§12.2线性方程组的相容性定理
线性代数性质定理总结
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间.()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量87p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关；③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=；④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n nnn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO B O B BOAAA BB OB O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m nA ⨯()1121112222*12nT nijn n nnA A AA A AA AA A A⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，ijA为A中各个元素的代数余子式.√逆矩阵的求法:①1AAA*-=○注：1a b d bc d c aad bc--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1主换位副变号②1()()A E E A-−−−−→初等行变换③1231111213aaaaaa-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213aaaaaa-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√方阵的幂的性质：m n m nA A A+=()()m n mnA A=√设,,m n n sA B⨯⨯A的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅，则m sAB C⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,ssn sn n nsb b bb b bc c cb b bααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⇔i iA cβ= (,,)i s=1,2⇔iβ为iAx c=的解⇔()()()121212,,,,,,s s sA A A A c cββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇔12,,,sc c c可由12,,,nααα⋅⋅⋅线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩√ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；√用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D B D ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒112222A BAB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭*(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→ 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材.⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示.向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示.⑧m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<；m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一.⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r=向量组12,,,n ααα 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B=12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔121(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=121(,,,,,,n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.√ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()T T r A r A r A A ==p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r rE O E O r A r A A OO O O ⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +p 教材70⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A rB O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭。
第2章 线性方程组与向量组
2.1.2 线性方程组的求解与解的存在性 加减消元法的运算，不会改变方程组的解，故对系数矩阵 A施行初等变换，不会改变齐次方程组的解，也就是说：
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
此即
行初
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
类似地，对非齐次线性方程组
r
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
1 2 1 1 0 1 1 2 r1 r3 2 r2 0 0 0 1 0 0 r1 r2 ( 1) r4 0 0 0 0 0 0
因此有
1 1 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0
并且与原方程组等价.当未知量 x3 , x4 , x5 取定某一组值时, x1 , x2 的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于
未知量 x3 , x4 , x 的任意一组取值 ,均能得到方程组的解,我 5
们称满足这样条件的未知量为自由未知量. 设自由未知量 x3 k1, x4 k2 , x5 k3 ,得
(其中 k1 , k2 为任意常数)
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩
（2）非齐次线性方程组的解
对于非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
的情况,我们有如下定理
a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 A1 0 0 0 0 0 0 0 0
第二章 线性方程组
范例讲解
❖ 对任意m×n矩阵A与m维列向量β,线性方程组 ATAX=ATβ必有解
❖ 任一线性相关的n维向量组的“缩短向量组”(m 维, 1≤m≤n)必线性相关
❖ 设向量组α1,α2,…,αs 线性无关,试决定向量组 α1 +α2, α2 + α3 , …,αs+α1 的线性相关性
❖ 任一向量在一组基下的坐标是唯一的 ❖ 任一向量在标准基(自然基)下的坐标是其
本身
六. Rⁿ 的标准正交基
❖R ⁿ的基α1,α2,…,αn 到基β1,β2, …,βn 的过渡矩阵P是可逆矩阵
❖设P是R ⁿ的基α1,α2,…,αn 到基 β1,β2, …,βn的过渡矩阵,向量α在这两 组基下分别是X和Y,则有 X=PY
(一)向量组的极大线性无关组(极大无关组) ❖ 向量组与其任一极大无关组等价
推论:向量组的任意两个极大线性无关组等价 ❖ 向量组的等价关系具有反身性、对称性和传递性 ❖ 若向量组α1,α2,…,αs 可由向量组β1,β2, …,βt线性表
出,且s>t,则向量组α1,α2,…,αs 线性相关 推论1 :向量组的任意两个极大无关组所含的向量个数
❖ 1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704~1752)
提出了线性方程组的行列式解法 — “克拉默法则”
❖ 十九世纪初,德国数学家高斯(C.F.Gauss,1777~1855) 将一般线性方程组的解法 — 消元法系统化
一. 线性方程组
(二) 线性方程组 AX=β的解法: ❖ 行列式解法 —— A 是n阶矩阵
阵化为方程组标准形
n元线性方程组线性方程组的
1 4
R2
2 R1 ,R3
R1
2
x1 x2 4x2
3x3 x3 2
1
2x1 x2 2x3 5
2x2 x3 4
R2 2 R3
2
x1
x2 3x3 x3 6
1
R2 R3
2
x1 x2 2x2
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
由此给出xr1,, xn的一组值，就可唯一地给出x1, x2 ,, xr的值，
即给出（7）的一个解。
一般地，由（7）我们可以把x1, x2 ,, xr通过xr1,, xn表示出来， 这样的一组表达式称为方程组（1）的一般解，而xr1,, xn称为 一组自由未知量。
n元一次线性方程组_2
n元线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22 x2 a2nxn b2 , as1x1 as2 x2 asn xn bs ,
的一个解就是指由n个数k1, k2,, kn组成的有序数组（k1, k2,, kn）， 当（x1, x2,, xn）分别用（k1, k2,, kn）代入后,方程组中的每个等式都 变成恒等式，方程组的解的全体称为它的解集合。
(4)
而（3）与（1）是同解的，
as2 ' x2 asn ' xn bs ', 因此，方程组（1）有解的充分必要条件为方程组（4）有解。
对（4）依照以上变换，一步步作下去，最后得到一个阶 梯 形 方 程 组，设为
c11x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1,
第12章 实验十线性方程组的数值解法
第12 章 实验十一线性方程组的数值解法实验目的：理解线性方程组基本定理，掌握求解线性方程组的各种方法，逆矩阵求法、高斯消去法、带选主元的分解法、迭代法。
12.1 线性方程组（基本定理） 已知m 个方程n 个未知量的方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （12.1）其中ij a 为已知系数，j x 未知，j b 为已知项，当),,2,1(n j b j =全为零时，称（12.1）方程组为线性齐次方程组，当),,2,1(n j b j =不全为零时，称（12.1）方程组为线性非齐次方程组。
上述方程组也可表示如下矩阵形式：b Ax = 其中A 、x 和y 分别定义为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A LL L L L 1111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x 1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 1。
方程组（12.1）中的m 与n 有三种情况：m=n 或m<n 或m>n ，m=n 是最常见的。
当m=n 时，有系数矩阵的行列式0≠A ，方程组（12.1）有唯一解。
用矩阵的秩可以得到更满意的结果：（1）当n B R A R ==)()(时，方程组（12.1）有唯一解， （2）当n B R A R <=)()(时，方程组（12.1）有无穷多组解， （3）当)()(B R A R ≠时，方程组（12.1）无解。
12.2举例例12.1 用MATLAB 求解线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++=+++=+++62332022428340213424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解法一：逆矩阵求法设 A=[1 2 1 4 ; 2 0 4 3 ;4 2 2 1 ;-3 1 3 2 ]; det(A)=-180, B=[13 28 20 6]’; 则：X=A\B % A\表示矩阵A 的逆，或用1-A 表示得到X =3.0000 -1.00004.0000 2.0000也可以用如下命令： X=B ’/A ’ 得到X =3.0000 -1.00004.0000 2.0000解法二：在MA TLAB 上，用高斯消去法求解方程组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-62028132313122434024214321x x x x （12.2） 首先写出方程组对应的增广矩阵：a=[ 1 2 1 4 13; ... 2 0 4 3 28 ; ... 4 2 2 1 20 ; ...-3 1 3 2 6 ]其中前四列是系数矩阵，最后一列是方程组的常数列。
高等代数课件 高等代数(线性方程组)(2)
之后剩下的那些向量，则
1 i1
k ik
0 ik 1
0im
0
其 说中 明各i1向,量, 的ik ,系ik数1 , λ1,,…im,λk,0,…线,性0不相全关为，0也，就这
是α1,…, αm 线性相关. 由于﹛ α1,…, αm ﹜的任何一个子集线
性相关都将导致﹛ α1,…, αm ﹜线性相关，
要使﹛ α1,…, αm ﹜线性无关，必须它的所
有子集线性无关.
□
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利用解线性方程组判定线性相关
定义向量组u1,…,um的线性相关或线性无关所 用的等式
(2.2.3)
可以看成以λ1 , … , λm为未知数的一个方程. 这个 方程至少有一组解 (λ1 , … , λm)=(0,…,0)
有唯一解的条件。
其中
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定义 将任意数域F上的 n维数组(x1,x2,…,xn)
看成向量，将这些数组的全体组成的集合Fn
看成向量空间，称为n维数组空间。
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• n维数组空间中的向量的加法
设 ( a1 , a 2 ,, a n ), (b1 , b2 ,bn )
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因此, 线性相关和线性无关的定义可这样来理解:
(1)u1,…,um线性相关等价于方程 (2.2.3)有非零解
(λ1 , … , λm) (0,…,0) (2)u1,…,um线性无关等价于方程 (2.2.3)只有一 组 解(λ1 , … , λm)=(0,…,0) 设u1,…,um都是n维数组向量, 不妨将其中每个 向量uj (1 j m)写成列向量的形式
2-3线性方程组有解的判定定理
组 Ax = 0 只有零解 ( 有非零解 )的充分必要 条件是系数行列式
定理 2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩 .
证 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ), 这里 α 1 , α 2 , L , α n 是 A 的列向量组， 的列向量组，则 Ax = b 可写成 (4) x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n = b .
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
L 从而方程组（ 从而方程组（ 2）有解 ⇔ b 可由 α 1 , α 2， , α n L 线性表示 ⇔ R ( A ) = rank (α 1 , α 2， , α n ) = 证毕 rank (α 1 , α 2， , α n， b ) = R ( B ). L
推论
Ax = b有唯一解 ⇔ R(A) = R(B ) = n Ax = b有无穷多解. ⇔ R(A) = R(B ) < n 有无穷多解.
三、线性方程组的求解
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
工程数学(本)第3章线性方程组学习辅导
工程数学（本）复习辅导顾静相第3章：线性方程组学习要点：线性方程组的基本概念，向量组相关性的概念及判别，极大线性无关组及向量组的秩，基础解系，线性方程组解的情况判别，线性方程组解的性质与结构。
本章重点：向量组相关性的概念及判别，线性方程组相容性定理，齐次线性方程组基础解系几通解的求法，非齐次线性方程组特解和全部解的求法。
复习要求：⒈了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。
对于向量组ααα12,,, m ，若存在一组不全为零的常数k k k m 12,,, ，使得k k k m m 11220ααα+++=,,则称向量组ααα12,,, m 线性相关，否则称线性无关。
⒉了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。
向量组的一个部分组如满足 ⑴线性无关；⑵向量组中的任一向量都可由其线性表出。
则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。
⒊理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。
线性方程组AX b =有解的充分必要条件是：[]r A r A b ()()= 。
n 元齐次线性方程组AX =0有非零解的充分必要条件是：r A n ()<。
⒋熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。
⒌了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。
例题解析： 例1 填空题（1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。
（2）线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54⨯矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 。
（3）设向量=1α,)523(,)101(,)321(2'='='βα则+=1αβ 2α（4）若线性方程组⎩⎨⎧=+=-12121x x x x λ无解，则λ____。
解：（1）设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则0k 0 +m m k k α++α 11= 0由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。
工程数学(06)解线性代数方程组的直接解法
工程数学(06)解线性代数方程组的直接解法第一节求解线性代数方程组的基本定理线性代数方程组的一般形式a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm 用矩阵形式表示为Ax b Rm ( n 1) 其增广矩阵记为A a11 a12 a1 n a a22 a2 n 21 A A, b am 1 am 2 amn b1 b2 bm工程数学工程数学定理1 (线性代数方程组有解判别定理)线性方程组) Ax b有解的充分必要条件是：秩(A)=秩(A定理2 线性方程组Ax b有解(即相容)时，) r n, 则方程组Ax b 存在唯一解。
(1)秩( A) 秩( A ) r n, 方程组Ax b有无穷多解。
(2)r ( A) r ( A 通解原方程组一个特解对应齐次方程组的基础解系的线性组合。
常见是m n,称为欠定方程组(方程数少于未知数) 此时，从Ax b的无穷多个解中需求出2 范数最小的解。
即求x , 使|| x ||2 min || x ||2 ,x满足Ax b。
工程数学工程数学)方程组Ax b无解(即不相容)。
r ( A) r ( A 常见是m n,称为超定方程组(又称矛盾方程组) 此时，向量b不在A的列空间R( A)之中，原方程组无解，但可求出最小二乘意义下的解x。
即求x使|| b Ax ||2 2 minMATLAB实现:x=A\b本章介绍求解n阶线性方程组的数值方法a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 工程数学an1 x1 an 2 x2 ann xn bn工程数学数值求解方法有以下三条途径(三种框架)直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限次迭代过程求解。
有限次截断得近似解。