2020年高考数学复习 第九章 第三节 直线与平面垂直 精品
【精品含答案】高考一轮复习9.3直线和平面垂直、平面和平面垂直基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习9.3 直线和平面垂直、平面和平面垂直基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（ ） A. m ⊥α，β⊂n ，β⊥α⇒⊥n mB. βα∥，α⊥m ，n m n ⊥⇒β∥C. β⊥α，α⊥m ，n m n ⊥⇒β∥D. β⊥α，αm =β⋂，β⊥⇒⊥n m n2. 给出下列三个命题： ①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”②“直线a 垂直直线b ”的充分非必要条件是“直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”； ③“直线a 垂直平面β”的必要非充分条件是“直线a 垂直平面β内的无数条直线”。
其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 33. 设a ，b ，c 是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ） A. 当c ⊥α时，若β⊥c 则βα∥B. 当α⊂b ，且α⊄c 时，若α∥c 则b ∥cC. 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c 则a ⊥bD. 当α⊂b 时，若β⊥b 则β⊥α4. 如图所示，斜三棱柱111C B A ABC -中，11C A 是异面直线1BC 与11B A 的公垂线，则1C 在平面ABC 内的射影H （ ）A. 在直线AC 上B. 在直线BC 上C. 在△ABC 内部D. 在直线AB 上5. （思考探究题）如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC 。
那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点6. （2009·高考预测题）设平面β⊥α，且l =βα ，直线α⊂a ，直线β⊂b ，且a 不与l 垂直，b 不与l 垂直，则a 与b （ ） A. 可能垂直，不可能平行B. 可能平行，不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 不可能垂直，也不可能平行第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
2021届高考数学专题突破直线、平面垂直的判定和性质(解析版)
2021届高考数学立体几何突破性讲练 05直线、平面垂直的判定和性质一、考点传真：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理：1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都，则该直线与垂直于同一个平面的 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理一个平面过另一个平，则这两两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论汇总直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 三、例题：例1. （2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=.例2. (2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，联结EM ，DM .因为AB DE ∥，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=︒得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM . 因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，1DE =，EM =，故2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为例3. （2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解析】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，⊥．所以PA BD⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC=，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA AC A所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD ．又//AB CD ，所以AB ⊥AE ．又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PAAB A =，所以AE ⊥平面PAB ．又AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得CF ∥平面PAE ． 取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 因为G ，F 分别为PA ，PB 的中点，则FG ∥AB ，且FG =12AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．例4. （2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 （Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，P ABCD -ABCDPCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD ACBD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ⊄PAD PD ⊂PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为PCD △为等边三角形，且为的中点，所以又， 故在Rt AND △中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 例5. （2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且=OP 连结OB ．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．PACPCD PC =DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC 2CD =N PC DN =DN AN ⊥sin 3DN DAN AD ∠==AD PAC 3O MPCBA(2)作CH⊥OM，垂足为H．又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知122==OC AC，23==CM BC，45∠=ACB．所以=OM，sin5⋅⋅∠==OC MC ACBCHOM．例6. （2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解析】(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．HOMPCBAA BCDM⊂⊂证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．四、巩固练习：1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒/ l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是() A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n【答案】B【解析】对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错．4．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【答案】C【解析】由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC ＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．5.已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】如图，因为P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以P A⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以P A⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.6.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部【答案】A【解析】因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部【答案】 B【解析】连接AC1，如图.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ， ∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB ＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一点C 1向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.故选B.8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分【答案】B【解析】 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.9.如图，在正四面体P -ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确．在正四面体中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE ，又DF ∥BC ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B 、C 均正确．10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么在这个空间图形中必有( )A.AG ⊥平面EFHB.AH ⊥平面EFHC.HF ⊥平面AEFD.HG ⊥平面AEF 【答案】 B【解析】 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，又HE ∩HF ＝H ，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确.∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确.∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确.由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确.11.如图，在下列四个正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线1BD 与平面EFG 不垂直的是（ ）【答案】D【解析】对于选项D 中图形，由于E ，F ，为AB ，11A B 的中点，所以1//EF BB ，故11B BD ∠为异面直线所成的角且11TAN B BD ∠=11B BD ∠不为直角，故1BD 与平面EFG 不可能垂直，故选D.12.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 设D 1在平面ABC 上的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC .∵D 1E ⊂平面ABD 1，∴平面ABD 1⊥平面ABC .∵D 1E ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ，∴BC ⊥平面ABD 1.又BC ⊂平面BCD 1，∴平面BCD 1⊥平面ABD 1.∵BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1，∴BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ，∴AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1⊂平面ACD 1，∴平面ACD 1⊥平面BCD 1.∴共有3对平面相互垂直.故选B.13.已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，P A ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．【答案】7【解析】由于PD ⊥平面ABCD ，故平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面P AC ⊥平面PDB ，平面P AB ⊥平面P AD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．14.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________.【答案】 13【解析】 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角.因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22，又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 15．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确命题的序号是________．【答案】①③【解析】如图所示，因为AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF ，又ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB 1C 1C ，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE ，故③正确．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________.【答案】 12【解析】 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ，由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又12×2×2＝12×h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ，得x ＝12.17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23， 所以AM 的长为23. 18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P -ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ，因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1.同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3.因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233. (2)存在，A Q ＝23.理由如下． 延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE .假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ，则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝AB AE. 经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23. 故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.19.如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ，∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ， ∴M ，F ，L ，A 四点共面，又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL .∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14. 20.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G -ECD 的体积．【解析】(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ，所以BE ∥平面ACFD ，所以V G -ECD ＝V E -GCD ＝V B -GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°， 又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12， 又BC ⊥平面ACFD ， 所以V B -GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G -ECD 的体积为312.。
第37讲 直线、平面垂直的判定与性质-高三数学一轮复习(提高版)课件
• 【解答】 在矩形CDEF中，CD⊥DE. • 又因为∠ADC＝90°，所以CD⊥AD. • 因为DE∩AD＝D，DE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE. • 又因为DM⊂平面ADE，所以CD⊥DM. • 又因为AB∥CD，所以AB⊥DM. • 因为AD＝DE，M为AE的中点，所以AE⊥DM. • 又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以MD⊥平面ABE. • 因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥MD.
• (2) 求证：平面BEF⊥平面PCD. • 【解答】因为AB⊥AD，所以四边形ABED为矩形， • 所以BE⊥CD，AD⊥CD， • 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，所以
PA⊥底面ABCD. • 因为CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， • 又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， • 所以CD⊥平面PAD.
●典型示例
如图(1)，在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥平面 ABCD， PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1) 求证：PC⊥BC；
• 【解答】 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. • 由∠BCD＝90°，得CD⊥BC， • 又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD， • 所以BC⊥平面PCD. • 因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC.
所以 B1D＝ BD2＋BB21＝ 10. 在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1， 所以 DF＝ CD2＋CF2＝ 5. 显然DF2＋B1F2＝B1D2， 所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF.
• 证明线面垂直的常用方法及关键
第49讲、直线、平面垂直的判定与性质(学生版)2025高考数学一轮复习讲义
第49讲直线、平面垂直的判定与性质知识梳理知识点1：直线与平面垂直的定义如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）该平面也垂直知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）知识点4：平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若,⋂=⊥CD CD αβγ，且,,⋂=⋂=⊥AB BE AB BE αγβγ，则⊥αβ）一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）线⊥线−−−−→←−−−−判定定理性质定理线⊥面−−−−→←−−−−判定定理性质定理面⊥面（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质(,)⊥⊂⇒⊥a b a bαα；⑦平行线垂直直线的传递性（,//⊥⇒⊥a c a b b c ）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（,,,,⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥a b a c c b b c P a ααα）；③面面垂直的性质（,,,⊥⋂=⊥⊂⇒⊥b a b a a αβαβαβ）；平行线垂直平面的传递性（,//⊥⇒⊥a b a b αα）；⑤面面垂直的性质（,,⊥⊥⋂=⇒⊥l l αγβγαβγ）．（3）证明面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（,⊥⊂⇒⊥a a βααβ）．空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．性质性质性质性质性质判定判定判定判定判定线∥面线∥线面∥面线⊥面线⊥线面⊥面必考题型全归纳题型一：垂直性质的简单判定例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若,m n n α⊥∥，则m α⊥B ．若,m ββα⊥∥，则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥D ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A ．若//l α，且//m α，则l m ⊥B ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m nC ．若//m l ，且m α⊥，则l α⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有以下四个命题：①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α，②若m ⊂α，m β⊥，则αβ⊥，③若m α⊥，m β⊥，则α∥β，④若αβ⊥，m ⊂α，n ⊂α，则m n ⊥其中正确的命题是（）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①②变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A ．若,,m m n αβα⊥⊥⊥，则n β⊥B ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥C ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥D ．若,,⊥∥∥m m n n αβ，则αβ⊥变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形ABCD 中，2,60,AB BAD =∠= 对角线,AC BD 交于点O ，将ABD △沿BD 折到A BD ' 位置，使平面A BD '⊥平面BCD .以下命题:①BD A C '⊥；②平面A OC '⊥平面BCD ；③平面A BC '⊥平面ACD '；④三棱锥A BCD -'体积为1.其中正确命题序号为（）A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①②④变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出αβ⊥的是（）A ．l ⊂α，m β⊂，且l m⊥B ．l ⊂α，m β⊂，n β⊂，且l m ⊥，l n⊥C ．m α⊂，n β⊂，//m n ，且l m ⊥D ．l ⊂α，//l m ，且m β⊥【解题方法总结】此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．题型二：证明线线垂直例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，11AB B C =．(1)证明：1AC B B ⊥；例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面,ABCD PA AD ==，点M 是PD 的中点.(1)证明：AM PC ⊥；例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱111ABC A B C -中，1112,2,90,AB AC A A A B A C BAC E =====∠=︒是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.(1)求证：AB EF ⊥；变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD 和以CD 为直径的半圆组成的平面图形，AD BC ∥，AD AB ⊥，112AD AB BC ===．E 是半圆上的一个动点，当△CDE 周长最大时，将半圆沿着CD 折起，使平面PCD ⊥平面ABCD ，此时的点E 到达点P 的位置，如图2．(1)求证：BD PD ⊥；变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，111A A B A A C ===90BAC ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是线段11AC 上一点.(1)求证：AB EF ⊥；(2)设P 是棱1AA 上的动点（不包括边界），当PBC 的面积最小时，求棱锥-P ABC 的体积.变式6．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形ABCD 中，//AB DC ，90DAB ∠=︒，2CD =，4AC AB ==，如图1.沿对角线AC 将DAC △折起，使点D 到达点P 的位置，E 为BC 的中点，如图2.(1)证明：PE AC ⊥.【解题方法总结】12()先看两直线位置关系三线合一有等腰三角形就必用共面勾股定理（题目中线段数据多）证明其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂⎧⎧⎪⎪⇒⎪⎨⊥−−−−−−→⎨⎪⎩⎪⎪⇒⇒⇒⎩l l题型三：证明线面垂直(1)求证：AB ⊥平面11ADD A ；(2)求四棱锥11C BDD B -的体积.例7．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥P OABC -中，已知ππ1,2,4,,36OA OP CP AB CPO ABC ∠∠======，π2AOC ∠=.(1)证明：CO ⊥平面AOP ；例8．（2024·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥C ABD -中，CD ⊥平面ABD ，E 为AB 的中点，2AB BC AC ===，2CG EG =.(1)证明：AB ⊥平面CED ；例9．（2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形ABCDE 中，四边形ABCE 为正方形，CD DE ⊥，CD DE =，如图2，将ABE 沿BE 折起，使得A 至1A 处，且11A B A D ⊥．(1)证明：DE ⊥平面1A BE ；变式7．（2024·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．(1)证明：BC ⊥平面PAB ；变式8．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与平面ABCD 互相垂直，且1AB BC BF ===，AD CD ==，2EF =．(1)求证：BC ⊥平面CDE ；变式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12,AC BC CC D ===是1AA 的中点，且90,60ACB DAC ∠∠==.(1)证明：1AA ⊥平面CBD ；【解题方法总结】垂直关系中线面垂直是重点．线垂面哪里找⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①垂直两条相交线；②垂直里面作垂线；③直（正）棱柱的侧棱是垂线；④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.线垂面有何用⎧⎨⎩①垂直面里所有线（证线线垂直）；②过垂线作垂面（证面面垂直）.证明线面垂直常用两种方法．方法一：线面垂直的判定．线线垂直⇒线面垂直，符号表示为：,,,,⊥⊥⊂⊂⋂=a b a c b c b c P αα，那么⊥a α．方法二：面面垂直的性质．面面垂直⇒线面垂直，符号表示为：,,,⊥=⊂⊥ b a a b αβαβα，那么⊥a β．题型四：证明面面垂直例10．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，160CBB ∠=︒，2AB BC ==，1AC AB ==(1)证明：平面1ACB ⊥平面11BB C C ；例11．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，12AB CD =，CD CE ⊥，45ADC EDC ∠=∠= ，AD =BE .(1)求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；例12．（2024·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形ABCD 与ADEF ，222DE BC AD AB AF =====，AD AF ⊥，//ED AF ，AD ⊥AB ，//BC AD ，G 是线段BF 上一点.(1)平面ABCD ⊥平面ABF变式10．（2024·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体PABCD 中，AD ⊥平面PAB ，点C 在平面PAB 的投影在线段PB 上()BC PC <，6BP =，AB AP ==2DC =，CD ∥平面PAB .(1)证明：平面PCD ⊥平面PAD .变式11．（2024·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1160,2,CBB AB BC AC AB ∠=====(1)证明：平面1ACB ⊥平面11BB C C ；变式12．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，122,4,AB BC AA P ===为棱AB 的中点．(1)证明：平面1PCD ⊥平面1PDD ；(2)画出平面1D PC 与平面11A ADD 的交线，并说明理由；(3)求过1,,D P C 三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．变式13．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，P 为圆锥的顶点，A ，B 为底面圆O 上两点，2π3AOB ∠=，E 为PB 中点，点F 在线段AB 上，且2AF FB =.(1)证明：平面AOP ⊥平面OEF ；变式14．（2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，ACD 与ACB △均是等边三角形，直线ED ⊥平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC ，DE BE ⊥.(1)求证：平面ABC ⊥平面ADC ；【解题方法总结】主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直⇒面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．题型五：垂直关系的综合应用例13．（2024·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==．(1)试在平面1A BC 内确定一点H ，使得AH ⊥平面1A BC ，并写出证明过程；例14．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面三角形ABC 是等边三角形）中，1BC CC =，M 、N 、P 分别是1CC ，AB ，1BB 的中点．(1)求证：平面//NPC 平面1AB M ；(2)在线段1BB 上是否存在一点Q 使1AB ⊥平面1A MQ ？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，也请说明理由．例15．（2024·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，顶点A 在底面BCD上的射影O 在棱BD 上，AB ＝AD ，BC ＝BD ＝2，∠CBD ＝90°，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ；（2）求二面角B ﹣AE ﹣C 的余弦值；（3）已知P 是平面ABD 内一点，点Q 为AE 中点，且PQ ⊥平面ABE ，求线段PQ 的长．变式15．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D E = ，11CD C D F = .（1）求证：EF BD ⊥；（2）在线段1BC 上，是否存在点H ，使得1BC ⊥平面DEH ？并说明理由.变式16．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C是矩形，侧面11BB C C 是菱形，160B BC ∠= ，D 、E 分别为棱AB 、11B C 的中点，F 为线段1C E 的中点.(1)证明：//AF 平面1A DE ；(2)在棱1BB 上是否存在一点G ，使平面ACG ⊥平面11BB C C ？若存在，请指出点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.变式17．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，侧面PAB 是等边三角形，2BC AB =，60ABC ∠=︒，PB AC ⊥．(1)求证：面PAB ⊥面ABCD ；(2)设Q 为侧棱PD 上一点，四边形BEQF 是过B ，Q 两点的截面，且AC 平面BEQF ，是否存在点Q，使得平面BEQF 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．变式18．（2024·河北邯郸·统考二模）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．（1）求证：C1E//平面ADF；（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF．【解题方法总结】（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证。
第03讲 空间直线、平面的平行 (精讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第03讲空间直线、平面的平行(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述： a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a α，a β⊂，b αβ=⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号表述：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言3.2性质 ////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．( )（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体ABCD A B C D ''''-，平面α平面ABCD EF =，平面α平面A B C D E F ''''''=，则EF 与E F ''的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．不确定3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A ．平面11E FG 与平面1EGHB ．平面1FHG 与平面11F H GC ．平面11F H H 与平面1FHED ．平面11E HG 与平面1EH G4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对5．（2022·全国·高一课时练习）直线//a 平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有6．（2022·全国·高二课时练习）若平面//α平面β，直线a α⊂，则a与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，3BC =4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．.题型归类练1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点E ，F 分别在线段CB ，AP 上，且CE EB =，=AF FP ．(1)求证：//EF 平面PCD ；2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥P ABC -中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥P ABC -的表面积.题型归类练 1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，AC 和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，6PA PC ==．(1)在线段PD 上确定一点M ，使得PB ∥面ACM ，求此时PM MD的值；2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .(1)写出图中与l 平行的直线，并证明；3．（2022·全国·高三专题练习）刍（ch ú）甍（m éng ）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为长方形，//EF 平面ABCD ，ADE 和BCF △是全等的等边三角形.求证：EF∥DC ；4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，2BC DE EC ==，将DAE △沿AE 进行翻折，翻折后D 点到达P 点位置，且满足平面PAE ⊥平面ABCE ，如图2．(1)若点F 在棱PA 上，且EF ∥平面PBC ，求PF PA；5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB △为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且//SD 平面GAC .求证：G 为SB 的中点题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是1,A D BD 的中点.(1)求证：平面1A BD平面11CB D ； (2)求证：EF 平面11DCC D ；(3)求三棱锥1A BDA -的体积.例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC BB ==，点E ，F 分别为边1AA ，1DD 的中点.(1)求三棱锥1E A BC -的体积；(2)证明：平面1CFA ∥平面BDE .例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -木块中，E 是1CC 的中点.(1)求四棱锥11E ABC D -的体积；(2)要经过点A 将该木块锯开，使截面平行于平面1BD E ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.题型归类练1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C 的中点．(1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是正方形，E ，F ，G 分别是棱1BB ，11B C ，1CC 的中点.(1)证明：平面1//A EF 平面1AD G ；(2)若点1A 在底面ABCD 的投影是四边形ABCD 的中心，124A A AB ==，求三棱锥11A AD G -的体积.3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为2，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点.(1)求证：CF //平面A 1EC 1；(2)过点D 做正方体截面使其与平面A 1EC 1平行，请给以证明并求出该截面的面积.角度2：平面与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，（1）若,,,E F G H 分别是1111,,,AB AC A B A C 的中点，求证：平面1EFA //平面BCHG . （2）若点1,D D 分别是11,AC A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值．例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，3AD =，O 为棱AB 的中点，点E 在棱AD上，且13AE AD =．(1)证明：CE PE ⊥；(2)在棱PB 上是否存在一点F 使OF ∥平面PEC ？若存在，请指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C -中，点D 、1D 分别是AC 、11A C 上的点，且平面1//BC D 平面11AB D ，试求AD DC的值.2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF //CE ，BF ⊥BC ，BF ＜CE ，BF =2，AB =1，AD 5(1)求证：BC ⊥AF ；(2)求证：AF //平面DCE ；3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，2PA PD ==，4AB =，1DC =，22AD BC ==(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)在线段PA 上是否存在点M ，使得∥DM 平面PBC ？若存在，求PM AM的值；若不存在，请说明理由．4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥S ABCD -，2,2SA SB SC SD AB =====P 为侧棱SD 上的点．且3SP PD =，求：(1)正四棱锥S ABCD -的表面积；(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由．题型三：平行关系的综合应用典型例题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，A 、B 、C 为所在棱的中点，则能得出平面//ABC 平面DEF 的是（ ）A ．B ．C ．D ．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ､分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面四边形11BCC B 内（不含边界）一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是___________.例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11ADD A （包括边界）内运动，且//BP平面AMN ，则1PA 的长度范围为___．题型归类练1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别是棱1AA ､11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）A ．2B 5C 6D ．222．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，N 为BC 的中点．当点M 在平面DCC 1D 1内运动时，有MN //平面A 1BD 则线段MN 的最小值为（ ）A ．1B 6C 2D 33．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11(BCC B 包括边界)内运动．若1PA ∥平面AMN ，则1PA 的最小值是（ ）A ．1B 5C 32D 64．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为正方体棱的中点，则满足条件直线//EF 平面1ACD 的点F 的个数是___________.5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 为AD 的中点，F 在PA 上，AP =λAF ，若PC //平面BEF ，则λ的值为_________.6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为11A B ，11B C ，11C A 的中点，2AB =，M 为BD 的中点，则下列说法正确的是______．①AF ，BE 为异面直线；②EM ∥平面ADF ；③若BE CF ⊥，则12AA =④若60BEC ∠=︒，则直线1A C 与平面11BCC B 所成的角为45°．1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A ．26B ．27C ．42D ．62．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC⊥，E 是PB 的中点．OE平面PAC；(1)证明：//3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，EAB FBC GCD HDA 包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，,,,均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．EF平面ABCD；(1)证明：//(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．。
2020年高考数学专题复习两直线的位置关系
两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2.两直线的交点3．三种距离4.几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． (2)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程：Bx －Ay ＋λ＝0.(3)过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√(教材习题改编)直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1解析：选C.由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1.(教材习题改编)已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行，则实数a 的值是________．解析：由直线l 1与l 2平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋1）＝2×3，a ·1≠2，解得a ＝－3.答案：－3若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.将其代入x ＋by ＝0，得b ＝－12.答案：－12两条直线平行与垂直(1)(2019·金丽衢十二校高三联考)设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x＋(5＋m )y ＝8，则“l 1∥l 2”是“m ＜－1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．【解析】 (1)若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2⇒m ＝－1或－7，经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7，故是充分不必要条件，故选A.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.【答案】 (1)A (2)4x ＋3y －6＝0将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)． 因为l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.由一般式确定两直线位置关系的方法已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值． (1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)－b ＝0. 又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2. (2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在．所以a b＝1－a .① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.距离公式(高频考点)距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：(1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)距离公式的综合应用．角度一 求距离已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB的中点为P (0，10a)，则线段AB 的长为________．【解析】 依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )、B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝02x ＋y ＝10，则A (4，8)、B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10. 【答案】 10角度二 已知距离求参数值(1)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[－10，10] B ．[－10，5] C ．[－5，5]D ．[0，10](2)若两平行直线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．【解析】 (1)由题意得，点P 到直线的距离为 |4×4－3·a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15， 解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0，10]． (2)依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（－2）2＝21313， 因此c ＝2或－6.【答案】 (1)D (2)2或－6角度三 距离公式的综合应用(1)P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(1，2)或(2，－1)D ．(2，1)或(－1，2)(2)在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．【解析】 (1)设P 点坐标为(x ，5－3x )，则P 点到直线x －y －1＝0的距离d ＝|x －（5－3x ）－1|2＝|4x －6|2＝2，所以|2x －3|＝1，所以x ＝1或x ＝2.所以P 点坐标为(1，2)或(2，－1)．(2)由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14|，又1<m <4， 所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．【答案】 (1)C (2)94距离的求法 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．1．已知A (2，0)，B (0，2)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝2 2. 由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝ 2.由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t ＋t 2－2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个．2．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________． 解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x＋8y －15＝0.答案：12x ＋8y －15＝0对称问题已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为( )A．Ax－By－C＝0 B．Ax＋By－C＝0 C．Ax－By＋C＝0 D．Bx＋Ay＋C＝0 解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B ≠0)中的x用－x代换得－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2，0)关于直线AB 的对称点为D (4，2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.答案：210求两直线交点坐标及过交点的直线的设法 (1)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，设方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一一组解(x 0，y 0)，即为两直线l 1与l 2的交点坐标． (2)过直线l 1与l 2交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(注：该直线系不包含直线l 2)．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ∈R ，且n ≠C )．解决对称问题应抓住以下两点(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直．(2)已知点和对称点为端点的线段的中心在对称轴上．易错防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．[基础达标]1．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析：选C.因为直线l 2的斜率为12，直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，所以直线l 1的斜率等于－2，即－1a＝－2，所以a ＝12，故选C.2．(2019·金华十校联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.3．(2019·义乌模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D.由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)，P 是x 轴上一点，且|PA |＝|PB |，则△PAB 的面积为( ) A ．15 B ．552C ．6 5D ．152解析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)．即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △PAB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.6．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]． 故选D.7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：由题意可得两点间的距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋（2－x ）2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，即最小值为12.答案：128．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． 解析：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上．因为易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.答案：29．(2019·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：34510．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．解析：动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10， 所以10≥2|MA |·|MB |， 所以|MA |·|BM |≤5，当且仅当|MA |＝|MB |时取等号． 答案：511．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0， 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P . (1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2. 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)． 所以d max ＝|PA |＝10. [能力提升]1．(2019·温州八校联考)已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2解析：选A.集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0，因为M ∩N ＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax ＋2y ＋a ＝0与直线3x －y －3＝0相交于点A (2，3)．因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．22，12B ．2，22C ．2，12D ．24，14解析：选A.由题意知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1. 又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝（a ＋b ）2－4ab 2＝（－1）2－4c 2＝12－2c ， 而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .所以b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.所以直线l的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，所以6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.所以直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案：6x －8y ＋1＝04．(2019·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，所以f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 25．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为点B 与A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)． 设点P 的坐标为(x ，y )． 由题意，得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13， 化简，得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．(2)法一：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M ，N 的坐标分别为(3，y M )，(3，y N )． 则直线AP 的方程为y －1＝y 0－1x 0＋1(x ＋1)， 直线BP 的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0－1(x －1)． 令x ＝3，得y M ＝4y 0＋x 0－3x 0＋1，y N ＝2y 0－x 0＋3x 0－1.于是△PMN 的面积S △PMN ＝12|y M －y N |(3－x 0)＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|. 又直线AB 的方程为x ＋y ＝0，|AB |＝22， 点P 到直线AB 的距离d ＝|x 0＋y 0|2.于是△PAB 的面积S △PAB ＝12|AB |·d ＝|x 0＋y 0|.当S △PAB ＝S △PMN 时，得|x 0＋y 0|＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|. 又|x 0＋y 0|≠0.所以(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53.因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±339.法二：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则12|PA |·|PB |sin ∠APB ＝12|PM |·|PN |·sin ∠MPN . 因为sin ∠APB ＝sin ∠MPN ，所以|PA ||PM |＝|PN ||PB |，所以|x 0＋1||3－x 0|＝|3－x 0||x 0－1|，即(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53.因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±339.。
高考数学考点回归总复习《第四十七讲 直线平面垂直的判定及其性质》课件 新人教
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
答案:B
3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起, 使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为( )
A .1 3
答案:A
B .1 6
C .1 9
D .1 1 2
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
第四十七讲 直线､平面垂直的判定及其性质
回归课本
1.直线与平面所成的角
(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和
这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一 条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直
线和平面所成的角的范围是
0
,
ABC为 正 四 面 体 ,设 棱 长 为 a,则 AB1 3a,棱 柱 的 高A1O a2 AO 2
高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-1精品
• (4)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算 问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．
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• ●命题趋势
• 1．空间几何体
• 空间几何体是立体几何初步的重要内容，高考非常重视 对这一部分的考查．一是在选择、填空题中有针对性地 考查空间几何体的概念、性质及主要几何量(角度、距 离、面积、体积)的计算等．二是在解答题中，以空间 几何体为载体考查线面位置关系的推理、论证及有关计 算．
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• 3．空间向量与立体几何(理)
• 高考试题中的立体几何解答题，包括部分选择、填空题， 大多都可以使用空间向量来解答．高考在注重对立体几 何中传统知识和方法考查的同时，加大了对空间向量的 考查．给考生展现综合利用所学知识解决实际问题的才 能提供更宽阔的舞台．
• 这一部分高考命题主要有以下几个方面：
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• 1°球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆． • 2°不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆．
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• (3)球面距离：
• 1°定义：在球面上两点之间的最短距离，就是经过这
两点的 在这两点间的一段
的长度，这个弧
长叫做两大点圆的球面距离．
劣弧
• 2°地球上的经纬线
• 当把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的 半个大圆，纬线是与地轴垂直的平面与球面的交线，其
• ②棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角 三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成 一个直角三角形．
• 4．棱台的概念及性质
• (1)定义：棱锥被 的部分叫做棱台．
2020年高考理科数学复习第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质
第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫__a ，b ⊂α____a ∩b ＝O ____l ⊥a ____l ⊥b __⇒l ⊥α⎭⎪⎬⎪⎫__a ⊥α____b ⊥α__⇒a ∥b (1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理和性质定理一个平面过另一个平面的一，则这两个平面互相⎭⎪⎬⎪⎫__l⊂β____l⊥α__⇒α⊥β两个平面互相垂直，则一个的直线与⎭⎪⎬⎪⎫__α⊥β____l⊂β____α∩β＝a____l⊥a__⇒l⊥α1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个．(√)(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交．(×)(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．(×)(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)解析(1)错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有l⊥α.(2)正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直．(3)错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面．(4)错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线．(5)错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的性质定理可知，当α⊥β时，b⊥α.又因为a⊂α，则a⊥b;如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(C)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n，n⊂α且α∥β解析α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A项不成立；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故B项不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β.故C项成立；m⊥n，n⊂α，且α∥β，知m⊥β不成立，故D项不成立，故选C．4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，P A，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7__对．解析平面P AD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面P AD⊥平面PCD，平面PCD⊥平面PBC，平面P AD⊥平面P AB，平面P AC⊥平面PBD，共有7对．5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC内的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的__外__心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC, PC⊥P A，则点O是△ABC的__垂__心．解析(1)若P A＝PB＝PC，由勾股定理易得OA＝OB＝OC，故O是△ABC的外心；(2)由P A⊥PB，PC⊥P A，得P A⊥平面PBC，则P A⊥BC．又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面P AO，则AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．一直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直．【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：直线AE⊥直线DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.解析(1)证明：由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DF A1，即AE⊥平面DFG.二平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【例2】已知三棱柱A1B1C1－ABC的侧棱与底面成60°角，底面是等边三角形，侧面B1C1CB是菱形且与底面垂直，求证：AC1⊥BC．证明过C1作C1H⊥BC于H，连接AH，又∵侧面B1C1CB⊥底面ABC，侧面B1C1CB∩底面ABC＝BC，∴C1H⊥底面ABC．∴侧棱CC1与底面ABC所成角，即为∠C1CH＝60°，在Rt △C 1CH 中，CH ＝12CC 1，又∵CC 1＝BC ，∴CH ＝12BC ，即H 为BC 的中点，∴在等边△ABC 中，AH ⊥BC ，又∵C 1H ⊥BC ，AH ∩C 1H ＝H ，∴BC ⊥平面AC 1H ， 又∵AC 1⊂平面AC 1H ，∴AC 1⊥BC ．三 垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．【例3】 如图，在三棱台ABC －DEF 中，CF ⊥平面DEF ，AB ⊥BC ．(1)设平面ACE ∩平面DEF ＝a ，求证：DF ∥a ；(2)若EF ＝CF ＝2BC ，试问在线段BE 上是否存在点G ，使得平面DFG ⊥平面CDE ？若存在，请确定G 点的位置；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明：在三棱台ABC －DEF 中，AC ∥DF ，AC ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ，∴DF ∥平面ACE .又∵DF ⊂平面DEF ，平面ACE ∩平面DEF ＝a ，∴DF ∥a . (2)线段BE 上存在点G ，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE .证明如下：取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G .连接GD ， ∴CF ＝EF ，∴GF ⊥CE .在三棱台ABC －DEF 中， 由AB ⊥BC 得DE ⊥EF . 由CF ⊥平面DEF ，得CF ⊥DE .又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面CBEF ，∴DE ⊥GF . 又CE ∩DE ＝E ，∴GF ⊥平面CDE .又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE . 此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，易证△HOC ≌△FOE ， ∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE .1．(2018·山东青岛模拟)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是( C )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β解析 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b ，故选C ．2．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( C )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n解析 ∵α∩β＝l ，∴l ⊂β，∵n ⊥β，∴n ⊥l .3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD, AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°， P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1) CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A ．∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB ．又∵AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ，而PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD ． 又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .4．如图，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点．(1)求证：CD ⊥平面SAD ； (2)求证：PQ ∥平面SCD ；(3)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．解析 (1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ． 又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面SAD ．(2)证明：取SC 的中点R ，连接QR ，DR .由题意知，PD ∥BC 且PD ＝12BC ．在△SBC 中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR ＝12BC ．所以QR ∥PD 且QR ＝PD ， 则四边形PDRQ 为平行四边形， 所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． (3)存在点N 为SC 的中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ． 连接PC ，DM 交于点O ，连接PM ，SP ，NM ，ND ，NO ，因为PD ∥CM ，且PD ＝CM ， 所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD．因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．易错点联想不到已学定理错因分析：已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难．【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上，且MN⊥BD, MN ⊥B1C，求证：MN∥AC1.证明连接A1D，A1B，AC，∵MN⊥B1C，B1C∥A1D，∴MN⊥A1D．又∵MN⊥BD，BD∩A1D＝D，∴MN⊥平面A1BD．∵CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD．又∵BD⊥AC，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1.∴BD⊥AC1.同理AC1⊥A1B．又A1B∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD．又∵MN⊥平面A1BD，∴MN∥AC1.【跟踪训练1】如图，P A垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC．正确结论的个数为(C)A．1B．2C．3D．4解析∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又P A⊥面ABC，故P A⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥面P AC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥面PBC，故AF⊥PB．又AE⊥PB，且AF∩AE＝A，∴PB⊥面AEF，从而EF⊥PB，故①②③正确．若AE⊥BC，则可证AE⊥面PBC，则AE∥AF，这是不可能的，选C．课时达标第42讲[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(D)A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立，故选D．2．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(D) A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则l∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．3．(2018·江西南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(D)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(D)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D．5．(2018·宁夏银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G 是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(A)A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A．6．(2018·陕西宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．其中为真命题的是(D)A．①②B．②③C．②④D．①④解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC ⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD．④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．二、填空题7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为__②④__.①若m ⊥α，则在β内一定不存在与m 平行的直线；②若m ⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m 垂直；③若m ⊂α，则在β内不一定存在与m 垂直的直线；④若m ⊂α，则在β内一定存在与m 垂直的直线．解析 对于①，若m ⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m 平行的直线，故①错误；对于②，若m ⊥α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m 垂直，故②正确；对于③④，若m ⊂α，则在平面β内一定存在与m 垂直的直线，故③错误，④正确．8．(2018·吉林长春模拟)如图所示，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，N ，M 分别是AD ，BE 的中点， 将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是__①②__(填上所有正确的序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB ．解析 ①如图，分别取EC ，DE 的中点P ，Q ，由已知易知四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面DEC ，故MN ∥平面DEC ，①正确；②取AE 的中点O ，易证NO ⊥AE ，MO ⊥AE .故AE ⊥平面MNO ，又MN ⊂平面MNO ，则AE ⊥MN ，②正确；③∵D ∉平面ABC ，∴N ∉平面ABC ，又A ，B ，M ∈平面ABC ，∴MN 与AB 异面，③错误．9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F的长为__12__.解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又2×22＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，得x ＝12. 即线段B 1F 的长为12. 三、解答题10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ．证明 (1)因为SA ＝SC ，D 是AC 的中点，所以SD ⊥AC ．在Rt △ABC 中，AD ＝BD ，又SA ＝SB ，SD ＝SD ，所以△ADS ≌△BDS ，所以SD ⊥BD ．又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC ．(2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ．由(1)知SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，所以BD ⊥平面SAC ．11．(2018·河南郑州模拟)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面AA ′C ′C ；(2)设AB ＝λAA ′，当λ为何值时，CN ⊥平面A ′MN ，试证明你的结论．解析 (1)证明：如图，取A ′B ′的中点E ，连接ME ，NE .因为E ，N 分别为A ′B ′和B ′C ′的中点，所以NE ∥A ′C ′，ME ∥BB ′∥AA ′. 又A ′C ′⊂平面AA ′C ′C ，NE ⊄平面AA ′C ′C ，所以NE ∥平面AA ′C ′C ，同理ME ∥平面AA ′C ′C ，又EM ∩EN ＝E ，所以平面MNE ∥平面AA ′C ′C ，因为MN ⊂平面MNE ，所以MN ∥平面AA ′C ′C ．(2)当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN ，证明如下：连接BN ，设AA ′＝a ，则AB ＝λAA ′＝λa ，由题意知BC ＝2λa ，CN ＝BN ＝a 2＋12λ2a 2， 因为三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，所以平面A ′B ′C ′⊥平面BB ′C ′C ，因为AB ＝AC ，点N 是B ′C ′的中点，所以A ′N ⊥平面BB ′C ′C ，所以CN ⊥A ′N ，要使CN ⊥平面A ′MN ，只需CN ⊥BN 即可，所以CN 2＋BN 2＝BC 2，即2⎝⎛⎭⎫a 2＋12λ2a 2＝2λ2a 2， 解得λ＝2，故当λ＝2时，CN ⊥平面A ′MN .12．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D ，E 两点分别是边AB ，AC 的中点，现将△ABC 沿DE 折成直二面角A －DE －B ．(1)求证：平面ADC ⊥平面ABE ；(2)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值．解析 (1)证明：∵D ，E 两点分别是边AB ，AC 的中点， ∴DE ∥BC ．∵∠B ＝90°，∠ADE ＝90°，∴DE ⊥AD ，DE ⊥BD ，∴∠ADB 为二面角A －DE －B 的平面角，∵∠ADB ＝90°， ∴AD ⊥平面BCD ．又∵BE ⊂平面BCD ，∴AD ⊥BE . 又∵BD ＝22，DE ＝12，BC ＝1，即BD DE ＝BC BD， ∴△BDE ∽△CBD ，∴∠EBD ＝∠DCB ，∴∠EBD ＋∠BDC ＝90°，∴BE ⊥DC ．又∵DC ∩AD ＝D ，∴BE ⊥平面ADC ． 又∵BE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ADC ．(2)设BE 交CD 于H ，连接AH ，过点D 作DO ⊥AH 于O .∵AD ⊥BE ，BE ⊥DH ，又∵AD ∩DH ＝D ，∴BE ⊥平面ADH .∵DO ⊂平面ADH ，∴BE ⊥DO .又∵DO ⊥AH ，BE ∩AH ＝H ，∴DO ⊥平面ABE ， ∴∠DAO 为AD 与平面ABE 所成的角．在Rt △BDE 中，BD ＝22，DE ＝12，∴DH ＝BD ·DE BE ＝66. 在Rt △ADH 中，tan ∠DAO ＝DH DA ＝66×2＝33， ∴直线AD 与平面ABE 所成角的正切值为33.。
9-5线面、面面垂直的判定及性质-高考数学总复习·人教A版数学
误区警示
1．不要将
ab⊥⊥αα⇒a∥b 及
aa⊥⊥αβ⇒α∥β，及
a∥b
a∥c
⇒b∥c，及 αα∥∥βγ⇒β∥γ，错误迁移到 αα⊥⊥γβ⇒β∥γ、
ab∥∥αα⇒a∥b、
aa⊥⊥bc⇒b⊥c、
aa⊥⊥bc⇒b∥c 及
α⊥β
α⊥γ
⇒β⊥γ 致误．.
2．不要将“经过一点有且仅有一条直线与平面垂 直”；“经过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直”； “经过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这无 数条直线在同一个平面内，即经过平面外一点有且仅有 一个平面与已知平面平行”；“经过直线外一点有且仅 有一条直线 l 与已知直线平行，有无数个平面与已知直线 平行，这无数个平面的交线为 l”弄混错用．
面 A1BC1 与平面 AB1D 相交于经过 D 点的一条交线，又 A1B⊂平面 A1BC1，AB1⊂平面 AB1D，设 AB1 与 A1B 相 交于 O，∴平面 A1BC1∩平面 AB1D＝OD，故只须证明
BC1∥OD.
解析：(1)D 为 A1C1 的中点，证明如下：
∵BC1∥平面 AB1D，BC1⊂平面 A1BC1，
D．a⊥α，b⊥β
[答案] D
[解析]
bα⊥⊥ββ⇒b∥α 或 b⊂α，又 a∥α，此时 a 与
b 位置关系不确定，排除 A；设 α∩β＝l，当 a∥b∥l 时，
排除 B；同 A 的讨论一样可排除 C；
aα⊥⊥αβ⇒a∥β或a⊂β⇒a⊥b，故 D 正确.
b⊥β
线面垂直的判定与性质
[例 2] 已知长方体 AC1 中，棱 AB＝BC＝1，棱 BB1 ＝2，连结 B1C，过 B 点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E，交 B1C 于 F.