二进制和十进制的意义(一)

二进制和十进制的意义（一）

我们在小学数学中做算术题时，有这样的一句口决：“满十进一，借一当十”，还曾经学过111中，从右到左每一个1分别表示：1个1；1个10，1个100……以上这些数学知识都是针对于十进制数的运算而言的.十进制数是指以10为基数的数制，即前面的数位是它反面数位的10倍，由于一个数乘以10，只需将小数点向右移动1位，不需改变数字，所以目前被世界数学所通用。然而十进制数也有它的缺点，那就是它有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共十个数字符号，数字符号太多，对于机器识别较为麻烦，18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现了一种进位制，叫二进制，并认为这是世界上数学进制中最先进的。20世纪被称作是世界上第三次科技革命的电子计算机的发明与应用，其运算模式是二进制，证明了莱布尼兹的原理是正确的，下面我们介绍一下二进制数的意义和二进制数的运算。

（一）二进制数的意义与表示

二进制数和十进制数的意义很相似，二进制数只有2个数字符号：例如：十进制中的01234101101010⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=e d c b a abcde ，类似地，二进制中的2)(abcde =a ×24+b ×23+c ×22+d ×21+e ×20。例如：二进制中的(101)2=1×22+0×21+1×20。依此类推，十进制中的小数abcd .0=a ×101+b ×2101+c ×3101+d ×410

1那么二进制中的小数2).0(abcd = a ×21+b ×221+c ×32

1+d ×421 （二）二进制数与10进制数之间的相互转化

由于二进制数的基数是2，与十进制数相类似,前面一位是后面一位的2倍，根据这一原理我们可以将二进制数与十进制数进行互化，例如：二进制数(1101)2=1×23+1×22+0×21

+1×20=13，也就是说每一个二进制的数，只需根据它每一位上的数字（0或1）乘以它所代表的2n 即可，那么能不能把任意一个十进制的数转化成二进制数呢？聪明的数学家们给出了“除2取余法”即先获得的余数为二进制整数的低位，后获得的余数为二进制整数的高位。例如：把十进制35化成二进制数 0001

11余0余0余0余0余1余102

21

24

8

17

35

2222

即35化成二进制数的结果为(100011)2。

和十进制整数与二进制整数可以互相转化一样，二进制小数与十进制小数也能相互转化，请看下面的例子：

(0.101)2=1×21+0×221+1×32

1 =0.5+0+0.125

=0.625

而十进制小数要想转化成二进制小数需要用乘2取整法，第一个乘积的结果为最高位，最后一个乘积的整数转化结果为最低位。

例如：

0．6875

× 2

1.3750 × 2

2.750 × 2

5.500 × 2

1.000 即转化结果为（0.1011）2

（三）二进制数的算术运算

二进制数据的算术运算和十进制数据的算术运算十分相似。它遵循“满2进1，借1当2”的法则，最常用的是加法和乘法运算。

1、二进制加法有四种情况：0+0=0 1+0=1 0+1=1 1+1=10

例如：求（1101）2和（1011）2的和

1101

+）1011

11000 即(1101)2+(1011)2=(11000)2

2、二进制数乘法有四种情况：0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1

例如“求（1110）2×（101）2的积

1110

× 101

1110

0000 1110

1000110 即（1110）2×（101）2=（1000110）2

3、二进制减法：0-0=0 1-0=1 1-1=0 1+1=10

4、二进制除法：0÷1=0 1÷1=1

二进制数是一个神奇美妙的数字系统，由于它的数字符号只有2个 (1、0)。这两个数字在物理上很容易实现，例如电路的导通或截止，0和1正好和生活中的“是”与“非”相对应。所以被用作电子计算机的运算模式。

整数为1

整数为1整数为0

整数为1