，4）在函数y x 3的图象上，则a5．下列有序实数对中，是函数y 2x 1中自变量与函数值y的一对对应值的是（）A．( 2.5，4)B．(0.25，0.5)C．(1，3)D．(2.5，4)6.点A（1,m）在函数y=2x的图象上，则m的值是()1A.1B.2C.2D.07.当时,函数y x23x 7的函数值为()A.-25B.-7C. 8D.11（五）函数解析式1．飞船每分钟转30转，用函数解析式表示转数和时间之间的关系式是2．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量间的函数关系式是（）Q（升）与流出的时间（分）Q 205t1Q t 2051Q 20t51Q t5 x 0axx 3n tt人教版初中数学课堂教学资料设计人教版初中数学课堂教学资料设计3．如果每盒圆珠笔有12支，售价为18元，那么圆珠笔的售价（元）与支数之间的函数关系式为（）A．3y x2B．2y x3C．y 12x D．y 18x4．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x>0），面积为y cm2，则这样的长方形中与的关系可以写为（）A、B、y12x2C、y12xxD、y 212x（六）正比例函数与一次函数的概念1.已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是2.已知y+2和x成正比例，当x=2时，y=4，则y与x的函数关系式是______________3．函数y kx(k 0)的图象过P(4，6)，则k 函数y kx(k 0)的图象过P(-6，-14)，则k函数y kx(k 0)的图象过P(2，5)，则k 函数y kx(k 0)的图象过P(-3，18)，则k4.若函数y (m 1)x 3图象经过点（1，2），则m=5．已知函数y=k(k–3)x -8+k是正比例函数，则k=________6.若函数y= -2mx+2+n-2正比例函数，则m的范围是，n的值为________7．已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=则k=8．下列函数中，是正比例函数的是()已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，9），(A)y3x(B)yx4(C)y 3x 9(D)y 2x29.下列函数中，是正比例函数的是（）（A）yx4．（B）y4x．（C）y 5x 3．（D）y 6x22x 1y xy xy x2人教版初中数学课堂教学资料设计人教版初中数学课堂教学资料设计A.0B.23 C.23 D.32111．下列函数（1）y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-3x(5)y=x2-1中，是一次函数的有（）x（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个(七)正比例函数的图象与性质1.函数y kx(k 0)的图象过P(-3，7)，则k ，图象经过象限2.正比例函数y (3m 5)x，当m时，y随x的增大而增大正比例函数y (3m 5)x，当m时，y随x的增大而减少3．对于函数y 3x的两个确定的值x1x、2来说，当x x12时，对应的函数值y1与y2的关系是()(A)y y12(B)y y12(C)y y12(D)无法确定4．（2005大连）点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y＝－x上，则y1与y2的关系是（）A、y1≥ y2B、y1＝y2C、y1＜y2D、y1＞y25．（2005大连）点A（5，y1）和B（2，y2）都在直线y＝x上，则y1与y2的关系是（）A、y1≥ y2B、y1＝y2C、y1＜y2D、y1＞y26．在下列各图象中，表示函数y y y kx(k 0)的图象是()y yO xOxOxOx(A)( B) ( C)( D )7.下列函数，y随x增大而减小的是（）A．y=x B．y=x–1C．y=x+1D．y=–x+1(八)一次函数的图象与性质1．已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是()(A)k>0,b>0(B)k>0,b<0(C)k<0,b>0(D)k<0,b<02．直线y=kx+b在坐标系中的位置如图，则()yA、1k ,b12B、1k ,b 12O2x1 1 k , b 1k , b 1 C 、D 、3．将直线y 2 x向上平移两个单位，所得的直线是（）A ．y 2 x 2B ．y 2 x 2C ．y 2( x 2)D ．y 2( x 2)4．若把一次函数 y=2x －3,向上平移 3 个单位长度，得到图象解析式是( )（Ａ）y=2x(B) y=2x －6（C ） y=5x －3 （D ）y=－x －35．下面函数图象不经过第二象限的为（ ）(A) y=3x+2(B) y=3x －2(C) y=－3x+2(D) y=－3x －26．过第三象限的直线是( )A 、y=-3x+4B 、y=-3xC 、y=-3x-3D 、y=-3x+77．已知一次函数 y=3x －b 的图象经过点 P(1，1)，则该函数图象必经过点( )A.(－1,1)B.(2，2)C.(－2，2)D.(2，－2)8.如图,直线y kx b经过 A(0,2)和 B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是()A.y 2x 32y x 2 B. C.y 3x 2 y x 19.函数 y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么 m 的取值范是( )A 、m3 4B 、1m34C 、m1D 、m110．函数 y = k （x – k ）（k ＜0）的图象不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限11．若一个函数y kx b中,y随 的增大而增大,且,则它的图象大致是（ ）yyyyxxxx(A)( B)( C)(D)12．直线 y=４x －６与 x 轴交点坐标为_______，与 y 轴交点坐标为_________，图象经过第________象限， y 随 x 增大而_________2 23 D.xb 013．已知一次函数y=kx-k+4的图象与y轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________14．已知一次函数y (m 2)x 1,函数y的值随值的增大而增大,则的取值范围是15．已知一次函数y=2x+4的图像经过点（m，8），则m＝________16．若一次函数y=kx+b的图像经过(-2,-1)和点(1,2),则这个函数的图像不经过象限17．若函数y=mx－(4m－4)的图象过原点，则m=_______，此时函数是函数18．若函数y=mx－(4m－4)的图象经过（1，3）点，则m=____，此时函数是____函数19.若直线y=kx+b平行直线y=5x+3，且过点（2，-1），则k=______,b=______ .(九)求函数解析式的方法已知一次函数图象经过（3,5）和（－4，－9）两点，求此一次函数的解析式2.已知一次函数图象经过点(3, 5), (–4，–9)两点.(1)求一次函数解析式.(2)求图象和坐标轴围成三角形面积3.已知y 3与成正比例,且时,.(1)求与的函数关系式;(2)当x12y时,求的值4.已知y与x2成正比例，且x=-2时y=12．求y与的函数关系式基础练习：①已知一次函数y=kx+b的图象经过A（0，－2）B（1，0）则b=_____k=____1、在一次函数中，当时则的值为（）A、-1B、1C、5D、-52、已知y与x成正比例，如果时A、B、2C、3D、63、下列说法中不正确的是（）时，y=2，那么x=3时，y=（）x mx x 2y 7y xxA、在B、在时，中，与与成正比例；成正比例；C、在中，与成正比例；D、在圆面积公式中，与成正比例4、下列关系式中，A、C、与成正比例的是（）B、D、5、若点在正比例函数的图象上，则_______．6、与成正比例，当时，，这个函数的解析式为_______．7、已知与成正比例，当时，则时_______．8、9、已知⑴求与与与成正比，当成正比例，且当的函数解析式；时，，则_______时，．时，⑵求当⑶求当时，时，的值的值10、拖拉机开始工作时，油箱中有油36公斤，如果每小时耗油3公斤，那么，油箱中的余油量y公斤与它工作的时间t小时之间的函数关系式是什么？它是什么函数？自变量的取值范围是什么？11.已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是.12.已知一次函数 y=kx+5 的图象经过点（-1，2），则 k=.13.一次函数 y= -2x+4 的图象与 x 轴交点坐标是 ( )，与y 轴交点坐标是 () , 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ( ).14.已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线 y = —12 x+2 上，则 y1 y2 大小关系是( )（A ）y1 >y2（B ）y1 =y2（C ）y1 <y2（D ）不能比较15.若把一次函数 y=2x －3,向上平移 3 个单位长度，得到图象解析式是( )(A) y=2x(B) y=2x －6（C ） y=5x －3（D ）y=－x －316.下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）(A) y=3x+2 (B) y=3x －2(C) y=－3x+2 (D) y=－3x －217.下面图像中，不可能是关于 x 的一次函数的图象的是（ ）一. 仔细选一选 (本题有 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分)1.已知四条直线 y ＝kx －3，y ＝－1，y ＝3 和 x ＝1 所围成的四边形的面积是 12，则 k 的值为 A ．1 或－2 B ．2 或－1 C ．3 D ．42.如图，已知函数 y1＝3x ＋b 和 y2＝ax －3 的图象交于点 P(－2，－5)，则下列结论正确的是A ．x ＜－2 时，y1＜ y2B ．C ．x ＜－2 时，y1＞ y2D ．ba3.已知 A 、B 两地相距 4 千米.上午 8:00，甲从 A 地出发步行到 B 地，8:20 乙从 B 地出发骑自行车到 A 地， 甲乙两人离 A 地的距离（千米）与甲所用的时间(分)之间的关系如图所示.由图中的信息可知，乙到达 A 地的时间为 A 、8:30B 、8:35C 、8:40D 、8:454.一辆汽车和一辆摩托车分别从 A,B 两地去同一城市,它们离 A 地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是A.摩托车比汽车晚到1hA.A, B。