初中物理竞赛教师指导

第一讲：运动的基本概念、匀变速直线运动

【知识要点】

平均速度：t

s t x x v =-=

0 瞬时速度：t s

v t ?=→?0lim 平均加速度：t

v a ??= 瞬时加速度：t v

a t ??=→?0lim

速度公式：at v v t +=0 位移公式：2

02

1at t v s +=

推论公式：as v v t 22

02+= 平均速度：2

0t v v t s v +==

【例题选讲】

例1、如图所示，相距L=20m 的两个小球A 、B 沿同一直线同时向右运动，A 球以速度v0=2.0m/s 匀速运动，B 球以加速度a=－2.5m/s 2减速运动，B 球初速度多大时，恰能赶上A 球。

例2、一点有物体甲，在甲的正上方距地面H 高处有物体乙，在从静止开始释放乙的同时，给甲一个初速度竖直上抛，问（1）为使甲在上升阶段与乙相遇，初速度v 0为多大？（2）为使甲在下落阶段与乙相遇，初速度v 0又为多大？

例3：一质点沿直线运动，其速度随时间变化的关系图像恰好是与坐标轴相切的

1

4

圆弧，如图所示，则质点在这20S 内的位移x 为多少？质点在10s 的加速度a 为多少？

例4：已知一质点做变加速直线运动，初速度为v 0，其加速度随位移线性减小的关系即加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a 0－ks ，式中a 为任一位置处的加速度，s 为位移，a 0、k 为常量，求当位移为s 0时质点的瞬时速度。

例5：将一小球以30m/s 的初速度竖直上抛，以后每隔1s 抛出一小球（空气阻力可以忽略不计），空中各球不会相碰，问：

（1） 最多能有几个小球同时在空中？ （2） 设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应该在哪些时刻和以后抛出的小球在空中

相遇而过？（取g=10m/s 2）

t （s ）

【练习】

1、 在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L 1、L 2和L 3，L 2与L 1相距80m ，L 3与L 1相距120m 。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s ，显示红色的时间间隔都是40s 。L 1与L 3同时显示绿色，L 2则在L 1显示红色经历了10s 时开始显示绿色。规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s 。若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L 1的时刻正好是L 1刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率______m/s 。若一辆匀速向前行驶的自行车通过L 1的时刻是L 1显示绿色经历了10s 的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是________________m/s 。

2、已知某质点的运动学方程为x=（t 2+4）m ，试求第1秒末到第2秒末这段时间内的平均速度及第1秒末、第2秒末的瞬时速度、加速度。

3、一气球从地面以10m/s 的速度匀速竖直上升，4s 末一小石块从气球上吊篮的底部自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s 2，求石块离开气球后在空气中运行的平均速度和平均速率。

4、一人站在地面上以初速度v 1向上抛出一小球，经过时间t 0后（t 0≤

1

2v g

），又以另一初速度v 2向上抛出另一小球，问两球在空中能否相遇？若能相遇，则在何处相遇？

5、一皮球自h高处自由落下，落地后立即又竖直跳起，若每次跳起的速度是落地速度的一半，皮球从开始下落到最后停止运动，行驶的路程和运动的时间各是多少？（不计空气阻力，不计与地面碰撞的时间）

6、一客车从静止开始以加速度a作匀加速直线运动的同时，在车尾的后面离车头为s m远的地方有一乘客正以某一速度在追赶这列客车。已知司机从车头前面的反光镜内能看到离车头的最远距离为s0m，保留时间在t0 s内才能看清楚，这样才能制动客车使车停下来。该乘客要想乘坐上这列客车，其追赶客车匀速运动的速度所满足的表达式是什么？若a=1.0m/s2，s=30m，s0=20m，t0=1.0s，求v的最小值。

第二讲 力与共点力作用下物体的平衡

【知识要点】

一、力学中常见的三种力：

二、共点力作用下物体的平衡：

例1、、如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板，一平板穿过挡板的孔匀速向右运动，槽中间有一木块置于平板上，质量为m ，已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F 沿槽方向匀速拉动物体时，拉力F 与摩擦力μmg 大小关系是（ ）

A 、F ＞μmg

B 、F=μmg

C 、F ＜μmg

D 、无法确定

例2、如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑动摩擦因数（g 取10m/s 2

）。

例3、如图所示，长为L=5m 的细绳两端分别系于竖直地面上相距X=4m 的两杆的顶端A 、B ，绳上挂一光滑的轻质挂钩，下端连着一个重为G=12N 的重物，平衡时绳中张力T 等于多少牛顿？

V 0

例4、如图11所示，一个重量为G 的小球套在竖直放置的、半径为R 的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L （L ＜2R ），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。

例5、如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。

例6、如图14所示，一个半径为R 的非均质圆球，其重心不在球心O 点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A 点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B 点与斜面接触，已知A 到B 的圆心角也为30°。试求球体的重心C 到球心O 的距离。

例7、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体

匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。

例8、如右图所示，匀质球质量为M 、半径为R ；匀质棒B 质量为m 、长度为l 。求它的重心。

θ B

O

R

A

B

【练习】

1、如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=

3

3

的水平面上，用一个与水平方向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？

2、如图所示，n 个完全相同的正方体木块一个紧挨一个排列成一条直线放在水平地面上，正方体木块与水平地面的滑动摩擦因数为μ，现用一水平力F 推第一块木块，使这n 块木块一起做匀速直线运动，则第k 块木块对第k+1块木块的作用力为多大？

3、如图19所示，质量m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N 的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量M = 10kg ，倾角为30°，重力加速度g = 10m/s 2

，求地面对斜面体的摩擦力大小。

4、今年三月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气。现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v 为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）。这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度 v 竖直向下运动时所受的阻力。此阻力可用下式表达

2Av f αρ=

其中α为一系数，A 为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度。

⑴若沙粒的密度3108.2?=s ρkgm －3，沙尘颗粒为球形，半径4

105.2-?=r m ，地球表

面处空气密度25.10=ρkgm －3

，45.0=α，试估算在地面附近，上述v 的最小值v 1。

⑵假定空气密度ρ随高度h 的变化关系为)1(0Ch -=ρρ其中o ρ为h o =处的空气密度，C 为一常量，C 4

1018.1-?=m －1

，试估算当v 0.9=ms －1

时扬沙的最大高度。（不考虑重

θ

F … F

1 2 3 4 n

力加速度随高度的变化）

5、如图所示，一轻杆两端固结两个小球A和B，A、B两球质量分别为4m和m，轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？（不计绳与滑轮间摩擦）

6、如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

4mg

mg A

B

O

第三讲 一般物体的平衡、稳度

【知识要点】

（一）一般物体平衡条件

受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系矢量和为零，对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即：

ΣF=0 ΣM=0

若将力向x 、y 轴投影，得平衡方程的标量形式：

ΣF x =0 ΣF y =0 ΣM z =0（对任意z 轴）

（二）物体平衡种类

（1）稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时，有个力或力矩使它回到平衡位置这样的平衡叫稳定平衡。特点：处于稳定平衡的物体偏离平衡位置的重心升高。

（2）不稳定平衡：当物体受微小扰动稍微偏离平衡时，在力或力矩作用下物体偏离平衡位置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。特点：处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心降低。

（3）随遇平衡：当物体受微小扰动稍微偏平衡位置时，物体所受合外力为零，能在新的平衡位置继续平衡，这样的平衡叫随遇平衡。特点：处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时重心高度不变。

（三）稳度：物体稳定程度叫稳度。一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度越高；重心越低，底面积越大，物体稳度越高。

一般物体平衡问题是竞赛中重点和难点，利用ΣF=0和ΣM=0二个条件，列出三个独立方程，同时通过巧选转轴来减少未知量简化方程是处理这类问题的一般方法。对于物体平衡种类问题只要求学生能用重心升降法或力矩比较法并结合数学中微小量的处理分析出稳定的种类即可。这部分问题和处理复杂问题的能力，如竞赛中经常出现的讨论性题目便是具体体现，学生应重点掌握。

【例题1】（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB 长为L ，重为G ，其A 端放在水平面上，而点C 则靠在高2L

h

的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角θ=45°，

【例题2】（第一届全国决赛），如图所示，有一长为L ，重为G 0的粗细均匀杆AB ，A 端顶在竖直的粗糙的墙壁上，杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B 端用一强度足够大且不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C 点，木杆处于水平，绳和杆夹角为θ。

（1）求杆能保持水平时，μ和θ应满足的条件；

（2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内，悬挂任意重的重物，都不能破坏杆的平衡状态而在这个范围以外，则当重物足够重时，总可以使平衡破坏，求出这个范围来。

【例题3】如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C 柱体放上去之前，A 、B 两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

【练习题】1、如图所示，方桌重100N ，前后脚与地面的动摩擦因数为0.20，桌的宽

与高相等。求：（1）要使方桌匀速前进，则拉力F 、地面对前、后脚的支持力和摩擦力各是多大？（2）若前、后脚与地面间的静摩擦因数为0.60。在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前脚为轴向前翻倒？

A B

A

B

2、如图所示，重30N 的均匀球放在斜面上，球面上C 点以绳系住，绳与地面平行，求绳的拉力，斜面对球的支持力和摩擦力。

3、如图所示，一光滑半球形容器直径为a ，边缘恰与一光滑竖直的墙壁相切。现有一均匀直棒AB ，A 端靠在墙上，B 端与容器底相接触，当棒倾斜至水平面成60°角时，棒恰好平衡，求棒长。

4、（芬兰奥赛试题）如图所示，一均匀木板，以倾角θ静止地放在二根水平固定木棒A 和B 上，两棒之间距离为d ，棒与木板间静摩擦因数为μ0，当木板刚好不滑动时，求木板重心离A 棒距离。

5、如图所示，将一根长为2L 的硬铅丝弯成等臂直角形框架，在两臂的端点各固定一个质量为m 的小球，在直角的顶点焊一根长为r 的支杆，支杆平分这一顶角，将杆支在一支座上。试证明：当22L r =

时，平衡是随遇平衡；当r ＞22L 时，平衡是

不稳平衡；当r ＜22L 时，平衡是稳定平衡（不计支杆、铅丝的质量）

6、质量为50kg 的杆，竖直地立在水平地面上，杆与地面的最小静摩擦因数μ为0.3，杆的上端被固定在地面上的绳牵拉住，绳与杆的夹角θ为30°，如图所示。

（1）若 水平力F 作用在杆上，作用点到地面距离h 1为杆长L 的5

2

，要使杆不滑倒，则力F 最大不超过多少？

（2）若作用点移到5

42L

h =处时，情况又如何？