5 内积与正交向量组
第七章 向量空间的正交性
−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
线性代数第五章知识要点
(3) An×n 的对角化
(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角
矩阵相似 , 即 A 可对角化.
4. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量必正交. (3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则 对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关. (4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶 实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩 阵.
(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足
ATA = E ( 即 A-1 = AT),
则称 A 为正交矩阵.
A = (aij)n×n 为正交矩阵的充要条件是
1, i j; aik a jk δij 0, i j k 1
n
或
a
k 1
n
ki
akj δ ij .
(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换
6. 正定二次型 (1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如
果对任何 x 0, 都有 f(x) > 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A > 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) < 0, 则称 f 为 负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A < 0.
称为二次型.
二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为
二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对
线性代数第19讲 向量的内积
例 5 求 R 中向量 (1,0,1,0,2) , (0,1,2,4,1) 的夹角 .
5
T
T
解 因为
[ , ] 1 0 0 1 ( 1) 2 0 4 2 1 0,
而
[ , ] cos 0, || || || ||
有意义. 在 ( 2)中, [ , ]是数, [ , ] 表示 [ , ] 与 的数
乘, [[ , ] , ]表示 [ , ] 与 的内积, 事实上
[[ , ] , ] [ , ][ , ], 因此 ( 2) 式样第一项是一个数, 而 2 是一个向量,
运算性质: 设 x, y, z 为 n 维向量, R, 则
1 (1,0,0) , 2 (0,1,0) , 3 (0,0,1) , 试求 i 与 j ( i , j 1,2,3) 的内积.
T T
T
1 例 2 求 [([ , ] [ , ] ),3 ]. 3
向量的内积
一、内积的定义与性质 二、向量的长度与性质 三、单位向量及n维向量的夹角 四、正交向量组
一、内积的定义与性质
定义 设有 n 维向量 x
x1 x2 , x n
y
y1 y2 , y n
两者相加无意义.
二、向量的长度与性质
定义 令 x [ x, x ]
x x x ,
2 1 2 2 2 n
称 x 为 n 维向量 x 的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质:
1. 非负性 x 0, 当且仅当 x 0时, 有 x 0. 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y ; 4. 对任意 n 维向量 x, y, 有 [ x, y ] x y .
第五章_矩阵的对角化
(2) A的迹 trA a11 a22
注： A可逆
A不可逆
A的n个特征值全不为零。 0是A的特征值。
20（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
性质2：假设 x 是A的对应于特征值 的特征向量. k是常数，m是正整数，则 (1) k , m 分别是kA, Am的特征值，且x 是
例5.6 假设A为n阶方阵，且 A2 I ，求A的特征值.
17（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
2. 特征值、特征向量的求法
1°数值矩阵特征值、特征向量的求法
第一步：求出特征方程 f ( ) | I A | 0 的全部根1,2, …,n，它们就是A的全部特征根; 第二步：求出相应的齐次线性方程组 ( A i I ) X 0 的全体非零解，即可得对应于特征值i的 全部特征向量.
2. 特征值、特征向量的求法
14（74）
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
n阶方阵
非零向量
Ax = x (A－ I )x = 0
特征值
特征向量
特征多项式
|A－I| = 0
特征方程
a11– a21 |A– I | = … a n1
a12 … a1n a22– … a2n … … … an2 … ann–
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.1 方阵的特征值和特征向量
例5.8 已知3阶方阵A的特征值为：1 4, 2 3 1 求： (1) B A2 3 A 4 I 的特征值及|B|. (2) C A 3 A
1
的特征值.
§1向量的内积,长度及正交性
e1
1
0
2
,
e2
10
2,e3
1
0
2
,e4
1
0 2
.
0 0 1 2 1 2
就是R4的一个规范正交基.
§1 向量的内积、长度及正交性
定义: 设a1 ,a2 ,…,ar 是向量空间V的一个基,要
例 已知三维向量空间中两个向量
1 a1 1,
1
1
a2
2
1
正交,试求一个非零向量a3 ,使a1 ,a2 ,a3两两正交.
解
x1
设
a3
x2
,
x 3
记
Aaa12TT 11
1 2
11,
§1 向量的内积、长度及正交性
5
3
1 1
2
0
.
1
再
将
b1
,
b
2
,
b
单
3
位
化
§1 向量的内积、长度及正交性
e1
b1 b1
1
1 6
2
,
1
e2
b2
b2
1
1
3
1 1
,
e3
b3
b3
1
1 2
0 1
x
3
,
第10讲：向量的内积与正交矩阵
就是正交变换.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
1
9
8 9
4 9
例：判别矩阵
A=
8 9
1 9
4 9
是否为正交阵？
4 9
4 9
7 9
解：只需验证 AT A 是否等于 E ？
1
9
8 9
4 9
T
1 9
8 9
4 9
1
0
0
由于
8 9
4 9
1 9 4 9
4 9
7 9
8 9
4 9
1 9 4 9
4 9 7 9
0 0
1 0
0
,
1
所以 A是正交矩阵.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
例：设实对称阵 A 满足 A2 6A 8E O, 证明：A+3E 为正交矩阵. 证： 因为 ( A 3E )T ( A 3E )
( AT 3E )( A 3E ) ( A 3E)( A 3E) A2 6A 9E E, 所以 A+3E 是正交矩阵.
br
1
,
则 b1,L , br 两两正交,且 b1,L , br 与 a1,L ar 等价;
（2）再单位化，取
e1
b1 b1
, e2
b2 b2
,LL
, er
br br
,
则 e1, e2 ,L , er 就是 V 的一规范正交基.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
例 用施密特正交化方法，将向量组
a2 b1
线性代数第五章5.1向量的内积
, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,
, r 就是
Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
注
上述方法中的两个向量组对任意的 1 k r ,
1 , 2 , , k 与 1 , 2 , , k 都是等价的.
四、应用举例 例1 把向量组
化为标准正交向量组. 解: 将 a1 , a2 , 3正交化, 取
i=1,2,
, am 线性无关.
定理 若向量β与 1 , 2 , 5、正交基 若正交向量组1 , 2 , 则称 1 , 2 , 6、标准正交基 若单位向量组 1 , 2 , 则称 为一个标准正交基.
, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 , , s 的任一线性组合也正交.
证: 设 a1 , a2 ,
, am 是正交向量组, 若有线性关系
k1a1 k2a2
ki ai , ai 0
ki 0,
故 a1 , a2 ,
km am 0,
用 a i 与等式两边作内积,得
i=1,2,
,m
,m .
则 ai 0, 有 ai , ai 0, 从而得
2、正交矩阵的充要条件 ① Ａ的列向量是标准正交组.
② Ａ的行向量是标准正交组. 3、正交矩阵的性质 ① A A1 即A的转置就是A的逆矩阵; ② 若Ａ是正交矩阵,则 A(或A1 )也是正交矩; ③ 两个同阶的正交阵的乘积仍是正交阵; ④ 正交阵的行列式等于1或-1. 注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间R n 的一个标准正交基.
r 1 , r r 1 r 1 , r 1
则 1 , 2 , 2）标准化 令 1
第一讲正交向量组及施密特正交法
第一讲Ⅰ 授课题目：§5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求：1.了解向量的内积及正交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。
Ⅲ 教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，令 []n x y x y x y x +++= 2211,，[]y x ,称为向量x 与y 的内积.内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,.内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.例1 设有两个四维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5121α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5603β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=ααn 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x =[]22221,n x x x x x ++=，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质：① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性x x λλ=；③ 三角不等式 y x y x +≤+.向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2⋅≤由此可得[]1 ,≤yx y x （当0y ≠x 时）于是有下面的定义：当0≠x ，0≠y 时， []y,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角.二、正交向量组当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关.证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，以T 1α左乘上式两端，得 0111=ααλT，因01≠α，故0211≠=αααT，从而必有01=λ.类似可证0,02==r λλ .于是向量组r ααα ,,21线性无关.注 1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明：在n 维向量空间中，两两正交的向量不能超过n 个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如n 个两两正交的n 维非零向量，可构成向量空间nR 的一个正交基.例2 已知3维向量空间3R 中两个向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α正交，试求一个非零向量3α，使321,,ααα两两正交.解 记 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111121T T A αα， 3α应满足齐次线性方程0=Ax ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00121111321x x x ，由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-010101~030111~A ，得 ⎩⎨⎧=-=0231x x x ， 从而有基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101，取⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α即合所求.定义3 设n 维向量r e e e ,,,21 是向量空间)(nR V V ⊂的一个基，如果r e e e ,,,21 两两正交，且都是单位向量，则称r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基.若r e e e ,,,21 是V 的一个规范正交基，那么V 中任一向量α应能由r e e e ,,,21 线性表示，设表示式为 r r e e e λλλα+++= 2211.为求其中的系数),1(r i i =λ，可用T i e 左乘上式，有 i i T i i T i e e e λλα==，即 []i Ti i e e ,ααλ==.设r ααα ,,21是向量空间V 的一个基，要求V 的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量r e e e ,,,21 ，使r e e e ,,,21 与r ααα ,,21等价.这样一个问题，称为把r ααα ,,21这个基规范正交化.以下办法可把r ααα ,,21规范正交化： 取 11α=b ；[][]1112122,,b b b b b αα-=； ……[][][][][][]111122221111,,,,,,-------=r r r r r r r r r b b b b b b b b b b b b b αααα . 容易验证r b b b ,,,21 两两正交，且r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价. 然后只要把它们单位化，即取111b b e =，222b b e =，……，rr r b b e =，就得V 的一个规范正交基.上述从线性无关向量组r ααα ,,21导出正交向量组r b b b ,,,21 的过程称为施密特（Schimidt ）正交化过程.它不仅满足r b b b ,,,21 与r ααα ,,21等价，还满足：对任何)1(r k k ≤≤，向量组k b b b ,,,21 与k ααα ,,21等价.例3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1312α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0143α，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取11α=b ；[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=1113512164131,1211222b b b b αα； [][]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=1012,,222231211333b b b b b b b ααα. 再把它们单位化，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121611e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312e ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101213e .即合所求.例4 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，求一组非零向量32,αα，使321,,ααα两两正交.解 32,αα应满足方程01=x Tα，即0321=++x x x .它的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ξ.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 12ξα=，[][]1112123,,ξξξξξξα-=.于是得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1012α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121213α.三、正交矩阵在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x对应的矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，显然E A A T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4 如果n 阶矩阵A 满足E A A T= （即T A A=-1），称A 为正交矩阵.上式用A 的列向量表示，既是()E n T n T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛αααααα,,,2121 ，亦即())(ij j T iδαα=，这也就是2n 个关系式⎩⎨⎧≠===j 0,j,i ,1i ij j Ti 当当δαα （n j i ,2,1,=）. 这就说明：方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又E A A T=与E AA T=等价，所以上述结论对A 的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的n 个列（行）向量构成向量空间nR 的一个规范正交基.比如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-22212122，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----212100021212121212121212121都是正交矩阵. 注 正交矩阵的性质：设B A ,均为正交矩阵，则1.1±=A ，因此A 为满秩矩阵；2.1-=A A T，并且也是正交矩阵； 3.AB 也是正交矩阵.定义5 若P 为正交矩阵，则线性变换Px y =称为正交变换.设Px y =为正交变换，则有 x x x Px P x y y y T T T T ====.按x 表示向量的长度，相当于线段的长度.x y =说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.Ⅴ 小结与提问：小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质.2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的，因为对任何非零向量βα,，由施瓦兹不等式有[]1,≤⋅βαβα.从而[]βαβαθ⋅=,arccos才有意义.3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化.4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是A的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.提问：1.向量空间的规范正交基是否唯一？2.A 、B 均是正交阵，B A +是正交阵吗？ Ⅵ 课外作业：161P 1.（2）2.（1）3.第二讲Ⅰ 授课题目：§5.2 方阵的特征值与特征向量 Ⅱ 教学目的与要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。
向量内积的定义及运算规律经典实用
arcco[sx, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
当[x, y]0时,称向量 x与y正交. 若x0,则x与任何向量都. 正交
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若 n维向 a1,量 a2, ,ar是一组两两 零向 ,则 量 a1,a2, ,ar线性.无关 定义 设 n维 向 e1,e2 量 , ,er是 向 量 V(V 空 Rn)间 的 一,如 个e果 1,基 e2, ,er两 两,则 正e称 1,交 e2, , er是 V的 一 个 规 . 范 正 交 基
2
;
( 2 ) 令 2 k 1 2 ,使 2 与 1 得 正 ,得 交
k[1,2]
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2
,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3 )令 3 k 11 k 223 ,且 3 与 2 ,1 正 , 交
得
k1[1,3]1 2,
k2[2,3]1 6,
a0, aTa为一,非零数 故 a ( a T a ) a T ( a T a )a a ( T ),
A T A E [ 4 / a T a ( ) a a T ] [ 4 / a T a ( ) a a T ] E , 故A是正交矩.阵
特a 别 T a1 时 当 ,A E 2 aa T 是正 . 交
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1,2,3单位 ,得化
1 2
1
1 1
1
0 0
线性代数 向量组的正交性
(iii) （kα, β ）= k(α，β ) =（α, kβ ）
(iv) （α + β ,γ ）= (α，γ ) +（β ,γ ） (v) （α，α ）= a12 + a22 + + an2 = α 2
2.向量的单位化
1 α = 1 α =1
α
α
1 α为单位向量。 α
二、向量的夹角。 三、向量的正交性：
反例：α1 = (1,0,1),α2 = (0,0,1)
四 向量空间的正交基
若α1 ,α 2 ,
,α
是向量空间
r
V的一个基
,
且α
1
,α
2
,
,α r是两两正交的非零向量 组,则称α1 ,α 2 , ,α r是
向量空间 V的正交基 .
例1 已知三维向量空间中两个向量
⎜⎛ 1 ⎞⎟
α1 = ⎜1⎟,
⎜⎝ 1 ⎠⎟
,
e
是向量空间
r
V (V
⊂
Rn )的一个基 ,如果 e1 , e2 , , er两两正交且都是单位
向量,则称 e1 , e2 , , er是 V的一个规范正交基 .
例如
⎜⎛1 2⎟⎞ ⎜⎛ 1 2 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e2 ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−
即
λi = eiT α = (α, ei ).
六、向量组的正交规范化：
公式：设α1,α2 , ,αm为线性无关向量组，令
β1 =α1
β2 = α2 −（（αβ12，，ββ11））β1
β3
=