上海八年级下平面向量知识点总结
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
初中数学平面向量知识点汇总
初中数学平面向量知识点汇总平面向量是中学数学中的一个重要知识点，也是高中数学的基础。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用数学知识。
下面是初中数学中关于平面向量的知识点汇总。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量是有大小和方向的量，通常采用有向线段来表示。
平面向量有两个基本要素：模和方向。
平面向量用字母加上一个小箭头来表示，例如A B⃗表示从点A到点B的有向线段。
二、平面向量的加法和减法1. 平面向量的加法：平面向量的加法可以理解为将两个向量的位移相连，形成一个新的向量。
设有向量A B⃗=a⃗和向量B C⃗=b⃗，则向量A B⃗+B C⃗=A C⃗，其中A C⃗=a⃗+b⃗。
2. 平面向量的减法：平面向量的减法可以理解为从一个向量的终点指向另一个向量的起点，形成一个新的向量。
设有向量A B⃗=a⃗和向量A C⃗=b⃗，则向量A B⃗-A C⃗=B C⃗，其中B C⃗=a⃗-b⃗。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法即将一个向量的长度与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有向量A B⃗=a⃗，实数k，则向量kA B⃗=k a⃗。
四、平面向量的性质和运算规律1. 平行向量的性质：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量，记作A B⃗∥C D⃗。
2. 共线向量的性质：如果两个向量在同一直线上，那么它们是共线向量。
共线向量的模成比相等。
3. 相等向量的性质：如果两个向量的模相等，并且方向相同，那么它们是相等向量。
4. 反向向量的性质：如果向量a⃗和向量-b⃗的方向相反，那么它们是反向向量。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点乘，其结果是一个实数。
设有向量a⃗=A B⃗，向量b⃗=C D⃗，则数量积a⃗·b⃗=|a⃗|·|b⃗|·cosθ，其中θ为向量a⃗和向量b⃗的夹角。
六、平行四边形法则和三角形面积法则1. 平行四边形法则：如果两个向量的起点相同，终点相反，那么这两个向量相加的和是一个平行四边形的对角线向量。
初中数学平面向量知识总结
初中数学平面向量知识总结平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
学习平面向量不仅能够帮助我们更好地理解空间关系，还能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。
下面将对初中数学中关于平面向量的知识进行总结，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、平面向量的定义平面向量是由大小和方向共同决定的有向线段。
平面向量通常用a→来表示，其中箭头上面的字母代表向量名称，箭头的方向代表向量的方向，箭头的长度代表向量的大小。
二、平面向量的表示方式1. 基本表示方式：平面向量可以用坐标表示，例如：向量a→可以表示为a→=(x,y)，其中x、y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 简化表示方式：平面向量也可以用加粗的小写字母表示，例如：向量a→可以表示为a。
三、平面向量的运算1. 向量的相等：若两个向量的大小相等，并且方向相同，则这两个向量相等。
2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的大小和方向相互叠加。
设向量a→=(x₁,y₁)，向量b→=(x₂,y₂)，则向量a→+b→=(x₁+x₂,y₁+y₂)。
3. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
设向量a→=(x₁,y₁)，向量b→=(x₂,y₂)，则向量a→-b→=(x₁-x₂,y₁-y₂)。
4. 向量的数量积：向量的数量积是指两个向量相乘得到一个实数。
设向量a→=(x₁,y₁)，向量b→=(x₂,y₂)，则向量的数量积为a→·b→=x₁x₂+y₁y₂。
5. 向量的夹角：设向量a→和向量b→之间的夹角为θ，则有cosθ=(a→·b→)/(|a→|·|b→|)，其中|a→|和|b→|分别表示向量a→和向量b→的模长。
四、平面向量的性质1. 任意向量加上零向量等于其本身，即a→+a=a→。
2. 任意向量加上其相反向量等于零向量，即a→+(-a→)=a。
3. 向量的数量积满足交换律和分配律，即a→·b→=b→·a→，以及a→·(b→+c→)=a→·b→+a→·c→。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
平面向量知识点归纳总结图
平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。
平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。
1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。
1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。
二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。
2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。
三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。
4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。
(2) 垂直若，则它们垂直。
4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。
五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。
5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。
（2）判断垂直若，则垂直。
（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。
六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。
沪教版初中向量知识点总结
沪教版初中向量知识点总结一、向量的概念和表示1. 向量的概念向量是有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示向量可以用有序对(a, b)或者位置矢量表示，其中a和b分别表示向量的横坐标和纵坐标。
向量也可以用坐标点A和起点为原点的位置矢量表示。
3. 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小相等，方向相同。
4. 坐标系中向量的运算在坐标系中，两个向量的加法、减法和数乘运算都可以通过其坐标表示和几何意义求解。
二、向量的性质1. 平行向量如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。
2. 零向量零向量是长度为零的向量，它的起点和终点重合。
3. 向量的夹角两个向量的夹角是它们的夹角不大于180度。
4. 直角向量如果两个向量的夹角是90度，那么它们是直角向量。
5. 向量的模长向量的模长就是它的长度，它等于向量的大小。
三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则，即把两个向量的起点相接，终点相连，新的向量就是它们的和向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化成向量的加法，即把减法转化为加法，然后按照加法的规则进行运算。
3. 向量的数乘向量的数乘就是一个向量与一个数相乘，它等于把向量按照一定比例进行拉伸或者缩短。
4. 向量的数量积向量的数量积也叫点积，它表示两个向量的大小和夹角的乘积，计算方式是两个向量的对应坐标相乘，再相加。
5. 向量的叉积向量的叉积也叫矢量积，它表示两个向量的大小和方向的乘积，计算方式是用行列式求解。
四、向量在几何中的应用1. 向量的平移向量的平移就是把一个向量的起点移动到另一个位置，终点也随之移动，但向量的大小和方向保持不变。
2. 向量的共线如果存在一个非零向量使得向量a和向量b的坐标成比例，那么向量a和向量b是共线的。
3. 向量的定位在平面直角坐标系中，向量可以用位置矢量来定位，表示某一点的坐标。
4. 向量的投影向量的投影是向量在某一个方向上的分解，投影的长度等于向量在该方向上的投影。
初中数学中的平面向量总结
初中数学中的平面向量总结平面向量是在平面上具有大小和方向的量，经常在初中数学中出现。
在学习平面向量的过程中，我们需要掌握平面向量的定义、运算法则、共线与共点、向量的投影等基本概念。
本文将对这些内容进行总结和归纳。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量通常用一个有大小和方向的箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
平面向量通常使用字母加上一个右箭头来表示，例如表示向量AB的平面向量为→AB。
二、平面向量的加减运算1. 平面向量的加法：两个平面向量的加法就是将这两个向量的起点重合，然后通过把一个向量的终点和另一个向量的起点相连接，绘制出一个新的向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 平面向量的减法：两个平面向量的减法就是将被减向量的起点与减向量的起点重合，然后通过把被减向量的终点和减向量的终点相连接，绘制出一个新的向量。
向量减法也满足交换律。
三、平面向量的数量积和向量积1. 平面向量的数量积：设有两个向量AB和CD，它们之间的数量积用AB·CD来表示。
数量积的计算方法是将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
2. 平面向量的向量积：两个平面向量的向量积用AB×CD来表示，向量积的大小等于两个向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。
向量积还有一个重要的性质，即向量积垂直于与之垂直的两个向量。
四、共线与共点1. 共线：如果两个向量的夹角为0度或180度，那么这两个向量是共线的。
如果两个向量共线，那么其中一个向量一定可以表示为另一个向量的倍数。
2. 共点：如果两个向量的起点和终点重合，那么这两个向量是共点的。
共点的向量一般用有相同起点和终点的线段来表示。
五、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影分量，它可以表示两个向量之间的夹角。
向量的投影有点到直线的投影和向量到向量的投影两种情况。
1. 向量的投影：设有一个向量A和一个向量B，向量A在向量B上的投影记作projB A。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。
在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。
本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。
1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。
平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。
2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。
向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。
3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。
设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。
4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。
否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。
线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。
5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。
向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。
向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。
6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。
设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。
7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。
根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
平面向量小结
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
二、平面向量的线性运算
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
sin2 2sin 11 2 cos cos 2
3 2 2 sin
4
, , 3
2 2
4 4 4
当 时sin 1
4 2 4
2解：y f a b sin cos
2 sin
4
, 3
4 4 4
y
f
的单调增区间为
x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
二、平面向量的线性运算
1.向量的加法运算 三角形法则
平行四边形法则CB源自CAB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
2求函数y f a b, , 的单调增区间
2 2
五.典例讲解 考查向量共线、平行、垂直
例1.已知AB=a=(1,2),BC=b=(-3,2),CD=(6,4) （1）证明：A、B、D三点共线.
（2）k为何值时，①向量ka+b与a-3b平行
②向量ka+b与a-3b垂直
1证明：由已知BD BC CD 3，6 21，2 2AB
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海八年级下平面向量
知识点总结
Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
平面向量
●重难点突破
1.向量加法的运算及其几何意义。
2.对向量加法定义的理解。
3.向量的减法运算及其几何意义。
4.对向量减法定义的理解。
5.实数与向量积的意义。
6.实数与向量积的运算律。
7.两个向量共线的等价条件及其运用。
8.对向量共线的等价条件的理解运用。
●每课一记
一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行：
(1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式；
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。
二、1. 向量的加法定义
向量加法的定义：如图3，已知非零向量，在平面内任取一点A，作AB=a，
BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC
。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
2. 向量加法的法则：
（1）向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要
特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个
向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量
加法三角形法则的物理模型。
（2）平行四边形法则
向量加法的平行四边形法则
如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为
起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法
的平行四边形法则。
3. 向量a，b的加法也满足交换律和结合律：
①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。
②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相
加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。
③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)；
当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|；
当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大
于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，
|a+b|=|b|-|a|。
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。
④如图5，作AB=a，AD=b，以为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。
因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。
如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，
AD=AB+BD=AB
+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。
特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新
知识的过程与方法。
三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最
后回扣物理问题，解决问题。
四、向量也有减法运算。
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。
于是-(-a)=a。
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。
所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。
1. 平行四边形法则
图1
如图1，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-
b。
又b+BC=a，所以BC=a-b。
由此，我们得到a-b的作图方法。
图2
2. 三角形法则
如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b
可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。
（1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。
与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，叫做a的
相反向量，记作-a。
（2）向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)，
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
规定：零向量的相反向量是零向量。
(3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几
何意义所在，是数形结合思想的重要体现。
五、我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|=|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向
相反。
由(1)可知，λ=0时，λa=0。
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1)λ(μa)=(λμ)a
;
(2)(λ+μ)a=λa+μ
a;
(3)λ(a+b)=λa+λb
.
特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb。
向量共线的等价条件是：如果a(a≠0)与b共线，那么有且只有一个实数λ，使
b=λa。共线向量可能有以下几种情况：
(1)有一个为零向量；
(2)两个都为零向量；
(3)同向且模相等；
(4)同向且模不等；
(5)反向且模相等；
(6)反向且模不等。
数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小
由|λ|·|a|确定。它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩
小。向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没
有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上
的情形。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量a、b，
以及任意实数λ、1、2，恒有λ(1a±2b)=λ1a±λ2b。
●经典例题
例1 化简：
(1)BC+
AB
(2)DB+CD+
BC
(3)AB+DF+CD+BC+
FA
解：
(1)BC+AB=AB+BC=
AC
(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0
(3)AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+CD+DF+
FA
=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0
解析：要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量。
例2 若AC=a+b，DB=a-b
①当满足什么条件时，a+b与a-b垂直
②当满足什么条件时，|a+b|=|a-b|
③当满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角
④a+b与a-b可能是相等向量吗
解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角
线。
由平行四边形法则，得
AC
=a+b，DB=AB-AD=a-b。
由此问题就可转换为：
①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角相等)
④a+b与a-b可能是相等向量吗(不可能，因为对角线方向不同)
解析：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。由此我们可以想到在
解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题。