韦达定理在初中数学竞赛中的应用
八年级数学下册(沪科版)浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC ＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q 或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
韦达定理在中学数学中的应用--- 精品
【标题】韦达定理在中学数学中的应用【作者】袁孟俊【关键词】韦达定理方程代数三角问题解析几何【指导老师】秦小二【专业】数学教育【正文】1引言韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终.对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何等多方面.例如:赵适红[1]研究了韦达定理在方程和应用题中的应用；胡同祥，宋杨[2]主要探讨了韦达定理在方程中的应用；祝朝富[3]论述了韦达定理在解数学竞赛题中的应用；赵建勋[4]探讨了韦达定理在两角和正切公式中的应用；操礼智[5]、沈文锦[6]、吕文成[7]等则主要研究分析了韦达定理在解析几何中的应用，等等.但这些研究中几乎很少涉及韦达定理在三角关系中的应用，主要的研究方向停留于方程、代数、解析几何这些我们所熟悉的层面之上.有关韦达定理在三角关系中的应用至今还没有实质性的结果，有待我们去研究.韦达定理在三角关系中的应用是近年高考的一个命题趋向，也是试题改革的一个热点.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用，特别是在解决三角函数关系式、两角和差公式、判断三角形类别等问题中能化难为易，化繁为简.它利用了设而不求的方法进行求解，大大简化了计算步骤，同时解题的思路也比较清晰.2韦达定理的意义韦达（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一．第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进．韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”．韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展．他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系，给出三次方程不可约情形的三角解法．2.1韦达定理的理论意义一元二次方程的根与系数关系定理是方程基本理论中的重要内容．一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的一个重要内容,其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终．教学中若能通过一些典型例题的分析,便可以培养学生严谨的解题习惯,对中学教学的学习起着至关重要的作用．2.2韦达定理的现实意义韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中有着广泛的应用，它是初中课程中的重要定理,在整个中学阶段解题时都会经常用到它．鉴于它应用的灵活性,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛而实际的应用．韦达定理对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用．利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元，从而简化运算．解析几何是高考的主干知识，而韦达定理又是解析几何的重要工具，因此可以说韦达定理是高考的重要内容之一．3韦达定理在中学数学中的应用韦达定理(Viete’s Theorem)是初中课程中的重要定理,但在整个中学阶段解题时都会经常用到它．鉴于它应用的灵活性,在解决有关方程、代数、三角、解析几何等问题中都有着广泛的应用．3.1韦达定理在方程中的应用韦达定理在方程中的应用主要有：求方程中的待定系数、方程根之间的一些关系、构造符合条件的方程、解方程组等．3.1.1运用韦达定理求方程中的待定系数例1 方程中，求为何值时，两根的平方和等于8.分析:该题条件中,两根的平方和等于8,关于两根的对称式的条件,故可利用韦达定理解题.解:设、是方程的两根，依题意得(1)(2)(3)由（3）得，再将（1）（2）代入得所以而当时，，故.例2 设、是关于的方程的两个实数根,且, ，求和.(1996年广东省中考题)解:通过已知关系与韦达定理的联系得到两个关于、的方程，即由有（1）由有（2）联立（1）（2）得或又方程有两实根，则故即为所求.3.1.2运用韦达定理构造符合条件的方程例3 已知且，求.分析：粗略分析此题无从下手，但由方程的知识及结论分析可知，结论由、两元素构成，寻找以、为根的方程构造韦达定理是关键.解：由可知，是方程的一个根由可知因而也是方程的根又，所以所以故.3.1.3运用韦达定理解方程组例4 解方程组解：原方程组化为显然，与是方程的两个根，解之得，故或前一个方程组无实数解，后一个方程组的解为且检验适合，故此即为原方程组的解.3.2韦达定理在代数中的应用韦达定理在代数中的应用主要有：求代数式的值、求最值、取值范围等.3.2.1运用韦达定理求代数式的值例5 已知实数、分别满足、，求的值.（2004年广东省中考题，有改动）解：依题意可知、是方程的两个实数根，所以，故.注：因为，所以、是方程的两个实数根，于是可用韦达定理来解答.若，则、是方程的某一个根，此时不可用该法求解.例6 已知、是正整数，且，，则=_____.（2001年全国初中数学联合竞赛试题）分析：由题意，结合韦达定理的逆定理先求作以、为根的一元二次方程，再借助所构造的一元二次方程进行求解.解：由已知得，由韦达定理，可将、看作关于的一元二次方程的两根，于是=15，=8或=8，=15当=8，=15时，、是方程的两根，且，方程同时有两个正整数根所以当=15，=8时，、是方程的两根，且，而方程没有正整数根，不合题意，舍去.故=34.3.2.2运用韦达定理求最值、取值范围例7 已知矩形的边长分别为和，如果总有另一矩形，使得矩形与矩形的周长之比和面积之比等于，则的最小值为_____ .分析与解：设矩形的边长为、，由题意知由韦达定理知、是关于的方程的两根，则因为，所以即，又，故，因而得最小值为.例8 已知实数、满足，且，求的取值范围.解：记（1）（2）得由（1）得，，解得由（2）得即，因此可将、看作方程的两个实数根所以，解得，于是.3.3韦达定理在某些证明中的应用韦达定理在证明中的应用主要有：证明代数恒等式、证明不等式、证明方程系数之间的某些关系等.3.3.1运用韦达定理证明代数恒等式例9 设、是方程的两个根，、是方程的两个根.已知，求证：（1)(2)（1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明：由韦达定理得所以因为所以又同理可得所以＝＝＝＝＝证毕.3.3.2运用韦达定理证明不等式例10 已知，其中、、为实数.求证：.分析：根据题目特点构造一个一元二次方程，使不等式中涉及的量成为方程的系数，然后令.证明：因为（1）所以，于是（2）由（1）（2）知，、是方程的根因为、是实数，所以，解得同理可证，.3.3.3运用韦达定理证明方程系数之间的关系例11 如果一元二次方程的两根之比为2：3，求证：.（初中《代数》第三册)证明：设两根为则（1）（2）由（1）（2）得，即.3.4韦达定理在解析几何中应用韦达定理在解析几何中的应用主要有：求直线方程、点的轨、弦长；解决圆锥曲线有关对称问题、定点问题、存在性问题等.3.4.1运用韦达定理求直线方程例12 过点（0，1）作一直线，使它包含在两已知直线和之间的线段平分于点，求直线的方程.解：两直线、的方程可写为：设直线的方程为，代入上式得：即此方程的两个根、是与、焦点的横坐标，根据题意，由韦达定理及中点坐标公式可得：解得故直线的方程为.3.4.2运用韦达定理求点的轨迹例13 已知双曲线，过点（1，2）的直线与所给双曲线交于、两点，求的中点的轨迹.解：设点坐标为，则的方程可写成参数式将其代入双曲线方程并整理得：由于为的中点，由参数的几何意义及韦达定理可得：所以，于是，故点的轨迹方程为.3.4.3运用韦达定理求弦长设直线与非退化圆锥曲线相交于、两点，则：又因为直线的斜率，于是可得弦长公式为例14 为不同的值而被移动的抛物线与直线相交于、两点，求最大时的值和的最大值.解：由得所以于是＝＝＝故当时，3.4.4运用韦达定理解决圆锥曲线有关对称问题例15 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线椭圆上有两个不同的点关于该直线对称.解：设椭圆上两点、关于直线对称，则直线的方程可设为联立方程和，得由得（1）由韦达定理得，故所以的中点的坐标为又因为点在直线上，将点的坐标代入得（2）由（1）（2）可知.3.4.5运用韦达定理解决圆锥曲线有关定点问题例16 如图1，设点、为抛物线上的动点，为坐标原点，，求证：直线恒过定点.图1证明：设直线的方程为联立和，得设、，则所以因为，所以，故= ，将、代得从而直线的方程为，显然直线过定点.3.4.6运用韦达定理解决圆锥曲线有关存在性问题例17 设、分别是椭圆的左右焦点，问是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.解：假设存在满足条件的直线，易知点在椭圆外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点.当直线的斜率存在时，设为，则有，由方程组得依题意解得当时，设交点、，的中点为，则，所以又所以，即故不存在直线使得.3.5韦达定理在三角中的应用韦达定理在三角中的应用主要有：求边长的取值范围、判断三角形的形状、解决与方程和函数有关的三角问题、运用韦达定理（逆定理）求三角形内角、求三角形面积、证明三角中某些关系等.3.5.1运用韦达定理求边长的取值范围例18 设的两边和之和为，是的中点，，则的取值范围为_____.（第十六届江苏省初中数学竞赛试题）解：设，则由知，，则，所以，因而、是方程的两根于是解得.3.5.2运用韦达定理判断三角形的形状例19 的三边、、满足，试问是什么三角形（按边分类），并证明你的结论？（1988年“缙云杯”初中数学竞赛试题）证明：由题意知所以、为方程的两根所以，解得，从而，故为等腰三角形.例20 在中、、分别是、、的对边，且、是关于的方程的两根，判断的形状.解：把方程化为一般式由韦达定理得（1）（2）（1）式平方得将（2）式代入得，即故是直角三角形.例21 已知是的一个内角，且和是关于的方程的两根，判断的形状.解：由韦达定理得两边同时平方得因为，所以显然，，只有，这时，故是直角三角形.3.5.3运用韦达定理解决与方程有关的三角问题例22 已知、是方程的两根，求的最小值.解：题设中的一元二次方程有实数根的充要条件是，解得由韦达定理得所以因为，所以，即当时，上式等号成立，故得最小值为.例23 已知的三边、、符合关系式，若，.求作以、为根的一元二次方程.解：因为，所以又因为所以由，得，所以由韦达定理逆定理得所求方程为.例24 如图2，在直角中，斜边.已知、是一元二次方程的两个根，求的值.图2解：设，由韦达定理得所以即解得或因为、是三角形的边长，所以，故，即，于是.3.5.4运用韦达定理解决与函数有关的三角问题例25若函数的图象过点及点，求的值.解：由题设得即由此知、是方程的两根，由韦达定理得所以下面把求值式用来表示：原式======= = =23.5.5运用韦达定理逆定理求三角形内角例26 已知的三个内角、、成等差数列，且，求角、、的大小.解：因为、、成等差数列，所以又，所以，即，从而因为，（1）所以（2）由（1）（2）及韦达定理逆定理知、是方程的两根，将上述方程左边分解因式得，解得当时，当时，3.5.6运用韦达定理（逆定理）求三角形面积例27 已知不等边中，，三角形的最大边与最小边是方程的两根，求. 解：因为不等边中，，所以、为最大边与最小边因而、是方程的两根，所以=333于是= = = .例28 直角三角形的周长为20，求它的最大面积.（1991年南昌市初中数学竞赛）解：设直角三角形的直角边为、，斜边为，则，所以，由韦达定理逆定理知、是方程的两个根，再由判别式定理得解得或（舍去）由此知，当时，有最大值，且= .3.5.7运用韦达定理证明三角中某些关系例29 在中，、、分别是、、的对边，是边上一点，且，设，求证：（1）（2）图3证明：如图3所示，和中，由余弦定理有，所以，于是，、是方程的两个根由韦达定理有，.4韦达定理在应用中的思考韦达定理作为中学数学中的重要定理之一，应用十分广泛，但由于通常对于韦达定理的应用是通过大量的公式变形和混合运算来达到目的，这就需要有一定的数学基础和运算能力，而直接在定理的两个公式和推导思路中另辟蹊径，将数与数的运算先转变为字母系数间的关系，在最后一步再代入系数，“一步登天”，似乎更为便捷，也易于理解.4.1韦达定理在构造方程中的思考构造一方程，使方程两根为一元二次方程的(1)相反数；(2)3倍(1)解一：设方程的两根为、，则，因为，所以、为方程的两根，从而所求方程为.解二：对于任意一元二次方程，有所以，从而、可看作方程的根，本题中，，，故所求方程为.(2)解一：因为，所以从而以、为两根的方程为.解二：对于任意一元二次方程，有所以，从而以、为两根的方程为当时，所求方程为.此例中，由于构造方程的类型不外乎这几种，而搬弄字母比搬弄数字方便得多，且结果往往与一般形式有相似之处.推导过程虽同常规解法相去无几，然而当数字较繁杂时，优劣繁简一目了然.4.2对于任意一元高次方程的韦达定理的思考在初中阶段，韦达定理往往局限在一元二次方程中，事实上韦达定理的真正魅力在于对任意一元高次方程系数的处理工作，因而在构造一元高次方程中韦达定理同样显示了它的独到之处.首先，对韦达定理进行新推导：设方程的根为、，得，所以，，，设方程的根为、、，得，所以，，，，，，……更一般地，设方程…的根为…得…, ………所以…, …，…，……若根皆为原方程根的相反数，则该方程为….若根皆为原方程根的倒数，则该方程为….若根皆为原方程根的倍，则该方程为….5结语本文主要利用韦达定理及相关数学知识对韦达定理在中学数学中的应用作了一定研究，并对其进行分析、归类、补充、反思、改进和推广，着重分析探究韦达定理在三角关系中的应用.韦达定理在三角关系中的应用是近年高考的一个命题趋向，也是试题改革的一个热点.韦达定理在解决此类问题中起着重要作用，它利用设而不求的方法进行求解，化繁为简，同时解题的思路也比较清晰.。
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
韦达定理应用
韦达定理应用(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
解：设另一个根为x1，则相加，得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵又∴代入得，∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。
又a，b为方程两根。
∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S.例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不存在这样的情况。
③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。
6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。
中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理
+ 的值为()A 、 123B 、或 2 C 、D 、或 2 【例 3】 已知关于 x 的方程： x 2 - (m - 2)x - = 0(2)若这个方程的两个实根 x 、 x 满足 x = x + 2 ，求 m 的值及相应的 x 、 x 。
0)第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例 1】 已知 α 、 β 是方程 x 2 - x -1 = 0 的两个实数根，则代数式α 2 + α (β 2 - 2) 的值为。
思路点拨：所求代数式为α 、 β 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 a 2 -13a + m = 0 ， b 2 -13b + m = 0 ，那么 b aa b125125 12322222222思路点拨 ：可将两个等式相减，得到 a 、 b 的关系，由于两个等式结构相同，可视 a 、 b 为方程 x 2 -13x + m = 0 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x 、 x 的对称式，这类问题可通过变形用 x + x 、 x x 12121表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：2(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
m 2 4(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第3讲充满活力韦达定理高品质版
第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，平常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最优异的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包括了丰富的数学内容，应用广泛，主要表此刻：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并联合根的鉴识式，谈论根的符号特色； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理拥有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中好多知识可有机联合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称解析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】已知、是方程x 2x1 0的两个实数根，则代数式2(22)的值为。
思路点拨：所求代数式为、的非对称式，经过根的定义、一元二次方程的变形转变为 (例【例2】假如a 、b 都是质数，且a 2 13 m 0 ，b213bm0，那么 ba)aa的值为(bA 、123B 、125或2C 、125D 、123或222 222222思路点拨 ：可将两个等式相减，获得 a 、b 的关系，因为两个等式构造相同，可视a 、b 为方程x 2 13x m0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创建了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x 1、x 2的对称式，这种问题可经过变形用x 1+x 2、x 1x 2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1) 合适组合；(2)依据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】已知关于x 的方程：x 2(m 2)x2m4(1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根x 1、x 2满足x 2x 12，求m 的值及相应的x 1、x 2。
思路点拨：关于(2)，先判断 x 1、x 2的符号特色，并从分类谈论下手。
【例4】设x 1、x 2是方程2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0的两个实数根，当 m 为什么值时， x 12 x 22有最小值?并求出这个最小值。
初中数学竞赛解题方法归纳
初中数学竞赛解题方法归纳（一）
一、代数
1、一元二次方程根的分布
（1）利用韦达定理
（2）利用二次函数图像
2、一元二次方程整数根
（1）判别式（令
2
p
=
∆，利用平方差公式算出整数根)
（2）韦达定理（两根均为整数）
（3）参数分离法（参数为一次的时候且可以利用整除解决问题）（4）因式分解法
3、绝对值方程
（1）零点分段法
（2）绝对值不等式（
b
a
b
a
b
a+
≤
+
≤
-
）
证明绝对值不等式的时候可以利用两边平方法。
二、几何
三角形的五心（内心、外心、重心、垂心、旁心）
全等相似
边角转换器：等边三角形，锐角三角比（正弦定理余弦定理）比例线段：梅涅劳斯定理塞瓦定理角元塞瓦定理
面积问题：共边比例定理共角比例定理正弦面积公式海伦公式添辅助线方法：
三角形：倍长中线利用角平分线翻折构造外心构造中位线
梯形：添平行线添垂线延长两腰作对角线的平行线
三、求最值（一定要写出取到最值时，x,y分别满足的条件！）
设所求代数式为t，然后通过代入，计算判别式等求出t的范围。
把所求的最值问题转化为代数问题，利用基本不等式求最值。
先求出最值n，构造一个n的特例，再证明n-1不能成立。
1/1。
韦达定理在解数学竞赛题中的应用
韦达定理在解数学竞赛题中的应用
祝朝富
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1997(000)005
【摘要】(本讲适合初中) 由于韦达定理揭示了方程的根和系数间的联系,因此,凡是可归结为讨论一元二次方程根的数值问题,通常都可用韦达定理来解决。
1 求方程中字母系数的值或取值范围当题设方程中含有字母系数,且已知方程的两个根具有某种关系时,可利用韦达定理建立一个以字母系数为主元的方程或不等式,从而求得字母系数的值或取值范围。
【总页数】5页(P4-8)
【作者】祝朝富
【作者单位】四川省威远县高石职业中学 642464
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.韦达定理在解直线问题中的应用 [J], 吴庆源;魏源达;
2.韦达定理逆定理在解竞赛题中的应用 [J], 王志
3.韦达定理在解中学数学竞赛题中的应用 [J], 廖毅超
4.谈韦达定理及其逆定理在解题中的应用 [J], 陈启耀
5.韦达定理逆定理在复数问题中的应用 [J], 赵学恒
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
韦达定理在初中数学竞赛题中的应用
湖南省株洲市第三中学 李梅英
设一元二次方程)0(02acbxax的两根为1x、2x，则abxx21，
a
c
xx
21
这个定理叫韦达定理。
韦达定理是初中数学竞赛的重点内容，题型多样，方法灵活，触及知识面广。现结合2004年“TRULRR信
利杯”全国初中数学竞赛试题为例将韦达定理的解题策略简述如下：
例1、 已知实数ba，且满足)1(33)1(2aa，2)1(3)1(3bb 则
baaa
b
b
的值为（ ）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题）
（A）23 （B）-23 （C）-2 （D）-13
解：∵a、b是关于x的方程03)1(3)1(2xx的两个不相等的实数根，整理此方程，得
0152xx
，
∵△=25-4>0
∴5ba，1ab
故a、b均为负数。因此
abbaababbaaabb
=ababba22=232)(2ababba
所以选（B）
例2、实数ts.分别满足1,01999,01991922stttss，求tsst14的值。
（1999年全国初中数学竞赛试题）
解：由题设知0t，∴019992tt可化为01)1(99)1(192tt
又1st，∴ts1
∴s，t1是方程0199192xx的两个不相等的实数根。
∴ts11999，1911ts
tsst14=tsts141=19141999=19
95
=5。
例3、若1ab，且有0520019,092001522bbaa，则ba的值是（ ）
（2001年全国初中数学联合竞赛试题）
（A）59 （B）95 （C）52001 （D）92001
解：由题设知0b，∴05200192bb可化为09200152bb
又∵09200152aa，且1ab，
∴ba1,是方程09200152xx的两个不相等的实数根。
∴ba1=59ba
所以选（A）
例4、已知0325,052322nnmm，其中nm.为实数，求nm1的值。
（2000年江苏省初中数学竞赛试题）
解：由题设知0n，∴03252nn可化为03252nn，即05)1(2)1(32nn
又∵05232mm
∴当1mn时，nm1，01nm；
当1mn时，m，n1是方程05232xx的两个不相等的实数根。
∴351,321nmnm
∴nm1=38964)35(4)32(14)1(1222nmnmnm
例5、设0122aa，01224bb，且012ab。
求200322)12(aabab的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题）
解：由题设知0a，∴0122aa可化为01212aa，即01)1(2)1(2aa
又 ∵ 01224ab，且012ab。
∴2,1ba是方程0122xx的两个不相等的实数根。
∴212ba，112ba
∴200322)12(aabab=1)1()212()211(20032003200322abab
练习：
1、 已知实数ba,满足027,02722bbaa，求baab的值。
2、 已知实数ba,满足015,01522bbaa，求baab的值。
3、 已知实数ba,满足025,02522bbaa，求abba。
4、 已知,是方程022)2(322mxmx的两根且2，求m的值。
5、 已知21,xx是方程06)53(422mxmx的两根，且2321xx，求m的值。
6、 关于x的方程)(09)(2baxbax的两实根为,，求的值。
作者简介：李梅英，女，生于1967年5月，中共党员，本科学历，从事初中数学教学15年。从1994年开始我
就与《中小学数学初中（学生）、（教师）版》结下了不解之缘，每年订阅了这两本杂志。无论是常规教学还
是奥赛培训，这两本书助我取得了辉煌的成绩。