2020版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第1节 数列的概念及简单表示法讲义 理(含解析)新人教A版(4套).
2020年高三理科数学一轮复习讲义6.1【数列的概念及简单表示法】
2020年高三理科数学一轮复习讲义 6.1【数列的概念及简单表示法】最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列 a n ＋1＞a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1＜a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. [微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(必修5P33A4改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23解析 a 2＝1＋（－1）2a 1＝2，a 3＝1＋（－1）3a 2＝12，a 4＝1＋（－1）4a 3＝3，a 5＝1＋（－1）5a 4＝23.答案 D3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解析 由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4.答案 5n －44.(2019·衡水中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57B.61C.62D.63解析 由条件可得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，所以S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 A5.(2019·北京朝阳区月考)数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π 解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D6.(2019·郑州一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1（4n －1）3，若a 4＝32，则a 1＝________.解析 ∵S n ＝a 1（4n －1）3，a 4＝32，则a 4＝S 4－S 3＝32.∴255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12. 答案 12考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)已知数列{a n }为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{a n }的一个通项公式是________.解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故其通项公式可以为a n ＝(－1)n·2n－32n .答案 (1)C (2)a n ＝(－1)n·2n －32n规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理. 【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)5，55，555，5 555，….解 (1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ×1n （n ＋1），n ∈N *.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1).考点二 由a n 与S n 的关系求通项易错警示【例2】 (1)(2019·广州质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________________.(2)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 得a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝－（1－26）1－2＝－63.答案 (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2 (2)－63规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示. 易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出a n ＝2n (n ∈N *). 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三 由数列的递推关系求通项易错警示【例3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n(2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 解析 (1)因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2).把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n ，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *).(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a na n －1＝nn ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1＝2n ＋1，又a 1也满足上式，所以a n ＝2n ＋1.(3)由a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)A (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3规律方法 由数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可用待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列.易错警示 本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式.【训练3】 (1)(2019·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n－1＋1，则a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1＋1⇒a n ＋1－a n ＝2n －1＋1⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1，则a n ＝2n －2＋2n －3＋…＋2＋1＋n －1＋a 1 ＝1－2n －11－2＋n －1＋2＝2n －1＋n .(2)由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).答案 (1)2n －1＋n (2)2n （n －1）2(3)2n ＋1考点四 数列的性质【例4】 (1)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.310B.19C.119D.1060(2)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________.解析 (1)令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.(2)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.答案 (1)C (2)25规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定a n 与a n ＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.【训练4】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 020＝________.(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是________.解析 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1＝(a n －1)2，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 020＝a 2＝0.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4，即k >－1－2n . 又n ∈N *，所以k >－3. 答案 (1)0 (2)(－3，＋∞)[思维升华]1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列. (3)递推公式化简整理后，若为a n ＋1－a n ＝f (n )型，则采用累加法；若为a n ＋1a n ＝f (n )型，则采用累乘法.[易错防范]1.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数. (2)数列的通项公式不一定唯一. (3)注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.2.数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥a n －1且a n ≥a n ＋1； 若a n 最小，则a n ≤a n －1且a n ≤a n ＋1.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1 C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析 观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2， 所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2. 答案 C2.已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( ) A.132 B.116 C.14 D.12解析 由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2019·江西重点中学盟校联考)在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A.－14 B.5 C.45 D.54解析 在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 019＝a 673×3＝a 3＝45. 答案 C4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( )A.31B.42C.37D.47解析 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47.答案 D5.(2019·成都诊断)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）x ＋4（x ≤1），a x （x >1），数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＝f (n )，且{a n }是递增数列，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞C.(1，3)D.(3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2>2a －1＋4，解得a >3， 则a 的取值范围是(3，＋∞).答案 D二、填空题6.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项. 解析 令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去). 所以a 10＝0.08.答案 107.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 8.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝________. 解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a n n＝ln(n ＋1)－ln n ，a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2). ∴a 22－a 11＝ln 2－ln 1，a 33－a 22＝ln 3－ln 2，…，a n n －a n －1n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2). 累加得a n n －a 11＝ln n ，∴a n n＝2＋ln n (n ≥2)， 又a 1＝2适合，故a n ＝2n ＋n ln n .答案 2n ＋n ln n三、解答题9.(2016·全国Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1. 10.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋a n 2，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列共有( )A.98项B.97项C.96项D.95项解析 能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n ＝21n －20，由1≤a n ≤2 018得1≤n ≤97，又n ∈N *，故此数列共有97项.答案 B12.已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）·⎝⎛⎭⎫67n ≥（n ＋1）·⎝⎛⎭⎫67n －1，（n ＋2）·⎝⎛⎭⎫67n ≥（n ＋3）·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5， 又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574. 答案 4或513.(2019·菏泽模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝(－1)n ·a n －12n ，记b n ＝8a 2·2n －1，若对任意的n ∈N *，总有λb n －1>0成立，则实数λ的取值范围为________.解析 令n ＝1，得a 1＝－14；令n ＝3，可得a 2＋2a 3＝18； 令n ＝4，可得a 2＋a 3＝316， 故a 2＝14，即b n ＝8a 2·2n －1＝2n . 由λb n －1>0对任意的n ∈N *恒成立，得λ>⎝⎛⎭⎫12n对任意的n ∈N *恒成立，又⎝⎛⎭⎫12n ≤12，所以实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 14.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).。
2020版高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案
第1讲数列的概念与简单表示法板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．考点2 数列的分类考点3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 考点4 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[必会结论]1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n 2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋3答案 B解析 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故该数列的一个通项公式为n 2n －1.故选B.3．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.故选C.4．已知f (1)＝3，f (n ＋1)＝f (n )＋12(n ∈N *)．则f (4)＝________.答案 54解析 由f (1)＝3，得f (2)＝2，f (3)＝32，f (4)＝54.5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________. 答案124解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124.6．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则数列a n ＝________.答案 3－1n解析 由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n .板块二 典例探究·考向突破考向由数列的前几项求数列的通项公式例 1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…； (2)32，1，710，917，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)1,3,6,10,15，…； (5)3,33,333,3333，….解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，所以a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可用逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.(5)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n ＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．考向由a n 与S n 的关系求通项a n例 2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案 4n －5解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 3n解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3，又a 1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n.(3)已知数列{a n }，满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析 当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， 当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1， ②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.触类旁通给出S n 与a n 的递推关系，求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【变式训练】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)[2018·广州模拟]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.答案13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13，符合上式，所以a n ＝13n .(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析 由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )， 即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例 3 在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求数列{a n }的通项公式． 解 由递推关系得a n ＋1a n ＝n ＋2n， 又a 1＝4， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·…·42·31·4＝(n ＋1)·n2·1·4＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．命题角度2 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和． 解 由题意可得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式． 解 由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.命题角度3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 例 5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .解 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.命题角度4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 例 6 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)累加法、累乘法、待定系数法． 满分策略1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2.数列的通项公式不一定唯一．3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题[2018·南京段考]数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．解题视点 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n 的取值．解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3，∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.答题启示 (1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项 答案 C解析 由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.故选C.2．[2018·上饶模拟]已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ，若a 1＝2，则a 4－a 2＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 由a n ＋1＋a n ＝n ，得a n ＋2＋a n ＋1＝n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＝1，令n ＝2，得a 4－a 2＝1.故选D.3．[2018·济宁模拟]若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130 D ．30 答案 D解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.故选D.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 B解析 ∵a n ＋1a n ＝2n，∴a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，∴a 2＝2. 则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.故选B. 5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1024 答案 C解析 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.6．[2018·辽宁实验中学月考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n－1 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n－1，∴a n ＝2a n －1，∴a n ＝2·2n －1＝2n.选C.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项 答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．故选B.8．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 答案 31解析 ∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.9．[2018·洛阳模拟]数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)， 所以a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 10．[2015·全国卷Ⅱ]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n. [B 级 知能提升]1．[2018·天津模拟]已知正数数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋2)·a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，n ∈N *，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1 B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝n ＋12 D ．a n ＝n答案 B解析 由题意可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n n ＋1.n －1n .. (23)×1＝2n ＋1.故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k 2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 D解析 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k 2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1＜0， 所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.3．[2018·重庆模拟]数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列的第2018项为_______． 答案 15解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15. ∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45. ∴a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…. ∴该数列周期为T ＝4.∴a 2018＝a 2＝15. 4．已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，求数列{a n }的通项公式． 解 令S n ＝a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ，则S n ＝9－6n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，2n －1a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.而n ＝1时，a 1＝3，不符合上式， ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.5．[2018·贵阳模拟]已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2. 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.。
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第五章数列1第1讲数列的概念与简单表示法课件文
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2020版高考数学一轮复习第五篇数列必修5第1节数列的概念与简单表示法习题理含解析3
第一节 数列的观点与简单表示法【选题明细表】知识点、方法 题号 察看法求通项公式1,2,7 递推公式的应用5,10,14a n 与 S n 的关系3,6,8,11,12数列的单一性、最值、周期性4,9,13基础稳固 ( 时间 :30 分钟 )1.数列,,,, 的一个通项公式为 ( C ) (A)a n =(B)a n =(C)a =(D)a=nn分析 : 察看知 a n ==.2. 数列 ,-, ,-, 的第 10项是( C ) (A)- (B)- (C)- (D)-分析 : 所给数列体现分数形式 , 且正负相间 , 求通项公式时 , 我们能够把每一部分进行分解 : 符号、分母、分子 . 很简单概括出数列 {a n } 的通项公式 a n =(-1) n+1·, 故 a 10=-.3.(2018 ·济宁模拟 ) 若 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 S n =, 则等于 ( D ) (A) (B) (C) (D)30时 ,a =S -S =-=, 所以 =5×(5+1)=30.分析 : 由于当 n ≥2n-1nn4. 若数列 {a n } 知足 a 1=2,a n+1a n =a n -1, 则 a 2 018 的值为 ( B)(A)-1 (B) (C)2 (D)3分析 : 由于数列 {a n } 知足 a 1=2,a n+1a n =a n -1,所以 a=1-,n+1所以 a 2=,a 3=1-2=-1,a 4=1+1=2,可知数列 {a n } 的周期为 3. 而 2 018=3 ×672+2,所以 a2 018 =a =. 应选 B.25. 数列 {a n } 知足 a n+1+a n =2n-3, 若 a 1=2, 则 a 8-a 4 等于 ( D )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4解 析 : 依 题 意 得 (a n+2+a n+1)-(a n+1+a n )=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n =2, 所 以a -a =(a -a6 )+(a -a)=2+2=4.8486 46.(2018 ·辽宁省实验中学月考 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n =2(a n -1),则 a n 等于 (C)(A)2n (B)2n-1 (C)2 n (D)2 n -1分析 : 当 n=1 时 ,a 1 =S 1=2(a 1-1), 可得 a 1=2;当 n ≥ 2 时 ,a n =S n -S n-1 =2a n -2a n-1 , 所以 a n =2a n-1 ,所以数列 {a n } 为等比数列 , 公比为 2, 首项为 2, 所以通项公式为 a n =2n . 应选 C.7. 用火柴棒按如图的方法搭三角形 :按图示的规律搭下去 , 则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式能够是 .分析 : 由题意 , 三角形的个数增添一个 , 火柴棒个数就增添2 个 . 火柴棒的个数挨次为3,3+2=2 × 2+1,5+2=2 × 3+1,7+2=2 × 4+1, 所以第 n 个三角形的火柴棒个数 a n =2× n+1=2n+1. 答案 :a n =2n+18. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2+2n+1(n ∈ N * ), 则 a n = . 分析 : 当 n ≥ 2 时,a n =S n -S n-1 =2n+1, 当 n=1 时 ,a 1=S 1=4≠ 2× 1+1, 所以 a n = 答案 :能力提高 ( 时间 :15 分钟 )9. 设函数 f(x)=-x 2nn+nn最大时 ,n 等于+14x+15, 数列 {a } 知足 a =f(n),n∈ N , 数列 {a} 的前 n 项和 S( C ) (A)14 (B)15(C)14 或 15(D)15 或 16分析 : 由题意 ,a n =-n 2 +14n+15, 令 -n 2+14n+15≥ 0, 所以 -1 ≤ n ≤ 15,所以数列 {an } 的前 n 项和 S 最大时 ,n=14 或 15.n10. 已知数列 {a n } 知足 a 1=15, 且 3a n+1=3a n -2. 若 a k ·a k+1 <0, 则正整数 k 等于 (C )(A)21 (B)22 (C)23 (D)24分析 : 由 3a n+1=3a n -2 得 a n+1=a n -, 所以 a n =a 1- (n-1), 又 a 1=15, 所以 a n =-n.由于 a k · a k+1 <0, 即 (-k) · (15-k)<0, 所以 <k<,*应选 C.又 k ∈ N , 所以 k=23.*11. 已知 nnn>1 nn等于(A)S 是各项均为正数的数列 {a } 的前 n 项和 ,S且 S = (n ∈ N ), 则 a(A)4n-1(B)4n-3 (C)4n-3 或 4n-1 (D)n+2分析 : 当 n=1 时 ,a 1 =S 1=, 解得 a 1=1 或 a 1=3,由于 S n >1, 所以 a 1=3,当 n ≥ 2 时 ,a n =S n -S n-1 =-, 即 (a n +a n-1)(a n -a n-1-4)=0,由于 a n >0, 故 a n -a n-1 =4,所以 {a n } 是首项为 3, 公差为 4 的等差数列 ,所以 a n =3+4(n-1)=4n-1.12.(2017 ·河北唐山三模 ) 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S n +a n =4- (n ∈ N * ), 则 a n =.分析 : 由于 S +a =4-,nn所以 S n-1 +a n-1 =4-,两式相减得 ,2a n -a n-1 =-=,两边同乘以 2n-1 得 2n a n -2 n-1 a n-1 =2,n是等差数列 ,所以 {2 a }n又令 n=1, 得 a 1=1,n所以 2 a n =2+2(n-1)=2n.所以 a n = (a 1=1 也切合此式 ).答案 :13. 已知数列 {a n } 的通项公式是 a n =n 2+kn+4.(1) 若 k=-5, 则数列中有多少项是负数 ?n 为什么值时 ,a n 有最小值 ?并求出最小值 ;(2) 对于 n ∈ N * , 都有 a n+1>a n , 务实数 k 的取值范围 . 解 :(1) 由 n 2-5n+4<0, 解得 1<n<4. 由于 n ∈N * , 所以 n=2,3, 所以数列中有两项是负数, 即为 a 2,a 3.n22-,由于 a =n -5n+4=(n-)由二次函数性质 , 适当 n=2 或 n=3 时 ,a n 有最小值 , 其最小值为 a 2=a 3=-2.(2) 由对于 n ∈N * , 都有 a n+1>a n 知该数列是一个递加数列 , 又由于通项公式a n =n 2+kn+4, 能够看作是对于 n 的二次函数 , 考虑到 n ∈ N * , 所以 -<, 即得 k>-3.所以实数 k 的取值范围为 (-3,+ ∞ ).=2(n+1)a , 设 b =.14.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 已知数列 {a} 知足 a =1,nan1n+1nn(1)求 b1 ,b 2,b 3;(2)判断数列 {b n} 能否为等比数列 , 并说明原因 ;(3)求 {a n} 的通项公式 .解 :(1) 由条件可得 =a n.将 n=1 代入得 ,a 2=4a1, 而 a1=1, 所以 a2=4.将 n=2 代入得 ,a 3=3a2,所以 a3=12.进而 b1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n} 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列 .由条件可得 =,即 =2b n, 又 b1=1,所以 {b n } 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列 . (3)由 (2) 可得 =2n-1 ,所以 a n=n·2n-1 .。
2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：6.1 数列的概念与简单表示法 Word版含答案.docx
§6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1> a n其中n∈N*递减数列a n＋1< a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．[P33A 组T4]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．[P33A 组T5]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ .答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 答案 (－∞，3)解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1<a n . ∵a n ＝－n 2＋λn 恒成立， ∴－(n ＋1)2＋λ(n ＋1)<－n 2＋λn ， 即λ<2n ＋1对于n ∈N *恒成立．而2n ＋1在n ＝1时取得最小值3，∴λ<3.5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是 ． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝ .答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理． (3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为 ．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N * 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N *.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝ .答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝ . 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1. (2)(2017·河北衡水中学押题卷)已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )A ．－454B ．－450C ．－446D ．－442答案 B解析 由题意可得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)， 且a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ， a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＝12n －1， 当n ≥2时，两式作差可得a n b n ＝12n －12n －1＝－12n ，则b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (2n －1)，n ≥2，由此可得S 5＝－450.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. 解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1＝lnnn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnn n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2 ＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N *)． (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n a n －1＝2n －1 (n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)22n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝(1)22n n -(n ∈N *)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．引申探究 在本例(2)中，若a n ＝n －1n ·a n －1(n ≥2，且n ∈N *)，其他条件不变，则a n ＝ .答案 1n解析 ∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列．(2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝ . 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝ .答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性 典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝ . 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n ，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大．思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第 2 018项为 ． 答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝⎛⎭⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n，则此数列的最大项是第 项． (2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是 ． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C. 2．现有这么一列数：2，32，54，78，( )，1332，1764，…，按照规律，( )中的数应为( )A.916 B.1116 C.12 D.1118答案 B解析 分母为2n ，n ∈N ，分子为连续的质数，所以( )中的数应为1116，故选B.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．45答案 B解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B.4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2 018等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a n a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，则a 101等于( ) A ．2100 B ．24 950 C ．25 050 D ．25 151答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n a n －1＝2n －1， ∴a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×22×…×2n －1＝(1)22n n -，∴a 101＝25 050.故选C.6．(2017·河北保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x >10， 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2] C ．(2,3)D.⎣⎡⎭⎫2411，3答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×10－6<a 11－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－12，即2<a <3，故选C.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝ .答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝ . 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4， 即4≤n ≤5，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 答案2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n＝1＋1 a＋2(n－1)＝1＋12n－2－a2，已知对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a＜－8.即a的取值范围是(－10，－8)．13．(2018届广东珠海摸底)整数列{a n}满足a n＋1－a n－1<3n＋12，a n＋2－a n>3n＋1－12，n∈N*，a2＝3，则a2 018等于()A.32 010－38 B.32 009－38C.32 019－38 D.32 018－38答案C解析由a n＋1－a n－1<3n＋12，可得a n＋2－a n<3n＋1＋12，又a n＋2－a n>3n＋1－12，且{a n}为整数列，所以a n＋2－a n＝3n＋1，a2 018＝(a2 018－a2 016)＋(a2 016－a2 014)＋…＋(a4－a2)＋a2＝32 017＋32 015＋…＋33＋3＝3(1－32 018)1－9＝32 019－38.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n(n＋4)⎝⎛⎭⎫23n中的最大项是第k项，则k＝.答案4解析设数列为{a n}，则a n＋1－a n＝(n＋1)(n＋5)·⎝⎛⎭⎫23n＋1－n(n＋4)·⎝⎛⎭⎫23n＝⎝⎛⎭⎫23n⎣⎡⎦⎤23(n2＋6n＋5)－n2－4n＝2n3n＋1(10－n2)．所以当n≤3时，a n＋1>a n；当n≥4时，a n＋1<a n.因此，a1<a2<a3<a4，a4>a5>a6>…，故a 4最大，所以k ＝4.15．(2017·湖北武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A.12n －1 B.12n －1 C.13n －1 D.12n －1＋1答案 B解析 a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1， 1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ， 1a n ＋1－1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1，则1a n ＋1－1a n 1a n －1a n －1＝2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列， 1a n ＋1－1a n＝2×2n －1＝2n ， 利用累加法，1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1 ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，1a n ＝2n －12－1＝2n －1，则a n ＝12n －1.故选B. 16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝ . 答案 1n(n ∈N *)解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na na n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0， 所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.方法一 (累乘法) 因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， 所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3＝…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1，所以a n ＝1n (n ∈N *)．方法三 (特殊数列法)因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1.所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列． 所以na n ＝1×1n －1＝1. 所以a n ＝1n(n ∈N *)．。
高考数学(理科)大一轮复习第五章第一节数列的概念与简单表示法【精品课件】
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2020届高考数学一轮复习第5章 第1节 数列的概念与简单表示法
第5章数列第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ， 则a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).[常用结论]1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立． 2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达． ( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(教材改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝±1n B ．a n ＝(－1)n ·1n C ．a n ＝(－1)n ＋11nD ．a n ＝1nB [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A [当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.]4．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30 B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 5．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋－1a 2＝1－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝1＋2＝3，a 5＝1＋－1a4＝1－13＝23.]1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) C [注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．]2．数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________.2n ＋1n 2＋1 [数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.]3．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，－34，78，－1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1,1，－2,2，－3,3….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝(－1)n ＋12n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．(4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋12表示， 数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示． 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋12(n 为奇数)，n2(n 为偶数).【例1】 n n {a n }的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13， 两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.](1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(1)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 (2)－2n －1 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.(2)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1.]►考法1 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n【例2】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n (3n ＋1)2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴a n ＝32n 2＋n 2.►考法2 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n【例3】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n ＋1a n＝2n ，∴a na n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2n(n－1)2.又a1＝1适合上式，故a n＝.►考法3形如a n＋1＝Aa n＋B(A≠0且A≠1)，求a n.【例4】已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2，求数列{a n}的通项公式．[解]∵a n＋1＝3a n＋2，∴a n＋1＋1＝3(a n＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{a n＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n＋1＝2·3n－1，因此a n＝2·3n－1－1.··(3)已知且a＝方法构造新数列求解.n(1)a1＝1，a n＋1＝a n＋2n；(2)a1＝12，a n＝n－1n＋1a n－1(n≥2)；(3)a1＝1，a n＋1＝2a n＋3；(4)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2.[解] (1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n－1.(2)因为a n ＝n －1n ＋1a n －1(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ＋1， 所以a n a n －1＝n －1n ＋1，a n －1a n －2＝n －2n ，…，a 3a 2＝24，a 2a 1＝13， 以上n －1个式子相乘得a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·24·13， 即a n a 1＝1n ＋1×1n ×2×1，所以a n ＝1n (n ＋1).当n ＝1时，a 1＝11×2＝12，与已知a 1＝12相符，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1).(3)由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. (4)因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *).1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12 [∵a n ＋1＝11－a n ， ∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.－1n [∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .]3．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n}的各项都为正数，所以a n＋1a n＝12.故{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n＝12n－1.。
2020年高考数学(文)一轮复习专题6.1 数列的概念与简单表示法(讲)(解析版)
专题6.1数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识点一数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n按周期分类周期数列对于n ∈N *，存在正整数k ，使a n ＋k ＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f (n )来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.考点一由数列的前几项求通项公式【典例1】（福建省厦门一中2019届模拟）写出下面各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….【解析】(1)各项式减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n＝(－1)n ·2＋－1nn.也可写为a n －1n，n 为正奇数，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．【方法技巧】由数列的前几项求通项公式的思路方法(1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n 项和第n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控．(3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．【变式1】（安徽省合肥一中2019届模拟）已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ，n 为奇数，，n 为偶数，②a n ＝1＋－1n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝|sin n π2|.其中能作为数列0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【答案】A【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课件 理 高三全册数学课件
＝__－___1n___.
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【解析】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得 a1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1， ∴数列{an}为首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝2n.
2 ． 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 通 项 公 式 为 an ， 则 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.
3．三种必会方法 (1)叠加法：对于 an＋1－an＝f(n)型，若 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可 求的，可用多式相加法求得 an.
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2．若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an－t)， 即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.故 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3， 则 b1＝a1＋3＝5，且bbn＋n 1＝aan＋n＋1＋33＝2.所以{bn}是以 5 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝5×2n－1，故 an＝5×2n－1－3.
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考向三 由递推关系求通项公式
n2＋n＋2
【例 3】 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____.
【解析】 由条件知 an＋1－an＝n＋1， 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2 ＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋2n＋2.
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(新课标)2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_1数列的概念与简单表示法课件文新人教A版
(2)(2018·郑州市质量预测)已知函数f(x)＝a2x，a－x>11x＋4，x≤1， 的定义域为R，数
列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞)
B.12，＋∞
C．(1,3)
D.(3，＋∞)
解析：由题意，得aa2>>1a，1， 即aa>2>12，a－1＋4， 解得a>3，故选D. 答案：D
3．以常见数列为背景，利用通项
低档.
公式、递推公式求数列的项.
[基础梳理]
1．数列的有关概念
概念
含义
数列 按照 一定顺序 排列的一列数
数列的项 数列中的 每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 前n项和
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表示，这个公式叫作数列的通项公式 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫作数列的前 n项和
将以上各式累乘求得aan1＝n， ∴an＝n，而n＝1也适合． ∴数列的通项公式为an＝n. [答案] n
方法3 用转化法求数列的通项公式
【例4】 在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝________.
[解析]
因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以
an＋1＋1 an＋1
(2)当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以
1 S1
＝－1.易知Sn≠0，因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋
1，所以
1 Sn
－
1 Sn＋1
＝1，即
1 Sn＋1
－
1 Sn
＝－1，所以