广东省肇庆市实验中学高中数学必修二：4.2.1直线与圆的位置关系 “三四五”高效课堂教学设计
高中数学 必修二(4.2.1 直线与圆的位置关系)示范教案 新人教A版必修2
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系整体设计 教学过程第1课时 导入新课思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系.思路2.(复习导入)(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r.(3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2E ),半径为21F E D 422-+.推进新课 新知探究 提出问题①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？ 讨论结果：①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.②直线与圆的三种位置关系的含义是: 直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d 与半径r 的关系图形相交 两个 d ＜r 相切 只有一个 d=r相离没有d ＞r③方法一,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法： 几何方法步骤：1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断：当d ＞r 时,直线与圆相离；当d=r 时,直线与圆相切;当d ＜r 时,直线与圆相交. 代数方法步骤：1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值.4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立. 应用示例思路1例1 已知直线l ：3x+y-6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y-4=0,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.解法一:由直线l 与圆的方程,得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+)2(.042)1(,06322y y x y x消去y,得x 2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直线l 与圆相交,有两个公共点.解法二：圆x 2+y 2-2y-4=0可化为x 2+(y-1)2=5,其圆心C 的坐标为(0,1),半径长为5,圆心C到直线l 的距离d=2213|1603|+-+⨯=105＜5.所以直线l 与圆相交,有两个公共点.由x 2-3x+2=0,得x 1=2,x 2=1.把x 1=2代入方程①,得y 1=0;把x 2=1代入方程①,得y 2=3.所以直线l 与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x 2+y 2=2,直线y=x+b,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l ：y=x+b 和圆x 2+y 2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x 2+2bx+b 2-2=0,所以Δ=(2b)2-4×2(b 2-2)=16-4b 2.所以,当Δ=16-4b 2＞0,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b 2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b 2＜0,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x 2+y 2=2的圆心C 的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C 到直线l:y=x+b 的距离d=2||11|0101|22b b =+-⨯+⨯-.当d ＞r 时,即2||b ＞2,即|b|＞2,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点;当d=r 时,即2||b =2,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当d ＜r 时,即2||b ＜2,即|b|＜2,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断. 变式训练已知直线l 过点P(4,0),且与圆O ：x 2+y 2=8相交,求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因为直线l 与圆O 相交,所以圆心O 到直线l 的距离小于半径, 即1|4|2+-k k ＜22,化简得k 2＜1,所以-1＜k ＜1,即-1＜tan α＜1.当0≤tan α＜1时,0≤α＜4π；当-1＜tan α＜0时,43π＜α＜π.所以α的取值范围是［0,4π)∪(43π,π).解法二：设直线l 的方程为y=k(x-4),由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,8),4(22y x x k y ,消去y 得(k 2+1)x 2-8k 2x+16k 2-8=0. 因为直线l 与圆O 相交,所以Δ=(-8k 2)2-4(k 2+1)(16k 2-8)＞0,化简得k 2＜1.(以下同解法一) 点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.思路2例1 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程.活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x 0,y 0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直.解法一:当点M 不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM 的斜率为k 1,因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-11k . 因为k 1=00x y 所以k=-00y x .所以经过点M 的切线方程是y-y 0=-00y x(x-x 0). 整理得x 0x+y 0y=x 02+y 02.又因为点M(x 0,y 0)在圆上,所以x 02+y 02=r 2.所以所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.当点M 在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.解法二:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P 与M 不重合时,△OPM 为直角三角形,OP 为斜边,所以OP 2=OM 2+MP 2,即x 2+y 2=x 02+y 02+(x-x 0)2+(y-y 0)2.整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当P 与M 重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2. 解法三:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M 不在坐标轴上时,由OM⊥MP 得k OM ·k MP =-1,即0x y ·x x y y --00=-1,整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当点M 在坐标轴上时,P 与M 重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练求过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程.解:设x 0≠a,y 0≠b,所求切线斜率为k,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得k=by a x k CM---=-001,所以所求方程为y-y 0=by ax ---00(x-x 0),即(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=(x 0-a)2+(y 0-b)2.又点M(x 0,y 0)在圆上,则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2.代入上式,得(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.当x 0=a,y 0=b 时仍然成立,所以过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程为(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.例2 从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线,求切线方程.活动:学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题.解:把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y －5=k(x －4),即kx －y ＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2+-+-k k k =2,k=2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.点评:过圆外已知点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k 的方程.求出k,因为有两条,所以应有两个不同的k 值,当求得的k 值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于x 轴的直线,所以补上一条切线x=x 1. 变式训练求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y 2=4相切的直线l 的方程. 解:设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 因为圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2, 所以22)1(|13|-++-k k k =2,解得k=-43. 所以切线方程为y-1=-43(x-3),即3x+4y-13=0. 当过点M 的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也符合题意.所以直线l 的方程是3x+4y-12=0或x=3.例3 (1)已知直线l ：y=x+b 与曲线C ：y=21x -有两个不同的公共点,求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式21x -＞x+b 解集为R ,求实数b 的取值范围.图1解:(1)如图1(数形结合),方程y=x+b 表示斜率为1,在y 轴上截距为b 的直线l ； 方程y=21x -表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆, 当直线过B 点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l 1； 当直线与半圆相切时,b=2,直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2), 所以1≤b＜2,即所求的b 的取值范围是［1,2).(2)不等式21x -＞x+b 恒成立,即半圆y=21x -在直线y=x+b 上方, 当直线l 过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b 的取值范围是(-∞,-1). 点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观. 知能训练本节练习2、3、4. 拓展提升圆x 2+y 2=8内有一点P 0(-1,2),AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. (1)当α=43π时,求AB 的长； (2)当AB 的长最短时,求直线AB 的方程. 解:(1)当α=43π时,直线AB 的斜率为k=tan 43π=-1,所以直线AB 的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦长公式)由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,8,122y x x y 消去y,得2x 2-2x-7=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=1,x 1x 2=-27, 所以|AB|=2)1(1-+|x 1-x 2|=2·212214)(x x x x -+=2·)27(41-⨯-=30.解法二：(几何法)弦心距d=21,半径r=22,弦长|AB|=230218222=-=-dr . (2)当AB 的长最短时,OP 0⊥AB,因为k OP0=-2,k AB =21,直线AB 的方程为y-2=21(x+1), 即x-2y+5=0.。
人教A版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系 课件
解
, 或k=2.
所以，所求直线I有两条，它们的方程分别为
或 y+3=2(x+3).
,
即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
2.已知直线4x+பைடு நூலகம்y-35=0 与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程.
解：由题意可知圆C的圆心为(0,0), 已知直线4x+3y-35=0与圆C相切
∴圆C的方程为 x²+y²=72
2.直线和圆有两个公共点，叫做 直线和圆相交.
3.直线和圆没有公共点时，叫做 直线和圆相离.
77
圆心0到直线的距离d 半径r
0
1.直线l和◎0相离，此时d与r大小关系为 d>r
●十
杠
O
2. 直线l和⊙0相切，此时d与r 大小关系为 d=r
l
3. 直线l和⊙0相交，此时d与r大小关系为_d<r
二、直线与圆的位置关系的判定方法：
:2024/12/23 :
课堂小结
直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)和圆(x-a)²+(y-b)²=r², 则圆心(a,b)到此直线的距离为
位置 d与r
相离 d>r
则有以下关系：
相切 d=r
相交 d<r
图形
交点个数
0个
1个
2个
判断直线和圆的位置关系
几何方法 求圆心坐标及半径r
(配方法)
n=2
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆 x²+y²-2y-4=0, 判断直线l与圆的位置关系；如果 相交，求它们交点的坐标.
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
人教版高中数学必修2第四章《4.2直线、圆的位置关系：4.2.1 直线与圆的位置关系》教学PPT
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
相交
△＞0
r ＞d
O
x
当-2 2<b<2 2 时，⊿>0, 直线与圆相交；
当b=2 2或 b=-2 2 时, ⊿=0, 直线与圆相切；
当b>2 2或b<-2 2 时，⊿<0，直线与圆相离。
㈠方法探索
y 解法二(利用d与r的关系)：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为r=2
00b b
圆心到直线的距离为 d
(3)△＜0 直线与圆径相r离的. 大小关系 直线与圆没有交点
方法3：代数性质
2、相切 (d=r)
直线与圆有一个交点
3、相交 (d<r)
直线与圆有两个交点
设圆 C∶(x-a)2+(y-b)2=r2， 直线L的方程为 Ax+By+C=0，
(x-a)2+(y-b)2=r2
Ax+By+C=0
练习与例题
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交, 直线与圆有___2_个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆__相__切__, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆__相__离__, 直线与圆有___0_个公共点.
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2
=
2
有公共点
,
所以圆心到直线的距离 d= - ≤ r= ,
() 1
从而可得 0≤ |a+ 1|≤ 2.
答案 :C
22
6.若圆 x +y -2x+ 4y-20= 0 截直线 5x- 12y+c= 0 所得的弦长为 8,则 c 的值是 (
A.10
B.10 或-68
C.5 或 -34D. - Nhomakorabea8解析 :由题意得圆心 C(1,-2),半径 r= 5,圆心 C 到直线 5x- 12y+c= 0 的距离 d=
因为点 A,C 所在直线的斜率 kAC=- ,
所以直线 l 的斜率 kl =2. 由点斜式知所求直线的方程为
y-1= 2(x-3),即 2x-y-5= 0.
这时截得的线段长度为 2 - = 4 .
4
5
)
2
A. -1
B.2 -
C.
D. + 1
解析 :圆心 C(2,1) 到直线的距离 d= -
-
,又圆的半径 r= 1,则平移的最短距离为 -1.
答案 :A
22
2.已知直线 ax-by+c= 0(abc≠0)与圆 x +y = 1 相切 ,则三条边长分别为 |a| ,|b|,|c| 的三角形 ( )
A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形 C.是钝角三角形 D. 不存在
,所以所截得的弦长为 2 - = 2 - =2.
答案 :2
2
2
5.经过点 (-3,4)且与圆 (x-1) + (y-1) =25 相切的直线方程为
.
解析 :由已知可得点
(
高中数学人教A版必修2第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
(1)当Δ>0，即－2<b<2 时，直线与圆相交．
(2)当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切． (3)当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离．
9
高中数学人教版必修2课件
求圆的切线方程 例 2：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)
5
高中数学人教版必修2课件
(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0. 故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.
12 (1)当Δ>0，即 k<－ 5 时，直线与圆相交．
12 (2)当Δ＝0，即 k＝－ 5 时，直线与圆相切．
12 (3)当Δ<0，即 k>－ 5 时，直线与圆相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断， 若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直 线与圆相离．
3
高中数学人教版必修2课件
难点
圆的切线方程
求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关
系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线． 在求过圆外一点的切线时常用以下方法： (1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率； (2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率；
高中数学人教版必修2课件
4．2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
1
高中数学人教版必修2课件
D
2．若直线 3x＋4y＋k＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则 k 的值等于( A ) A．1 或－19 C．－1 或－19 B．10 或－10 D．－1 或 19
高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2
2探 ：究 已 知 l： A 直 xB 线 yC0，C 圆 ： (xa)2(yb)2r2， 试 判l与 断C 圆 直 的线 位 置关系。
学法小结
l： 直 A x线 B yC0，C 圆 ： (xa)2 (yb)2r2的位置关系。
自我检测
已4知 x3直 y3线 50与 圆 心 在 的C 圆 相 切 ， C的 求方 圆程 。
典例精析
已 知 M(过 3， 3点 )的 直l倍 线圆 x2y2 4y210所 截 得 的4弦 5，长 求为 直 l的线 方程。
[家庭作业]
《考向标》P89－ P91
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 圆的一般方程； 3. 点 P0 (x0，y0)与圆 (x - a)2 + (y - b)2 = 1） 直 线l：y x 6， 圆C：x2 y2 2 y 4 0，试判断直线l与圆C的位置关系，若有交点， 请求其坐标。 （2） 直 线l：3 x 4 y 2 0， 圆C：x2 y2 2x 0， 试 判 断 直 线l与 圆C的 位 置 关 系 ， 若 有 交 点， 请 求 其 坐 标 。 （3） 直 线l：3 x 4 y 6 0， 圆C：x2 y2 2 y 4 0， 试 判 断 直 线l与 圆C的 位 置 关 系 ， 若 有 交 点， 请 求 其 坐 标。
高中数学人教a版必修二课件：4.2.1《直线与圆的位置关系》
解：因为直线l过点 M (3,3) ，所以可设所求直线l 的方程为：
y 3 k(x 3) 即：kx y 3k 3 0
y
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：
d | 2 3k 3 | k2 1
因此： | 2 3k 3 | 5 k2 1
通过例1掌握直线与圆位置关系判定的两种方法并加以对比， 体会几何法的简便性，通过例2进一步体会利用直线与圆的几何 性质解答问题的重要性，通过例3例4学会建立直角坐标系，利用 坐标法解答实际问题和平面几何问题。运用方程思想、转化思想 、数形结合思想，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结 合和几何法和代数法在直线与圆位置关系中的应用。
动画演示轮船是否遇台风
为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建
立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
这样，受台风影响的圆区域所对应
的圆心为O的圆的方程为:
y
40 港口
x2 y2 9
轮船航线所在直4x 7 y 28 0
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
个斜率k值，说明另一条斜率不存在。
直线与圆的方程的应用
引例解答：
受台风影响的圆O的方程为: x2 y2 9
轮船航线所在直线l的方程为：4x 7 y 28 0
圆与直线l 有无公共点？
圆心O到直线l 的距离为 d 28 28 65 3
42 72
65
所以轮船不会受台风的影响。
例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m
都满足圆的方程.于是得到方程组 02+(4-b)2=r2,
102+(0-b)2=r2,
高中数学人教A版必修2课件-4.2.1直线与圆的位置关系
M M
思考2:设点M(x0，y0)为圆x2＋y2=r2 上或外一点，如何求过点M的圆的切
线方程？（切线斜率存在）
y
M
y
A
M
o
x
o
x
B
x0xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy0y=r2
一般地，过圆(x-a)2+(y-b)2=r2,
上一点P(x0,y0)的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为 ，求直线l的方程.
y A
C M
o
x
B
思考：求过点P（2，1），圆心在 直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
2x+y=0
P
作业布置:
P132习题4.2A组：2，3，5．
知识探究（二）：圆的切线方程
知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定
思考1:在平面几何中，直线与圆的 位置关系有几种？
思考2:在平面几何中，我们怎样判 断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
d<r
d=r
d>r
方法一：几何法 1.把直线方程化为一般式，并求出 圆心坐标和半径r；
2.利用点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离d；
3.比较d与r的大小关系：
若d＞r，则直线与圆相离； 若d＝r，则直线与圆相切； 若d＜r，则直线与圆相交．
思考3:如何根据直线与圆的公共点 个数判断直线与圆的位置关系？
两个公共点 一个公共点 没有公共点
高中数学必修2第4章 4-2 4-2-1直线与圆的位置关系
15 所以切线方程为 y＋3＝－ 8 (x－4)， 即 15x＋8y－36＝0.
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(2)若直线斜率不存在， 圆心 C(3,1)到直线 x＝4 的距离也为 1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x＝4. 综上，所求切线方程为 15x＋8y－36＝0 或 x＝4.
2 2
l ＋22
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3．利用弦长公式 设直线 l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的 方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]. 1＋k2 |x1 － x2| ＝
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直线与圆的位置关系的判断方法 1．几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断． 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线 与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
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由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为 y＋7
[探究共研型]
圆的弦长问题
探究 1 已知直线 l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
【提 示】
将 直线 方程 与圆 的方 程联 立解 出交 点坐 标， 再 利 用 |AB| ＝
x2－x12＋y2－y12求弦长．
2
－
2 2 2 ＝2. 2
17 17 解得 k＝1 或 7 .所以直线 l 的方程为 y＋2＝x＋1 或 y＋2＝ 7 (x＋1)， 即 x－y －1＝0 或 17x－7y＋3＝0.
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“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期： 年 月 日 星期 班级 ）
授课题目 第39课 直线与圆的位置关系
拟 课时
第 课时
明确目标 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。
重点难点 重点：
难点：
课型 □讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 与 教 师 活 动 设 计 学生活
动设计
一、先学后讲
1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种，即 、 和相离，判定的方法有两种:
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究。
若有两组不同的实数解，即0，则 ；若有两组相同的实数解，即0，
则 ；若无实数解，即0，则 ．
即（判别式法）000相交相切相离
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d
即drdrdr相交相切相离
以上两种方法比较：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用几何法.
二、合作探究
1. 直线与圆的位置关系
例1试判断直线:ly=2x+1和圆:Cx2+y2=4的位置关系.
【思路分析】解决本题的方法主要有两个,其一是利用圆心到直线的距离与半径
的大小关系(几何法);其二是引入二次函数,利用方程根来解决(判别式法).
【解法一】(几何法)∵x2+y2=4,∴圆心为(0,0),半径r=2. 又∵y=2x+1,
∴圆心到直线的距离为d=22|2001|5521＜2=r.∴直线与圆相交.
【解法二】(判别式法)
∵2221,4,yxxy∴(2x+1)2+x2=4,
即5x2+4x－3=0.判别式Δ=42－4×5×(－3)=76＞0.∴直线与圆相交.
【点评】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考
虑.
☆自主探究1
直线:l30xy和圆:C22(1)(5)9xy的位置关系是
三、总结提升
1、本节课你主要学习了
2．直线与圆的三种位置关系的含义是:
直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离
d与半径r的关系
图形
相交 两个 d＜r
相切 只有一个 d=r
相离 没有 d＞r
四、问题过关
1．已知圆的方程是222xy,直线yxb,当b为何值时,圆与直线有两个公共
点,只有一个公共点没有公共点.
因材施教：
教学后记：