24时有理数加法的运算律精品
1.3.1.2有理数加法的运算律
练习4：足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜 蓝队1：0，蓝队胜红队1：0，计算各队的净胜球数。 分析：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为 负数，这两数的和为这队的净胜球数。
解： 红队： 4+（ -2）=2 黄队：2+（ -4）= -2 蓝队：1+（ -1）=0 答:红队净胜球数为2,黄队净胜球数为-2, 蓝队净胜球数为0.
1.3 有理数的加减法
1.3.1.2 有理数加法的运算律
问题1：在小学中我们学过哪些加法的运算律？ ①加法的交换律a+b=b+a；
例：5+3=3+5 ②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c； 例:53.7+(36.3+10)=(53.7+36.3)+10
问题2：加法的运算律是不是也可以扩充到有理数范围？
练习：出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的大
道上行驶，如果规定向东行驶为正 ，向西行驶为负，这天下午 行车里程如下(单位：千米)：＋10，－3，＋16，－11，＋12， －10，＋5，－15，＋18，－16. (1)当最后一名乘客被送到目的地时，距出车地点的距离为多少 千米？ (2)若每千米的营运额为7元，则这天下午的营运额为多少？
(1)10＋(－3)＋16＋(－11)＋12＋(－10)＋5＋(－15) 解： ＋18＋(－16)＝6(千米)，当最后一名乘客被送到 目的地时，距出车地点的距离为6千米 (2)(|10|＋|－3|＋|16|＋|－11|＋|12|＋|－10|＋|5|＋|－ 15|＋|18|＋|－16|)×7＝812(元)，则这天下午的营运 额为812元
4、相加得到整数的几个数先相加——“凑整法”
人教版七年级数学上册- 有理数加法的运算律及运用精品教案
1.3.1 有理数的加法第2课时有理数加法的运算律及运用教学目标:1.能运用加法运算律简化加法运算.2.理解加法运算律在加法运算中的作用,适当进行推理训练.教学重点:如何运用加法运算律简化运算.教学难点:灵活运用加法运算律.情境导入宋国有个非常喜欢猴子的老人．他养了一群猴子，整天与猴子在一起，因此能够懂得猴子们的心意．因为粮食缺乏，老人想限制口粮．那天，他故意先对猴子们说：“以后给你们吃桃子，早晨三颗晚上四颗，好不好？”众猴子听了都很愤怒．老人马上改口说：“那就早上四颗晚上三颗吧，够了吗？”众猴子非常高兴，大蹦大跳起来．大家听完故事，请说说你的看法．知识链接1.填空：3+2=2+3 这里运用了加法的( )25+39+75=（____ +_____ ）+____ =___ +（_____ +_____）这里运用了加法的（）2.有理数的加法法则：⑴同号两数相加，_____________________________________ ；⑵异号两数相加，绝对值相等时，___________ ；绝对值不相等时，______________________________________________.⑶一个数同0相加，_________________ .3.计算（1）（-15）+（-3）（2）6+（-2.3）（3）（-0.75）+0教与学互动设计:(一)情境创设,导入新课思考:在小学里,我们学过的加法运算有哪些运算律?它们的内容是什么?能否举一两个例子来?那这些加法运算律还适用于有理数范围吗?今天,我们一起来探究这个问题.(二)合作交流,解读探究计算:20+(-30)与(-30)+20两次得到的和相同吗?得出结论:20+(-30)=(-30)+20换几组数去试:得到加法交换律:a+b= (学生填).其实,学生在小学中就已经接触到运算律,此时,可以让学生回忆在小学中除了学习了加法的交换律,还学习了加法的哪种运算律?(结合律)计算:(1)[8+(-5)]+(-4);(2)8+[(-5)+(-4)].得出结论:加法结合律:(a+b)+c= .【例1】计算:16+(-25)+24+(-35)【例2】课本P20例3说明:把互为相反数的一对数结合起来相加,可以使运算简化,这种方法是使用加法交换律和加法结合律.总结:在进行多个有理数相加时,在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算:①有些加数相加后可以得到整数时,可以先行相加;②有相反数可以互相消去,和为0,可以先行相加;③有许多正数和负数相加时,可以先把符号相同的数相加,即正数和正数相加,负数和负数相加,再把一个正数和一个负数相加.(三)应用迁移,巩固提高【例3】利用有理数的加法运算律计算,使运算简便.(1)(+9)+(-7)+(+10)+(-3)+(-9)(2)(+0.36)+(-7.4)+(+0.03)+(-0.6)+(+0.64)(3)(+1)+(-2)+(+3)+(-4)+…+(+2003)+(-2004)【例4】某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天下午行车里程如下:(单位:千米)+15,+14,-3,-11,+10,-12,+4,-15,+16,-18.(1)他将最后一名乘客送到目的地,该司机与下午出发点的距离是多少千米?(2)若汽车耗油量为a公升/千米,这天下午汽车共耗油多少公升?(四)总结反思,拓展升华本节课我们探索了有理数的加法交换律和结合律.灵活运用加法的运算律会使运算简便.一般情况下,我们将互为相反数的数相结合,同分母的分数相结合,能凑整数的数相结合,正数负数分别相加,从而使计算简便.(五)课堂跟踪反馈夯实基础1.运用加法的运算律计算(+6)+(-18)+(+4)+(-6.8)+18+(-3.2)最适当的是()A.[(+6)+(+4)+18]+[(-18)+(-6.8)+(-3.2)]B.[(+6)+(-6.8)+(+4)]+[(-18)+18+(-3.2)]C.[(+6)+(-18)]+[(+4)+(-6.8)]+[18+(-3.2)]D.[(+6)+(+4)]+[(-3.2)+(-6.8)]+[(-18)+18)]2.计算:(-2)+4+(-6)+8+…+(-98)+100.提升能力3.小李到银行共办理了四笔业务,第一笔存入了120元,第二笔支取了85元,第三笔支取了70元,第四笔存入了130元.如果将这四笔业务合并为一笔,请你替他策划一下这一笔业务该怎样做?4.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,约定前进为正,后退为负.某天自A地出发到收工时所走路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.(1)问收工时距A地多远?(2)若每千米路程耗油0.2升,问从A地出发到收工共耗油多少升?学生普遍能直观地看出4℃比-3℃高7℃,进一步地假定某地一天的气温是-3~4℃,那么温差(最高气温减最低气温,单位℃)如何用算式表示?按照刚才观察到的结果,可知4-(-3)=7 ①,而4+(+3)=7 ②,∴由①②可知:4-(-3)=4+(+3)③,上述结论的获得应放手让学生回答.(二)动手实践,发现新知观察、探究、讨论:从③式能看出减-3相当于加哪个数吗?结论:减去-3等于加上-3的相反数+3.(三)类比探究,总结提高如果将4换成-1,还有类似于上述的结论吗?先让学生直观观察,然后教师再利用“减法是与加法相反的运算”引导学生换一个角度去验算.计算(-1)-(-3)就是要求一个数x,使x与-3相加得-1,因为2与-3相加得-1,所以x应是2,即(-1)-(-3)=2 ①,又因为(-1)+(+3)=2 ②,由①②有(-1)-(-3)=-1+(+3)③,即上述结论依然成立.试一试:如果把4换成0、-5,用上面的方法考虑0-(-3),(-5)-(-3),这些数减-3的结果与它加上+3的结果相同吗?让学生利用“减法是加法的相反运算”得出结果,再与加法算式的结果进行比较,从而得出这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同的结论.再试:把减数-3换成正数,结果又如何呢?计算9-8与9+(-8);15-7与15+(-7)从中又能有新发现吗?让学生通过计算总结如下结论:减去一个正数等于加上这个正数的相反数.归纳:由上述实验可发现,有理数的减法可以转化为加法来进行.减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.用字母表示:a-b=a+(-b).(在上述实验中,逐步渗透了一种重要的数学思想方法——转化)(四)例题分析,运用法则【例】计算:(1)(-3)-(-5);(2)0-7;(3)7.2-(-4.8);(4)-3-5.(五)总结巩固,初步应用总结这节课我们学习了哪些数学知识和数学思想?你能说一说吗?教师引导学生回忆本节课所学内容,学生回忆交流,教师和学生一起补充完善,使学生更加明晰所学的知识.3.上周五股民新民买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元)：则在星期五收盘时，每股的价格是多少？4.10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5.问这10筐苹果总共重多少千克？板书设计有理数加法运算律⎩⎪⎨⎪⎧交换律：a ＋b ＝b ＋a 结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）本节课教学以故事引入，在学生已有的知识经验上建构新知，主动探索有理数加法交换律和结合律，从而激发他们学习的兴趣，使他们由被动地接受学习变成一种主动探索获取知识．课堂中学生通过自主互助交流，不断地总结规律、方法和解题技巧．。
2.4 有理数的加法3 第2课时 有理数加法的运算律
当堂检测
运用有理数的加法解下列各题:
1 . 一天早晨的气温是-7ºC,中午
上 的 2升 气. 温了小是1明15多º去C℃-少,超半?市夜买又了降1了0袋9º方C,便则面半,夜
100 0 100.
讲 解
请你当老师
符号相
计算：
同的先结
合
互为相
（1）（-23）+（+58）+（-17反）数的先
结合
（2）（-2.8）+（-3.6）+（-1.5）
+3.6 1 2 5 5 6 7 6 7
（3） —+ (- —) +分(- —母)相+ (+ —)
同的先结 合
例3 有一批食品罐头,标准质量为每
数，可以是正数，也可以是负数或者零.在同一个式子 中，同一个字母表示同一个数.
加法运算律的 应用
根据加法交换律和结合律可 以推出：
三个以上有理数相加， 可以任意交换加数的位置， 也可先把其中的几个数相加.
例2 计算： 31 (28) 28 69
解 ： 31 (28) 28 69 31 69 [(28) 28]
听454克. 现抽取10听样品进行检测, 结果
听如号下表(单1位: 459 454 459 454
听号 6
7
8
9
10
质量 454 449 454 459 464
这10听罐头的总质量是多少?
解法一: 这10听罐头的总质量为 444+459+454+459+454+454+449+454+459+464
有理数的加法运算律
这样的算法是不是比较简便呢？
例1： 利用加法运算律进行计算： （1）16＋（－25）＋24＋（－35） （2）31＋（－28）＋28＋69 （3）（
35 7
）+（
1 2
15.5）+（ 1 4
18 2 ）+（ 7
51 2
）
（4） 4.1 +（
）+（
）+（ 10.1）+7
运用加法的运算律进行运算时: （1）同号的加数放在一起相加 （2）同分母的加数放在一起相加 （3）和为0的加数放在一起相加 （4）和为整数的加数放在一起相加
905.4-90×10=5.4
答：10袋小麦一共905.4千克，总计 超过5.4千克。
课堂小结
本课我们主要学习了有理数加法的交换律 与结合律以简化计算，在运用时做到： （1）同号的加数放在一起相加 （2）同分母的加数放在一起相加 （3）和为0的加数放在一起相加 （4）和为整数的加数放在一起相加
随堂练习
1、计算：
（1）23＋（－17）＋6＋（－22） （2）（－8）＋10＋2＋（－1） （ 4）
1 2
10
3
1 3
（3）（－18.6）+（－6.15）+18.15+6.15 0.45 +（
2 3
）+
4 5
+（
1 2
）+（
）
1 5
考考你自己！
1. 计算: (-5)+9+(-6)+7 = 5 .
活动2：
你能再举出一些类似这样的等式吗？
规律探究： 加法的交换律： a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2.4有理数的加法(第二课时)课件(共19张PPT)
示
加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
出 来
吗
那我们学习运算 律的目的是什么？
例1 计算：16+(-25)+24+(-32)．
16+(-25)+24+(-32)
解：原式=16+24+(-25)+(-32)
(加法交换律)
=（16+24）+[(-25)+(-32)] (加法结合律)
=40+(-57)
=[(-10)+10]+[(-5)+5]+5+5 =10(克） 因此，这10听罐头的总质量为
454×10+10
=4540+10 =4550（克）
随堂练习 1、计算下列各题： （1）（-3）+40+（-32）+（-8） （2）13+（-56）+47+（-34） （3）43+（-77）+27+（-43） 2、某潜水员先潜入水下61米， 然后又上升32米，这时潜水员 处在什么位置？
解：原式＝(-1)+(-8)+(-7)+(+39)+7 =(-9)+(-7)+(+39)+7 =(-16)+(+39)+7 =23+7 =30
有没有简便的 方法，给大家 说一说吗？
例3、计算(-12)+(+11)+(-8)+(-7)+(+39)+7
解：原式＝(-1)+(-8)+(-7)+(+39)+7
有理数的加减法
同分母结合法
例4 计算
7 1 1 35
(1) 2 + 3 - 1 - 2 -
18 4 18 4 6
(2) 1 +(- 2 ) - 3 - 1 - 1
4
3
7 12 14
同形结合法
例5 计算：
2
1
(1) -2.1+ - 2 + 0.5 – 5 +
3
3
(2)
1 3
4
- 0.32 +(-
1 ) - 3 - (-2)-(-1.32)
C.G>M>N>H D. G>N>H>M
－
－－
a
b０
例 计算
如图，把面积为1的矩形等分成两个面积为 1 的矩形，
把一个面积为
1
的矩形等分成两个面积为
1
2
的矩形，如此
2
4
等分下去，试用图形揭示计算的规律．
1
1
4
1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1
2 4 8 16
256
2
11 16
8…
； https://www.zerofinance.hk/zh/ 私人貸款 即時批核 ；
有理数减法法则
减去一个数等于加上这个数的相反数．
判断正误
(1)两个负数相加绝对值相减； × (2)正数加负数，和为负数； × (3)负数加正数，和为正数； × (4)两个有理数的和为负数时，
这两个有理数都是负数． ×
“算术和”与“代数和”比较
结果 类型
和的符号
算术和 通常是正数或零
和与加数关系
有理数的加减混合运算PPT教学课件PPT授课课件
基础巩固练
5．下列关于噪声的理解，正确的是( D ) A．0 dB是指没有声音 B．0 dB的环境是人类最理想的声音环境 C．长期工作和生活在高分贝噪声环境中可锻炼人的听力 D．噪声使人烦躁不安，有害身心健康
基础巩固练
6．[安徽灵璧校级月考]如图甲所示，摩托车安装消声器是 从噪声的__声__源____处减弱噪声；如图乙所示，道路两 旁的隔音墙是从噪声的_传__播__过__程_中减弱噪声。
＝2.7－8.5－3.4＋1.2
知3－练
＝(2.7＋1.2)＋(－8.5－3.4)
＝3.9－11.9＝－8.
(2)－0.6－0.08＋ 2 －2 5 －0.92＋2 5
5 11
11
＝－0.6＋0.4＋(－0.08－0.92)＋
2
5 11
+2
5 11
＝－0.2－1
＝－1.2.
感悟新知
总结
知3－讲
使问题转化为几个有理数的加法.
解： (-20) + (+3)-(-5)-(+7)
= (-20) + ( + 3) + (+5) + (- 7) 这里使用了哪
=[(-20) + -7)]+[(+5) + (+3)] 些运算律？
=(-27) + (+8)= -19.
感悟新知
1 将式子3－10－7写成和的形式正确的是( D ) 知1－练 A．3＋10＋7 B．－3＋(－10)＋(－7) C．3－(＋10)－(＋7) D．3＋(－10)＋(－7)
基础巩固练
9．控制噪声是城市环境保护的主要措施之一，下列不能 减弱噪声的措施是( B ) A．市区禁止机动车鸣笛 B．减少二氧化碳气体的排放 C．大街小巷两旁种草植树 D．在会场上手机要设置成静音
专题02 有理数加减法(知识点串讲)(解析版)
专题02 有理数加减知识网络重难突破知识点一 有理数的加法(基础)有理数的加法法则：(先确定符号，再算绝对值) ◆ 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；◆ 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ◆ 互为相反数的两个数相加得0；(如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数) ◆ 一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：◆ 两个数相加，交换加数的位置，和不变。
即a b b a +=+；◆ 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
即()()a b c a b c ++=++。
典例1 (2018春 南平市期末)已知：|a |＝2，|b |＝5，那么|a +b |的值等于( ) A ．7 B ．3C ．7或3D ．±7或±3【答案】C【详解】已知|a |＝2，|b |＝5， 则a ＝±2，b ＝±5；当a ＝2，b ＝5时，|a +b |＝7； 当a ＝2时，b ＝﹣5时，|a +b |＝3； 当a ＝﹣2时，b ＝5时，|a +b |＝3． 当a ＝﹣2时，b ＝﹣5时，|a +b |＝7． 综上可知|a +b |的值等于7或3． 故选：C ．典例2 (2018春 恩施市期末)如果a+b+c ＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列说法中可能成立的是( ) A ．a 、b 为正数，c 为负数 B ．a 、c 为正数，b 为负数 C ．b 、c 为正数，a 为负数 D ．a 、c 为负数，b 为正数【答案】C【详解】解：a+b+c ＝0，且|a|＞|b|＞|c|， |a|＝|b|+|c|． 故选：C ．典例3 (2018春 厦门市期末)a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，请问：a ，b ，c 三数之和是( ) A ．﹣1 B ．0C ．1D ．2【答案】B解：a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数， a ＝1，b ＝﹣1，c ＝0， ∴a +b +c ＝1+(﹣1)+0＝0， 故选：B ．知识点二 有理数的减法(基础) 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
第02讲 有理数加减法(6大考点)(解析版)
第02讲有理数加减法（6大考点）一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．要点：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)要点：交换加数的位置时，不要忘记符号．二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算．考点考向（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.考点一：有理数的加法运算1．计算：(1)(+20)+(+12)； (2)1223⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0．【答案与解析】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条;（3）（4）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（5）用的是第二条：互为相反数的两个数相加得0；（6）用的是法则的第三条． (1)(+20)+(+12)＝+(20+12)＝+32＝32； (2)12121123236⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)(+2)+(-11)＝-(11-2)＝-9 (4)(-3.4)+(+4.3)＝+(4.3-3.4)＝0.9 (5)(-2.9)+(+2.9)＝0； (6)(-5)+0＝-5．【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值．2.计算：113343⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点精讲【答案】11111 3333433412⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.计算：（1） (+10)+(-11)；（2）⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 -1+-23【答案】（1） (+10)+(-11)=﹣(11-10)=﹣1；（2）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212341 -1+-=-1+=-1+=-2 2323666考点二：有理数的减法运算1．计算：(1)(-32)-(+5)；(2)(+2)-(-25)．【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】法一：法二：（1）原式=-32-5=-32+（-5）=-37；（2）原式=2+25=27【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.2.若（）﹣（﹣2）=3，则括号内的数是（）A．﹣1 B． 1 C． 5 D．﹣5【答案】B．根据题意得：3+（﹣2）=1，则1﹣（﹣2）=3.考点三：有理数的加减混合运算1．计算，能用简便方法的用简便方法计算.（1） 26-18+5-16 ；（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）(3) ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111 -1+1++7+-2+-8 32432(4)113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）132.25321.87584+-+（6）1355354624618-++-【答案与解析】（1） 26-18+5-16=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法 =(26+5)+[(-18)+(-16)] →符号相同的数先加 = 31+(-34)=-3（2）（+7）+（-21）+（-7）+（+21）=[ (+7)+(-7) ] +[(-21)+(+21)] →互为相反数的两数先加 =0（3）⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111-1+1++7+-2+-832432 ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦21111-1+-2+1+-8+733224→同分母的数先加 ()()⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-4+-7+74=3-34（4）113.587(5)5(7)3( 1.587)24⎛⎫⎛⎫--+-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113.5875573( 1.587)24⎛⎫⎛⎫=++-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→统一成加法11[3.587( 1.587)](57)5324⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→整数、小数、分数分别加312128544⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭（5）132.25321.87584+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++→统一同一形式（小数或分数），把可凑整的放一起0.55 4.5=-+=（6）1355354624618-++-1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-→整数，分数分别加18273010036-++-=+2936= 【总结升华】在进行加减混合的运算时，(1)先将各式中的减法运算转化为加法运算；（2）观察各加数之间的关系，再运用“技巧”适当交换加数的位置，注意交换时各加数的带着符号一起交换． 2.用简便方法计算：(1)(-2.4)+(-4.2)+(-3.8)+(+3.1)+(+0.8)+(-0.7) (2) 2)324(83)65()851(43-++-+-+ 【答案】 (1) 原式=[(-3.8)+ (-4.2)]+[ (-2.4)+ (-0.7) +(+3.1)]+(+0.8)=-8+0.8=-7.2 (2)原式=（2-1-4）+（34-58-56+38-23）=-3+[68-58+38+(-56-46)]=-3-1=-4 考点四：有理数的加减混合运算在实际中的应用1．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局．（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置；（2）C 村离A 村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？【思路点拨】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm 表示1km ，按此画出数轴即可； （2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；（3）邮递员一共骑了多少千米？即数轴上这些点的绝对值之和． 【答案与解析】解：（1）依题意得，数轴为：；（2）依题意得：C 点与A 点的距离为：2+4=6（千米）； （3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）．【总结升华】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可．2.华英中学七年级(14)班的学生分成五组进行答题游戏，每组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束后各组的得分如下表：第1组第2组第3组第4组第5组100 150 350 -400 -100(1)第一名超过第二名多少分?(2)第一名超过第五名多少分?【答案】由表看出：第一名350分，第二名150分，第五名-400分．(1) 350-150＝200(分)(2) 350-(-400)＝350+400＝750(分)答：第一名超过第二名200分；第一名超过第五名750分．3.某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．考点五：数学思想在本章中的应用1．（1）数形结合思想：有理数a在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1的大小关系．A．-a＜a＜1 B．1＜-a＜a C．1＜-a＜a D．a＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值．【答案与解析】解：（1）将-a在数轴上标出，如图所示，得到a＜1＜-a，所以大小关系为：a＜1＜-a．所以正确选项为：D．（2）因为| x|＝5，所以x为-5或5因为|y|＝3，所以y为3或-3．当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2故（x-y）的值为±2或±82.若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么? 【答案】解：当a＞0时，|a|-a＝a-a＝0；当a＝0时，|a|-a＝0-0＝0；当a＜0时，|a|-a＝-a-a＝-2a＞0．所以，对于任何有理数a，|a|-a都不会是负数．考点六：规律探索1．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】1 200 -【解析】认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 -．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．一、单选题1．（2021·贵州七年级期末）如图，a、b是数轴上的两个数，则b a-一定是（）A．负数B．0 C．整数D．正数【答案】D【分析】由图可知b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，再根据有理数的加减法法则进行判断．【详解】解：由数轴得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴b-a＞0，故选：D．【点睛】本题主要考查正数和负数，数轴等知识点，解答此题，需要用到绝对值不相等的异号两数相加的法则：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．2．（2021·全国七年级期中）下列关于有理数的加法说法错误的是（）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．异号两数相加，绝对值相等时和为0C．互为相反数的两数相加得0D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【答案】D【分析】直接利用有理数的加法法则逐一判断即可；【详解】解：A、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，正确，不合题意；B、异号两数相加，绝对值相等时和为0，正确，不合题意；C、互为相反数的两数相加得0，正确，不合题意；D、绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号，不正确，符合题意，应该改为：绝对值不等时，巩固提升取绝对值较大的数的符号作为和的符号． 故选择：D ．【点睛】本题主要考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，并用较大的数的绝对值减去较小数的绝对值，互为相反数的两数相加得0．熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．3．（2021·湖北七年级期中）在一家水果店，小明买了1斤苹果，4斤西瓜，2斤橙子，1斤葡萄，共付27.6元；小惠买了2斤苹果，6斤西瓜，2斤橙子，2斤葡萄，共付32.2元．则买1斤西瓜和1斤橙子需付（ ） A ．16元 B ．14.8元 C ．11.5元 D ．10.7元【答案】C【分析】先用小惠买水果的钱减去小明买水果的钱得到1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱，再用小明买水果的钱减去1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱得到2斤西瓜和2斤橙子的钱，最后除以2即可得出答案. 【详解】由题意可得：()27.632.227.62⎡⎤÷⎣⎦﹣﹣()27.64.62=÷﹣232=÷ 11.5=（元）．故买1斤西瓜和1斤橙子需付11.5元． 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的加减，解题的关键是求出1斤苹果，2斤西瓜，1斤葡萄的钱.4．（2021·陕西七年级期中）某水库的水位将80米作为标准水位，水位为85.3米记为 5.3+米，则水位为76.8米应记为（ ） A ．76.8+米 B ．76.8-米C ． 3.2+米D ． 3.2-米【答案】D【分析】根据有理数的减法计算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法即可求得 【详解】76.880 3.2-=-∴水位为76.8米应记为 3.2-米故选D【点睛】本题考查了有理数的减法运算，互为相反意义的量的表示方法和正负数的表示方法，理解题意是解题的关键．5．（2021·重庆酉阳·七年级期末）我县某山区学校去年秋季期末考试时最高气温为6℃，最低气温为2-℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．-10℃ B ．-8℃C ．8℃D ．10℃【答案】C【分析】依据题意列出算式，然后根据减法法则计算即可． 【详解】解：()62628--=+=℃. 故选C ．【点睛】本题主要考查了有理数的减法在实际生活中的应用，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 6．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）如果230x y -++=， 那么x y -的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．5D ．-5【答案】C【分析】根据非负数的性质求出x y 、的值，再计算即可． 【详解】解：∵230x y -++=， ∴203=0x y -=+，，即2x =，=3y -；2(3)5x y -=--=， 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题关键是利用非负数的性质求出x y 、的值． 二、填空题7．（2021·河北石家庄·七年级期中）黄河铁路大桥是一座钢架结构，0℃时，此桥长400米，气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米，某天，技术人员对桥进行实际测量，发现桥短了0.088米，据此可知当天的气温是_____℃． 【答案】﹣8【分析】先计算钢桥缩短了多少个0.011米，再根据其对应关系进行计算即可． 【详解】解：∵气温每升高或降低1℃，钢桥伸长或缩短0.011米， 又∵桥短了0.088米，0.0880.0118÷=∴气温降低了8℃，∴当天的气温是0-8=-8（℃） 故答案为：-8．【点睛】本题考查了正负数的应用，解决本题的关键是读懂题意，理解桥长与温度之间的变化关系，抓住其中的关键词，其中气温升高对应钢桥伸长，气温降低对应钢桥缩短，数量上是1℃对应0.011，本题较基础，考查了学生审题以及对有理数的应用的基本功．8．（2021·全国）绝对值不相等的异号两数相加，取____________数的符号，并用___________减去____________．【答案】绝对值较大较大的绝对值较小的绝对值9．（2021·黑龙江七年级期末）我县12月份某天早晨，气温为-23℃，中午上升了5℃，晚上又下降了6℃，则晚上气温为________℃【答案】-24【分析】根据题意列式计算即可求解．【详解】依题意可得-23+5-6=-24故答案为：-24．【点睛】此题主要考查有理数的加减运算，解题的关键是根据题意列式求解．10．（2021·辽宁）计算：15322⎛⎫⎛⎫--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．【答案】1【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可．【详解】解：15 322⎛⎫⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15 3+22-=3﹣2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和运算顺序是解答的关键．11．（2020·河南洛阳·）绝对值大于1.5并且小于3的整数之和是_________．【答案】0【分析】绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，据此求出满足题意的整数有哪些，再相加即可．【详解】解：∵绝对值大于1.5并且小于3的整数的绝对值等于2，∴绝对值大于1.5并且小于3的整数是-2，2．∴-2+2=0，故答案为：0．【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法和有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．12．（2021·浙江）计算：12345678910112013201420152016--++--++--+⋅⋅⋅+--+=______．【答案】0【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【详解】解：1-2-3+4+5-6-7+8+…+2013-2014-2015+2016=（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（2009-2010-2011+2012）+（2013-2014-2015+2016）=0．故答案为：0．【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2021·江苏南京一中七年级月考）阅读材料：我们在求1+2+3+…+99+100的值时可以用如下方法：我们设S＝1+2+3+…+99+100①，那么S＝100+99+…+3+2+1②．然后，我们由①+②，得2S＝（100+1）+（99+2）+…+（98+3）+（99+2）+（100+1）＝100×101．得S＝100×101÷2＝5050．依据上述方法，求5+10+15+…+195+200的值为_______．【答案】4100【分析】根据阅读材料的求和方法，即可求解．【详解】解：设S＝5+10+15+…+195+200，那么S＝200+195+190+…+10+5，则2S＝（5+200）+（10+195）+（15+190）+…+（195+10）+（200+5）＝205×40，∴S＝205×40÷2＝4100，故答案为：4100．【点睛】本题主要考查有理数求和，理解倒序相加求和法，是解题的关键．14．（2021·辽宁大连·七年级期末）我市一月某天早上气温为-6℃，中午上升了9℃，这天中午的温度是_______℃．【答案】3【分析】根据题意，将早上的气温加上上升了的温度即可求得答案．-+=．【详解】依题意，693故答案为3【点睛】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，掌握有理数的加减是解题的关键．15．（2021·全国七年级专题练习）计算：1－（＋2）＋3－（＋4）＋5－（＋6）＋…－（＋2014）＝_________．【答案】﹣1007．【分析】按照数字的顺序，两个分为一组，共1007组，计算后进一步合并即可．【详解】解：原式＝[1﹣（+2）]+[3﹣（+4）]+[5﹣（+6）]+…+[2013﹣（+2014）]＝﹣1﹣1﹣1﹣…﹣1＝﹣1007．故答案为：﹣1007．【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握运算方法，适当分组是解决问题的关键．16．（2021·北京市昌平区第二中学七年级月考）已知0abc ≠，则b ac a b c ++=__________． 【答案】±3或±1【分析】根据题意可分情况进行求解，即当a 、b 、c 同为正和同为负时，当a 、b 、c 有两正一负和两负一正时，然后进行求解即可．【详解】解：∵0abc ≠，∴当a 、b 、c 同为正时，则有1113b a c a b c++=++=， 当a 、b 、c 同为负时，则有()()1113b a c a b c++=-+-+-=-， 当a 、b 、c 有两正一负，则有()1111b a c a b c ++=+-+=； 当a 、b 、c 有两负一正，则有()()1111b a c a b c++=-+-+=-； 故答案为：3±或±1．【点睛】本题主要考查绝对值的意义、正负数及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义、正负数及有理数的加法是解题的关键．三、解答题17．（2021·全国七年级专题练习）计算下列各式：（1）（﹣1.25）+（+5.25） （2）（﹣7）+（﹣2）【答案】（1）4；（2）-9【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答；（2）根据有理数的加法法则计算，即可解答；【详解】解：（1）（﹣1.25）+（+5.25）=5.25﹣1.25=4；（2）（﹣7）+（﹣2）=﹣（7+2）=﹣9【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．（2021·全国七年级专题练习）计算：55754343⎡⎤⎛⎫+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【答案】12- 【分析】方法1 ：直接根据四则运算法则，先通分算小括号里面的，然后算中括号，最后去括号求解即可； 方法2 ：运用去括号法则，先去掉括号，再根据加法的交换律，将同分母的数相加减，得出结果．【详解】方法1 ：原式552120431212⎡⎤⎛⎫=+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 5514312⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ 520141212⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ 521412⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 521412=- 612=- 12=-． 方法2 ：55754343⎡⎤⎛⎫+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 55754343⎡⎤=+--+⎢⎥⎣⎦ 55754343=--+ 57554433=--+ 24=- 12=-． 【点睛】算式有多重括号，如果按照方法一计算需要进行多次通分，完成括号内的运算从而得出结果；方法二通过观察算式的结构，括号内和括号外的数有分母相同的情况，如果去掉括号，就可以通过加法交换律让同分母的数相加减，从而减少通分，达到简算的目的．因此，在进行计算前要先观察算式的结构，不要盲目地去进行运算，但无论哪种方法都需要同学们正确运用有理数加减法运算法则．19．（2021·全国七年级专题练习）用较为简便的方法计算下列各题：（1）1112 210833355⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）－8721＋531921－1279＋4221；（3）32115542⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）3195-；（2）-9942；（3）1120【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；【详解】解：（1）1112 210833355⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1112210833355⎛⎫⎛⎫+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3 8115 --=3195-；（2）－8721＋531921－1 279＋4221＝(－8721－1279)＋192 (534)2121+＝－10000＋58 ＝－9942；（3）32115542⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1354 --+-=13 54 -+=11 20【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．20．（2021·河南七年级期中）有10筐白菜，称重后记录如下（单位：kg）： 26.5，22，27，24.5，26，23，23，22.5，24，23.5．（1）如果以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，这10筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？（2）10筐白菜一共多少千克？【答案】（1）不足8千克；（2）242千克【分析】（1）根据题意，以25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，将10个数据按要求表示出来，并求和即可；（2）根据（1）的结论即可求得．+-++-++-+-+-+-+-【详解】（1）1.5(3)2(0.5)1(2)(2)( 2.5)(1)( 1.5)=+-=-，4.5(12.5)8答：总计不足8千克．（2）由（1）可知总计不足8千克⨯-=（千克），则10筐白菜一共：10258242答：10筐白菜一共242千克．【点睛】本题考查了正负数的实际意义，有理数加减的应用，正确的计算是解题的关键．21．（2021·陕西七年级期中）股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格比前一天上涨，负数表示价格比前一天下跌，单位：元，注：股票周末休市）：（1）星期三收盘时，该股票每股多少元？（2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？（3）到周五收盘，王先生那1000股在这一周的盈亏情况如何？【答案】（1）19.6元；（2）股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格最低是19.6元；（3）盈利2100元【分析】（1）根据表格列出算式，即可得到结果；（2）根据表格求出每天的股价，即可得到最高与最低股价；（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）星期三收盘时，该股票每股价格为：+++++-=元．18( 2.8)( 2.9)( 4.1)19.6++=元，（2）星期一该股票的价格是18( 2.8)20.8++=元，星期二该股票的价格是20.8( 2.9)23.7+-=元，星期三该股票的价格是23.7( 4.1)19.6++=元，星期四该股票的价格是19.6(2)21.6+-=元，星期五该股票的价格是21.6( 1.5)20.1所以该股票星期二价格最高为23.7元，星期三价格最低是19.6元．（3）这一周每股利润20.118 2.1-=元，所以王先生那1000股在这一周的盈利1000 2.12100⨯=元．【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．22．（2021·福建省光泽第一中学七年级开学考试）小明看一本故事书，第一天看了这本书的16，第二天看了42页，这时已看页数和未看页数的比是2：3，这本书一共有多少页？【答案】180页【分析】把这本书的页数看作单位“1”，第一天看了全书的16，第二天看了42页，这时已看了全书的223+，根据分数除法的意义，用42页除以21()236-+，就是这本书的页数．【详解】解：21 42()236÷-+2142()56=÷-74230=÷180=（页)答：这本书一共有180页．【点睛】本题考查了比的应用，解题的关键是把比转化成分数，然后根据分数除法的意义解答．23．（2021·阿荣旗孤山学校七年级期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．【答案】（1）291；（2）2111个【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到该厂本周生产口罩的数量．【详解】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．。
3.2有理数的加法运算律(1)
例2.列式子并计算： ⑴比－1的相反数大2的数 ⑵＋3的相反数与－3的绝对值的和 ⑶＋1的绝对值的相反数与2的和
一个数是5，另一个数比5的相反数 大3，则这两个数的和为（ ） B A.－3 B.＋3 C.－2 D.＋2
家庭作业
1.计算 ⑴ (-5)+(-3) ⑶ (+5)+(-3) ⑸ 8+（-1） ⑺ 9+（-10） ⑼ 23+（-32） ⑵ (-5)+(+3) ⑷ 45+（-45） ⑹（-23）+0 ⑻ (-4)+5 ⑽ （-9）+（-10）
=8+（-4）=4 30×10+4=304(千克）
答：10筐苹果总共重304千克
通过计算将怎样的 加法结合在一起， 可使运算简便？
四、强化法则，深入理解
使用运算律通常有下列情形： (1)符号相同的数可以先相加。 (2)互为相反数的两个数可先相加； (3)几个数相加得整数时,可先相加；
(4)同分母的分数可以先相加；
=（2+3+3）+（-4）+【2.5+（-2.5）】+【（-0.5)+1+1.5)
=8+（-4）=4 30×10+4=304(千克） 答：10筐苹果总共重304千克
通过计算将怎样的 加法结合在一起，
解：2+（-4）+2.5+3+（-0.5）+1.5+3
+（-1）+0+（-2.5）
=（2+3+3）+（-4）+【2.5+（2.5）】 +【（-0.5)+1+1.5)