利用正余弦定理解三角形

复习课: 解三角形

枣庄十八中 秦真

教学目标

重点：能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积，形状有关的问题。 难点：如何选择适当的定理，公式，方法解决有关三角形的综合问题. 能力点：定理公式方法的适当选取，培养学生自主解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.

易错点：在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误

学法与教具

1.学法：讲授法、讨论法.

2.教具：投影仪.

一、【知识结构】

二、【知识梳理】

1.正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：2

2

2

2cos a b c bc A =+-，2

2

2

2cos b a c ac B =+- ，2

2

2

2cos c a b ac C =+- ，

222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222

cos 2a b c C ab

+-=

3.111

sin sin sin 222

ABC S ab C bc A ac B ∆=

== 4.在三角形中大边对大角，反之亦然.

5.射影定理：cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+

6.三角形内角的诱导公式

（1）sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，tan tan()C A B =+，cos

sin

22

c A B

+=，sin

cos

22

C A B

+=，... 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型

(1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及

sin sin sin a b c

A B C

==

，可求出角C ，再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ，由2

2

2

2cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理

sin sin a b

A B

=

，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由

sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b

A B

=

求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

8.

三、【范例导航】

题型（一）：正、余弦定理

1正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以

计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．

2余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角． 例1．在∆ABC

中，已知a =

c =

，45B =，求b 及A ；

(

)2222

2

2

12cos 2cos 45 1218

b a

c ac B b =+-=+-⋅︒=+-=∴=解析：

（）

(2)求

A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

解法一：

2

2

2

2

2

2

1cos 22

b c a

A bc

+-+-=

==

60A ∴=︒

解法二：

sin sin 45,a A B b ==︒

62 2.4 1.4 3.8,2 1.8 3.6,+>+=<⨯=又

, 090a c A ∴<︒<

<︒即

60A ∴=︒

变式训练1

（2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=

a ，则

A. a ＞b

B. a ＜b

C. a ＝b

D. a 与b 的大小关系不能确定 答案：A

【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题 题型（二）：三角形面积

例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=

2

2

，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

解法一：（先解三角方程，求出角A的值。）

21

sin cos45),cos(45).

2

A A A A

+=-=∴-

=

又0180

<<

A,

4560,105.

A A

∴-==tan tan(4560)2

1

A

∴=+==-

-

.

4

6

2

60

sin

45

cos

60

cos

45

sin

)

60

45

sin(

105

sin

sin

+

=

+

=

+

=

=

A

S AC AB A

ABC

∆

=⨯=⨯⨯⨯

+

=+

1

2

1

2

23

26

4

3

4

26

sin()。

解法二：（由sin cos

A A

+计算它的对偶关系式sin cos

A A

+的值。）

sin cos

A A

+=

2

2

①

2

11

(sin cos) , 2sin cos, 0180,sin0,cos0.

22

1

(sin2)

2

A A A A A A A

A

∴+=∴=-<<∴>< =-

另解

2

3

cos

sin

2

1

)

cos

(sin2=

-

=

-A

A

A

A

,

∴-=

sin cos

A A

6

2

②

①+②得sin A=

+

26

4

。

①－②得cos A=

-

26

4

。

从而

sin

tan2

cos

A

A

A

==-

以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢

变式训练2

（2009北京理）

在ABC

∆中，角,,

A B C的对边分别为,,,

3

a b c B

π

=，

4

cos,

5

A b

==（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC

∆的面积.

【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，