巩固练习_基础_等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和
等差数列及其前 n 项和 基础知识 自主学习
要点梳理 1．等差数列的定义 如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项 公式是 an＝a1＋(n－1)d .
规范解答 解 方法一 设 {an}的公差为 d， 则由 Sn＝ m， Sm＝n， S ＝ na ＋n(n－1) d＝m， ① 1 n 2 得 [4分] m(m－ 1) Sm＝ ma1＋ d＝n. ② 2 (m－n)(m＋n－ 1) ②－① 得(m－ n)a1＋ · d＝ n－m， 2 m＋n－1 ∵ m>n， ∴a1＋ d＝－ 1. [8分] 2 (m＋n)(m＋n－ 1) ∴ Sm＋ n＝(m＋ n)a1＋ d 2 m＋n－ 1 ＝ (m＋ n)a1＋ [12分] d ＝－(m＋ n)． 2
3．等差中项
a＋b 如果 A＝ 2 ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广： an＝ am＋ (n－m)d ， (n， m∈ N*)． (2)若 {an}为等差数列， 且 k＋ l＝ m＋ n， (k， l， m， n∈ N*)， 则 ak＋al＝am＋an . (3)若 {an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列， 公差为 2d . (4)若 {an}，{bn}是等差数列，则 {pan＋ qbn}也是等差数列． (5)若 {an}是等差数列， 公差为 d， 则 ak， ak＋ m， ak＋ 2m， … (k， m∈ N*)是公差为 md 的等差数列．
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等差数列及其前n项和练习题4
等差数列及其前n 项和练习题一．填空题：1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6= .2.【2010•全国卷2理数】如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= ．3．设n s 是等差数列｛n a ｝的前n 项和，已知1a =3，5a =11，则7s = .4．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a = .5. (2010•安徽文数】设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a = .6．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = .7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 .8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735,S =则4a = .9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612S S = 10已知等差数列的首项为31,若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是 .11.数列{a n }的通项a n =2n +1，则由b n =na a a n +++ 21(n ∈N *)，所确定的数列{b n }的前n 项和n S = .12设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 13设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则数列的通项公式n a = . 1４在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ ．二.解答题：1５.等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值1６已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。
等差数列的前n项和练习题
等差数列前n 项和一．选择题：1.已知等差数列{n a }中，1a ＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） A.55 B.45 C.35 D.252.已知等差数列{n a }的公差为正数，且73a a ⋅=－12，64a a +=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－903.将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2. 则第2008层正方体的个数是（ ）.A ．4011B ．4009C ．2017036D ．2009010 4.若数列{n a }的前n 项和S n ＝n 2－1，则4a 等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．17 5.已知数列{n a }的前n 项和S n ＝n 3，则65a a +的值为 ( ) A ．91B ．152C ．218D ．279 6.设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，若9535=a a ，则59S S 等于( )A ．1B ．－1C ．2D.217.设等差数列{n a }的前n 项和为Sn,若S 3=9,S 6=36,则 987a a a ++ ( ) A.63 B.45 C.36 D.279.在等差数列{n a }中,已知公差d=21,且99531......a a a a ++++=60,则100642......a a a a ++++= ( ) A.85 B.145 C.110 D.9010.某乡建设线路，有48根电线杆，最近一根竖直离电线杆堆放处1000m ，以后每隔50m 竖一根，如果一辆车一次能运6根，全部运完返回，这辆车共走了（ ）. A ．18400m B ．18450m C ．36800m D ．36900m 二．填空题：11.等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d ． 12.设S n 为等差数列{}n a 前n 项和，若4a ＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．…… ……13.等差数列{}n a 中,已知1a ＝25,S 9＝S 17,则当S n 取得最大值时,n 的值为_____． 14.若数列{}n a 是等差数列，首项1a ＞0，2003a +2004a ＞0，2003a ⋅2004a ＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．15,。
等差等比数列前N项和练习答案
等差数列前N 项和（第一课时） 一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.2．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝13，∴a 1＋da 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1.又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( )A ．168B ．156C ．152D ．286[答案] D[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000[答案] C[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴5d ＝15，∴d ＝3.6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12[答案] A [解析]S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1，故选A ． 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2＋n2[解析] ∵a n ＝－5n ＋2， ∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－5n －1)2＝－5n 2＋n 2.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题9．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ． [解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列前N 项和（第二课时） 一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18[答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15 ∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎨⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．等比数列前N 项和综合练习1．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D 项． 2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝81[1－(23)5]1－23＝211. 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )A ．21B ．42C ．135D ．170 答案 D 解析5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4(1－125)1－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．等比数列{an }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1(1－1q n )1－1q ＝q 1－n ·1－q n1－q ＝q 1－n ·S .当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S .8．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案 A 解析9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A 解析10．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20， ∴a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.11．(2012·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.答案 －2解析 由S 3＝－2S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)，即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.12．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 1013．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2，得2q 2－q －3＝0，即q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 3n －1，或(－3)n －14解析答案24解析16．等比数列{a n}的公比q>0，已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________.答案 152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q >0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.17．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．答案 该数列的公比为2，项数为8解析18．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，则⎩⎨⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ①② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0. (q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.。
等差数列基础练习题及答案.doc
等差数列基础练习题及答案精品文档等差数列基础练习题及答案一(选择题8(数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=)14(在等差数列{an}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于17(等差数列{an}的公差d,0，且，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n是二(填空题27(如果数列{an}满足:=2)28(如果f=f+1，且f=2，则f=(29(等差数列{an}的前n项的和，则数列{|an|}的前10项之和为(30(已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16( 求数列{an}的通项公式:若数列{an}和数列{bn}满足等式:an==，求数列{bn}的前n项和Sn(1 / 13精品文档参考答案与试题解析一(选择题348(数列的首项为3，为等差数列且，若，，则= )5姓名:_______________学号:____________________班级:_____________________等差数列基础检测题一、选择题1、已知等差数列{an}的首项a1,1，公差d,2，则a4等于A(5B(6C(7D(92、已知{an}为等差数列，a2，a8,12，则a5等于A( B(5C(6D(73、在数列{an}中，若a1,1，an，1,an，2，则该数列的通项公式an,A(2n，1B(2n,1C(2nD(24、等差数列{an}的公差为d，则数列{can}A(是公差为d的等差数列B(是公差为cd的等差数2 / 13精品文档列C(不是等差数列D(以上都不对5、在等差数列{an}中，a1,21，a7,18，则公差d,11 B.311C(,D36、在等差数列{an}中，a2,5，a6,17，则a14,A(45B(41C(39D(37X k b 1 . c o m1517、等差数列{an}a101, x，16xx12A(50B(1332C(24D(8*8、已知数列{an}对任意的n?N，点Pn都在直线y,2x，1上，则{an}为A(公差为2的等差数列 B(公差为1的等差数列C(公差为,2的等差数列 D(非等差数列9、已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是A(2B(3C(6D(910、若数列{an}是等差数列，且a1，a4,45，a2，a5,39，则a3，a6,3 / 13精品文档A(24B(27C(30D(3311、下面数列中，是等差数列的有4,5,6,7,8，… ?3,0，,3,0，,6，… ?0,0,0,0，…1234?，， 10101010A(1个B(2个C(3个D(4个12、首项为,24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是8A(d,B(d,388d,3D.,d?33二、填空题13、在等差数列{an}中，a10,10，a20,20，则a30,________.14、?ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B,__________.15、在等差数列{an}中，若a7,m，a14,n，则a21,________.216、已知数列{an}满足a2n，1,an，4，且a1,1，an,0，则an,________.三、解答题17、在等差数列{an}中，已知a5,10，a12,31，求4 / 13精品文档它的通项公式(18、在等差数列{an}中，已知a5,,1，a8,2，求a1与d;已知a1，a6,12，a4,7，求a9.19、已知{an}是等差数列，且a1，a2，a3,12，a8,16.求数列{an}的通项公式;若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式(20、已知等差数列{an}中，a1,a2,a3,…,an且a3，a6为方程x2,10x，16,0的两个实根(求此数列{an}的通项公式;268是不是此数列中的项,若是，是第多少项,若不是，说明理由(21、已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数(22、已知，是等差数列{an}图象上的两点(求这个数列的通项公式;画出这个数列的图象;判断这个数列的单调性(5 / 13精品文档答案:一、选择题1-CCBBC6-10 BDABD 11-1BD二、填空题a20,a1020,1013、解析:法一:d1，a30,a20，10d,20，10,30.0,1020,10法二:由题意可知，a10、a20、a30成等差数列，所以a30,2a20,a10,2×20,10,30. 答案:3014、解析:?A、B、C成等差数列，?2B,A，C. 又A，B，C,180?，?3B,180?，?B,60?. 答案:60?15、解析:?a7、a14、a21成等差数列，?a7，a21,2a14，a21,2a14,a7,2n,m. 答案:2n,m22216、解析:根据已知条件a2n，1,an，4，即an，1,an,4，数列{a2n}是公差为4的等差数列，22?an,a1，?4,4n,3.an,0，?an,4n,3.4n,3三、解答题17、解:由an,a1，d得10,a1，4d?a1,,2?，解得?. ?31,a1，11d?d,3??6 / 13精品文档等差数列的通项公式为an,3n,5.a1，?5,1?d,,1，18、解:由题意，知? ?a1，?8,1?d,2.?a1,,5，解得? ?d,1.?a1，a1，?6,1?d,12，?由题意，知? ??a1，?4,1?d,7.a1,1，?解得? ?d,2.?a9,a1，d,1，8×2,17.19、解:?a1，a2，a3,12，?a2,4，a8,a2，d，?16,4，6d，?d,2， ?an,a2，d,4，×2,2n.a2,4，a4,8，a8,16，…，a2n,2×2n,4n. 当n,1时，a2n,a2,4n,4,4.{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列( ?bn,b1，d,4，4,4n.20、解:由已知条件得a3,2，a6,8.又?{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d， a1，2d,2?a1,,2??，解得?. ?a1，5d,8?d,2??an,,2，×2,2n,4(数列{an}的通项公式为an,2n,4.7 / 13精品文档令268,2n,4，解得n,136.268是此数列的第136项(6-2等差数列基础巩固一、选择题1(如果等差数列{an}中，a3，a4，a5,12，那么a1，a2，…，a7,A(14C(28[答案] C[解析] 由a3，a4，a5,12得，a4,4， ?a1，a2，…，a7,a1，a727,7a4,28.B(21 D(352(在等差数列{an}中，已知a4，a8,16，则a2，a10,A(12C(20[答案] B[解析] 本题考查等差数列的性质(由等差数列的性质得，a2，a10,a4，a8,16，B正确( 在等差数列{an}中，已知a4，a8,16，则该数列前11项和S11,A(58C(143[答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的性质及求和公式(8 / 13精品文档11?a1，a11?11×16由条件知a4，a8,a1，a11,16，S112,11×82B(8D(17B(1D(24,88.3(设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1,,11，a4，a6,,6，则当Sn取最小值时，n等于A(6C(8[答案] Aa1,,11，?a1,,11[解析] 设公差为d，.a4，a6,,6，?d,2B(D(9n?n,1?Sn,na12d,,11n，n2,n,n2,12n. ,2,36. 即n,6时，Sn最小(4(在等差数列{an}中，若a4，a6,12，Sn是数列{an}的前n项和，则S9的值为A(48C(60 [答案] B[解析] 解法1:?a4，a6,a1，a9,12，?a1，a9?9×12?S9,,254.解法2:利用结论:S2n,1,an， ?a4，a6?S9,9×a5,9×2,54.5(若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的9 / 13精品文档和为146，且所有项的和为390，则这个数列有A(13项C(11项B(12项 D(10项 B(5D(66[答案] Aa1，a2，a3,34[解析] 依题意?，an,2，an,1，an,146两式相加得，，,180. ?a1，an,a2，an,1,a3，an,2，?a1，an,60. n?a1，an?Sn,,390，?n,13.anan，1，126(等差数列{an}中，a1,a3，a7,2a4,4，则2的值为整n，3n数时n的个数为A(4C(2[答案] C[解析] a3，a7,2a4,2d,4， ?d,2.?an,2n，2.anan，1，12?2n，2??2n，4?，12?n，3nn，3n20,4，n?n，3?当n,1,2时，符合题意( 二、填空题7(设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4,14，S10,S7,30，则S9,________.10 / 13精品文档[答案]4[解析] 设首项为a1，公差为d，由S4,14得B(D(14×34a1，2,14.?由S10,S7,30得3a1，24d,30，即a1，8d,10.?联立??得a1,2，d,1，?S9,54.8(在等差数列{an}中，|a3|,|a9|，公差d [答案]或6[解析] ?d0，Sn取得最大值时的自然数n是5或6. 三、解答题9(设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(求数列{an}的公比;证明:对任意k?N，，Sk，2，Sk，Sk，1成等差数列( [解析] 设数列{an}的公比为q，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3,a5，a4，即2a1q2,a1q4，a1q3，由a1?0，q?0得q2，q,2,0，解得q1,,2，q2,1，所以q,,2.证明:对任意k?N，，Sk，2，Sk，1,2Sk,， ,ak，1，ak，2，ak，1,2ak，1，ak，1? ,0，11 / 13精品文档所以，对任意k?N，，Sk，2，Sk，Sk，1成等差数列(能力提升一、选择题1(设Sn是公差为d的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是A(若d C(若数列{Sn}是递增数列，则对任意n?N，，均有Sn>0 D(若对任意n?N，，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列 [答案] C[解析] 本题考查等差数列的性质(对于等差数列,1,1,3，…，其{Sn}是递增数列，但S1，S2不大于0，故选C.SS2(等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1,,2014012010,2，则S014的值为A(,012C(012[答案] DSSS[解析] 设Sn,An，Bn，则n,An，B，012010,2A,2，2B(01D(,014S故A,1.又a1,S1,A，B,,014，?B,,015.?014,014,015,,1.?S2014,,014.二、填空题12 / 13精品文档13 / 13。
2020届高三(文)一轮复习：课堂达标27 等差数列及其前n项和
◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(二十七)[A 基础巩固练]1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2. [答案] B2．(2018·宁夏银川市二模试卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为( )A ．15B ．20C ．25D ．15或25[解析] ∵在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝51＋2＝1＋1＋，解得a 1＝－1，d ＝2， ∴数列{a n }的前5项的和为：S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×(－1)＋5×4＝15.故选：A.[答案] A3．(2018·山师大附中高三三模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36[解析] 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1－q 51－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2. 又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2－q 51－q＝31，故选B.[答案] B4．(2016·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d>0，dS 4>0B ．a 1d<0，dS 4<0C ．a 1d>0，dS 4<0D ．a 1d<0，dS 4>0[解析] ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋7d)，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d≠0，∴a 1d<0.∵S n ＝na 1＋－2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.[答案] B5．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)＜0，则( )A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|＝|a 8|D ．|a 7|＝0[解析] 根据题意，等差数列{a n }中， 有(S 8－S 5)(S 9－S 5)＜0，即(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＜0， 又由{a n }为等差数列，则有(a 6＋a 7＋a 8)＝3a 7，(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＝2(a 7＋a 8)，(a 6＋a 7＋a 8)(a 6＋a 7＋a 8＋a 9)＜0⇔a 7×(a 7＋a 8)＜0，a 7与(a 7＋a 8)异号，又由公差d ＞0，必有a 7＜0，a 8＞0，且|a 7|＜|a 8|； 故选：B. [答案] B6．(2018·湖南省常德市一模)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( )A ．72.705尺B ．61.395尺C ．61.905尺D ．73.995尺[解析] ∵每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d′＝0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，设从地面往上，每节节圈长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，由{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列，∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是：S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋[30×1.3＋30×292×(－0.013)]＝61.395.故选：B. [答案] B7．(2018·湖南省永州市三模)数列{a n }的通项公式为a n ＝nsin n π2＋(－1)n，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝______.[解析] ∵n ＝2k(k ∈N *)时， a n ＝a 2k ＝2k·sin k π＋1＝1. n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝(2k －1)·sin 2k －12π－1＝(－1)k －1(2k －1)－1.∴S 2 017＝(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＋(a 1＋a 3＋…＋a 2 017) ＝1 008＋(1－3＋5－7＋…－2 017－1 009) ＝1 008＋(－1 008－2 017－1 009)＝－3 026. [答案] －3 0268．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则正整数m 的值为______． [解析] 因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m.由S m ＝(3－m)m ＋－2×1＝0，解得正整数m 的值为5.[答案] 59．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝__________. [解析] 法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：因为S 100－S 10＝11＋a 1002＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S110＝1＋a 1102＝11＋a 1002＝－110.[答案] －11010．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12n－1－＝n －1－n－1＝－1－.当n ＝1时，a 1＝12不适合卡式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－1－，n≥2.[B 能力提升练]1．(2018·南昌一模)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[解析] 由题意a 1>0，a 10·a 11<0，得d<0，a 10>0，a 11<0，所以a 1>a 2>…>a 10>0>a 11>a 12>…>a 18>…， 所以T 18＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＋|a 11|＋|a 12|＋…＋|a 18|＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝2S 10－S 18＝2×36－12＝60.[答案] C2．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *，(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列[解析] S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n ＋1|长度一半，即S n ＝12 h n |B n B n ＋1|，由题目中条件可知|B n B n ＋1|的长度为定值，那么我们需要知道h n 的关系式，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成了直角梯形，那么h n ＝h 1＋|A 1A n |·sin θ，其中θ为两条线的夹角， 即为定值，那么S n ＝12(h 1＋|A 1A n |·sin θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(|h 1＋A 1A n ＋1|·sin θ)|B n B n ＋1|， 作差后：S n ＋1－S n ＝12 (|A n A n ＋1|·sin θ)|B n B n ＋1|，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值．故选A. [答案] A3．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为__________．[解析] ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. [答案]19414．(2018·湖南省常德市一模)已知数列{a n }中，a 1＜0，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足：b n ＝na n (n ∈N *)，设S n 为数列{b n }的前n 项和，当n ＝7时S n 有最小值，则a 1的取值范围是______．[解析] 数列{a n }中，a 1＜0，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)， ∴1a n ＋1－1a n ＝3，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为3. ∴1a n ＝1a 1＋3(n －1)．解得a n ＝a 11＋－1.∴b n ＝na n ＝na 11＋－1，设S n 为数列{b n }的前n 项和， 当n ＝7时S n 有最小值，∴b 7＞0，b 8＜0.∴7a 11＋18a 1＞0，8a 11＋21a 1＜0，解得－118<a 1<－121.则a 1的取值范围是：⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，－121.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－118，－121. 5．(2017·江苏)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k＝2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a n }是“P(k)数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P(3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n }是等差数列．[证明] (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n≥4时，a n －k ＋a n ＋k＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P(3)数列”．(2)数列{a n }即是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此， 当n≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ， ① 当n≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)， ③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )， ④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，所以a 2＝a 3－d′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，所以a 1＝a 2－2d′，所以数列{a n }是等差数列．[C 尖子生专练](2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n}(n ＝1,2,3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x S }表示x 1，x 2，…，x S 这S 个数中最大的数．(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．[解析] (1)c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0.c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1,3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1,3－3×2,5－3×3}＝－2.当n≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n(a k ＋1－a k )＝2－n<0，所以b k －na k 关于k ∈N *单调递减．所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n}＝b 1－a 1n ＝1－n. 所以对任意n≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列．(2)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1)．所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋a 1n ＋－2－nd 1，当d 2>nd 1时，b 1－a 1n ，当d 2≤nd 1时，①当d 1>0时，取正整数m>d 2d 1，则当n≥m 时，nd 1>d 2，因此c n ＝b 1－a 1n.此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列． ②当a 1＝0时，对任意n≥1，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2,0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2,0}－a 1)．此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列． ③当d 1<0时，当n>d 2d 1时，有nd 1<d 2.所以c n n ＝b 1－a 1n ＋－2－nd 1n＝n(－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n(－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|.对任意正数M ，取正整数m>max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当时，c nn >M.。
等差数列及其前n项和
8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质
（1）若{an}是等差数列，则 S n 也成 等差 数列， n 1 其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 2 .
（2）Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 等差 数列.
解
方法一
∵a1=20，S10=S15，
1514 ∴10×20+ 10 9 d=15×20+ d， 2 2 5 ∴d= . 3 5 5 65 ∴an=20+（n-1）× ( ) n . 3 3 3 ∴a13=0.
2 2= a 2 +3a d.化简得a =d. 即 a1 +2a1d+d 1 1 1
（2）解
因为S10=110，S10=10a1+ 10 9 d， 2 所以10a1+45d=110. 由（1）a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此，数列{an}的通项公式为an=2n,n=1,2,3,….
[归纳领悟] 1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn na1＋an nn－1 ＝ ＝na1＋ d，共涉及五个量a1，an，d， 2 2 n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的 思想解决问题． 2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法.
（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 ①若项数为2n，则S偶-S奇= nd ， S奇 S偶 =
an an1 .
②若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= n an，S奇S S偶= an ， 奇 n . S偶 n 1
等差数列基础练习题及详细答案
等差数列基础习题一．选择题1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣12．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．264．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一25．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．48．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．119．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．110．如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 11．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．12.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A ． ﹣1B ． 1C ． 3D ． 713．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项的和，a 2+a 5=4，S 7=21，则a 7的值为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 914．已知数列{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=15，a 4=7，则s 6的值为（ ）A ． 30B ． 35C ． 36D ． 2415．等差数列{a n }的公差d ＜0，且，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是（ ）A ． 5B ． 6C ． 5或6D ． 6或7二．填空题1．如果数列{a n }满足：= _________ ．2．如果f （n+1）=f （n ）+1（n=1，2，3…），且f （1）=2，则f （100）= _________ ．3. 已知等差数列{}n a 的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则前3m 项和为____.4.等差数列{}n a 中, 1a <0,最小，若n s s s ,4525=则n=______三解答题1．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .2.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102020,410a S ==，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若S n =135，求以n ．一．选择题（共15小题）1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A．B．1C．D．﹣1考点：等差数列．专题：计算题．分析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．解答：解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D点评：本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列考点：等差数列．专题：计算题．分析：直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．解答：解：因为a n=2n+5，所以a1=2×1+5=7；a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）A．23 B．24 C．25 D．26考点：等差数列．专题：综合题．分析：根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．解答：解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23故选A点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）A．一1 B．2C．3D．一2考点：等差数列．专题：计算题．分析：根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数的通项公式，得到数列的公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，∴a2=2∵a4=8，∴8=2+2d∴d=3，故选C．点评：本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的倍，这样可以简化题目的运算．5．两个数1与5的等差中项是（）A．1B．3C．2D．考点：等差数列．专题：计算题．分析：由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解答：解：1与5的等差中项为：=3，故选B．点评：本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：等差数列．专题：计算题．分析：设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合差为整数进而求出数列的公差．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，因为数列是公差为整数的等差数列，所以d=﹣4．故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012•福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（c）A．0B．8C．3D．119．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）A．5B．3C．﹣1 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，由S3=3a1+=9解得，a1=1．故选D．点评：本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．10．（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5考点：等差数列的性质．分析：用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5∴故选B点评：本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．11．（2004•福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．12．（2009•安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）A．﹣1 B．1C．3D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通公式求得答案．解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，a2+a4+a6=3a4=99，∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项性质求得a3和a4．13．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6B．7C．8D．9考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9故选D点评：本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．14．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）A．30 B．35 C．36 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求答案．解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，∴a3=5∴a1+a6=a3+a4=12∴s6=×6=36故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．15．（2012•营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5B．6C．5或6 D．6或7考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解答：解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．点评：本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．二．填空题（共4小题）1．如果数列{a n}满足：=．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解答：解：∵根据所给的数列的递推式∴数列{}是一个公差是5的等差数列，∵a1=3，∴=，∴数列的通项是∴故答案为：点评：本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列通项公式写出通项，本题是一个中档题目．2．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）=101．考点：数列递推式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够出f（100）．解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，f（3）=f（2）+1=3+1=4，f（4）=f（3）+1=4+1=5，…∴f（n）=n+1，∴f（100）=100+1=101．故答案为：101．点评：本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3. 已知等差数列{}n a的前m项和为30, 前2m项和为100, 则前3m项和为2104.等差数列{}n a 中, 1a <0,最小，若n s s s ,4525=则n=____35__三.解答题 2．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .答案： S n=n 2-9n 或S n =-n 2+9n2.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102020,410a S ==，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若S n =135，求以n ．答案. a n =n+10,n=9。
等差数列及其前n项和训练题(含参考答案)
等差数列及其前n项和基础巩固组1.已知等差数列{a n},且a2+a8=16,则数列{a n}的前9项和等于()A.36B.72C.144D.2882.(2017浙江温州质检)已知数列{a n}是等差数列,且a7-2a4=6,a3=2,则公差d=()A.2B.4C.8D.163.(2017湖北重点中学联考)在等差数列{a n}中,a3+a6+a9=54,设数列{a n}的前n项和为S n,则=()S11A.18B.99C.198D.2974.设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<05.已知每项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,且前n项和S n满足S n-S n-1=2(n ∈N*,且n≥2),则a81等于()A.638B.639C.640D.6416.(2017安徽阜阳二模改编)等差数列{a n}前n项和为S n,S7-S5=24,a3=5,则S7=.7.(2017浙江镇海测试卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n(其中n∈N*),且满足:a6+a7+a8-a9=2,则a6=,S4·S18的最大值是.8.记数列{a n}的前n项和为S n,若是公差为d的等差数列,则{a n}为等差数列时,d的值为.能力提升组9.(2017浙江镇海中学模拟)已知函数f(x)在(-1,+∞)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,若数列{a n}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则{a n}的前100项的和为()A.-200B.-100C.0D.-5010.已知等差数列{a n}中,满足S3=S10,且a1>0,S n是其前n项和,若S n取得最大值,则n=()A.5B.6C.7D.6或711.(2017浙江绍兴测试)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S2 015>0,S2 016<0,若对任意正整数n,都有|a n|≥|a k|,则k的值为()A.1 006B.1 007C.1 008D.1 00912.(2017浙江杭州二模)设{a n}是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i ≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l≤S j S kD.S i S l≥S j S k13.(2017浙江温州模拟)已知等差数列{a n}满足:a4>0,a5<0,则满足>2的n的集合是.14.(2017浙江绍兴期末)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若数列{a n}是单调递增数列,且满足a5≤6,S3≥9,则a6的取值范围是.15.(2017安徽马鞍山二模)如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为.2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………16.已知数列{a n}满足a1=,a n=(n>1).(1)求证:数列为等差数列,并求出数列{a n}的通项公式;(2)已知数列{b n}满足b1=1,b2=2,且b n=b1+a1b2+a2b3+…+a n-2b n-1(n>2),判断2 016是否为数列{b n}中的项?若是,求出相应的项数n;若不是,请说明理由.17.(2017湖北重点中学联考)已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(a n+a n+)=2n(n+1)(n∈N*).1(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:数列的前n 项和S n <6.§6.2 等差数列及其前n 项和题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，所以875<d ≤325.故选D.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面． 答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20. 题型一 等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题． 题型二 等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 21解析 因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________.答案 6 054解析 由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0182 018＝S 11＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， ∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43 答案 A解析a7b7＝2a72b7＝a1＋a13b1＋b13＝a1＋a132×13b1＋b132×13＝S13T13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列的前n项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1(1)在等差数列{a n}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10等于() A．45 B．60 C．75 D．90(2)在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.解析(1)由题意得a3＋a8＝9，所以S10＝10(a1＋a10)2＝10(a3＋a8)2＝10×92＝45.(2)方法一设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则⎩⎨⎧10a1＋10×92d＝100，100a1＋100×992d＝10，解得⎩⎨⎧a1＝1 099100，d＝－1150.所以S110＝110a1＋110×1092d＝－110.方法二因为S100－S10＝(a11＋a100)×902＝－90，所以a11＋a100＝－2，所以S110＝(a1＋a110)×1102＝(a11＋a100)×1102＝－110.答案(1)A(2)－110典例2在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 答案 B解析 设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B.3．(2019宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案 C解析 数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9×a 5＝27.故选C.4．(2019·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10 答案 A解析 设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2，∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0，故选A.5．(2019·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 答案 D解析 由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2019·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 033 答案 C解析 因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2>0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2019·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________． 答案 24解析 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.答案 －12解析 因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以14log a 1 010＝－12. 9．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布． 答案 21解析 由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布． 10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．答案 245解析 ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，解得a 20＝9620＝245. 14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________.答案 14解析 ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，∴1a n ＋1－1a n ＝13， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，13为公差的等差数列，∴1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14.15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 ∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． ∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________． 答案 121解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12. 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫1＋212n －12为单调递减数列， 所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121.。
等差数列及其前n项和讲义解析
等差数列及其前n 项和讲义解析【课前双基巩固】 知识聚焦 1.a n -a n-1=da+b 2a n =a 1+(n-1)d a n =a m +(n-m )d (n ,m ∈N *)n(a 1+a n )2na 1+n(n -1)2d2.a p +a q 2a k 等差3.dn+a 1-d 一次函数 孤立 递增 递减 常数列d2n 2+(a 1-d2)n 二次函数 孤立 大 小 对点演练1.-3 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则由条件得{a 1+4d =9,2(a 1+2d)=(a 1+d)+6,解得{d =3,a 1=−3.2.-21 [解析] ∵在等差数列{a n }中,a 2=-1,a 6=-5,∴S 7=72(a 1+a 7)=72(a 2+a 6)=72×(-6)=-21. 3.24 [解析] 由等差数列的性质可知S 4,S 8-S 4,S 12-S 8 成等差数列,所以2×(12-4)=4+(S 12-12),解得S 12=24.4.8 [解析] a 3+a 6+a 10+a 13=32,即(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=32,根据等差数列的性质得2a 8+2a 8=32,则a 8=8,故m=8.5.7或8 [解析] a n =a 1+(n-1)d=-28+4(n-1)=4n-32.由a n ≤0,得4n-32≤0,即n ≤8,则a 8=0,当n<7时,a n <0,所以前n 项和S n 取得最小值时n=7或8.6.(209,52] [解析] 由题意知数列{a n }满足{a 10>0,a 9≤0,即{-20+9d >0,-20+8d ≤0,所以{d >209,d ≤52,即209<d ≤52. 7.100 [解析] |a 1|+|a 2|+…+|a 20|=(a 1+a 2+…+a 11)-(a 12+a 13+…+a 20)=S 11-(S 20-S 11)=2S 11-S 20,而S 11=11×(10+0)2=55,S 20=10×20+20×(20−1)2×(-1)=10,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|=100.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)将已知条件转化为关于首项a 1和公差d 的方程组,进而求得a 1和d ,然后利用等差数列的通项公式求a 4;(2)首先由a 6=3a 4确定首项a 1与公差d 的关系,然后代入S 10=λa 4即可求得λ的值.(1)B (2)D [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵{S 6=24,S 9=63,∴{6a 1+6×52d =24,9a 1+9×82d =63,解得{a 1=−1,d =2,则a 4=a 1+3d=-1+3×2=5. (2)设等差数列{a n }的公差为d ,由a 6=3a 4,得a 1+5d=3 (a 1+3d ),则a 1=-2d ,又S 10=λa 4,所以λ=S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=10×(−2d)+10×92d -2d+3d=25.变式题 (1)B (2)A [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则由题意得{a 3=a 1+2d =1,a 5=a 1+4d =4,解得{a 1=−2,d =32,则数列{a n }的前13项和S 13=13a 1+13×122d=91.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,由3a 3=a 6+4得3(a 2+d )=a 2+4d+4,即d=2a 2-4.由S 5<10,得5(a 1+a 5)2=5(a 2+a 4)2=5(2a 2+2d)2=5(3a 2-4)<10,解得a 2<2,故选A.例2 [思路点拨] (1)首先根据等差数列的性质得到a 1+a 10=a 2+a 9=a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=4,然后进行指数与对数运算;(2)若数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,则{Sn n }成等差数列,利用以上性质即可求解;(3)由等差数列的性质知,S 672,S 1344-S 672,S 2016-S 1344成等差数列,由此建立方程可求解.(1)B (2)-2017 (3)C [解析] (1)由等差数列的性质知a 1+a 10=a 2+a 9=a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=4,则2a 1·2a 2·…·2a 10=2a 1+a 2+⋯+a 10=25(a 5+a 6)=25×4,∴log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=log 225×4=20.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,因为Sn n =a 1+12(n-1)d ,所以数列{Sn n }也成等差数列,由S20132013-S20112011=2得该数列的公差为1,因此S 20172017=S 11+(2017-1)×1=-1,故S 2017=-2017.(3)由等差数列的性质知,S 672,S 1344-S 672,S 2016-S 1344成等差数列,则2(S 1344-S 672)=S 672+S 2016-S 1344,即2×(12-2)=2+S 2016-12,解得S 2016=30.变式题 (1)B (2)14924 (3)C [解析] (1)由题意可得a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=5a 7=45,S 3=3a 2=-3,则a 7=9,a 2=-1,则数列的公差d=a 7-a27−2=2,故a 5=a 2+3d=5.(2)因为数列{a n }和{b n }均为等差数列,所以a 2+a 20b7+b 15=a 1+a 21b1+b 21=(a 1+a 21)×212(b 1+b 21)×212=S 21T 21=7×21+221+3=14924.(3)∵{a n } 是等差数列,∴S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,即2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n ),∵S n =3,S 3n =21,∴2(S 2n -3)=3+21-S 2n ,解得S 2n =10,故选C.例3 [思路点拨] (1)对数列{a n }的递推公式进行变换,使其出现a n+1+1与a n +1的关系,即可证明;(2)根据(1)的结论利用等差数列的通项公式求解.解:(1)证明:因为a n+1+1=-2a n -33a n+4+1=a n+13a n+4,所以1an+1+1=3a n+4a n+1=3+1a n+1,所以1a n+1+1-1an+1=3,所以{1a n +1}是首项为1a 1+1=3,公差为3的等差数列.(2)由(1)得1an+1=3n ,所以a n =13n -1. 变式题 解:(1)∵a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个根, ∴a 1=1,a 2=5,∴等差数列{a n }的公差为4, ∴S n =n ·1+n(n -1)2·4=2n 2-n.(2)证明:当c=-12时,b n =Snn+c =2n 2-n n -12=2n ,∴b n+1-b n =2(n+1)-2n=2,b 1=2,∴{b n }是首项为2,公差为2的等差数列.例4 [思路点拨] (1)首先根据条件确定数列的通项公式,然后根据数列各项的符号情况得到不等式组,进而确定n 的值,或求出前n 项和S n 的表达式,利用二次函数的性质求解;(2)根据二次函数图像的对称性来处理数列的最值.(1)D (2)B [解析] (1)方法一:由d=-2,S 3=21,得3a 1+3d=3a 1+3×(-2)=21,解得a 1=9,所以通项公式为a n =9+(n-1)·(-2)=11-2n ,则由{a n =11−2n ≥0,a n+1=11−2(n +1)≤0,解得92≤n ≤112,所以当n=5时,S n取得最大值,故选D.方法二:同方法一可求得a 1=9,因为d=-2,所以S n =9n+n (n -1)2×(-2)=-n 2+10n=-(n-5)2+25,则当n=5时,S n 取得最大值,故选D.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,因为a 1<0,S 18=S 36,所以d>0,所以数列{a n }的前n 项和S n =d 2n 2+a 1-d2n 对应的图像开口向上,其对称轴为n=18+362=27,所以当n=27时,S n 取得最小值,故选B.变式题 (1)D (2)B [解析] (1)设等差数列{a n } 的公差为d ,因为a 1<0,a 1+5d a 1+4d =811,所以a 1=-233d ,d>0,所以S n =na 1+n (n -1)2d=d12n 2-496n ,对应图像的对称轴为n=496,整数中8距对称轴最近,所以当S n 取最小值时,n=8,故选D.(2) 由题意可得a 11+a 10a 10<0,由S n 有最大值,可知a 1>0,公差d<0,所以a 10>0,a 11<0,a 10+a 11<0,所以S 19=19a 10>0,S 20=10(a 10+a 11)<0,则使得S n >0的n 的最大值为19.一、 填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________． 答案 5解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，得a 3＝1， ∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5. 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 答案 －6解析 由S 8＝4a 3知：a 1＋a 8＝a 3，a 8＝a 3－a 1＝2d ＝a 7＋d ，所以a 7＝d ＝－2.所以a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________． 答案 28解析 ∵{}a n 为等差数列，∴a 2＋a 18＝2a 10，∴a 18＝2a 10－a 2＝28.4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________． 答案 2解析 ∵a 1＋a 5＝10＝2a 3，∴a 3＝5. 故d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________． 答案 2解析 由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2. 6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________． 答案 28解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5，∴a 3＋a 4－a 5＋a 6＝a 3＋a 5＝2a 4＝8，∴a 4＝4，∴S 7＝7a 4＝28.7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．答案 8解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16. ∴a 7－12a 8＝2a 7－a 82＝a 62＝8.8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________． 答案 21解析 由5a 8＝8a 13得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )⇒d ＝－361a 1，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－361a 1≥0，得n ≤643＝2113，∴数列{a n }前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n 取最大值时，n 的值为21.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析 由已知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析 因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 答案 5解析 由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020， ∴a 1＝5. 二、解答题12．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .解析 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .13．等差数列{a n }满足a 3＝3，a 6＝－3，求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值.解析 法一 由a 3＝3，a 6＝－3得，⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋8n ＝－(n －4)2＋16.∴当n ＝4时S n 有最大值16.法二 由a 3＝3，a 6＝－3得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a n ＝9－2n .则n ≤4时，a n >0，当n ≥5时，a n <0， 故前4项和最大且S 4＝4×7＋4×32×(－2)＝16.。
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【巩固练习】
一、选择题
1.在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )
A． 5 B．8 C． 10 D． 14
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的递增等差数列 B．是公差为5的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列 D．是公差为2的递减等差数列
3.已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )
A．20 B．48
C．60 D．72
4.（2016年全国Ⅰ高考）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a
A.100 B.99 C.98 D.97
5.（2015 新课标Ⅱ） 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
6. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若3613SS，则612SS等于( )
A.310 B.13
C.18 D.19
二、填空题
7.
若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大．
8.在公差d=21的等差数列{an}中，已知S100=145，则a1+a3+a5+……+a99的值为_____.
9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四
个数从小到大依次为____________.
10.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
三、解答题
12.在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.
13．已知数列{an}是等差数列，令221nnnaab，求证：{bn}也是等差数列.
14．已知等差数列{an}满足，Sp=q，Sq=p，(p≠q)，求Sp+q.
15．已知等差数列{an}中，a1＜0，S9=S12，求Sn何时取最小值.
16. （2016 全国II卷高考）等差数列{na}中，34574,6aaaa.
（Ⅰ）求{na}的通项公式；
（Ⅱ） 设[]nnba，求数列{}nb的前10项和，其中[]x表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案与解析】
1.答案：B
解析：∵等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10
∴2＋2d＋2＋4d＝10，解得d＝1，
∴a7＝2＋6×1＝8．
故选：B．
2. 答案： A
解析： ∵an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，
∴{an}是公差为2的递增等差数列．
3. 答案： A
解析： ∵a6＋a8＝2a7，
又a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.
∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选A.
4. 答案： C
解析：由已知，1193627,98adad所以110011,1,9919998,adaad故选C.
5. 答案： A
解析：13533331aaaaa,15535552aaSa.故选A.
6. 答案： A
解析： 设S3＝m，∵3613SS，
∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，
得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m，
∴612310SS，故选A.
7.答案：8
解析：由等差数列的性质可得a7＋a8＋a9＝3a8＞0，
∴a8＞0，又a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜0，
∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，
∴等差数列{an}的前8项和最大，
故答案为：8．
8. 答案60；
解析:设246100aaaaA,
13599
aaaaB
,
由题有145,50ABABd
故B=(145－50d)×21=60.
9. 答案2，4，6，8；
解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.易知x=5，d=1或-1
10. 答案： 8
解析： 由Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得7.5
11. 答案： 13
解析： 由已知得1112746adadad，解得132ad，
所以a6＝a1＋5d＝13.
12. 解析：
解法一：统一成关于a1，n，d的表达式.
设{an}的首项和公差分别为a1和d，则
a3+a4+a5+a6+a7=5a1+20d=450
18045052)205(52821182dadaaa
.
解法二：am+an=ap+aqm+n=p+q
由等差数列的性质可知
a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5
∴18045052)(528256473182aaaaadaaa.
13．证明：
设{an}公差为d，则
)(22121221nnnnnnaaaabb
=(an+2+an+1)·d-(an+1+an)·d
=d·[(an+2+an+1)-(an+1+an)]
=d·(an+2-an)
=d·2d
=2d2
∵2d2是与n无关常数
∴{bn}是等差数列.
14．解析：
qdpppaSp
2
)1(
1
①
pdqqqaSq
2
)1(
1
②
①－②得pqqqppdaqp)(2)(221
即pqqpqpdaqp)1)((2)(1
p≠q，∴
1)1(
2
1
qpda
1()()(1)().2pqdSpqapqpqpq
15．解析：
S12－S9=a10+a11+a12=0 ∴3a1+30d=0 ∴a1=－10d，a1＜0，∴d＞0
2
11(1)()222n
nndddSnanan
，d＞0，
∴xdaxdxf)2(2)(12是开口向上的二次函数且)12()9(ff
∴)(xf的图象对称轴为21102129x，∴11210222dad
又n∈N*，故n=10或11时Sn最小
∴S10和S11最小.
16. 解析：(Ⅰ)设数列na的公差为d，由题意有11254,53adad，解得121,5ad，
所以na的通项公式为235nna.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知235nnb，
当n1,2,3时，2312,15nnb；
当n4,5时，2323,25nnb；
当n6,7,8时，2334,35nnb；
当n9,10时，2345,45nnb，
所以数列nb的前10项和为1322334224.