精品新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用1-6(1)
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 检测A(1)
第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1解析∵y'=2x+a,∴曲线y=x2+ax+b在(0,b)处的切线的斜率为a,切线方程为y-b=ax,即ax-y+b=0.∴a=1,b=1.答案A2若函数f(x)=ax5+bx3+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于()A.-1B.-2C.2D.0解析f'(x)=5ax4+3bx2为偶函数,∴f'(-1)=f'(1)=2.答案C3若函数f(x)=a ln x+x在x=1处取得极值,则a的值为()A.12B.-1 C.0 D.-12解析f'(x)=ax+1,令f'(x)=0,得x=-a, 易知函数f(x)在x=-a处取得极值.所以a=-1.答案B4已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是() A.(-1,+∞) B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)答案B5设f(x)={x2,x∈[0,1],1x,x∈(1,e],则∫ef(x)d x等于()A.43B.54C.65D.76解析∫e0f(x)d x=∫1x2d x+∫e11xd x=13x3|1+ln x|e1=43.故选A.答案A6已知点P在曲线y=4e x+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[0,π4) B.[π4,π2)C.(π2,3π4] D.[3π4,π)解析因为0>y'=-4e x(e x+1)2=-4e x+2+1e x≥-1,当且仅当x=0时取等号.即-1≤tan α<0,所以3π4≤α<π.答案D7∫1(e x+2x)d x等于() A.1 B.e-1C.eD.e+1解析∵(e x+x2)'=e x+2x,∴∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=(e1+12)-(e0+0)=e.答案C8设a∈R,若函数y=e ax+3x,x∈R有大于零的极值点,则() A.a>-3 B.a<-3C.a>-13D.a<-13解析令y'=a e ax+3=0,∴e ax=-3a.设x=x0为大于0的极值点,∴e ax0=-3a.∴a<0,ax0<0.∴0<e ax0<1,即0<-3a<1.∴a<-3.答案B9设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()解析y'=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),令y'=0,得x=a或x=a+2b3.∵a<b ,∴a<a+2b3. ∴当x=a 时,y 取极大值0;当x=a+2b3时,y 取极小值,且极小值小于零.故选C . 答案C10若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0B.1C.2D.3解析对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x=12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x=(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1)=23-2=-43≠0,故②不是一组正交函数;对于③,∫1-1x·x2d x=∫1-1x3d x=(14x4)|-11=0.故③为一组正交函数,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11∫-1-21(11+5x)3d x=.解析取F(x)=-110(5x+11)2,从而F'(x)=1(11+5x)3.则∫-1-21(11+5x)3d x=F(-1)-F(-2)=-110×62+110×12=110−1360=772.答案77212若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A=.解析由题知f'(a)=A,又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.∵aA≠0,∴A=12a.答案12a13已知函数f (x )在(0,+∞)内可导,且f (e x )=x+e x ,则f'(1)= . 解析令e x =t ,则x=ln t ,∴f (t )=ln t+t ,∴f'(t )=1t +1,∴f'(1)=2.答案214设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为 .解析曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1x,可得y'=-1x2,因为曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,所以-1x P2=-1,解得x P =1,由y=1x,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 答案(1,1)15已知函数f (x )为一次函数,其图象经过点(3,4),且∫ 10f (x )d x=1,则函数f (x )的解析式为 .解析设函数f (x )=ax+b (a ≠0).∵函数f (x )的图象经过点(3,4),∴b=4-3a.∴∫ 10f (x )d x=∫10(ax+4-3a )d x =[12ax 2+(4-3a )x]|01=12a+4-3a=1, ∴a=65.∴b=25.∴f (x )=65x+25.答案f (x )=65x+25三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求定积分∫0-1x2x2+2xd x的值.解∫0-1x2x2+2xd x=∫0-1x2+2x-2xx2+2xd x=∫0-1(1-2x+2)d x=∫0-11d x-∫0-12x+2d x=1-2∫0-11x+2d x=1-2ln(x+2)|-10=1-2ln 2.17(8分)已知曲线f(x)=2x3-3x,过点M(0,32)作曲线f(x)的切线,求切线的方程.解设切点坐标为N(x0,2x03-3x0),由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值,而f'(x)=6x2-3,所以切线的斜率k=f'(x0)=6x02-3.所以切线方程为y=(6x02-3)x+32.又点N在切线上,所以2x03-3x0=(6x02-3)x0+32,解得x0=-2.故切线方程为y=21x+32.18(9分)求函数y=13x3+3-ln x的单调区间.解函数的定义域为(0,+∞),y'=x2-1x =(x-1)(x2+x+1)x.令y'>0,则{(x-1)(x2+x+1)x>0,x>0,解得x>1;令y'<0,则{(x-1)(x2+x+1)x<0, x>0,解得0<x<1.故函数的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).19(10分)设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f'(x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=12.(2)由(1)知,f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0),f'(x)=x-5+6x =(x-2)(x-3)x.令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0<x<2或x>3时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);当2<x<3时,f'(x)<0,故f(x)的单调递减区间为(2,3).由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.20(10分)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x )=a-a x −2x 2+2x 3=(ax 2-2)(x -1)x 3. 当a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,x ∈(1,+∞)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.当a>0时,f'(x )=a (x -1)x 3(x -√2a )(x +√2a ).①0<a<2时,√2a >1,当x ∈(0,1)或x ∈(√2a ,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(1,√2a)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.②a=2时,√2a =1,在x ∈(0,+∞)内,f'(x )≥0,f (x )单调递增.③a>2时,0<√2a <1,当x ∈(0,√2a )或x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当x ∈(√2a ,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当a ≤0时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;当0<a<2时,f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,√2a)内单调递减,在(√2a,+∞)内单调递增;当a=2时,f (x )在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,f (x )在(0,√2a )内单调递增,在(√2a ,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. (2)由(1)知,a=1时,f (x )-f'(x )=x-ln x+2x -1x 2−(1-1x −2x 2+2x 3)=x-ln x+3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].设g (x )=x-ln x ,h (x )=3x +1x 2−2x 3-1,x ∈[1,2].则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=x -1x≥0, 可得g (x )≥g (1)=1, 当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=-3x 2-2x+6x 4, 设φ(x )=-3x 2-2x+6,则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减, 因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x 0∈(1,2),使得x ∈(1,x 0)时,φ(x )>0,x ∈(x 0,2)时,φ(x )<0. 所以h (x )在(1,x 0)内单调递增,在(x 0,2)内单调递减.由h (1)=1,h (2)=12,可得h (x )≥h (2)=12, 当且仅当x=2时取得等号.所以f (x )-f'(x )>g (1)+h (2)=32,即f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1,2]成立.。
人教A版高中数学选修2-2课件第一章导数及其应用章末专题整合
解得 a＝1.
综上所述，得 f(x)＝xsin x－3. 2
(2)f(x)在(x)＝xsin
x－3，从而有 2
f(0)＝－32＜0，fπ2＝π－2 3
＞0，
又 f(x)在0，π2上的图象是连续不断的，
所以 f(x)在0，π2内至少存在一个零点．
利用导数证明不等式或已知不等式恒成立，求参数的取值
范围，这两个问题通常转化为函数的最值问题解决．
例4 (2012·高考天津卷)已知函数 f(x)＝x－ln(x＋a)的 最小值为 0，其中 a＞0. (1)求 a 的值； (2)若对任意的 x∈[0，＋∞)，有 f(x)≤kx2 成立，求实数 k 的最小值；
当13<a<1 时，方程 g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0 的判别式 Δ
＝ 9a2－ 30a＋ 9<0，
∴ D＝ (0，＋∞ )．
综上所述：当 a≤0 时，
D＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
；
当 0<a≤13时，D＝0，31＋a－
9a2－ 4
30a＋
4 ＋a)x＋6a＝0 的解 x1，x2 满足
x1＝3 1＋ a－
9a2－ 30a＋ 9
4
<0<x2
＝31＋a＋ 9a2－30a＋9， 4
∴ D＝ (x2，＋∞)＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
.
当－1<a≤0 时，x＝3(1＋a)>0，g(0)＝6a≤0， 4
1)≤
2 2i－
12<
2i－
2 32i－
1(i∈
N*，
i≥
2)，
高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.4 Word版含答案
选修第一章一、选择题．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则高为( )[答案][解析]设圆锥的高为，则底面半径为，其体积为＝π(－)(＜＜)，′＝π(－)，令′＝，解得＝.当＜＜时，′＞；当＜＜时，′＜，所以当＝时，取最大值．．如果圆柱轴截面的周长为定值，则体积的最大值为( )．()π ．()π．()π()π[答案][解析]设圆柱的底面半径为，高为，体积为，则＋＝，∴＝，＝π＝π－π(<<)．′＝π－π，令′＝，得＝或＝，而>，∴＝是其唯一的极值点．∴当＝时，取得最大值，最大值为()π.．用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为( )．．．．[答案][解析]设容器底面相邻两边长分别为、，则高为＝()，容积＝··＝－，′＝－，由′＝得＝或＝(舍去)．∈时，′>，∈时，′<，所以在＝处，有最大值，此时高为.．内接于半径为的球且体积最大的圆锥的高为( )．．[答案][解析]设圆锥高为，底面半径为，则＝(－)＋，∴＝－，∴＝π＝(－)＝π－，′＝π－π.令′＝得＝.当<<时，′>；当<<时，′<.因此当＝时，圆锥体积最大．故应选.．设圆柱的体积为，那么其表面积最小时，底面半径为( )[答案][解析]设底面圆半径为，高为，则＝π，∴＝.∴表＝底＋侧＝π＋π·＝π＋π·＝π＋.∴表′＝π－，令表′＝得，＝，又当∈(，)时，表′<；当∈(，)时，表′>，∴当＝时，表面积最小．．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第小时时，原油温度(单位：℃)为()＝－＋(≤≤)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) ．．－．－[答案][解析]瞬时变化率即为′()＝－为二次函数，且′()＝(－)－，又∈[]，故＝时，′()＝－.二、填空题．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是[答案][解析]设长方体的宽为，则长为，高为－(<<)，故体积为＝＝－＋，′＝－＋，令′＝得，＝或，∵<<，∴＝.∴该长方体的长、宽、高各为、、时，体积最大，最大体积＝.．某厂生产某种产品件的总成本：()＝＋，又产品单价的平方与产品件数成反比，生产件这样的产品的单价为元，总利润最大时，产量应定为件[答案][解析]设产品单价为元，又产品单价的平方与产品件数成反比，即＝，由题知＝.总利润＝－－(>)，′＝－，由′＝，得＝，∈()时，′>，∈(，＋∞)时，′<，所以＝时，取最大值．.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，。
高二数学 人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.2.2 Word版含答案
选修2-2 第一章 1.2 1.2.2一、选择题1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1 C.nn －1 D ．n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e－1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C.5．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B ．π2 C ．2π2 D ．12(2＋π)2[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.6．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C . 二、填空题7．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是__________________.[答案] y ＝2x[解析] 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe＋x ，所以当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0， 即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.9．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.[答案] 12ln2[解析] ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝12ln2.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x.[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .故选C. 二、填空题3．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x 2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．4．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 三、解答题5．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.6．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.[解析] f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.①(1)若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1.②由①②解得b ＝14，不满足b ≥1，故舍去．(2)若－1<－b <3，即－3<b <1，则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1， 即b 2－2b 2＋c ＝－1.③由①③解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.(3)若－b ≥3，即b ≤－3，则f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1， 即9＋6b ＋c ＝－1.④由①④解得b ＝－94，不满足b ≤－3，故舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.。
【K12小初高学习】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.5.1-1.5.2
1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课时过关·能力提升基础巩固1把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为()A. B.C. D.解析区间[1,3]的长度为2,故n等分后,每个小区间的长度均为.答案B2在“近似代替”中,函数f(x)在区间[x i,x i+1]上的近似值()A.只能是左端点的函数值f(x i)B.只能是右端点的函数值f(x i+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i,x i+1])D.只能是区间中点处的函数值答案C3和式(y i+1)可表示为()A.(y1+1)+(y5+1)B.y1+y2+y3+y4+y5+1C.y1+y2+y3+y4+y5+5D.(y1+1)(y2+1)·…·(y5+1)解析由求和符号“∑”的意义,知(y i+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+5.故选C.答案C4把区间[a,b](a<b)n等分之后,第i(i=1,2,3,…,n)个小区间是()A.B.C.D.解析区间[a,b](a<b)的长度为(b-a),n等分之后,每个小区间长度均为,第i个小区间是(i=1,2,…,n).答案D5已知某物体运动的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把区间[0,10]10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为.解析若把区间[0,10]进行10等分,则第i个小区间为[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为(2i-1)=2i-10=2×-10=100.答案1006在区间[0,8]上插入9个等分点之后,所分的小区间长度为,第5个小区间是.答案7若汽车以v=(2t+1)m/s的速度做变速直线运动,则在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程s是.答案4 m8汽车行驶的速度为v=t2,求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.分析按分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤求解.解(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间,…,,…,,每个小区间的长度为Δt=.(2)近似代替在区间上,汽车近似地看作以时刻处的速度v做匀速行驶,则在此区间上汽车行驶的路程为.(3)求和在所有小区间上,汽车行驶的路程和为s n=02·+…+=[12+22+…+(n-1)2]=.(4)取极限汽车行驶的路程s=s n=.所以汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程为.能力提升1在求由x=a,x=b(a<b),y=f(x)(f(x)>0)及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入(n-1)个点,分别过这些点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形的过程中,下列说法正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S;②n个小曲边梯形的面积和小于S;③n个小曲边梯形的面积和大于S;④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定.A.1B.2C.3D.4解析①正确,其余都不正确.答案A2当n的值很大时,函数f(x)=x2在区间上的值,可以用下列函数值近似代替的是()A.fB.fC.fD.f(0)解析根据求曲边梯形面积的步骤知,f(x)=x2在区间上的值,可以用此区间上任意一点的函数值代替,故应选C. 答案C★3在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈.答案A4已知物体自由下落时的运动速度v=gt,求在时间段[0,t]内物体下落的距离.分析可转化为求曲边梯形的面积,用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.解(1)分割把时间区间[0,t]等分成n个小区间,其中第i个小区间为(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间段的长度为Δt=t-t=.在各个小区间内物体下落的距离,记作Δs i.(2)近似代替在(i=1,2,…,n)上取左端点的函数值近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间内所经过的距离可近似地表示为Δs i≈g·t·(i=1,2,…,n).(3)求和s n=Δs i=g·t·[0+1+2+…+(n-1)]=gt2.(4)取极限s=gt2gt2.所以在时间段[0,t]内物体下落的距离为gt2.★5已知火箭发射后t(单位:s)的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t),将区间[0,10]等分成n个小区间,每个小区间长度为Δt,在每个小区间上任取一点,依次为t1,t2,t3,…,t i,…,t n,按v(t1)Δt+v(t2)Δt+…+v(t n)Δt所作的和具有怎样的实际意义?分析可根据求曲边梯形的面积以及汽车行驶的路程的思想方法进行思考回答.解虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以用v(t i)代替第i个区间上的速度,这样v(t i)Δt≈火箭在第i个时段内运动的路程.从而s n=v(t1)·Δt+…+v(t i)·Δt+…+v(t n)·Δt≈s(火箭在10 s内运行的路程).这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)·Δt+v(t2)·Δt+…+v(t n)·Δt式所作的和的实际意义.当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时,s n就无限趋近于火箭在10 s内运行的总路程.。
高二数学 人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.2.1 Word版含答案
选修2-2 第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( ) A.14x ＋y ＝0 B.14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14， ∴切线方程是y －12＝－14(x －2)， 化简得，14x ＋y －1＝0，故选D. 2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D.3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 [答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C.π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0 f (1)－f (1－x )2x＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12lim －x →0 f (1－x )－f (1)－x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号).[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________.[答案] (2,8)或(－2，－8)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________.[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 三、解答题10．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.[解析] 因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×8－13＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)，即3x ＋y －20＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.33 B ．333C. 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 2．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在 [答案] B[解析] ∵y ＝3x ，∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2，∴Δy Δx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝13x 23. ∴曲线在点P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.二、填空题3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)，解之得a ＝1.4．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率．(2)曲线在点P 处的切线的方程．(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程．[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x. ∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x . 6．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如图所示．∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)． ∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。
高中数学人教A版选修2-2练习第1章 导数及其应用1.7 Word版含解析
第一章级基础巩固一、选择题.如图所示，阴影部分的面积是( )．－．．．[解析]＝(－－)即()＝－－，则()＝－－＝，(－)＝－－＋＝－.∴＝()－(－)＝＋＝.故应选．．一物体以速度＝(＋)做直线运动，则它在＝到＝时间段内的位移是( )．．．．[解析]＝(＋)＝(＋)＝＋＝()，故应选．．利用定积分的几何意义，可求得＝( )．π．π．π．π[解析]由定积分的几何意义知，表示圆＋＝位于轴上方部分(即半圆)的面积，∴＝×π×＝.．直线＝与曲线＝在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．．．．[解析]如图所示由(\\(＝，＝.))解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝－，＝－.))∴第一象限的交点坐标为()由定积分的几何意义得，＝(－)＝(－)＝－＝.．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度为()＝－，则列车刹车后前进多少米才能停车？( )．．．．[解析]停车时()＝，则－＝，∴＝，＝()＝(－)＝(－)＝.．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间的函数，若已知产量的变化率为＝，那么从小时到小时期间内的产量为( )．．－．－．＋[解析]＝＝－，故应选．二、填空题．由曲线＝，＝－所围图形的面积是[解析]如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组(\\(＝，＝－，))得交点坐标为(，－)，()．因此所求图形的面积＝(＋－)取()＝＋－，则′()＝＋－，从而＝()－(－)＝.．由两条曲线＝，＝与直线＝围成平面区域的面积是[解析]解法：如图，＝与＝交点()，＝与＝交点()，由对称性可知面积＝(＋－)＝.解法：同解法求得()，()．由对称性知阴影部分的面积。
(完整版)数学选修2-2练习题及答案
目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
人教a版数学高二高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.7.2定积分在物理中的应用 有答案
人教a 版数学高二高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.7.2定积分在物理中的应用 有答案1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用A 级 基础巩固一、选择题1．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F 所做的功是( )A ．8 JB ．10 JC ．12 JD ．14 J解析：W ＝∫31(4x －1)d x ＝(2x 2－x )|31＝14(J)．答案：D2．以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403m D.203m 解析：由v ＝40－10t 2＝0得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3|20＝80－803＝1603(m)．答案：A3．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10 s 内所经过的路程是( )A.13(1123－1)(m) B.13(1023－1)(m) C.13(1132－1)(m) D.13(1032－1)(m)解析：s ＝∫1001＋t d t ＝23(1＋t )32|100＝13(1132－1)(m)．答案：C4．质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2－2t ＋1(单位：m/s)，则它在第2秒内所走的路程为( )A.23(m) B.13(m) C.14(m) D.12(m) 解析：由于v (t )＝t 2－2t ＋1≥0，因此它在第2秒内所走的路程为s ＝∫21v (t )d t＝∫21(t 2－2t ＋1)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－t 2＋t |21＝13(m)．答案：B5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：令7－3t ＋251＋t ＝0，解得t ＝－83(舍去)或t ＝4.则∫4⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）|40＝ 4＋25ln 5. 答案：C 二、填空题6．将一弹簧压缩2厘米，需要8牛顿的力，将它从自然长度压缩10厘米，做的功为________．解析：设力F (x )＝kx ，由题意：8＝k ·0.02，所以k ＝400，所以F (x )＝400 x .所以W ＝∫0.10400x d x ＝200x 2|0.10＝2(J)．答案：2J7．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝t 1到t ＝t 2质点的平均速度为________．解析：由s ＝10t d t ＝5t2＝5(t 22－t 21)，得平均速度为v －＝s t 2－t 1＝5(t 2＋t 1)．答案：5(t 2＋t 1)8．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．则点P 从原点出发，当t ＝6时，点P 离开原点的路程和位移分别是________，________．解析：由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s ＝∫40(8t－2t 2)d t －∫64(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为s ＝∫60(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|60＝0.答案：1283 0三、解答题9．在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推到b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．解：力F 对物体所做的功为W ＝F ·s ，由物理学知识易得压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即PV ＝k ，又因为V ＝x ·s (x 指活塞与底的距离)，所以p ＝k V ＝kxS.所以作用在活塞上的力F ＝p ·S ＝kx ·s·s ＝k x.所以气体压力所做的功为W ＝∫ba kx d x ＝k ln x |b a ＝k ln b a.10．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在t ＝12 s 到t ＝6 s之间的运动路程．解：由题意，得v (t )＝⎩⎨⎧2t ，0≤t ≤1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以该物体在t ＝12s 到t ＝6 s 之间的运动路程为s ＝v (t )d t ＝2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t ＝t 2＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)． B 级 能力提升1．若力F 和物体移动方向相同，而且与物体位置x 有如下关系：F (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤0，x 2＋1，x ＞0，那么力F 使物体从x ＝－1点运动到x ＝1点所做的功为( ) A ．2 J B.136 J C.116J D ．3 J解析：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1|x |d x ＋∫10(x 2＋1)d x ＝∫0－1(－x )d x ＋∫10(x 2＋1)d x －12x 2|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＝116.答案：C2．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233JC.433J D ．2 3 J解析：W ＝∫21F (x )cos 30°d x ＝32∫21(5－x 2)d x ＝ 32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3|21＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5－73＝433(J)．答案：C3．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 是正前方5 m 以v ＝10 t 的速度与A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A 所走过的路程是多少(时间单位：s 速度单位：m/s)?解：设A 追上B 时，所用的时间为t 0， 依题意有s A ＝s B ＋5，即(3t 2＋1)d t ＝10t d t ＋5，所以t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，得t 0＝5，所以s A ＝53＋5＝130.所以，两物体5 s 时相遇，相遇时物体A 所走过的路程是130 m.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新中小学试题试卷教案资料
1.6 微积分基本定理
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列定积分的值等于1的是( )
A.∫ 10xdx B.∫ 10(x+1)dx
C.∫ 101dx D.∫ 1012dx
解析∫ 101dx=x|01=1-0=1,故选C.
答案C
2∫ 421𝑥dx的值为( )
A.-2ln 2 B.2ln 2
C.-ln 2 D.ln 2
解析∫ 421𝑥dx=ln x|24=ln 2.
答案D
3∫ 42(x3+x2-30)dx的值为( )
A.56 B.28 C.14 D.563
解析∫ 42(x3+x2-30)dx=(14𝑥4+13𝑥3-30𝑥)|24=14(44-24)+13(43-23)-30×(4-2)=563.故选D.
答案D
4若∫ 𝑇0x2dx=9,则常数T的值为 .
解析∵∫ 𝑇0x2dx=𝑥33|0𝑇=𝑇33=9,∴T=3.
答案3
最新中小学试题试卷教案资料
5若∫ 10(2xk+1)dx=2,则k= .
答案1
6若f(x)={𝑥2,0≤𝑥≤1,2-𝑥,1<𝑥≤2,则∫ 20f(x)dx= .
解析∫ 20f(x)dx=∫ 10x2dx+∫ 21(2-x)dx=𝑥33|01+(2𝑥-𝑥22)|12=13+[(2×2-222)-(2-12)]=56.
答案56
7如图,曲线y=cos x与直线x=-π,x=
3
4
π,y=0所围成图形的面积S= .
答案4-√22
★8已知函数f(x)=ax2+c(a≠0),若∫ 10f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为 .
解析∫ 10f(x)dx=∫ 10(ax2+c)dx
=(13𝑎𝑥3+𝑐𝑥)|01=𝑎3+c=a𝑥02+c,
∵0≤x0≤1,∴
x0=√33.
答案√33
9计算下列定积分:
(1)∫ 20(2x+3)dx;
(2)∫ 3-1(4x-x2)dx;
(3)∫ 21(x-1)5dx.