高一数学必修一经典题型举一反三——函数的表示法重难点题型【解析版】

高一数学必修一经典题型举一反三（新课标） 函数的表示法重难点题型

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举一反三 【考点1 函数的三种表示方法】 【练1】某种笔记本的单价是5元，买)5,4,3,2,1(xx本笔记本需要y元，试用三种方法表 示函数)(xfy. 【思路分析】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数． 【答案】解：（1）列表法： x 1 2 3 4 5 y 5 10 15 20 25 （2）图象法 （3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}． 【点睛】本题考查函数的三种表示方法，列表法，图象法以及解析法，比较基础． 【练1.1】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：

x 1 2 3 f(x) 2 1 1

x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为______；当g(f(x))＝2时，x＝______.

【思路分析】根据表格先求出g（1）＝3，再求出f（3）＝1，即f[g（1）]的值；由g（x）＝2求出x＝2，即f（x）＝2，再求出x的值．

【答案】解：由题意得，g（1）＝3，则f[g（1）]＝f（3）＝1 ∵g[f（x）]＝2，即f（x）＝2，∴x＝1． 故答案为：1，1． 【点睛】本题是根据表格求函数值或自变量的值，看清楚函数关系和自变量对照表格求出． 【练1.2】在函数y＝|x|(x∈[－1，1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( ) 【思路分析】利用在y轴的右侧，S的增长会越来越快，切线斜率会逐渐增大，从而选出正确的选项． 【答案】解：由题意知，当t＞0时，S的增长会越来越快， 故函数S图象在y轴的右侧的切线斜率会逐渐增大， 故选：B． 【点睛】本题考查函数图象的变化特征，函数的增长速度与图象的切线斜率的关系，体现了数形结合的数学思想．

【练1.3】如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则





)3(1ff

的值等于________．

【思路分析】先求出f（3）＝1，从而𝑓[1𝑓(3)]=f（1），由此能求出结果．

【答案】解：函数f（x）的图象是曲线OAB， 其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1）， ∴f（3）＝1， 𝑓[1𝑓(3)]=f（1）＝2． 故答案为：2．

【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 【考点2 描点法作函数图象】 【练2】作出下列函数的图象并写出定义域、值域． （1）y＝2x； （2）y＝（x﹣2）2+1；

（3）y=2𝑥； （4）y＝2x+1，x∈Z且|x|＜2． 【思路分析】分别根据函数的单调性进行求解即可． 【答案】解：（1）y＝2x的定义域（﹣∞，+∞），值域（﹣∞，+∞）； （2）函数y＝（x﹣2）2+1≥1；定义域为（﹣∞，+∞），值域[1，+∞）． （3）y=2𝑥的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）； （4）y＝2x+1，x∈Z且|x|＜2．的定义域为{﹣1，0，1}，此时y＝﹣1，1，3，即值域为{﹣1，1，3}， 对应的图象为：

【点睛】本题主要考查函数定义域和值域的求解，比较基础． 【练2.1】画下列函数图象并求值域． （1）y＝﹣x2+2x+3；

（2）y＝|﹣x2+2x+3|；

（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|； （4）y＝﹣x2+2|x|+3；

（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|． 【思路分析】利用绝对值的几何意义，画出图象并求值域． 【答案】解：（1）y＝﹣x2+2x+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]

（2）y＝|﹣x2+2x+3|，如图所示，值域为[0，+∞），

（3）y＝|x﹣2|﹣|x﹣1|，如图所示，值域为[﹣1，1] （4）y＝﹣x2+2|x|+3，如图所示，值域为（﹣∞，4]

（5）y＝|x﹣2|+|x﹣1|，如图所示，值域为[1，+∞） 【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查学生的作图能力，考查学生的计算能力，正确作出函数的图

象是关键．

【练2.2】作出下列函数的图象并写出它们的值域． （1）y＝|x﹣1|+|x+1|； （2）y＝x，x∈z且|x|≤2． 【思路分析】（1）运用分段函数化简函数y，即可得到所求图象和值域； （2）求得整点坐标，即可得到所求图象和值域． 【答案】解：（1）y＝|x﹣1|+|x+1|

={

2𝑥，𝑥≥12，−1＜𝑥＜1−2𝑥，𝑥≤−1，

值域为[2，+∞）； （2）y＝x，x∈z且|x|≤2， 可得x＝﹣2，y＝﹣2；x＝﹣1，y＝﹣1；x＝0，y＝0； x＝1，y＝1；x＝2，y＝2． 值域为{﹣2，﹣1，0，1，2}．

【点睛】本题考查函数的图象的画法和运用：求值域，考查运算能力，属于基础题． 【练2.3】画出二次函数f（x）＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：

（1）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小； （2）若x1＜x2＜1，比较f（x1）与f（x2）的大小；

（3）求函数f（x）的值域． 【思路分析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案． 【答案】解：图象如图所示： （1）由图象可得f（1）＞f（0）＞f（3）， （2）x1＜x2＜1，函数在（﹣∞，1）上为增函数，

∴f（x1）＜f（x2）， （3）由函数图象可得函数的值域为（﹣∞，4]．

【点睛】本题考查了二次函数图象的画法和识别，属于基础题． 【考点3 求函数解析式—待定系数法】 【练3】设二次函数()fx满足(0)1f，且(1)()4fxfxx，求()fx的解析式． 【思路分析】用待定系数法设出f（x）＝ax2+bx+c＝0（a≠0），再通过已知条件列方程可解得； 【答案】解 设所求二次函数为f（x）＝ax2+bx+c＝0（a≠0）， ∵f（0）＝1，∴c＝1，则f（x）＝ax2+bx+1＝0，（a≠0）， 又∵f（x+1）﹣f（x）＝4x， ∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）＝4x， 即 2ax+a+b＝4x，得，{2𝑎=4𝑎+𝑏=0∴{𝑎=2𝑏=−2∴f（x）＝2x2﹣2x+1， 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属 中档题． 【练3.1】已知二次函数()fx满足条件(0)1f和(1)()2fxfxx，求()fx的解析式；

【思路分析】据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得

【答案】解：设y＝f（x）＝ax2+bx+c ∵f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x ∴c＝1；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x ∴∴2a＝2，a+b＝0 解得a＝1，b＝﹣1 函数f（x）的表达式为f（x）＝x2﹣x+1 【点睛】本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题． 【练3.2】已知()yfx是一次函数，且有[()]98ffxx，求()fx的解析式． 【思路分析】设f（x）＝ax+b（a≠0），由f[f（x）]＝9x+8．比较对应项系数可得方程组，解出即得a，b．从而得到函数解析式．

【答案】解：设f（x）＝ax+b（a≠0）， 则f[f（x）]＝af（x）+b＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝9x+8 ∴a2＝9且ab+b＝8， 解得，a＝3，b＝2或a＝﹣3，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为：f（x）＝3x+2或f（x）＝﹣3x﹣4． 【点睛】本题考查一次函数的性质及图象，属基础题，若已知函数类型，可用待定系数法求其解析式．属于基础题．

【练3.3】已知二次函数2()fxxaxb，{|()2}{22}Axfxx，试求()fx的解析式.

【思路分析】由已知中二次函数f（x）＝x2+ax+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}，可得方程（x）＝x2+ax+b＝2x有两个相等的实根22，由韦达定理求出a，b的值得答案．

【答案】解：∵二次函数f（x）＝x2+ax+b，A＝{x|f（x）＝2x}＝{22}， 故方程（x）＝x2+ax+b＝2x有两个相等的实根22， 即方程x2+（a﹣2）x+b＝0有两个相等的实根22， 即22+22＝﹣（a﹣2）且22×22＝b， 解得：a＝﹣42，b＝484， 故f（x）＝x2﹣42x+484． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是答案的关键，是基础题．

【考点4 求函数解析式—换元法】 【练4】设函数()fx满足2(23)1fxxx，求()fx的解析式； 【思路分析】可设2x﹣3＝t，从而求得𝑥=12𝑡+32，代入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1并整理可得出𝑓(𝑡)=

1

4𝑡2+

2𝑡+114，从而得出𝑓(𝑥)=14𝑥2+2𝑥+114；

【答案】解：设2x﹣3＝t，则x=12𝑡+32，带入f（2x﹣3）＝x2+x﹣1得：𝑓(𝑡)=(

12𝑡+32)2+12𝑡+3

2−1=

14𝑡2+2𝑡+114；

∴𝑓(𝑥)=14𝑥2+2𝑥+114；