高二数学教案：8.1椭圆及其标准方程(三)

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高二数学椭圆及其标准方程

2
2
F1 o
F2
x
启发提问：
如果是以F1，F2所在直线为y轴，建立直角坐标系，所求出的椭圆的标准方程又是什么呢？
类比探究：
y M
x y 2 1a b 0 2 a b
x ( y c) x ( y c) 2a
2 2 2 2
2
2
F1
F2
x
y F1 x F F2 2
椭圆及其标准方程
第一课时
一、教材分析 1.教材处理 2.教材地位与作用
（1）从知识上说，它是运用坐标法研究曲
线的几何性质的又一次实际演练; （2）从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础 . 所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上起着承上启下的作用。
3.教学重点与难点
并指明a2、b2及焦点坐标。 2 2 x y 1 答：在 X 轴。（-3，0）和 25 16 （ 3， 0 ） 2 2 x y 1 答：在 y 轴。（0，-5）和判断椭圆标准方程的焦点在 144 169 （ 0， 5） 2哪个轴上的准则：焦点在分 2 x y 答：在 y 轴。（ 0 ， -1 ）和 1 母大的轴上。 2 2 m m 1 （ 0， 1）
の , 也不会随便选择什么人就‘乱’共生,必定是这人の什么东西.男子笑了笑说："咱叫黑子,没有名字.""黑子?"根汉这家伙の脸,基本上都被黑煞之火给毁了,现在‘挺’黑の,不过如果恢复之后,应该不会这么难他对黑子说："这样吧,咱送你壹个名字如何?""那太好了,请叶神翼赐名."黑子很兴奋,他终于是要有名字了吗?根汉微笑着说："你咱既然是在南沙城相遇,相遇就是缘份,不如就叫南缘吧.""南缘?""南缘."黑子喃喃自语 , 念叨了好几遍,兴奋の说："真好听,谢谢神翼,以后咱就有名字了,咱就叫南缘了."南缘,取意难得の缘份,南沙の缘份,根汉也没多想,也就随口这么壹取了."你也不要叫咱神翼了,以后叫咱叶哥吧."根汉说."那,那怎么好."南缘连忙说："不如咱给您当个外‘门’弟子吧,您收咱为徒吧.""收你为徒?"根汉想了想,这可是自己头壹回收徒,想了想后说："罢了,从今天起,你就是咱根汉の徒尔了,以后跟着师父好好‘混’."认徒の过程 , 当真是没有半点麻烦の,根汉也没有什么讲究.只是把单雄给叫了出来,三人壹起在院里吃喝了壹顿,就当是收徒成功了.这可把单雄给羡慕の不行,这南缘刚与根汉壹见面,就成了根汉の徒弟了,他可是羡慕の紧呀,他也想当根汉の徒弟来着呢.可是根汉不收他呀,不收他这个老家伙了.收了徒弟了,根汉仿佛也多了壹件事情了.每天不仅还是帮人越来越多の南沙城中の修行者,若是有什么‘毛’病の话,也会来找根汉帮他壹时间 , 根汉很快就成了这南沙小城中の风云人物,焦点人物.时间过得飞快,转眼就又是半年时间过去了.这壹天晚上,根汉还在指导南缘教他炼‘药’の基本方法,同时在亲自教导他炼制壹味简单の丹‘药’,全骨丹.顾名思议,这是壹味可以令骨骼正位の丹‘药’.南缘试了十几回之后,终于是成功了壹次,炼制出了好几粒淡白‘色’の‘药’丸,让他兴奋の嗷嗷大叫,赶紧叫单雄出来给展示壹番.单雄也向南缘竖起了大拇指："好小子 , 不愧是大哥の徒弟,这全骨丹虽然‘挺’简单の,但是你以元古境の修为,而且还身具剧毒,就可以炼制出来了实属不易呀reads;.""谢谢单大叔,咱还会继续努力の."南缘兴奋の说："下回咱壹定要壹次成功,刚刚咱可是‘浪’费了好多‘药’材了,要是都没有‘浪’费の话,可以给几十个跌伤の百姓服用了.""恩,努力."单雄の心境,也有些被南缘感染了.他其实都是说の假话,要是别人の话,炼制这全骨丹估计早就好了,可能都是壹到三次就能成功吧,因为只有两种‘药’材‘混’合壹下子就可以了.不过他觉得南缘の善良感染了他,或许这也正是根汉收他为徒の原因吧,这个南缘心系常人,是壹个很善良の苗子.这半年来,与南缘呆在壹起の时间长了,单雄都觉得自己已经不适合再修行吞噬之法了.他也在悄悄の改变自己,希望自己能够就此收手,以后再也不去吞噬别人了,虽然无法转修别の道法了,但是不再吞噬别人,也算是壹件福事.那样就能慢慢の驱除元灵中の戾气,让自己以前积攒下来の那些副作用,慢慢の驱除,让自己也变得正常起来.也许修为道行并不是最重要の,壹个人,或者是壹个生灵,最重要の还是开心,还是做自己喜欢做の事情,做无愧于心,无愧于天地の事情.天道并不是要你去打破,而是让你维护,让天下变得更美好,让万物生灵都能有好の生存环境,破坏只能让大家都过得不好.所以单雄也很欣赏南缘,欣赏这个修为不高,但是心怀苍生の年轻人.平时他有空, 也会过来指导南缘,毕竟根汉の时间很宝贵,也没有这个时间壹直来教导南缘,以单雄の修为要教导南缘,实在是绰绰有余了.(..)（正文贰捌叁1收徒南缘）贰捌叁贰南沙主城贰捌叁贰所以单雄也很欣赏南缘,欣赏这个修为不高,但是心怀苍生の年轻人.新.平时他有空,也会过来指导南缘,毕竟根汉の时间很宝贵,也没有这个时间壹直来教导南缘,以单雄の修为要教导南缘,实在是绰绰有余了.南缘在翼药,炼药方面の进步,也是很明显の .本来他就是元古境の修士,比普通人要强出成千上万倍,自然学习起来也是可以の,只是和那些圣境之类の修士,当然是没办法可比の.不过南缘已经很可以了,壹些普通人の小病小灾,他可以轻易の治好了.他体内虽有黑煞之火,但是因为根汉时不时の替他压制住,所以现在黑煞之火の痛苦暂时就没有了,这半年来是他活の最开心の半年了.这壹天晚上,根汉他们の院子外面,又来了两个不速之客.只不过这两人,明显の要强大了太多了,这是两位高阶圣境の强者,同样是两个黑袍人,脸上戴着鬼面具."沙卫拜见叶神翼."人の气势,好像并不是衍无玄天の执法长老.根汉和单雄,以及南缘都出来了."两位是?"根汉皱眉问道.这两人の气息有些古怪,像是冥冥中の远古时代の气息,仿佛隔了相当の久了,存在太远了."在下沙六,在下沙九."两人介绍了壹下："咱们是南沙城の十大守卫.""奉咱主之命,前来邀请叶神翼,前往南沙城作客."两人说."南沙城作客 ?"根汉皱了皱眉问道："这里不是南沙城吗?你们主人是谁?"能有这样强大の仆人,也足以证明这两个家伙の主人,肯定至少也是壹个绝强者,大概是见自己最近风头有些大吧,想请自己过去壹叙."这里是南沙小城."沙六介绍了壹下,"并不是南沙主城,南沙主城不在这里,比这里要大上百倍.""南沙主城?"不仅是根汉,壹旁の单雄和南缘,也觉得很奇怪.不过仔细壹想,似乎这里の确全名叫南沙小城,确是有壹个南沙主城了.根汉也想到了 ,这两个人,应该是南沙小城背后の人の仆人了,而且极有可能与南沙小城中间,那座小沙丘有关系,诡异の存在.他对两人说："好吧,那就叨扰了.""大哥,这."单雄想说这也未免太危险了,万壹对方有什么陷阱等着根汉,比如对方与衍无玄天有勾结,给根汉挖了壹个坑の话,那就麻烦了.根汉杀了衍无玄天の执法长老,这事情可不是小事情,执法长老代表の是玄天の无上威严,可不是能随便乱杀の."无妨,你们二人进咱乾坤世界呆着吧,也不用在这里住了."根汉想了想,还是要将他们二人给带上,免得这壹去比较久の话,到时留他们二人在这里の话,到时居住时限到了,又是壹件麻烦事.单雄二人也没什么好劝の,进了根汉の乾坤世界,两位沙卫立即将他给请走了.他们也没有让根汉蒙面,或者是怎么样の,直接就领着根汉来到了那座小沙丘の上空."叶神翼,这里便是南沙主城の入口了,壹般外面の人都只能住在这南沙小城中."沙六给根汉介绍了壹下.根汉点了点头,这座小沙丘の外面有封印,二人直接领着根汉走进了沙丘中,倒也没有出什么门,或者是通道之类の,直接就可以走进去了.进入了沙丘中,壹面洪荒气息迎面扑来,吹起了根汉の头发.眼前の景象令人双眼壹亮,面前是壹片平坦の沙漠,只是奇怪の是,这些沙漠并不是特别干,反而是很有水份の,有大量の水草壹样の植物,在这些沙漠上零星の生长.而就在不远の前方,他壹座由绿色植物搭建起来の,巨大の古城.就像是壹个空中の绿色鸟巢壹样,是壹个巨型堡垒,而就在前方,有几道神光掠过,根汉定晴壹两个衣带飘飘の绝顶美人,就像是天上の仙女壹样.和传说中の仙境有些相似,根汉不由得长出了壹口气,这个地方确实是很漂渺呀."南沙主城便是那座吗?"根汉问道.沙六点头道："是の,叶神翼,您请跟咱们来."二人在前面领路,进了南沙主城区域后,他们便揭掉了脸上の面具,是两个面相慈善の中年人,都是高阶圣境の修为.他们对根汉也是十分の恭敬 ,因为知道根汉最少也是绝强者,也不敢不恭敬吧.不过根汉试着扫视过他们の元灵,却是壹无所获,应该是被什么人给下了封印了,别人是无法从他们の元灵中获取什么消息の.很快二人便领着根汉来到了空中城堡の南大门口,大门处有两个守卫把守,而且还是两个绝美の女人.这两个女人の修为也很了不得,同样是高阶圣境,见到根汉他们来の时候,也只是轻轻の点头,并没有进行阻拦,便让他们进去了."这个地方确实是很神奇 ."根汉心里也有不少の困惑,心想己还是太自负了,以为自己の那些女人们够强大了,自己够拉风了.现在想想,这个南沙主城の主人,更加威武吧.他自己の修为肯定不在自己之下,他名下の女人那就不用说了,两个の女人都是高阶圣境の,而且姿色也是壹等壹の完美,绝对不是庸脂俗粉.手下の马仔也很强,十大守卫应该都是高阶圣境の.进去古城堡之后,根汉也是大开眼界,城堡之内,有着无数万丈高楼,以及壹株株飘渺非凡の仙物 ,分布在这城堡の各个角落.这些仙家植物,释放出来壹阵阵飘渺の仙雾,将这城堡装扮の如同仙境壹般,十分惹眼.不仅仅如此,最主要の是这城堡内部の格局,壹座座高楼都是飘浮在半空中の,没有根基却仿佛存在了亿万年似の,如同洪荒仙界壹般.这里好像就是壹个人造出来の仙宫,就像当年在地球上或者是电视剧の那些神话神仙の仙宫壹般,景象实在是太美了.（正文贰捌叁贰南沙主城）贰捌叁�

椭圆及其标准方程教案

第二节椭圆及其标准方程高二数学主备人：张宪东审核：审批：2008年11月教学目标：知识目标：①掌握椭圆的定义。

②体会椭圆的标准方程的推导过程并掌握其标准方程。

③运用椭圆的标准方程形式解决有关问题。

能力目标：①培养学生的合作探究能力。

②通过小组讨论、学生展示培养学生的积极参与及协调合作能力。

情感目标：①通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感。

②培养学生团结协作精神。

教学重点：①椭圆的定义。

②椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆的标准方程的推导过程。

学法指导：为了充分调动学生的积极性，教会学生学习，本节课的主要学习方法有：①学生展示法②小组讨论法③发现总结法教学过程：<一>、根据分工小组板演具体分工如下：（附导学案）动手探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？体会这一过程，你能说出移动笔尖（动点）满足的几何条件吗？1、我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1、F2|）的点的轨迹叫做_______，这两个定点叫做________，它们之间的距离叫做_________。

2、思考：在定义椭圆时，对常数加上一条件，即常数要大于|F1、F2|，大家想一下，如果常数小于或等于|F1、F2|会出现什么情况？阅读课本P41------P42页内容，思考并回答以下问题思考：为了研究椭圆的性质，要建立椭圆方程，那么观察椭圆的形状怎样选择坐标系才能使椭圆的方程更简单？1、体会椭圆方程的推导过程，作出椭圆标准方程，理解椭圆就是集合P={M||MF 1|+|MF 2|=2a}这一句话，并思考如何作出椭圆的标准方程。

1、观察图，你能从中找出表示a, c, 22a c -的线段吗？并说出它们的含义是什么？阅读课本p42 页思考并回答以下问题。

椭圆及其标准方程

课题：椭圆及其标准方程
1.教学目标：
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻划现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

（3）通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

2.教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。

3.教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。

4.教学任务分析：
（1）学生已有的主要知识结构
学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。

（2）建立新的知识结构
与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。

5.
6.媒体选用：多媒体课件，几何画板。

7.教学过程：。

椭圆及其方程教案(中档篇)

椭圆及其方程教案(中档篇)第一章：椭圆的定义与性质1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生理解椭圆的形状和特点。

解释椭圆的定义，即在平面内，到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

1.2 椭圆的性质介绍椭圆的基本性质，如对称性、焦点与准线的概念。

解释椭圆的长轴、短轴、半焦距等基本参数。

通过实际例子展示椭圆的离心率与焦距的关系。

第二章：椭圆的标准方程2.1 椭圆的标准方程引入椭圆的标准方程，解释椭圆方程的形式。

给出椭圆标准方程的推导过程，让学生理解并掌握。

2.2 椭圆方程的参数解释椭圆方程中的参数a、b、c的含义和关系。

通过对椭圆方程的参数进行变换，引导学生理解椭圆的性质。

第三章：椭圆的图形与方程3.1 椭圆的图形通过实际例子展示椭圆的图形特点，如对称性、焦点位置等。

引导学生观察椭圆图形与参数之间的关系。

3.2 椭圆的方程解释椭圆方程的解法，如直接解法、代入法等。

通过对椭圆方程的变换和解析，引导学生理解椭圆的性质。

第四章：椭圆的应用4.1 椭圆的实际应用通过实际问题引入椭圆的应用，如地球绕太阳的运动、卫星轨道等。

引导学生运用椭圆的性质和方程解决实际问题。

4.2 椭圆与其他几何图形的关系介绍椭圆与其他几何图形的关系，如圆、双曲线等。

通过实际例子展示椭圆与其他几何图形的联系和区别。

第五章：椭圆的综合练习5.1 椭圆的基本性质练习设计一些练习题，让学生巩固椭圆的基本性质，如对称性、焦点与准线的关系等。

5.2 椭圆方程的应用练习设计一些练习题，让学生运用椭圆方程解决实际问题，如卫星轨道的设计、椭圆的面积计算等。

5.3 综合练习题设计一些综合练习题，综合考察学生对椭圆的理解和运用能力。

第六章：椭圆的焦点与离心率6.1 椭圆的焦点回顾椭圆的焦点概念，解释焦点的定义和性质。

通过实际例子展示焦点的计算方法。

6.2 椭圆的离心率引入椭圆的离心率概念，解释离心率的定义和意义。

给出离心率的计算公式，并解释公式中各参数的含义。

高二数学教案：椭圆及其标准方程

课题：椭圆及其标准方程（第一课时）教学目标：1、使学生理解并掌握椭圆的定义、焦距；2、使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法；3、培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

教学重点：椭圆的定义及其标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导——比较复杂的根式的化简教学方法：讲授法教学过程：一、复习回顾1、曲线方程的概念2、圆的几何特征二、试验取一条一定长的细绳，把它的两端固定在板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖在板上慢慢地移动，可以画出一条怎样的曲线？若绳长等于F1和F2的距离，按照同样的方法会作出怎样的曲线呢？若绳长小于F1和F2的距离呢？（提前一天布置学生自己在家完成）结论：第一种情况作出的图形是一条封闭的曲线；第二种情况作出的图形是一条线段；第三种情况不能作出任何曲线。

从第一种情况画图过程可以看出，曲线上任意一点与点F1、F2的距离的和等于定长（即绳子的长），也可以说，这条曲线是与点F1、F2的距离的和为定长的点的轨迹（或点的集合），我们把这样的曲线叫椭圆。

大家能举出一些现实生活中常见的椭圆的例子吗？三、新课1、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

2、建立椭圆的方程（1）回忆：求曲线方程的步骤①建系、取点②列式③代换④化简⑤证明（2）建系的一般原则有哪些？原点取在定点或已知线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上。

（3）建立坐标系方案一：方案二：方案三：（4）求椭圆方程（方案二）设M （x ，y ）是椭圆上任意一点，并设椭圆的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0），F 2（c ，0），又设M 与F 1、F 2的距离的和等于2a 。

（提问：为什么要令|F 1F 2|＝2c ，21MF MF +＝2a ？）由椭圆的定义，椭圆就是点的集合：}2|{21a MF MF M P =+=221)(y c x MF ++=Θ，222)(y c x MF +-= a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴（提问：应如何化简？答：将式子有理化。

浙江省金华市高二数学《椭圆及其标准方程》教案

浙江省金华市高二数学《椭圆及其标准方程》教案一．教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程③对学生进行数学思想方法渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心二．重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简三．教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课坚持推行“学案引导——自主学习——教师点拨——练习巩固”的课堂教学模式，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．四．教学过程创设情境——提出问题,学生活动——体验数学,意义建构——感知数学,数学理论——建立数学,数学应用——巩固新知,回顾反思——归纳提炼,课后作业——巩固提高五、教学六辅助手段：绳子六、教学程序及设计：六、板书设计：。

8.1.1 椭圆的标准方程(课件)(共20张PPT)-中职数学人教版基础模块下

因为2 = 10，2 = 8，所以
=5， = 4， 2 = 2 − 2 =52 − 42 =9，即 = 3．
2 2
2
因此，这个椭圆的标准方程是 2 + 2 ＝1，即
5
3
25
+
2
＝1．
9
例题讲解
例2
2
分别求出椭圆：
4
2
2
+ =1与椭圆：
3
3
+
2
=1的焦点。
(2) = 4，焦点为1 (0， − 3)，2 (0，3) ；
(3) = 1，焦点为1 (− 15，0)，2 ( 15，0)；
(4)焦点在轴上，且 = 6，焦距为4 2．
巩固练习
2．求下列椭圆的焦点和焦距：
2
(1)
25
2
+ =1；
16
2
(2)
144
+
2
=1；
169
(3)2 2 + 2 = 8； (4)3 2 + 4 2 = 12．
4
解因为4>3，所以椭圆1 的焦点在轴上，椭圆2 的焦点在
轴上．2 =4， 2 =3， = 2 − 2 = 1．
所以椭圆1 的两个焦点分别为(-1，0)和(1，0)，椭圆2 的两个
焦点分别为(0，-1)和(0，1)．
巩固练习
1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) = 4，焦点为1 (−3，0)，2 (3，0)；
4 − 22 + 2 2 = 2 2 − 22 + 2 2 + 2 2 ,
整理，得 (2 − 2 ) 2 + 2 2 = 2 (2 − 2 )．

8.1.1椭圆及其标准方程

演示1 演示2
M F1 F2
结论：
当绳长大于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是椭圆。
当绳长等于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是以F1,F2为端点的线段。当绳长小于两定点F1,F2间的距离时，不能构成图形。
2.求椭圆的方程：
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤：（1）建系设点（2）列式（3）代换、化简（4）审查
五步法
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O
y M M
O 2 F
y F2 xx x
O
x F1
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： 1 ,则 4 5 a=_____，b=_______，c=_______， P 2 1 5
(0,-1)、(0,1) 焦点坐标为：__________，焦距
F2
F1
等于_________; 2
一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”
（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
例题精析
例1、填空：

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学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com 6 PF2F

课题：8．1椭圆及其标准方程（三）教学目的： 1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系 2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 椭圆定义：

平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.椭圆标准方程：

（1）12222byax 它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF，中心在坐标原点的椭圆方程其中

222bca

（2）12222bxay 它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点是),0(),,0(21cFcF,中心在坐标原点的椭圆方程其

中222bca 在12222byax与12222bxay这两个标准方程中，都有0ba的要求，如方程

),0,0(122nmnmnymx就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，

PF2F

y学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com

6 可与直线截距式1byax类比，如12222byax中，由于ba，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看22,yx分母的大小) 二、讲解范例：例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂

线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为21，求点M的轨迹）解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点M的坐标为),(yx，则P的坐标为)2,(yx 因为点P在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有 4)2(22yx，即 1422yx

所以点M的轨迹是椭圆，方程是1422yx （2）当M分 PPˊ之比为21时，设动点M的坐标为),(yx，则P的坐标为)23,(yx 因为点P在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有 4)23(22yx，即 1169422yx

所以点M的轨迹是椭圆，方程是1169422yx 例2 已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆1422yx上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点M的坐标为),(yx，则Q的坐标为)2,12(yx

因为点Q为椭圆1422yx上的点，所以有 1)2(4)12(22yx，即14)21(22yx 所以点M的轨迹方程是14)21(22yx

MP′

2-2x

MP′

2-2x

2-2xO

y学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com 6 例3 长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M分AB的比为32，求点M的轨迹方程解：设动点M的坐标为),(yx，则A的坐标为)0,35(x B的坐标为)25,0(y

因为2||AB，所以有 4)25()35(22yx，即442592522yx 所以点M的轨迹方程是442592522yx 例4 已知定圆05562xyx，动圆M和已知

圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论：

MPMQ8

上式可以变形为8MPMQ，又因为86PQ，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆解已知圆可化为：64322yx

圆心Q(3，0)，8r，所以P在定圆内设动圆圆心为),(yxM，则MP为半径又圆M和圆Q内切，所以MPMQ8，即 8MPMQ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以82a，

72b，故动圆圆心M的轨迹方程是：171622yx 三、课堂练习：（1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是（） A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D

（2）已知椭圆方程为1112022yx,那么它的焦距是（）

A.6 B.3 C.331 D.31 答案：A

r＝8M

PQxO

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6 （3）如果方程222kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.（0，+∞） B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1) 答案：D (4)已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（23,25），则椭

圆标准方程是_____ 答案：161022yx （5）过点A（-1，-2）且与椭圆19622yx的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 答案：16322yx （6）过点P（3，-2），Q（-23，1）两点的椭圆标准方程是______ 答案：152522yx 四、小结：用转移法求轨迹方程的方法转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系五、课后作业：

1．已知圆22yx＝１，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段ＰＰ′，求线段ＰＰ′的中点M的轨迹. 选题意图：训练相关点法求轨迹方程的方法，考查“通过方程，研究平面曲线的性质”这一解析几何基本思想.

解：设点M的坐标为),(yx，则点P的坐标为),2(yx.

∵P在圆122yx上，∴1)2(22yx，即14122yx.

∴点M的轨迹是一个椭圆1422yx 2．△ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-94，求顶点A的轨迹方程. 选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.

解：设顶点A的坐标为),(yx. 学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.gaokao.com 6 依题意得 9466xyxy， ∴顶点A的轨迹方程为 )6(1368122yyx. 说明：方程1368122yx对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去. 3．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21FF，Ｐ为椭圆上一点，且｜21FF｜是｜1PF｜和｜

2PF｜的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠21FPF＝120°，求21tanPFF. 选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题. 解：(1)由题设｜1PF｜＋｜2PF｜＝２｜21FF｜＝4

∴42a， 2c=2， ∴ｂ＝3 ∴椭圆的方程为13422yx. （２）设∠21PFF，则∠12FPF＝60°－θ 由正弦定理得：)60sin(120sinsin1221PFPFFF 由等比定理得：)60sin(120sinsin2121PFPFFF

)60sin(234sin2

整理得：)cos1(3sin5 53cos1sin故232tan 11352531532tantan21

PFF.

说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理，借助比例性质进行处理.对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公